Bai tap toan 11 chan troi sang tao tap 1

      Góc lượng giác a Khái niệm  Cho hai tia Oa , Ob  Nếu tia Om tùy ý quay quanh gốc O theo chiều định từ Oa đến Ob , ta nói qt góc lượng giác, với tia đầu Oa tia cuối Ob Kí hiệu (Oa , Ob)  Khi tia Om quay góc  ta nói số đo góc lượng giác (Oa , Ob)  Kí hiệu sđ(Oa, Ob)   (Oa, Ob)    Qui ước:  Chiều quay ngược với chiều qua kim đồng hồ chiều dương, chiều quay với chiều qua kim đồng hồ chiều âm  Một vòng quay theo chiều dương tương ứng với góc 360 ; vịng quay theo chiều âm tương ứng với góc quay 360 Cụ thể, tia Om quay:  nửa vịng theo chiều dương ta nói quay góc 360  180 1 vịng theo chiều dương ta nói quay góc 360  60 6 5  vịng theo chiều âm ta nói quay góc ( 360 )  450 4   Nhận xét: Số đo góc lượng giác có tia đầu Oa , tia cuối Ob sai khác bội nguyên 360 nên có cơng thức tổng qt (Oa, Ob)    k.360 , k  Ví dụ (CTST - Tr8) Xác định số đo góc lượng giác (Oa , Ob) hình vẽ sau viết cơng thức tổng qt số đo góc lượng giác (Oa , Ob) a) b) c) d) b Hệ thức Chasles Ví dụ (CTST - Tr9) Cho hình vẽ bên  Xác định số đo góc lượng giác (Oa , Ob) , (Ob, Oc) (Oa , Oc)  Nhận xét mối quan hệ ba số đo góc này? Kết luận Với ba tia Oa , Ob Oc bất kì, ta có: (Oa, Ob)  (Ob, Oc)  (Oa, Oc)  k.360 , k  Đơn vị đo góc độ dài cung trịn a Đơn vị đo góc cung trịn  Đơn vị độ:  Để đo góc ta dùng đơn vị độ  Đơn vị độ chia thành đơn vị nhỏ hơn, như:  60 ; 1  60  Đơn vị rađian: Trên đường trịn tâm O , bán kính R tùy ý, góc tâm chắn cung có độ dài R gọi góc có số đo 1rađian Kí hiệu AOB  1rad  Quan hệ độ rađian  Vì góc bẹt ( 180 ) chắn nửa đường tròn với độ dài  R nên có số đo  rad Khi ta viết 180   rad Vậy ta có mối quan hệ    180  rad rad=   180     Chú ý: Khi viết số đo góc theo đơn vị rađian, người ta thường khơng viết chữ “rad” sau số đo Ví dụ (CTST - Tr10) Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo góc sau ? ? ? Số đo theo độ 120 150 180 60 45 3    ? ? ? ? ? Số đo theo rađian b Độ dài cung trịn Một cung đường trịn bán kính R có số đo  rad có độ dài l   R  Đường tròn lượng giác  Đường trịn lượng giác đường trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 1, định hướng lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc đường tròn  Điểm đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo  (độ rađian) điểm M đường tròn lượng giác cho (OA, OM )   Giá trị lượng giác góc lượng giác  Trên đường trịn lượng giác, gọi M( x; y) điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo  Khi  Tung độ y điểm M gọi sin  , kí hiệu sin  Ta viết sin   y  OK  Hoành độ x điểm M gọi côsin  , kí hiệu cos  Ta viết cos   x  OH sin  sin  y  Nếu cos   tỉ số gọi tang  , kí hiệu tan  Ta viết tan    cos  x cos  cos  cos  x  Nếu sin   tỉ số gọi cơtang  , kí hiệu cot  Ta viết cot    sin  sin  y  Các giá trị sin  , cos  , tan  , cot  gọi giá trị lượng giác góc   Chú ý  Ta gọi trục tung trục sin, trục hoành trục cơsin  Từ định nghĩa ta cịn suy ra:  sin  , cos  xác định với   tan  xác định với     k , k  cot  xác định với   k , k   1  sin   , 1  cos    Với k  , ta có sin(  k 2 )  sin  tan(  k 2 )  