D10 c4 b5 dau tam thuc bac hai

BÀI 5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) biểu thức dạng ax  bx  c Trong a, b, c nhứng số cho trước với a 0 Nghiệm phương trình ax  bx  c 0 gọi nghiệm tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c  b  4ac ;  ' b '  ac theo thứ tự gọi biệt thức biệt f  x  ax  bx  c thức thu gọn tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai Dấu tam thức bậc hai thể bảng sau f  x  ax  bx  c,  a 0    a f  x   0, x    0  b a f  x   0, x   \    2a  a f  x   0, x    ; x1    x2 ;     a f  x   0, x   x1 ; x2  Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax  bx  c a  a  ax  bx  c  0, x  R   ax  bx  c 0, x  R     ;   0   a  ax  bx  c  0, x  R      ;  a  ax  bx  c 0, x  R     0  B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI Phương pháp giải Dựa vào định lí dấu tam thức bậc hai để xét dấu biểu thức chứa * Đối với đa thức bậc cao P ( x) ta làm sau  Phân tích đa thức bậc nhất) P  x thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức P  x  Lập bảng xét dấu Từ suy dấu P ( x) P  x , Q  x * Đối với phân thức Q( x) (trong đa thức) ta làm sau P  x , Q  x  Phân tích đa thức thành tích tam thức bậc hai (hoặc có nhị thức bậc nhất) P ( x)  Lập bảng xét dấu Q( x) Từ suy dấu Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét dấu tam thức sau a) 3x  x  A 3x  x  0, x   B 3x  x   0, x   C 3x  x   0, x   D 3x  x  0, x   b)  x  x  A  x  x    x    1;5  B  x  x    x    1;5  C  x  x    x    ;  1   5;   D  x  x    x    ;  1 c)  x  12 x   3  x  12 x   x   \    2 A 3  x  12 x   x   \   2 B 3  x  12 x   x   \   2 C  3  x  12 x   x   \    2 D d) 3x  x  4 4   3x  x    x    ;     2;   3x  x    x    ;   3 3   A B   3x  x    x    ;    C   3x  x    x    ;    D e) 25 x  10 x  1  25 x  10 x   x   \   5  A  1 25 x  10 x   x   \    5 B 1  25 x  10 x   x   \   5  C  1 25 x  10 x   x   \    5 D f)  x  x  A  x  x   x   B  x  x  0 x   C  x  x  0 x   D  x  x   x   Lời giải: a) Ta có  '   0, a 3  suy 3x  x   0, x    x   x  x  0    x 5 b) Ta có Bảng xét dấu x 1   Suy   x2  4x   x  x    x    1;5   + |  x  x    x    ;  1   5;   3  x  12 x   x   \   2 c) Ta có  ' 0, a  suy  x 2 3x  x  0    x   d) Ta có Bảng xét dấu x    3x  x  +  | + 4    3x  x    x    ;     2;   3x  x    x    ;  3    Suy  1 25 x  10 x 1  x   \    5 e) Ta có  ' 0, a  suy f) Ta có  '   0, a  suy  x  x   x   Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax  bx  c Xét nghiệm tam thức, nếu: f  x  ax  bx  c * Vơ nghiệm tam thức bậc hai dấu với a với x f  x  ax  bx  c * Nghiệm kép tam thức bậc hai dấu với a với b x  2a f  x x    ; x1    x2 ;   * Có hai nghiệm dấu với a (ngoài hai f  x x   x1 ; x2  nghiệm) trái dấu với a (trong hai nghiệm)(ta nhớ câu trái ngồi cùng) Ví dụ 2: Tùy theo giá trị tham số m, xét dấu biểu thức f ( x)  x  2mx  3m  Lời giải: Tam thức f ( x) có a 1   ' m  3m  * Nếu  m    '   f ( x)  x  R  m 1  m 2   ' 0  f ( x) 0 x  R * Nếu  f ( x) 0  x  m m   m    '   f ( x ) * Nếu  có hai nghiệm x1  m  m  3m  x2  m  m2  3m  Khi đó: +) f ( x )   x  ( ; x1 )  ( x2 ; ) +) f ( x )   x  ( x1 ; x2 ) Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức sau  x  x  1  x  x  1  a) 1 1 x  ;    x  x  1  x  5x 1 dương   A B   x  x  1  x2  5x 1 1 1 x  ;  3 2 âm 1    x    ;    ;   3    dương 1  x    ;   x  x  1  x  x 1  3  D âm x2  x  2 b)  x  x  x2  x  2 x   2;  A  x  x  âm ,  x C  x  1  x  x  1 x2  x  2 x   2;  B  x  x  dương , x2  x  2 x    ;  1    1;  C  x  x  dương x2  x  2 x    1;    4;   D  x  x  âm c) x  x  A x  x  âm  x   1 B x  x  dương C x  x  âm   2;     2;   x   1  x   1 2;   2;       x   1 D x  x  dương 2;     2;   x2  x  x  x  3x  d) x2  x  x  x  x  dương x    2;  1   4;   A B C D x x2  x   x  x  dương x   4;   x x2  x   x  x  âm x    ;     3;  x x2  x   x  3x  âm x    ;      1;1   3;  Lời giải: a) Ta có  x  x  0 vô nghiệm, Bảng xét dấu x x  x  0  x  1 x 3    x2  x  x2  5x 1  x  |   + |   + +  x  1  x  x 1  1 1 x  ;    x  x  1  x  x 1 dương   Suy 1    x    ;    ;   2   x  x  1  x  5x 1 âm      x   x  x  x  0   ,  x  3x  0    x 2  x 4 b) Ta có Bảng xét dấu x 1   2 x2  x  + x2  x   x  3x   + | +  x  3x  4     || + |  + + || x2  x  x2  x  2 x   2;   x  x  Suy  x  x  dương , âm x    ;  1    1;    4;   x  x   x    x  x  1 c) Ta có Ta có x  x  0  x   Bảng xét dấu x  1  1 2    x  |  + x2  2x  +   x   ;   | + +  0 + Suy x  x  dương khi  + x  5x       2;  x   1  2;     2;   , x  x  âm  x2  x   x3  x  x   x  1   x  x   x    x  3x   x  3x   x  3x  d) Ta có  x   x   x  x  0   ,  x  3x  0    x 3  x 4 Ta có Bảng xét dấu x 2  1  |      + | |   +  x |  x2  x  |  x  3x  |  + | + + + | +  + | + | +  +  x x  x 6  x  3x  || || + x  x 6 x2  x  x   x  x  dương x    2;  1   1;3   4;   ,  x  3x  âm Suy x    ;      1;1   3;  Bài tập luyện tập Bài 4.84: Xét dấu tam thức sau x a) f ( x)  x  x  A f ( x )   x  ( ;1) ;  x  ( ; )  (1; ) C f ( x )  B f ( x )   x  ( ; )  (1; )  x  (  ; ) D f ( x )  g ( x)  x  x  b) A g ( x) 0, x   B g ( x)  0, x   C g ( x)  0, x   D g ( x) 0, x   c) h( x )  x  x  A g ( x)  x  R B g ( x ) 0 x  R C g ( x) 0 x  R D g ( x )  x  R Lời giải: Bài 4.84: a) Tam thức f ( x) có a   , có hai nghiệm * f ( x )  (trái dấu với a) x1  ; x2 1  x  ( ;1)  x  ( ; )  (1; ) * f ( x )  (cùng dấu với a) 1 a  0 x  g ( ) 0 b) Tam thức g ( x ) có , có  0  g ( x)  (cùng dấu với a) c) Tam thức g ( x ) có a   , có     g ( x)  (cùng dấu với a) x  R Bài 4.85: Xét dấu biểu thức sau 2 a) f ( x) ( x  x  4)(2  x  x ) A x  x2  5x  x2  5x  2  + | + – + – | + + | – + | + + f(x) + + – + B x  x2  5x  + +  | + – | + x2  5x  + + + | – + | + + f(x) – + + C x  x2  5x  x2  5x  2  + | + + – | + + | – + | – + + + f(x) – + + D x  x2  5x  x2  5x  2  + | + + – | + – | – 0 + | – + – + f(x) – + + b) f ( x )  x  3x   x  3x A x -1  | – + | – | –  x  3x x  3x  x  3x  f(x) | + + | + + + + + | + | + || – – + | | + | | + 0 + || – – – – + | || + + – || + B x -1  | – + | – | –  x  3x x  3x  x  3x  | + + + + | + | + + + + || – || f(x) | + – – | | – | | + + + 0 + || – + | – || + + – C x -1   + x  3x | + – | | – | – | + + | + | – | + x  3x  x  3x  + + + + | + | || – || + + f(x) – | + – 0 + || – + | – || + + – D x -1   + x  3x | + – | | – | – | – + | | – | – + x  3x  x  3x  + – + + + | + | || – || + + f(x) | + 0 + || Lời giải: Bài 4.85: a) Ta có: x  x  0  x 1; x 4 – – – + | || + + –  x  x 0  x 2; x  Bảng xét dấu: x  x2  5x  x2  5x  2  + | + + – | + – | – 0 + | – + – + f(x) – + + b ) Ta có: f ( x)  ( x  x)  2( x  x)  ( x  3x  2)( x  3x  4)  x  3x x  3x Bảng xét dấu x -1   x  3x x  3x  x  3x  + | + – | | – | – | – + | | – | – + + – – + | + | + + + + || – || f(x) | + 0 + || – – + | || + + – Bài 4.86: Xét dấu biểu thức sau 1   a) x  x A f ( x ) 0  x  ( 6;  3)  (2;0) B f ( x)   ( ;  6)  ( 3; 2)  (0; ) C f ( x) 0  ( ;  6)  ( 3; 2)  (0; ) D f ( x)   x  ( 6;  3)  (2; 0) b) x  x   2 f ( x ) 0  x    ;   A  2 2  2 2   ;      2   