Đáp Án (Tuyên Quang).Docx

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ ĐỀ XUẤT DUYÊN HẢI BẮC BỘ 2023 Bài 1 (4,0 điểm) Tìm tam thức bậc hai ( )P x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau i) ( )P x có hai hệ số nguyên; ii) 1 1 2023 2024   [.]

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ ĐỀ XUẤT DUYÊN HẢI BẮC BỘ 2023 Bài (4,0 điểm) Tìm tam thức bậc hai P ( x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) P ( x) có hai hệ số nguyên; 1     P P   ii)  2023  2024  2024  2023 Hướng dẫn chấm Xét đa thức Q( x)  Điểm 1   P ( x)  x 2023 2024     Q  Q   0 2023 2024     Từ giả thiết suy deg Q deg P 2    Q( x) C  x   x   2023   2024  với C số  Do Thay lại 1 1    P ( x)    Q( x)  x    x C x  x  2023 2024 2023 2024 2023   2024   Chọn C 2023.2024 ta P ( x) đa thức có hệ số x x nguyên, thỏa mãn toán Bài (4,0 điểm) Cho x, y số thực thỏa mãn xy 1 Chứng minh 2,0 2,0 1    2  x  xy  y  x y 1     Hướng dẫn chấm Điểm Ta coi x, y  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 1   xy  x y 1     1,0 Hơn nữa, 1   1 x 1 y2 2x  2  x y 1      y    x  xy  y     x  y  x y  2 2   x    y    x  xy  y   x  y    x  y   xy  1 0,    x    y    x  xy  y  2 2 3,0 2 2 Do ta có điều phải chứng minh Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB  AC ) có đường phân giác AD Lấy điểm D nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C cho PA PD Gọi N giao điểm PD với AB; M giao điểm AP với BC ; Q giao điểm MN với AD Chứng minh CQ song song với PD Hướng dẫn chấm Áp dụng định lí Ceva cho ba đoạn thẳng AB, DP, MQ tam giác ADM , ta   sin DAN sin AMN sin MDN   1    sin MAN sin DMN sin ADN Điểm 1,0 Áp dụng định lí Ceva cho ba đoạn thẳng AQ, MQ, CQ tam giác ACM , ta   sin CAQ sin AMQ sin MCQ   1   sin MAQ sin CMQ sin ACQ     Mà CAQ DAN (phân giác), ADN MAQ (tam giác APD cân) nên   sin MCQ sin MDN   sin ACQ sin MAN 1,5 Ta lại có        MDN  MAN MDA  ADN  MAN MDA  PAD  MAN      MDA  DAB MDA  DAC  ACD MCQ  ACQ 1,5   Suy MCQ MDN CQ // DP Bài (4,0 điểm) Cho p số nguyên tố lẻ Chứng minh ước nguyên dương p p 1 p  đồng dư với theo modulo p Hướng dẫn chấm Điểm 2p p 1 q p  Giả sử ước nguyên tố p2 p 1  p 2( p  1)  p 2( p  2)   p  Vì p  (1) nên q  p Ta có p p  1(mod q)  p p 1(mod q ) 1,0 r Gọi r số nhỏ thỏa mãn p 1(mod q), tồn hai số a, b thỏa mãn p ar  b, b  r b r p Suy p 1(mod q) tính nhỏ r nên b 0, hay Trường hợp 1: r   1, 2, p, p 1,0 2p Khi p 1(mod q) suy  1(mod q ) hay q 2, vơ lí p2 p 1  p 2( p  1)  p 2( p  2)   p   p 1(mod 2) p 1 (vì p số lẻ) Trường hợp 2: r 4 q p  ( p  1)( p  1) 2 Vì q số nguyên tố nên p 1(mod q) p  1(mod q ) Kết hợp (1) 1,0 p2 p 1 p2 p 1  p (mod q ), vơ lí p q p2 1 p  Trường hợp 3: r 4 p q Theo định lí Fermat ta có p 1(mod q ) lập luận tương tự r 4 p q  1, hay q 1(mod p ) p p 1 Vì tất ước nguyên tố p  đồng dư với modulo p nên ước nguyên dương 1,0 Bài (4,0 điểm) Cho S tập hợp tất hoán vị (1, 2, , 2023) Hai hoán vị  ,  gọi giao tồn giá trị i 2023 thỏa mãn  (i )  (i ) Có tồn hay không tập M S gồm 1012 phần tử thỏa mãn tất phần tử S giao với phần tử M Hướng dẫn chấm Điểm Câu trả lời có Xét tập hợp M gồm 1012 phần tử thỏa mãn  (i) i, i 1013, sau (1, 2,3, ,1011,1012,1013, , 2023) (1012,1, 2,3, ,1011,1013, , 2023) (1011,1012,1, 2,3, ,1010,1, 2,1013, , 2023) … (2,3, 4, ,1012,1,1013, , 2023) Ta thấy rằng, giá trị từ đến 1012 xuất vị trí thứ i ( i 1012 ) phần tử tập hợp Giả sử  phần tử S Vì từ 1013 đến 2023 có tất 1011 vị trí nên với 1012 phần tử khơng thể đặt đủ vào vị trí này, tồn phần tử 1012 phần tử đầu thuộc vị trí từ đến 1012 Nói cách khác, ta có 1 i, j 1012,  (i)  j Hoán vị  M thỏa mãn  (1)  j  i  1(mod1012) có  (i )  j  (i ),  ,  giao Vậy tập M thỏa mãn toán -Hết - 2,0 2,0