1. De Xuat Toan 10 Duyen Hai.docx

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ TỈNH HÒA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2022 2023 Đề thi môn Toán Lớp 10 Thời gian làm bài 180 phú[.]

TRƯỜNG THPT CHUN HỒNG VĂN THỤ TỈNH HỊA BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC 2022-2023 Đề thi mơn: Tốn Lớp 10 ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Thời gian làm bài:180 phút * Câu (4 điểm) Cho n   n số nguyên tố phân biệt p1 , p2 , , pn , đặt  p1 pi , 1 i n Xét đa thức P  x   x n  a1.x n   a2 x n    an  1.x  an P x Xác định tất giá trị n để đa thức   có nghiệm nguyên 2 Câu (4 điểm) Cho a1 , a2 , , a2023 b1 , b2 , , b2023 số thực thoả mãn a1  a2   a2023 1 , b12  b22   b2023 1 Chứng minh rằng: 2    a12  a22   a2023   1   b12  b22   b2023   1   a1.b1  a2 b2   a2023.b2023    c Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc ABC tù nội tiếp đường trịn   Tia phân giác c góc BAC cắt đường tròn   điểm thứ hai E , cắt đường thẳng BC điểm D Đường c trịn đường kính DE cắt đường trịn   điểm H Biết đường thẳng HE cắt đường thẳng BC điểm K a) Chứng minh : Các điểm K , H , D, A thuộc đường tròn c b) Gọi F giao điểm tiếp tuyến với đường tròn   điểm B C Chứng minh : A, H , F thẳng hàng Câu (4 điểm) Tìm tất nguyên dương n số nguyên tố p cho  17 n.2 n  p  2n 3   2n  n Câu (4 điểm) Có thể đánh số ô vuông bảng ô vuông x số tự nhiên từ đến 16 (mỗi ô viết số, số viết lần) cho tổng số phần bảng vng có dạng nhu hình chữ T (có thể xoay phía) chia hết cho hay khơng? HẾT Câu Câu HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm Cho n   n số nguyên tố phân biệt p1 , p2 , , pn , đặt  p1 pi , 1 i n Xét * đa thức P  x   x n  a1.x n   a2 x n    an  1.x  an P x Xác định tất giá trị n để đa thức   có nghiệm nguyên P x  x  p1 Với n 1 ta có   , đa thức có nghiệm nguyên x  p1 Với n 2 , giả sử Do P  x 4,0 đ có nghiệm nguyên a P  a  0  a n  p1.a n   p1 p2 a n    p1 p2 pn  1.a  p1 p2 pn 0  p1 | a (1) P  a  0  p12 | a |   p1 p2 pn  1.a  p1 p2 pn   p12 | p1 p2 pn Từ điều vơ lý số ngun tố p1 , p2 , , pn phân biệt Vậy tìm n 1 Câu 2 2 Cho a1 , a2 , , a2023 b1 , b2 , , b2023 số thực thoả mãn a1  a2   a2023 1 , b12  b22   b2023 1 Chứng minh rằng: 2    a12  a22   a2023   1   b12  b22   b2023   1   a1.b1  a2 b2   a2023.b2023    Gọi a2024 b2024 số thực không âm thoả mãn: 2 a2014 1   a21  a22   a2023  2 b2024 1   b12  b22   b2023  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:  a1.b1  a2 b2   a2023 b2023  a2024 b2024   a  a   a 2 4,0 đ 2023 a 2024  b 2 2 2023  b   b b  a1.b1  a2 b2   a2023 b2023  a2024 b2024 1  a2024 b2024 1   a1b1  a2b2   a2023 b2023  2  a2024 b2024    a1.b1  a2 b2   a2023 b2023   2 2 a2014 1   a12  a22   a2023 1   b12  b22   b2023  b2024  Đến thay phải chứng minh Câu ta có điều c Cho tam giác ABC có góc ABC tù nội tiếp đường