ĐỀ THI ĐỀ XUẤT (Đề thi gồm có 01 trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB LẦN THỨ XIV NĂM 2023 MÔN THI: TOÁN 11 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1(4 điểm) Cho hai dãy số ( xn ), ( yn ) xác định x1 0, y1 1 1 xn 1 xn ; yn1 , n 1 yn xn 1 a) Chứng minh ( xn ) không bị chặn b) Đặt un xn yn , n 1 Tìm lim n u1n u2n unn Câu (4 điểm) Tìm tất hàm số f : thoả mãn f f x f y 1 xy 1, x, y 1 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi AD, BE , CF đường cao ( D, E , F thuộc cạnh BC , CA, AB ); H trực tâm tam giác ABC ; M , N , P trung điểm cạnh BC , CA, AB Gọi ( ) đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP S tâm đường tròn ( ) a) Chứng minh điểm D, E , F thuộc đường tròn ( ) HO b) Chứng minh ba điểm H , O, S thẳng hàng số HS Câu (4 điểm) Cho a n số nguyên dương, a ³ Chứng minh ước nguyên tố n n a 2.6 - a +1 có dạng 6n+1 k +1 với k số nguyên dương Câu (4 điểm) Với n số ngun dương, xét bảng vng kích thước n n chia thành ô vuông Một cách tô ô vuông màu đen gọi “đẹp” số lượng đen hàng cột số chẵn; đồng thời, số ô màu đen đường chéo có độ dài lớn số lẻ (đường chéo dãy ô liên tiếp nằm đường thẳng song song với hai đường chéo bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo số lượng ô nằm đó) a) Chứng minh tồn cách tô “đẹp” n 2023 b) Chứng minh không tồn cách tô “đẹp” với n số chẵn -HẾT -Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Giám thị :……………………………… Giám thị : ……………………………… ĐỀ THI ĐỀ XUẤT HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH&ĐBBB LẦN THỨ XIV NĂM 2023 MƠN THI: TỐN 11 (Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) Câu Hướng dẫn chấm Cho hai dãy số ( xn ), ( yn ) xác định x1 0, y1 1 1 xn 1 xn ; yn 1 , n 1 yn xn 1 a) Chứng minh ( xn ) không bị chặn b) Đặt un xn yn , n 1 Tìm lim n u1n u2n unn a) Từ hệ thức truy hồi suy xn 1 xn xn2 1, n 1 Suy xn 1 xn xn2 với n 1 nên ( xn ) dãy tăng Câu điểm Giả sử ( xn ) bị chặn trên, tồn lim xn L Khi L L L2 1, vơ lý Do điều giả sử sai, hay ( xn ) không bị chặn b) Đặt x1 0 cot , y1 1 sin 2 cos cot Khi x2 cot sin sin 2 y2 sin 2 cot Bằng quy nạp, ta có xn cot n , yn sin n , n 1 2 Suy un xn yn cos n , n 1 Do (un ) tăng lim un 1 Ta có n unn n u1n u2n unn n nunn Suy un n u1n u2n unn n n un Từ lim un 1 lim n n 1 ta suy lim n u1n u2n unn 1 Câu điểm Tìm tất hàm số f : thoả mãn f f x f y 1 xy 1, x, y 1 Giả sử tồn hàm số f thoả mãn yêu cầu toán Trong 1 ta thay y 1 , ta f f x f 1 1 x 1, x Vậy f toàn ánh 2 Giả sử tồn a, b cho f a f b Trong 1 thay y a y b , ta f f x f a 1 ax 1, x f f x f b 1 bx 1, x 3 4 Từ 3 , suy ax bx 1, x a b Vậy f đơn ánh Do f song ánh Tiếp theo, ta chứng minh f xy f x f y , x, y Trong 1 ta thay x xy y 1 , ta 1 f f xy f 1 1 xy f f x f y 1 f xy f 1 f x f y (Vì f song ánh) f xy f 1 f x f y , x, y 5 Trong , cho y 0 ta f x f f f 1 , x Từ suy f 0 f x hàm hằng, mâu thuẫn với f đơn ánh, f 0 Trong , cho x y 0 , ta f 1 Trong , cho x y ta f 1 1 f 1 1 f song ánh Từ suy f xy f x f y , x, y Cuối cùng, ta chứng minh f hàm cộng tính Trong 1 thay x t y 1 ta f f t 1 t 1, t 6 Trong 1 thay x f t y 1 ta f t f t 2, t 7 Từ cho t 2 ta thu f 2 Ta có f xy x f x y f x f y f x f y f f x f y f x f f xy f x , x , y 8 b 2a y ( a, b , b 0 ), ta b f a b f xy x f xy f x f a f b Trong ta thay x Như vậy, f x y f x f y , x, y , y 0 Vì f 0 nên ta có f x y f x f y , x, y 9 song ánh hàm nhân tính nên f x ax, x Câu điểm Từ , kết hợp với