HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC LỚP 10 Câu 1 (4,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi s[.]
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN VÙNG DH&ĐB BẮC BỘ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LẦN THỨ XIV, NĂM 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN HỌC - LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu (4,0 điểm) Chứng minh với số nguyên dương n , tồn nhiều đa thức P x P x P x 1 P x ax b 1 ; n , có bậc hệ số thực thỏa mãn với a, b Điểm số thực cho trước (Dựa theo: THPT Chuyên Cao Bằng) Giả sử đa thức P x Giả sử tồn đa thức đa thức Do P x bậc n thỏa mãn , đa thức monic Q x có hệ số thực, R x P x Q x P x Q x R x deg R x n có thỏa mãn Q x P x , deg Q x n 1 thỏa mãn 0,5 1 Khi 1,0 nên Q x R x Q x 1 R x 1 Q x ax b R x ax b Q x Q x 1 Q x R x 1 R x Q x 1 R x R x 1 1,5 Q x ax b R x ax b Q x R x 1 R x Q x 1 R x R x 1 R x ax b Vế phải 2 đa thức bậc 2deg R x , vế trái 2deg R x n deg R x n deg R x 2 đa thức bậc 2 deg Q x deg R x , 1,0 , mâu thuẫn Điều phải chứng minh 2 Câu (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c 3 Chứng a b c 1 b c a minh Điểm (Nguồn: THPT Chuyên Thái Bình) Biến đổi BĐT cần chứng minh trở thành a(a 2)(c 2) (a 2)(b 2)(c 2) ab 2 bc ca 2(a b c ) abc 1,5 ab bc ca abc 2 Giả sử b nằm hai số a, c Khi (b a )(b c) 0 b ac b(a c ) 1,0 Trang 2 2 2 2 Do ab bc ca a (b ac ) bc ab(a c ) bc b(a c ) abc 0,5 2 2 Để chứng minh ab bc ca abc ta cần chứng minh b(a c ) 2 2 2 Ta có b(a c ) 2 b(3 b ) (b 1) (b 2) 0 Do ta có bất đẳng thức cần chứng minh 1,0 Dấu xảy a b c 1 a 0, b 1, c hoán vị Câu (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O) có AD đường phân giác ( D thuộc BC ) Gọi E , F điểm cung CA chứa B, cung AB chứa C đường tròn (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt AB M Đường tròn ngoại tiếp tam giác CDF cắt AC N a) Chứng minh bốn điểm B, M , N , C nằm đường tròn Điểm b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Gọi AP, AQ đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABN , ACM Chứng minh đường thẳng BQ, CP, AI đồng quy (Nguồn: THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Xét hình vẽ sau: (các trường hợp hình vẽ khác chứng minh tương tự) a) Ta có EA EC , DCE MAE , DEC BDE DCE BME BAE MEA EDC EMA g.c.g suy CD AM Chứng minh tương tự ta có BD AN DB AB AB AN AM AB AN AC AC AM Vì AD phân giác góc A nên DC AC suy tứ giác BMNC nội tiếp đường tròn 0,5 0,5 Trang b) Trước hết ta chứng minh AI vng góc với BC Thật vậy, AIM IAM 90 90 ANM 90 ABC nên AI vng góc BC ABN , ACM Vì AP, AQ đường kính đường trịn ABP ACQ 90 0,5 nên Gọi A giao điểm BP CQ AA đường kính (O) 1,0 Mặt khác AMQ ANP 90 nên NP // CA MQ // A B Gọi K giao điểm MQ NP tứ giác AMKN nội tiếp đường trịn đường kính AK nên A, I , K thẳng hàng sin QPC sin QPC CQ sin KQB sin PBQ PQ PQ BP Ta có sin KPC sin PCQ (1) sin PQB sin PQB (2) Lại có BMC BNC CMQ BNP CAQ BAP BAP ∽ CAQ g g 0,5 BP AB AN AN AK sin AKN 1,0 CQ AC AM AK AM sin AKM (3) Suy sin AKN sin QPC sin KQB 1 AKM sin KPC sin sin PQB Từ (1), (2) (3) suy , AK , CP, BQ đồng quy Câu (4,0 điểm) Cho số nguyên dương n Chứng minh tồn số nguyên n Điểm dương a, b, c cho 2027 ( a bc)(b ac) n số chẵn (Nguồn: THPT Chuyên Quốc Học – Thừa Thiên Huế) a bc 2027 p q p , q b ac 2027 (1) Không Từ giả thiết suy tồn nguyên dương thỏa mãn tổng quát, giả sử a b Từ (1) suy 1,0 a b bc ac (a b )(c 1) 2027 p 2027 q q p b a ac bc (a b)(c 1) 2027 2027 (2) Vì a b nên q p , 1,0 Trang (a b)(c 1) 2027 p (2027 q p 1) (2) p q p (a b)(c 1) 2027 (2027 1) (3) p 2027 | c Nếu 2027 | c , (3) 2027 | a b a bc | a b (*) Mặt khác, n a bc a b từ (*) suy a b 0 (a bc)(b ac ) (a bc ) 2027 n2 Nếu 2027 | c 1,0 p 2027 | a b , a bc | a b (**) Vì a bc a b nên (**) suy 1,0 n c 1 Khi ( a bc)(b ac) (a b) 2027 n2 n2 Vậy trường hợp ta ln có Câu (4,0 điểm) Một số ngun dương m gọi “tốt” tồn số nguyên dương a, b, c, d cho m a b c d m 49 ad bc a) Chứng minh số nguyên dương m “tốt” tồn hai số nguyên dương Điểm x, y cho xy m x 1 y 1 m 49 b) Tìm số “tốt” lớn (Nguồn: THPT Chuyên Vĩnh Phúc) a) Chiều thuận: Giả sử m tốt, tồn số nguyên dương a, b, c, d cho m a b c d m 49 ad bc a c ad bc b d Khi biểu diễn a uv; b rv; c us; d rs , với Từ , suy u , v, r , s số nguyên dương 0,5 Từ a b u r , suy r u Từ a c v s , suy s v 0,5 Khi uv a m x, y u, v u 1 v 1 rs d m 49 Như tồn cặp thoả mãn Chiều đảo: Giả sử tồn hai số nguyên dương x, y cho x 1 y 1 m 49 Khơng tính tổng qt, giả sử xy m 0,5 x y Suy 1,0 m xy x( y 1) y x 1 x 1 y 1 m 49 Đặt a xy; b x( y 1); c y x 1 ; d x 1 y 1 0,5 m a b c d m 49 ad bc Vậy m tốt b) Tìm số “tốt” lớn nhất: Giả sử m số “tốt”, tồn x, y nguyên dương cho xy m x 1 y 1 m 49 (*) Khi ta có m 49 x 1 y 1 xy 1,0 m m 576 Dấu xảy x y 24 Vậy số “tốt” lớn 576 Trang HẾT Trang