trịn   Tia phân giác góc BAC cắt đường trịn  c  điểm thứ hai E , cắt đường thẳng BC điểm  c D DE H Đường trịn đường kính cắt đường trịn điểm Biết đường thẳng BC HE cắt đường thẳng điểm K a) Chứng minh : Các điểm K , H , D, A thuộc đường tròn 2 2024  1 b) Gọi F giao điểm tiếp tuyến với đường tròn C Chứng minh : A, H , F thẳng hàng  c  điểm B 2,0 đ a) Ta có E điểm cung BC nên OE  BC trung điểm M  BC , dẫn đến DME 90  M thuộc đường trịn đường kính DE c Gọi K ' giao điểm thứ hai đường thẳng EM đường trịn   , có EK ' đường kính  c  AE  AK ' hay AK ' đường phân giác góc BAC Từ ta có góc vng sau:   HEK ' HAK ' 90  AK ' EH tứ giác nội tiếp,   HEM HDM 90  EHDM tứ giác nội tiếp,   DAK ' DMK ' 90  ADMK ' tứ giác nội tiếp, Ba đường tròn ngoại tiếp ba tứ giác kể có ba trục đẳng phương AK ', EH , DM  AK ', EH , BC đồng quy điểm, K    KHD KAD 90  K , H , D, A thuộc đường trịn đường kính KD    DME DAK 90 MDE  ADK b) Theo phần a) ta có 2,0 đ (đối đỉnh)  Hai tam giác DME DAK đồng dạng     MED  AKD  MEA MKA  AKEM tứ giác nội tiếp    EKM EAM (1)   HAD Lại có AKHD tứ giác nội tiếp nên HKD (2)   Từ (1) (2) suy HAD EAM  AH đường đối trung tam giác ABC Câu xuất phát từ đỉnh A Theo tính chất đường đối trung ta có điều phải chứng minh Tìm tất nguyên dương n số nguyên tố p cho  17 n.2 n  p  2n  2 3   2n  n 2  17 n.2 n   2n 3  2n  n p  - Xét , có n 3 n2 Vì VT chẵn mà   lẻ nên n chẵn, VP4 Do n chẵn nên n 2 dẫn đến VT 2 mà 4 (mâu thuẫn) 4,0 đ n 1 mod  28 1 mod17  - Xét p  , VT lẻ nên n lẻ, , lại có 2n 2  mod17    n 3  1 mod17   2n2 3  2n2  117  VP 17  VT 17 2 n n2 mà 17 17 nên p17 hay p 17 Ta có:    17 17 n  1.2n   2n 3     2n  n  17 17 n  1.2n  9.2n n  n n Với n 3 , ta chứng minh 17  9.n phương pháp quy nạp,     2 2 17 17 n  1.2n   17 9n 2n  9n 2 n  16.9n 2n  17  9n 2n  9n 2 n  n , n 3 Hay VT  VP dẫn đến mâu thuẫn Do n lẻ nên xét n 1 có VT VP 17 Vậy tìm cặp Câu  n, p   1,17  Có thể đánh số ô vuông bảng ô vuông x số tự nhiên từ đến 16 (mỗi ô viết số, số viết lần) cho tổng số phần bảng vng có dạng nhu hình chữ T (có thể xoay phía) chia hết cho hay không? 4,0 đ Ta chứng minh khơng có cách đánh số thỏa mãn u cầu toán Giả sử tồn cách đánh số thỏa mãn yêu cầu toán Ta xét phần bảng hình vng hình sau d a c n b Theo giả thiết ta có  a  b  n  c  4  a  b  n  d  4 Suy c d  mod  Tương tự ta có a b c d  mod  Như số a chia dư m vị trí chéo với chia dư m Ta tô màu bảng ô vuông x hai màu đen trắng hình Giả sử số a vị trí đen, theo lận luận số vị trí đen khác (trừ hai đen góc) chia dư m Dẫn đến ta có ô đen chứa số có số dư m chia cho Mặt khác số từ đến 16 có số có số dư chia cho (4 số chia dư 0, số chia dư 1, số chia dư 2, số chia dư 3), có số có số dư chia cho Vậy đánh số ô vng bảng theo u cầu tốn Mọi cách giải khác kết lập luận chặt chẽ cho điểm tương đương Họ tên GV đề: Bùi Thị Hương SĐT: 0383219231