2, bài 2 chương i các phép biến đổi lượng giác

Ngày soạn: / / Ngày dạy: / / BÀI 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC (3 TIẾT) I MỤC TIÊU: Kiến thức, kĩ năng: Học xong này, HS đạt yêu cầu sau: - Nhận biết, mô tả phép biến đổi lượng giác bản: cơng thức cộng; cơng thức góc nhân đơi; cơng thức biến đổi tích thành tổng cơng thức biến đổi tổng thành tích - Vận dụng cơng thức cộng, cơng thức góc nhân đơi để giải tốn tính giá trị lượng giác góc, rút gọn biểu thức lượng giác đơn giản chứng minh số bất đẳng thức Năng lực Năng lực chung: - Năng lực tự chủ tự học tìm tịi khám phá - Năng lực giao tiếp hợp tác trình bày, thảo luận làm việc nhóm - Năng lực giải vấn đề sáng tạo thực hành, vận dụng Năng lực riêng: - Tư lập luận toán học: So sánh, phân tích liệu tìm mối liên hệ đối tượng cho nội dung học, từ áp dụng kiến thức học để giải tốn - Mơ hình hóa tốn học, giải vấn đề tốn học thơng qua tốn thực tiễn gắn với giá trị lượng giác góc lượng giác phép biến đổi lượng giác - Sử dụng công cụ, phương tiện học tốn 3 Phẩm chất - Có ý thức học tập, ý thức tìm tịi, khám phá sáng tạo, có ý thức làm việc nhóm, tơn trọng ý kiến thành viên hợp tác - Chăm tích cực xây dựng bài, có trách nhiệm, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo hướng dẫn GV II THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU Đối với GV: SGK, Tài liệu giảng dạy, giáo án, đồ dùng dạy học Đối với HS: SGK, SBT, ghi, giấy nháp, đồ dùng học tập (bút, thước ), bảng nhóm, bút viết bảng nhóm III TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A HOẠT ĐỘNG 1: KHỞI ĐỘNG (MỞ ĐẦU) a) Mục tiêu: - Tạo hứng thú, thu hút HS tìm hiểu nội dung học b) Nội dung: HS đọc tình mở đầu, suy nghĩ trả lời câu hỏi c) Sản phẩm: HS đưa nhận định ban đầu cơng thức tính tốn, biến đổi chứa giá trị lượng giác d) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: - GV yêu cầu HS đọc phần tình mở đầu: Ở lớp dưới, ta làm quen với số phép tính tập hợp số thực, chẳng hạn: phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên cơng thức để tính toán hay biến đổi biểu thức chứa luỹ thừa Việc lấy giá trị lượng giác góc lượng giác hình thành nên phép tính tập hợp số thực, phép tính lượng giác Có hay khơng cơng thức để tính tốn hay biến đổi biểu thức chứa giá trị lượng giác? Bước 2: Thực nhiệm vụ: HS quan sát ý lắng nghe, thảo luận nhóm hồn thành u cầu Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi số HS trả lời, HS khác nhận xét, bổ sung Bước 4: Kết luận, nhận định: GV đánh giá kết HS, sở dẫn dắt HS vào học mới: “Việc lấy giá trị lượng giác góc lượng giác hình thành nên phép tính tập hợp số thực Bài học hôm nay, tìm hiểu số phép tính lượng giác.” Bài mới: Các phép biến đổi lượng giác B HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI Hoạt động 2.1: Công thức cộng a) Mục tiêu: - Nhận biết công thức cộng - Vận dụng công thức cộng để giải tính giá trị lượng giác, chứng minh đẳng thức lượng giác b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực nhiệm vụ giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực HĐ 1, 2, 3, Luyện tập 1, 2, 3, đọc hiểu ví dụ c) Sản phẩm: HS hình thành kiến thức học, câu trả lời HS cho câu hỏi HS nhận biết công thức cộng sử dụng để tính giá trị lượng giác góc d) Tổ chức thực hiện: HĐ CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN Bước 1: Chuyển giao nhiệm Công thức cộng vụ: HĐ1 - GV triển khai HĐ1 cho HS a) Với a= π ta có sin a=sin π = ; 6 thực π π √3 + Phần a, GV định HS Với b= ta có sin b=sin = đứng chỗ trình bày kết π cos b=cos = (π π ) π + Tính giá trị lượng giác Ta có sin ( a+ b )=sin + =sin =1 góc theo đề bài, từ rút 1 3 sin a cos b+cos a sin b= + √ √ 2 2 đẳng thức sin ( a+ b ) sin ( a−b ) Do sin( a+b)=sin a cosb+ cos a sin b (vì 1) b) Ta có: sin( a−b)=sin [ a+ (−b ) ] ¿ sin a cos (−b)+cos a sin(−b) ¿ sin a cos b +cos a (−sin b) ¿ sin a cos b−cos a sin b Công thức cộng + Phần b, GV định HS + sin ( a−b )=sin a sin b+cos a sin b nhắc lại công thức giá trị + sin( a+b)=sin a cos b−cos a sin b lượng giác hai góc đối - GV giới thiệu trình bày Ví dụ 1: (SGk – tr.16) cơng thức cộng trường Hướng dẫn giải (SGK – tr.16) hợp tổng quát cho HS: Trong trường hợp tổng quát, với Luyện tập góc lượng giác a, b, ta có Áp dụng cơng thức cộng ta có: cơng thức sau (thường gọi chung công thức cộng sin π =sin π − π 12 sin) ( π π ) π π - GV cho HS thực Ví dụ ¿ sin cos −cos sin GV hướng dẫn cho √3 √ √ HS cách làm: ¿ − 2 + Tách sin 75o =sin ( 30o + 45o ) - GV cho HS tự thực HĐ2 Luyện tập GV định a) Ta có: cos ( a+b ) =sin HS đứng chỗ trình bày cách làm ¿ sin ( π2 −( a+b )) π −a −b (( ) ) π + 12 tách thành tổng ¿ sin π −a cos b−cos π −a sin b 2 ( hay hiệu số nào? ) ( ) ¿ cos a cos b−sin a sin b Vậy cos (a+ b)=cos a cos b−sin a sin b - GV triển khai phần HĐ2 cho HS thực + GV đặt câu hỏi: Nhắc lại công thức giá trị lượng giác hai góc phụ nhau, hai góc đối nhau? + GV mời HS lên bảng trình bày rút kết luận cho trường hợp tổng quát công thức cộng cơsin b) Ta có: cos (a−b)=cos [ a+ (−b ) ] ¿ cos a cos b+sin a sin b Vậy cos (a−b)=cos a cos b+ sin a sin b Công thức + cos (a+ b)=cos a cos b−sin a sin b + cos (a−b)=cos a cos b+ sin a sin b Ví dụ 2: (SGK – tr.17) Hướng dẫn giải (SGK – tr.17) Luyện tập Áp dụng cơng thức cộng, ta có: cos 15 o=cos (45 o ¿−30o )¿ ¿ cos 45o cos 30o +sin 45 o sin 30 o 6+ ¿ √ √ +√ =√ √ 2 2 HĐ3 - GV ghi bảng cơng thức cộng a) Khi biểu thức có nghĩa, ta với côsin đề nghị HS ghi có: học thuộc cơng thức tan(a+ b)= - GV cho HS đọc – hiểu phần Ví dụ trình bày lại cách làm - HS làm phần Luyện tập sin a cos b+cos a sin b sin a cos b+ cos a sin b cos a cos b ¿ = cos a cos b−sin a sin b ( cos a cos b−sin a sin b ) cos a cos b ¿ theo nhóm đơi + GV đặt câu hỏi cho HS: Ta biến đổi cos 15 o thành cos tổng hai góc lượng giác nào? sin ( a+b ) cos ( a+b ) tan a+ tan b 1−tan a tan b tan a+ tan b Vậy tan(a+ b)= 1−tan a tan b b) Khi biểu thức có nghĩa, ta có: tan(a−b)=tan[a+ (−b ) ] tan a+ tan (−b ) tan a−tan b - GV gợi ý cho HS thực ¿ 1−tan a tan (−b ) = 1+tan a tan b phần HĐ3 Vậy + HS thảo luận nhóm người thảo luận theo gợi ý GV tan(a−b)=tan(a−b)= tan a−tan b 1+ tan a tan b Công thức → GV gợi ý: tan a+ tan b + Phần a, ta cần sử dụng công + tan(a+ b)= 1−tan a tan b thức tan(a+ b)= biến sin(a+ b) , cos( a+b) đổi sau áp + tan(a−b)= tan a 1+tan a tan b (Khi biểu thức có nghĩa) dụng cơng thức cộng sin Ví dụ 3: (SGK – tr.17) cos để hoàn thành phần a Hướng dẫn giải (SGK – tr.17) + Phần b, ta biến đổi (a – b) thành Luyện tập [a + (-b)] để áp dụng kết Áp dụng công thức cộng, ta