1 toan~2

C H Ư Ơ N G CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ III HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ BÀI HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ LÝ THUYẾT I = = HÀM = SỐ TẬP XÁC ĐỊNH VÀ TẬP GIÁ TRỊ hàm số I Cho tập hợp khác rỗng D   Giả sử x y hai đại lượng biến thiên x nhận giá trị thuộc tập số D Nếu với giá trị x thuộc tập hợp số D có giá trị tương ứng y thuộc tập số thực R ta có hàm số Ta gọi x biến số y hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số T  f ( x) | x  D tập Tập tất giá trị y nhận được, gọi tập giá trị hàm số Ta nói giá trị f  x ( D ) T  f ( x) | x  K  f  x Chú ý: Cho K  D Ta nói K tập giá trị K y  f  x  , y  g  x  , Khi y hàm số x , ta viết y  f  x Khi hàm số cho công thức mà không rỏ tập xác định ta quy ước: y  f  x f  x Tập xác định hàm số tập hợp tất giá trị x để có nghĩa Một hàm số cho nhiều công thứccông thức ĐỒ THỊ HÀM SỐ Đồ thị hàm số y  f  x xác định tập D tập hợp tất điểm M  x; f  x   M  x0 ; y0    G   y0  f ( x0 ) mặt phẳng toạ độ với x thuộc D Hay diễn tả bằng: với x0  D Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ  a; b  Hàm số y  f  x xác định Hàm số y  f  x gọi đồng biến (hay tăng)  a; b  x1 , x2   a; b  x1  x2  f  x1   f  x2  Hàm số gọi nghịch biến (hay giảm) y  f  x x1 , x2   a; b   a; b  x1  x2  f  x1   f  x2  Nhận xét: + Hàm số y  f  x đồng biến  a; b  đồ thị hàm số “đi lên” khoảng y  f  x  a; b  đồ thị hàm số “đi xuống” + Hàm số nghịch biến khoảng II = = =I = = = I HỆ THỐNG B ÀI TẬP TỰ LU Ậ DẠNG TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁ P y  f  x f  x Để tìm tập xác định D hàm số ta tìm điều kiện x để có nghĩa Chú ý Thông thường + Hàm số + Hàm số y  f  x  y  f  x + Hàm số cho biểu thức đại số, ta xét số trường hợp sau: u ( x) v( x) có nghĩa u  x  , v  x  có nghĩa v  x  0 y  f  x  u  x y  f  x  = = = I N có nghĩa u  x có nghĩa u  x  0 u ( x) v( x) có nghĩa u  x  , v  x  có nghĩa v  x   BÀI TẬP Câu Tìm tập xác định hàm số y 2x  1 x Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ Hàm số xác định  x 0  x 1 Vậy tập xác định hàm số Câu Tìm tập xác định hàm số y D  \  1 x  4x  Lời giải 2 x   1  Ta có x  x    với x   Vậy tập xác định hàm số D  Câu Tìm tập xác định hàm số y 2x  x  3x  Lời giải x  1  x  x   0  x  x    Hàm số xác định  x 1     x 1  x  0  x 1      x  x  0   x   x  Vậy tập xác định hàm số D  \   2;1 Câu Tìm tập xác định hàm số y  x  Lời giải Hàm số xác định  x  0  x 1 Vậy tập xác định hàm số D  1;   Câu Tìm tập xác định hàm số y   x Lời giải Hàm số xác định   x 0   x   x 3 Vậy tập xác định hàm số y Câu Tìm tập xác định hàm số D   ;3 3x  2x  Lời giải Hàm số xác định  x    x  Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ D  1;   Vậy tập xác định hàm số x 3  2x y Câu Tìm tập xác định hàm số Lời giải Hàm số xác định   x    x    x  D   ;3 Vậy tập xác định hàm số Câu Tìm tập xác định hàm số y   x   x Lời giải  x   x  0     x   x   x   Hàm số xác định   3 D  1;   2 Vậy tập xác định hàm số y Câu Tìm tập xác định hàm số  x  2 x 1 Lời giải  x  0  x    x    x   Hàm số xác định  x   Vậy tập xác định hàm số D   1;   x y   x2 Câu 10 Tìm tập xác định hàm số x Lời giải 1  x 0  x 1     x    ;0 \   1  x  x    Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số y Câu 11 Tìm tập xác định hàm số D   ;0 \   1  x  3x   x  Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ  x 1  x  3x  0     x 2 x   x    Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số y Câu 12 Tìm tập xác định hàm số D   4;   \  1; 2 x  x  x  6 2x  Lời giải Hàm số xác định  x  x  0   2 x   Vậy tập xác định hàm số y Câu 13 Tìm tập xác định hàm số  x    x   x     x   x   D   2;  \   1 5 x  x  8x  9  x Lời giải Hàm số xác định  x  x  0    x   Vậy tập xác định hàm số y Câu 14 Tìm tập xác định hàm số  x   x    x 9   x  x   D   ;3 \   1 x 2x    2x Lời giải 2 x  0   4  x 0    x    x 0 Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số D   2; 2 \  0 2 x     x    2x    2x  x    x 2   x 0    x 2   x 0 Câu 15 Tìm tập xác định hàm số a) c) y 3x   2x  y x  4x  y b) d) y 2x   x  1  x  3 2x 1 x  3x  Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ Lời giải a) Hàm số xác định  x  0  x 1 Vậy tập xác định hàm số b) Hàm số xác định D  \  1  x  0    x  0   x    x 3   D  \   ;3   Vậy tập xác định hàm số c) Ta có x  x   x     với x   Vậy tập xác định hàm số D  d) Hàm số xác định x  x  0   x  1  x  x   0  x 1  x  0      x 1   x  x  0   x   Vậy tập xác định hàm số D  \   2;1  x 1   x  Câu 16 Tìm tập xác định hàm số b) y  x  a) y  3x  c) y   x   d) y  x  x   x  x 2 e) y  x   x    x   x f) y  x  x  x  Lời giải a) Hàm số xác định 3x  0  x  2  D  ;   3  Vậy tập xác định hàm số b) Ta có x   với x   Vậy tập xác định hàm số D  c) Hàm số xác định   x  0    x  0  x   x    x 1  3 D  1;   2 Vậy tập xác định hàm số Page d) CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ  x  x  0 x    x  1 0    x 3  x  x  0 x       Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số e) Ta có D  3;    y  x   x    x2   x2    x  1   x  1   x2 1  x    x2    x2 1 Hàm số xác định  x     1  x 0  x   x  0         1  x 0   x  x       x        x 0      1  x 0 Vậy tập xác định hàm số f) Hàm số xác định D   1;1  x      x 1      x     x 1   x 1       x    x  x  0    x  x  x  0   1 x     2     x  x   x   x    x 0    x  x  0     x 0   x 0     x  0 2   x  x  x x  x   x x0 x 0   x    x 0  x       x 1 Vậy tập xác định hàm số D  Câu 17 Tìm tập xác định hàm số y a)  x  2 y c) g) x y   x2 b) x 2 x x2 y  1 x  e) x 1 d) y f) 1 x h) x 1 4 x  x    x  3 y x 1 x y  x 8  x 7  x 2015 x  3x   y x2  x  x    x  1 Lời giải Page a) CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ  x  0  x    x1  x   x     Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số b) 1  x 0    x 0  Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số c) e) Hàm số xác định f) Hàm số xác định  x 2    x 2  x    x 1  x 4     x 2   x 3 1 x 4   x 2  x 3  D  1; 4 \  2;3 1  x 0   x 0  1  x   Vậy tập xác định hàm số  x 1    x 0   x 0 D   2; 2  x  0 4  x 0     x  0  Hàm số xác định  x  0 Vậy tập xác định hàm số D   ;0 \   1 2  x 0   x    Hàm số xác định Vậy tập xác định hàm số d) D   1;    x 1   x 1   x 0    x    x 0  D   1;1 \  0 x  3x   x  0  x  3x   x   x  x   x   3 x  x 3 Vậy tập xác định hàm số g) Ta có y  x 8  x   D  \  3  1 x  x  0   Hàm số xác định 1  x 0 Vậy tập xác định hàm số h) Ta có y Hàm số xác định  x  1  1  x  1 1 x 1 x  x    