f Thử lại thấy thoả mãn Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi AD, BE , CF đường cao ( D, E , F thuộc cạnh BC , CA, AB ); H trực tâm tam giác ABC ; M , N , P trung điểm cạnh BC , CA, AB Gọi ( ) đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP S tâm đường tròn ( ) a) Chứng minh điểm D, E , F thuộc đường tròn ( ) HO b) Chứng minh ba điểm H , O, S thẳng hàng số HS A E N P F G O S H B C M D a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC V V + Xét phép vị tự G ; biến A thành M, B thành N, C thành P; G ; biến tam giác ABC 2 2 thành tam giác MNP biến (O) thành ( ) + Ta có PDN (vì A đối xứng với D qua đường thẳng PN ), mà PMN (vì PAN BAC PAN V ( ) G ; biến tam giác ABC thành tam giác) nên PDN PMN hay D thuộc đường tròn 2 + Chứng minh tương tự ta có E, F thuộc đường trịn ( ) (Điều phải chứng minh) b) Ta có OM PN (vì OM BC , PN //BC ) , tương tự ON PM nên O trực tâm tam giác V MNP , suy G ; biến H thành O hay ta có 2 1 GO GH HO HG HG 3HG 2 HO (1) V Theo chứng minh câu 1) ta có, phép vị tự G ; biến (O) thành ( ) nên biến O thành S, Câu 4 điểm 2 1 GS GO HS HG HG HO 2HS 3HG HO (2) HO 2 (hằng số) (Điều phải chứng minh) Từ (1) (2) suy 2HS HO hay HS Cho a n số nguyên dương, a ³ Chứng minh ước nguyên tố n n 3.6 n+1 a 2.6 - a +1 có dạng k +1 với k số nguyên dương a 0 mod p n n n Gọi p ước nguyên tố a 2.6 - a +1 , có a 2.6 a 0 mod p (1) n n n 2.6 - a +1 = a + Từ a n (a 6n n ) - +1 số lẻ nên p lẻ n + n * 6n số chẵn a chia dư a 2.6n - a 6n +1 không chia hết cho p khác n n n n n + Ta có a 3.6 +1 = (a +1)(a 2.6 - a +1) nên từ (1) suy , suy a 3.6 mod p , suy a 3.6n 1 mod p hay a n1 1 mod p + Gọi h cấp a theo mod p Khi h | 6n+1 , suy h có dạng h = 3k 2t ( k , t £ n +1 ) Xảy trường hợp: n 3.6 - Nếu t £ n 3.6n = 3n+1.2n M h , suy a 1 mod p n p Theo a 3.6 0 mod p nên suy p 1h r a 1 mod p n t n 1, k n 1a 3.6 mod p a p | 2Mp Þ p = , mâu thuẫn với p lẻ n - Nếu t = n k £ n 2.6n = 3n.2n+1 M h , suy a 2.6 º 1( mod p ) n n Kết hợp với (1) suy a º ( mod p ) , suy a 3.6 º (mod p) Theo có nên suy Þ p = , mâu thuẫn - Nếu h = 6n+1 Do p | a 2.6 a nên ( a, p ) = , áp dụng định lý Fermat ta có , suy Vậy tồn k nguyên n n dương mà p k h hay p 6n 1.k , có điều cần chứng minh Câu điểm Với n số nguyên dương, xét bảng ô vuông kích thước n n chia thành ô vuông Một cách tô ô vuông màu đen gọi “đẹp” số lượng ô đen hàng cột ln số chẵn; đồng thời, số ô màu đen đường chéo có độ dài lớn số lẻ (đường chéo dãy ô liên tiếp nằm đường thẳng song song với hai đường chéo bảng ô vuông ban đầu; độ dài đường chéo số lượng nằm đó) a) Chứng minh tồn cách tô “đẹp” n 2023 b) Chứng minh không tồn cách tô “đẹp” với n số chẵn a) Ta xét cách tô màu cho bảng ô vuông kích thước lẻ tùy ý Tơ màu đen tất ô hàng tất ô dàng trừ cột bên trái sau Khi đó, Ở hàng hàng n , số ô tô n chẵn; hàng cịn lại có số tơ Ở cột 1, số ô tô 0; cột cịn lại có số tơ Trên đường chéo có độ dài lớn 1, số ô tô Như vậy, cách tơ đẹp với n 2021 thỏa mãn b) Giả sử phản chứng tồn cách tô màu đẹp cho bảng n n n chẵn Ta đánh dấu ô theo thứ tự số 1, 2,3, hình minh họa bên với n 8 Kí hiệu A, B, C , D số ô đánh dấu nằm ô đánh số 1, 2,3, Ta có nhận xét sau: A C phải số lẻ đánh dấu đường chéo số lẻ ô đánh dấu số phủ lên lẻ đường chéo A B số chẵn số đánh cột số chẵn Tương tự, B C phải chẵn Từ suy A C ( A B ) ( B C ) B số chẵn, mâu thuẫn Vậy nên điều giả sử sai không tồn cách đánh số đẹp trường hợp n chẵn