tan  cos(  k 2 )  cos  cot(  k 2 )  cot   Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M đường trịn lượng giác Góc phần tư I II III IV Giá trị lượng giác sin  + + - - cos + - - + tan  + - + - cot  + - + - Giá trị lượng giác góc đặc biệt    Rad  900 Độ 00 300 450 600 sin 2 cos 2 2 tan 3 3 3 cot 2 3  3 2 1200 1350 1800 2700 3600 2 –1 –1   2  –1 3 –1  0 Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Quan hệ Công thức Minh họa cos(  )  cos  Góc đối   sin(  )   sin  tan(  )   tan  cot(  )   cot  sin(   )  sin  Góc bù     cos(   )   cos  tan(   )   tan  cot(   )   cot    sin      cos  2  Góc phụ       cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  sin(   )   sin  Góc      cos(   )   cos  tan(   )  tan  cot(   )  cot  Các hệ thức lượng giác sin  , với cos   tan   cos  tan  cot   cot   cos  , với sin   sin  sin   cos   Ví dụ (CTST - Tr17) Cho cos   , với      Tính giá trị lượng giác cịn lại  Bài tập DẠNG TÌM GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG (GĨC) Bài Tính giá trị cịn lại góc x, biết với 900  x  1800 3 3) sin x   với   x  5) cos x  với  x  900  7) cos x  với   x  2) sin x   1) sin x  với 2700  x  3600  với  x  6) cos x   với 1800  x  2700 13 8) cos x  với 2700  x  3600 4) cos x   với  x   13 3 tan x  với   x   tan x   với  x   2 3 tan x  với   x   cot x  với  x  với 1800  x  2700 9) sin x  10) sin x   11) 12) tan x  2 với 13) 15) 17)   x  14) cot x  với   x  16) tan x   với 18) cot x   với   3  x   x  Bài Tính giá trị biểu thức lượng giác sau 5cot x  tan x sin x  cos x , A2  5cot x  tan x cos x  3sin x sin x  cos x sin x  cos x 2) Cho cot x  Tính B1  , B2  sin x  cos x sin x  cos x sin x  cos x 3) Cho cot x  Tính C1  , C2  sin x  cos x cos x  sin x cos x 4) Cho tan x  Tính sin x  cos x sin x  cos x D1  , D2  , sin x  cos x sin x  cos x 1) Cho tan x  2 Tính A1  cos x  sin x  cos x sin x  cos x D  , cos x  sin x sin x  sin x cos x cot x  tan x  5) Cho sin x  ,  x  Tính E  cot x  tan x D3  tan x  cot x  1 0 6) Cho sin x  , 90  x  180 Tính F  tan x  cot x cot x  tan x 7) Cho cos x   Tính G  cot x  tan x Bài Cho sin x  cos x  Hãy tính giá trị biểu thức sau 1) A  sin x.cos x 2) B  sin x  cos x 3) C  sin x  cos x Bài Cho tan x  cot x  Hãy tính giá trị biểu thức sau 1) A  tan x  cot x 2) B  tan x  cot x Bài Cho sin x  cos x  m Hãy tính theo m giá trị biểu thức 1) A  sin x cos x 2) B  sin x  cos3 x 4) D  sin x  cos x 3) C  sin x  cos4 x 6) F  sin x  cos6 x 5) E  tan x  cot x Bài Tính sin x, cos x, tan x, cot x Biết 2) sin x  cos x  1) sin x  cos x  3) sin x  cos x  4) tan x  cot x  Bài Cho tan x  cot x  1 Hãy tính 1) A  tan x  cot x 2) B  tan x  cot x 3) C  tan x  cot x Bài Tính giá trị biểu thức sau 2) Cho sin x  cos x  Tính B  sin x  cos x 3) Cho sin x  cos x  Tính C  sin x  cos x 1) Cho sin x  cos x  Tính A  sin x  cos4 x Bài Chứng minh đẳng thức sau 1) cos2 x  sin x   sin x 3)  sin x  cos x  5) sin x  cos4 x   sin x cos2 x 2) cos2 x    sin x 4) sin x cot x  cos x tan x  sin x  cos x 6) cos4 x  sin x  cos2 x  sin x 7) cos2 x   1  sin x 1  sin x  8) 9) sin x  cos4 x   