x 1 D   7;   \  1 x  x    x  1   x  1   x  1 D   7;1   1;      x  1    x  1 0   x 1 1 x 1 Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ   x      x  1  0  x 1     x  x  0   x  0 2    x  1   x  1 Vậy tập xác định hàm số D  DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ XÁC ĐỊNH TRÊN MỘT TẬP K CHO TRƯỚC = = = I PHƯƠNG PHÁ P Bài toán Cho hàm y  f ( x, m) Tìm tất giá trị Bước 1: Tìm điều kiện xác định hàm số (theo m để hàm số xác định tập K m ) Gọi D tập xác định hàm số Bước 2: Hàm số xác định tập K K  D Một số lưu ý: y + Hàm số A f ( x, m) ( A biểu thức ln có nghĩa) xác định tập K phương trình f ( x, m) 0 vơ nghiệm K + Hàm số y  f ( x, m) xác định tập K bất phương trình f ( x, m) 0 nghiệm với x  K y + Hàm số A f ( x, m ) A ( biểu thức ln có nghĩa) xác định tập K bất phương trình f ( x, m)  nghiệm với x  K  K  D1 K   D1  D2     K  D2 + BÀI TẬP = = = x 1 y I x  x  m Tìm tất giá trị Câu Cho hàm số m để hàm số xác định  Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ Điều kiện xác định hàm số x  x  m 0 Hàm số xác định R      x  x  m 0 , với x  R  x  x  m 0 vô nghiệm  4m   m  Câu Cho hàm số y  x  m Tìm tất giá trị m để hàm số có tập xác định  2;  Lời giải Điều kiện xác định hàm số x m m  D   ;   2  Khi tập xác định hàm số Yêu cầu toán thỏa mãn  Câu Cho hàm số y m 2  m 4 3x  5m  x  m  Tìm tất giá trị m để hàm số xác định  0; Lời giải 5m   x    x 1  m Điều kiện xác định hàm số  (*) Hàm số xác định   0;  (*) nghiệm với x   0;     5m  0   1  m   0;    5 m    m     m 0 Câu Cho hàm số y  m  x  x  m  Tìm tất giá trị m để hàm số xác định  0;1 Lời giải  x m   m  x  Điều kiện xác định hàm số (*)  m 1   m 1 m    0;1  (*) nghiệm với x   0;1   Hàm số xác định Page 10 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ Câu Cho hàm số y  x  x  (m  5) x  x   m Tìm tất giá trị m để hàm số xác định  Lời giải x  4x   m   x  4x   m  x  1   x    m    Ta có Điều kiện xác định hàm số là:  Hàm số xác định R x    m 0 (*)  (*) nghiệm với x  R   x    m x  R   m  m 0  0;  Câu Tìm m để hàm số sau xác định với x thuộc khoảng a) y  x  m  x  m  b) y  x  3m   x m xm Lời giải a) Hàm số xác định  x  m 0   2 x  m  0  x m   m 1 x    * ● Nếu m m 1  m 1  *  x m Khi tập xác định hàm số Yêu cầu toán ● Nếu m D  m;     0;     m;    m 0 : không thỏa mãn m 1 m 1 m 1  m 1  *  x  2  m 1  D  ;     Khi tập xác định hàm số m 1  m 1    0;     ;    0  m    Yêu cầu toán : thỏa mãn điều kiện m 1 Vậy m  thỏa yêu cầu toán b) Hàm số xác định 2 x  3m  0    x  m  0 Do để hàm số xác định với x 3m   x    x 1  m thuộc khoảng  0; , ta phải có Page 11 CHUN ĐỀ III – TỐN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ   3m  0  m    m    m 1 1  m 0  Vậy m  thỏa yêu cầu toán Câu Tìm m để hàm số y a) b)   x  2m    1;0  x m xác định y   x  mx  m  15 xác định  1;3 Lời giải a) x  m  x  m   m  x 2m    x  m   x  m    Hàm số xác định m  m      m    1;0   m   m     Do để hàm số xác định , ta phải có Vậy   m  thỏa yêu cầu toán b) Hàm số xác định  x  mx  m  15 0  x  mx  m  15 1  * Bài tốn chuyển việc tìm m để  * nghiệm với Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm với x 1 , x 2 , tức ta có x thuộc đoạn  2m  17 1  2 m  17 1      3m  23 1  3m  23 1  x  1;3 thuộc đoạn  1;3 