có: câu a tan165 o=tan ( 120 o +45 o ) tan 120o−tan 45 o √ 3+1 = 1−√ ¿ = o o 1−tan120 tan 45 1−(− √ ) √3 + GV trình bày công thức cộng tang khung kiến thức trọng tâm yêu cầu HS ghi cần thận - GV cho HS đọc – hiểu Ví dụ sau mời HS đứng chỗ trình bày giải thích cách làm Ví dụ - GV gọi HS đứng chỗ trình bày hướng làm phần Luyện tập 3, mời HS khác lên bảng trình bày đáp án Bước 2: Thực nhiệm vụ: - HS theo dõi SGK, ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành yêu cầu, thảo luận nhóm - GV quan sát hỗ trợ Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm: + Công thức cộng sin, côsin, tang + Cách đọc để nhớ công thức nhanh Hoạt động 2.2: Công thức nhân đôi a) Mục tiêu: - HS phát biểu công thức nhân đôi - HS vận dụng cơng thức nhân đơi tính tốn giá trị lượng giác góc lượng giác b) Nội dung: HS đọc SGK để tìm hiểu nội dung kiến thức theo yêu cầu GV, ý nghe giảng, thực hoạt động 4, Luyện tập 4, 5, ví dụ c) Sản phẩm: HS hình thành kiến thức học, câu trả lời HS cho câu hỏi HS nhận biết cơng thức nhân đơi để từ tính giá trị lượng giác góc d) Tổ chức thực hiện: HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN Bước 1: Chuyển giao nhiệm Công thức nhân đôi vụ: HĐ4 - GV cho HS thảo luận nhóm Ta có: đơi gợi ý cho HS thực + sin a=sin ( a+a ) HĐ4 ¿ sin a cos a+cos a sin a=2 sin a cos a + Các em viết lại công thức ¿ cos ( a+3 a ) 2 công sin, côsin tang ¿ cos a cos a−sin a sin a=cos a−sin a thay b a để thực + Khi biểu thức có nghĩa thì: + GV mời HS lên bảng trình tan2 a=tan ( a+ a ) = tan a+ tan a 1−tan a tan a bày đáp án ¿ tan a 1−tan 2 a Công thức + sin a=2sin a cos a - GV xác hóa đáp án + cos a=cos a−sin2 a giới thiệu công thức nhân đôi tan a + tan2 a= 1−tan a khung kiến thức trọng Nhận xét tâm cho HS + cos a=cos a−sin2 a=2 cos2 a−1 ¿ 1−2 sin2 a - GV đặt câu hỏi thêm cho HS: + cos a= 1+ cos a 1−cos a sin a= ; (công 2 + Từ biểu thức mới, rút thức hạ bậc) cos a sin2 a? + GV yêu cầu HS lên bảng thực xác hóa phần Nhận xét Ví dụ 4: (SGK – tr.18) - GV hướng dẫn cho HS thực Hướng dẫn giải (SGK – tr.18) Ví dụ + Phần a, bình phương hai vế xuất đẳng thức Sau khai triển có sin a cos a sin a + Phần b, áp dụng công thức Luyện tập nhân đôi Áp dụng công thức nhân đôi, ta có: - HS tự thảo luận thực a với bạn bàn để hoàn tan a = thành Luyện tập 2 tan 1−tan a = (−2 ) = 1−(−2 )2 + GV định HS đứng Ví dụ 5: (SGK – tr.18) chỗ nêu đáp án Hướng dẫn giải (SGK – tr.18) - GV yêu cầu HS đọc – hiểu phần Ví dụ sau trình bày Luyện tập lại cách thực Ví dụ - HS thảo luận nhóm ba người theo gợi ý GV thực Luyện tập + Áp dụng công thức hạ bậc π 2 cho sin cos π để thực tính tốn vụ: - HS theo dõi SGK, ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành yêu cầu - GV: quan sát trợ giúp HS Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn 4: + π sin2 = Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào ( π8 ) = 2− √2 1−cos 2 π Mà sin >0 nên sin π = 2−√ = √2−√ 8 √ + π cos = Bước 2: Thực nhiệm Bước Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có: ( π8 ) = 1+cos π4 = 1+ √22 = 2+ √2 1+cos 2 π 25+ √ nên cos = √ 2 vở: + Công thức nhân đôi + Công thức hạ bậc nâng cung Hoạt động 2.3: Cơng thức biến đổi tích thành tổng a) Mục tiêu: - HS phát biểu cơng thức biến đổi tích thành tổng - HS vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng tính tốn giá trị lượng giác góc lượng giác b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực nhiệm vụ giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hoạt động 5, Luyện tập 6, ví dụ c) Sản phẩm: HS hình thành kiến thức học, câu trả lời HS cho câu hỏi HS nhận biết công thức biến tích thành tổng áp dụng tính giá trị lượng giác góc lượng giác, tính giá trị biểu thức lượng giác d) Tổ chức thực hiện: HĐ CỦA GV VÀ HS SẢN PHẨM DỰ KIẾN Bước 1: Chuyển giao Cơng thức biến đổi tích thành nhiệm vụ: tổng - GV yêu cầu HS thảo luận HĐ5 nhóm 4, theo phương pháp Ta có: khăn trải bàn làm thực + cos ( a+b ) +cos ( a−b ) HĐ5 ¿ ( cos a cos b−sin a sin b ) +(cos a cos b +sin a sin b) + HS trao đổi, tranh luận ¿ cos a cos b−sin a sin b+cos a cos b+sin a sin b rút gọn biểu thức ¿ cos a cos b−sin a sin b−cos a cos b−sin a sin b HĐ ¿−2 sin a sin b + GV định HS lên bảng + sin( a+b)+sin( a−b) trình bày lời giải ¿ ( sin a cos b+cos a sin b )+(sin a cos b−cos a sin b) ¿ sin a cos b +cos a sin b+ sin a cos b−cos a sin b ¿ sin a cos b Vậy cos (a+ b)+ cos( a−b)=2cos a cos b cos (a−b)+cos ( a−b )=−2 sin a sin b sin( a−b)+ sin(a−b)=2 sin a cos b Công thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b= sin a sin b= [ cos ( a−b ) +cos ( a−b ) ] −1 [ cos ( a+b ) −cos ( a−b ) ] + GV yêu cầu HS lớp thực thêm hoạt Ví dụ 6: (SGK – tr.19) động sau: Hướng dẫn giải (SGK – tr.19) Từ biểu thức vừa rút Câu hỏi phụ gọn, em rút ra: D=cos x cos ( x+ 60o )cos ( x−60 o) cos a cos b ; sin a sin b ; sin a cos b D=cos x ( cos 120o + cos x ) → GV xác hóa câu trả lời phần công thức ¿ cos x khung kiến thức trọng tâm ( −12 +cos x) 1 ¿− cos x+ cos x cos x - HS đọc phần Ví dụ ¿− cos x+ cos x+ cos x thực câu hỏi phụ GV sau: Biến đổi tích thành tổng biểu thức sau: 4 Luyện tập Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có: a a B=cos cos 2 D=cos x cos (x+ 60o )cos ( x−60 o) ¿ 3a a 3a a cos + +cos − 2 2 [ ( ) ( ¿ (cos a+cos a) - GV cho HS thực )] Luyện tập + Để tính B cần sử dụng cơng thức nào? Và phải tính giá trị nào? (Cơng thức cos a cos b tính giá trị cos a ¿ Bước 2: Thực nhiệm vụ: - HS theo dõi SGK, ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành yêu cầu, thảo luận nhóm - GV quan sát hỗ trợ Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm: + Cơng thức biến tích thành tổng Hoạt động 2.4: Công thức biến đổi tổng thành tích a) Mục tiêu: - HS phát biểu cơng thức biến đổi tổng thành tích - HS vận dụng cơng thức biến đổi tổng thành tích tính tốn giá trị lượng giác góc lượng giác b) Nội dung: HS đọc SGK, nghe giảng, thực nhiệm vụ giao, suy nghĩ trả lời câu hỏi, thực hoạt động 6, Luyện tập 7, ví dụ c) Sản phẩm: HS hình thành kiến thức học, câu trả lời HS cho câu hỏi HS nhận biết cơng thức biến tổng thành tích áp dụng tính giá trị lượng giác góc lượng giác, tính giá trị biểu thức lượng giác d) Tổ chức thực hiện: HĐ CỦA GV VÀ HS Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: SẢN PHẨM DỰ KIẾN Cơng thức biến đổi tổng thành tích - GV triển khai HĐ6 thành HĐ6 phiếu tập cho HS thực theo nhóm HS sử dụng phương pháp khăn trải bàn để thực hoàn thành → GV hướng dẫn: + Từ a+ b=u a−b=v tìm a b theo u v + Thay ( a+ b )=u ; ( a−b )=v vào công thức biến đổi tích thành tổng theo