nên nghiệm với  m    22  m   m     *  x  x  1   2 x  x  1 Điều kiện đủ: Với m  , ta có 2 x  x  0   2 x  x  0   x  0   x  0   x  1  x  3 0      x  0    x  0  x   0  x  x  0   x  x  0  x  0    x  0  x 1   x 3   x 3 : thỏa mãn Vậy m  thỏa yêu cầu toán Câu Tìm m để hàm số Page 12 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ x 1 y x  x  m  xác định  a) y b) m 1 x  x  m xác định toàn trục số Lời giải a) Hàm số xác định x  x  m     x  3  m  11  Để hàm số xác định với x     x  3  m  11  với x    m  11   m  11 Vậy m  11 thỏa mãn yêu cầu toán b) Hàm số xác định m  0   x  x  m   Để hàm số xác định với x   m     1 x    m  0      3 với x    Vậy m  m     1 3  x    m  0    m  1   m  m 0   thỏa mãn yêu cầu toán DẠNG TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ PHƯƠNG PHÁ P = = = y  f  x ChoI hàm số có tập xác định D Tập hợp = = = I   T  y  f  x x  D gọi tập giá trị hàm số y  f  x BÀI TẬP Page 13 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ Câu Tìm tập giá trị hàm số y 5 x  Lời giải Tập xác định: D  Ta có x    x    x   , x   Vậy tập giá trị hàm số T  Câu Tìm tập giá trị hàm số y 2 x  Lời giải D  0;   Điều kiện xác định: x 0 Tập xác định: Ta có x 0  x 0  x  3, x  D Vậy tập giá trị hàm số Câu Tìm tập giá trị hàm số T  3;   y  x  x  Lời giải Tập xác định: D  Ta có y  x  x    x    8, x   Vậy tập giá trị hàm số T   ;8 Câu Tìm tập giá trị hàm số y   x Lời giải D   2; 2 Điều kiện xác định:  x 0    x 2 Tập xác định: 2 x  D ta có x 0   x 4  Mặt khác:  x 2  x 0 Nên   x 2, x  D Vậy tập giá trị hàm số T  0; 2 y Câu Tìm tập giá trị hàm số x2  4x  Lời giải Page 14 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ x2  x     x   1  Điều kiện xác định: , x   Tập xác định: D  2 Ta có x  x   x    1  Mặt khác:  x  2 0 1 Vậy tập giá trị hàm số 0  1   x  2 Nên T  0;1  x  2 2   x  2 1 1 1 1 , x  D DẠNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ = = = I PHƯƠNG PHÁ P * Phương pháp 1: Tìm tập xác định D hàm số Với Tính x1 , x2  D , x1  x2 f  x1   f  x2  Nếu x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) hàm số cho đồng biến (tăng) Nếu x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) hàm số cho nghịch biến (giảm) * Phương pháp 2: Tìm tập xác định D hàm số Với x1 , x2  D , x1  x2 f  x1   f  x2  x1  x2 Lập tỉ số f  x1   f  x2  0 x  x Nếu hàm số cho đồng biến (tăng) f  x1   f  x2  0 x  x Nếu hàm số cho nghịch biến (giảm) = = = I BÀI TẬP Page 15 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ f  x  x  Câu Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số khoảng   ;0  khoảng  0; Lời giải TXĐ: D  f  x1   f  x2  x12   x22   x12  x22 ( x1  x2 )( x1  x2 ) x , x  D x  x 2 Với , , ta có Với Suy x1 , x2    ;0  f  x1   f  x2   x1  x2 ta có x1  x2  x1  x2  hay f  x1   f  x2  Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng Với Suy x1 , x2   0;  f  x1   f  x2     ;0  x1  x2 ta có x1  x2  x1  x2  hay f  x1   f  x2  Vậy hàm số cho đồng biến khoảng  0; f  x  Câu Xét tính đồng biến nghịch biến hàm số x x  khoảng   ;1 khoảng  1;  Lời giải TXĐ: D  \  1 Với x1 , x2  D , x1  x2 , ta có: f  x1   f  x2  Với x1 , x2    ;1 Suy f  x1   f  x2   x1 , x2   1;   x1 x2 x2  x1   x1  x2  ( x1  1)( x2  1) x1  x2 ta có x2  x1  x1  , x2  hay f  x1   f  x2  Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng Với    ;1 x1  x2 suy f  x1   f  x2   hay f  x1   f  x2  Vậy hàm số cho nghịch biến khoảng  1;  DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN (NGHỊCH BIẾN) TRÊN MỘT TẬP HỢP CHO TRƯỚC Page 16 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ = = = I PHƯƠNG PHÁ P f  x1   f  x2  x1  x2 Hàm số đồng biến (nghịch biến) D Ta xét với x1 , x2  D , x1  x2 f  x1   f  x2  0 x  x Để hàm số đồng biến từ ta dễ dàng tìm m thỏa mãn đề bài; f  x1   f  x2  0 x  x ngược lại để hàm số nghịch biến ta dễ dàng tìm m thỏa mãn đề BÀI TẬP = = =   3;3 CâuI Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn f  x   m  1 x  m  đồng biến  ? để hàm số Lời giải Tập xác định: D  Với x1 , x2  D , x1  x2 , ta có: f  x1   f  x2    m  1 x1  m      m  1 x2  m    x1  x2 x1  x2 m  Hàm số đồng biến   m    m   m    3;3 m   0;1; 2;3 Mà m   nên Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn đề y  2m  3 x  m  Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến  Lời giải Tập xác định: D  Với x1 , x2  D , x1  x2 , ta có: f  x1   f  x2    2m  3 x1  m  3    2m  3 x2  m  3  x1  x2 x1  x2 2m  Page 17 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ  m Hàm số nghịch biến   2m   f  x   x   m  1 x  Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số nghịch biến  1;  khoảng Lời giải Xét D  1;  Với x1 , x2  D , x1  x2 , ta có: 2 f  x1   f  x2    x1   m  1 x1      x2   m  1 x2    x1  x2 x1  x2  H   x1  x2   x1  x2    m  1  x1  x2    x1  x2   m  x1  x2 àm số nghịch biến khoảng  1;     x1  x2   m   , x1 , x2   1;   m   x1  x2   x1 , x2   1;  , (1) Ta có x1 , x2   1;2    x1  x2    (2) Từ (1) (2)  m 3 Vậy m 3 DẠNG BÀI TOÁN THỰC TẾ = = = I PHƯƠNG PHÁ P Bước 1: Lập biểu thức theo yêu cầu toán ( cần); Bước 2: Khai thác giả thiết để xử lí tốn phù hợp; Bước 3: Kết luận BÀI TẬP = = = CâuI Cho diện tích rừng nhiệt đới trái đất xác định hàm số S 718,3  4, 6t , S tính triệu hec-ta, t tính số năm kể từ năm 1990 Hãy tính diện tích rừng nhiệt đới vào năm 1990 2018 Lời giải Page 18 CHUYÊN ĐỀ III – TOÁN 10 – CHƯƠNG III – HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ Vào năm 1990 ứng với t 0 nên diện tích rừng nhiệt đới vào năm 1999 là: S 718,3  4, 6.0 718,3 (ha) Vào năm 2018 ứng với t 28 nên diện tích rừng nhiệt đới vào năm 2018 là: S 718,  4, 6.28 589,5 (ha) Câu Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, tàu chạy hướng nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/giờ Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách hai tàu nhỏ nhất? Lời giải Gọi d khoảng cách hai tàu sau xuất phát Ta có: t (giờ), t  d  AB12  AA12 (5  BB1 )2  AA12 (5  7t )2  (6t ) 85t  70t  25  180 85  d d (t )  85t  70t  25  85  t     17 17  17  Suy Khi d  85 t 17 Dấu " " xảy  17 Vậy sau 17 xuất phát khoảng cách hai tàu nhỏ nhỏ Câu Một hàng buôn giày nhập đơi với giá 40 USD Cửa hàng ước tính đôi giày bán với giá x USD tháng khách hàng mua đơi giày giá thu nhiều lãi nhất?  120  x  đôi Hỏi hàng bán Lời giải Gọi y (USD) số tiền lãi cửa hàng bán giày Ta có y  120  x   x  40   x  160 x  4800   x  80   1600 1600 Dấu " " xảy  x 80 Vậy cửa hàng lãi nhiều bán đôi giày với giá 80 USD Page 19