cos a cos b Công thức biến đổi tổng thành - GV cho HS trình bày kết tích phiếu học tập, từ giới thiệu + cos u+ cos v =2cos u+ v cos u−v 2 công thức biến đổi tổng thành u+ v u−v sin + cos u−cos v=−2 sin tích - GV lưu ý mối quan hệ hai loại cơng thức: biến tổng thành tích tích thành tổng để HS dễ nhớ + sin u+sin v=2 sin ( u+ v ) u−v cos 2 Ví dụ 7: (SGK – tr.19) Hướng dẫn giải (SGK – tr.19, 20) - HS đọc, trình bày lại Ví dụ 7, Luyện tập giải thích cơng thức sử Áp dụng công thức biến đổi tổng dụng thành tích ta có: - HS làm Luyện tập 7: trình 7π π 7π π + − + sin π +sin π =2 sin 9 cos 9 9 2 bày cách làm ¿ sin 4π π cos 7π π 7π π + − + cos π −cos π =−2sin 9 sin 9 9 2 4π π cos π − =−cot = √ Khi đó: D= 4π π 3 −2 sin sin sin - HS đọc Ví dụ + Nêu rút gọn biểu thức Ví dụ 8: (SGK – tr.20) tích u i? Bước 2: Thực nhiệm vụ: - HS theo dõi SGK, ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành yêu cầu, thảo luận nhóm - GV quan sát hỗ trợ Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày - Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm: + Công thức biến tổng thành Hướng dẫn giải (SGK – tr.20) tích C HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP a) Mục tiêu: Học sinh củng cố lại kiến thức học b) Nội dung: HS vận dụng kiến thức học làm tập trắc nghiệm 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, (SGK – tr.20, 21) c) Sản phẩm học tập: Câu trả lời HS HS vận dụng phép biến đổi lượng giác để tính giá trị lượng giác góc lượng giác, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức d) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ: - GV cho HS thực trắc nghiệm 473 π Câu Giá trị sin là? A √ B −√ 2 C √ D −1 Câu Tích số cos 10 o cos 30 o cos 50 o cos 70 o A 16 B Câu Biểu thức A= A B -1 B C 16 D −2 sin7 0o có giá trị bằng? o sin 12 Câu Giá trị A=cos x+ A C D -2 π với x= sin x C -6 D -4 1 Câu Cho A, B, C góc nhọn tan A= ; tan B= ; tan C= Tổng A + B + C bằng? π A π B π C π D - GV tổ chức cho HS hoạt động thực Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, (SGK – tr.20, 21) Bước 2: Thực nhiệm vụ: HS quan sát ý lắng nghe, thảo luận nhóm, hồn thành tập GV u cầu - GV quan sát hỗ trợ Bước 3: Báo cáo, thảo luận: - Câu hỏi trắc nghiệm: HS trả lời nhanh, giải thích, HS ý lắng nghe sửa lỗi sai - Mỗi tập GV mời HS trình bày Các HS khác ý chữa bài, theo dõi nhận xét bảng Bước 4: Kết luận, nhận định: - GV chữa bài, chốt đáp án, tuyên dương hoạt động tốt, nhanh xác Kết quả: Đáp án trắc nghiệm A B C Bài 3 cos a= ⇒ sin a= 1− = (do sin a> 0) 5 √ () ( π6 )=sin a cos π6 + cos a sin π6 = 3+104 √ π π π 3+4 √ cos ( a− )=cos a cos + sin a sin = 3 10 sin a+ tan a+tan π ( π4 )= 1−tan a tan π =−7 tan a+ Bài A=sin ( a−17∘ ) cos ( a+13 ∘) −sin ( a+13 ∘) cos ( a−17 ∘ ) ¿ sin ( a−17∘−a−13∘ ) =¿ sin (−30∘ )= −1 ¿ D C ( π3 )cos ⁡( π6 −b)−sin ⁡(b+ π3 ) sin ⁡( π6 −b) π π π ¿ cos ( b+ + −b )=cos =0 B=cos ⁡ b+ Bài tan2 a=tan[¿ (a+ b)+(a−b)]=tan (¿ a+b)+tan (¿ a−b) 3+2 1−tan (¿ a+ b) tan(¿ a−b)= =−1 ¿ ¿ 1−3.2 tan2 b=tan [¿ (a+ b)−( a−b)]=tan (¿ a+b)−tan (¿ a−b) 3−2 1+ tan (¿ a+b)tan (¿ a−b)= = ¿¿ 1+3.2 Bài −3 cos a=1−2 sin a=1−2 = √5 ( ) −3 −7 cos a=2 cos a−1=( −1= ) 25 25 2 Bài Có: sin a+ cos a=1 ⟺ ( sin a+ cos a )2=12 ⟺ sin2 a+2 sin a cos a+ cos2 a=1 Bài Ta có: cos a= sin2 a= π 0, cos α