cos2 x  sin x  11) tan x  sin x  tan x sin x Bài 10 Chứng minh đẳng thức sau 1) tan x  cot x  1  cos x   sin  x  cos x  cos x  sin x 10) sin x cos x  sin x cos x  sin x cos x 12) cot x  cos2 x  cot x cos2 x sin x cos x  cos x sin x  sin x  cos x 2)       3) 1   1  tan x  cot x 1  tan x  4)     cos x cos x 5)  sin x   tan x  sin x 6) tan x tan y  7)  cot x   sin x sin x 8) tan x  Bài 11 Chứng minh đẳng thức sau 1) sin x  cos6 x   sin x cos2 x 2) sin6 x  cos6 x  (sin2 x  cos2 x)(1  sin2 x cos2 x) 3) sin8 x  cos8 x  (1  sin x cos2 x)2  sin x cos x 4) sin8 x  cos8 x  (sin2 x  cos2 x)(1  sin2 x cos2 x) tan x  tan y cot x  cot y cos x   sin x cos x Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: Áp dụng hai cách sau: a // ( P)  Cách a  (Q)  ( P)  (Q)  Mx // a  M  ( P)  (Q)  a // ( P)  Cách a // (Q)  ( P)  (Q)  Mx // a  M  ( P)  (Q)  Ví dụ Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm ABC , M  cạnh CD với MC  MD a) Chứng minh: MG ( ABD) b) Tìm ( ABD)  ( BGM)  ? c) Tìm ( ABD)  ( AGM)  ? Tìm thiết diện song song với đường thẳng Phương pháp: Để tìm thiết diện mặt phẳng ( ) qua điểm song song với hai đường thẳng chéo ( ) chứa đường thẳng song song với đường thẳng, thường  M  ( )  (  )   ( )  (  )  a // d (với M  a) sử dụng tính chất sau: d // ( ) d  (  )  Ví dụ Cho tứ diện SABC Gọi M , I trung điểm BC , AC Mặt ( P) qua điểm M , song song với BI SC Xác định hình vẽ giao điểm ( P ) với cạnh AC , SA, SB Từ suy thiết diện ( P ) cắt hình chóp Bài tập Bài 97 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SA, SD Chứng minh rằng: a) BC // (SAD) b) AD // (SBC ) c) MN // (ABCD) d) MN // (SBC ) e) MO // (SCD) f) NO // (SBC ) Bài 98 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi G trọng tâm tam giác SAD E điểm cạnh DC cho DC  3DE, I trung điểm AD a) Chứng minh: OI // (SAB) OI // (SCD) b) Tìm giao điểm P IE (SBC ) Chứng minh: GE // (SBC ) Bài 99 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm AB CD a) Chứng minh: MN // (SBC ) MN // (SAD) b) Gọi P điểm cạnh SA Chứng minh: SB // ( MNP) SC // ( MNP) c) Gọi G , I trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh: GI // (SAB) 100 Bài 100 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB, với AB  2CD Gọi O giao điểm AC BD, I trung điểm SA, G trọng tâm tam giác SBC E điểm cạnh SD cho 3SE  2SD Chứng minh: a) DI // (SBC ) b) GO // (SCD) c) SB // (ACE) Bài 101 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AD Gọi I , J thuộc SM , SN cho SI SJ    Chứng minh: SM SN a) MN // (SBD) b) IJ // (SBD) Bài 102 Cho tứ diện ABCD có G trọng tâm tam giác ABD I điểm cạnh BC cho BI  IC Chứng minh rằng: IG // ( ACD) Bài 103 Cho tứ diện ABCD Gọi G, P trọng tâm tam giác ACD ABC Chứng minh rằng: GP // ( ABC ) GP // ( ABD) Bài 104 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, O giao điểm AC BD, M trung điểm SA a) Chứng minh: OM // (SCD) b) Gọi ( ) mặt phẳng qua M , đồng thời song song với SC AD Tìm thiết diện mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD Bài 105 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD , ( ) mặt phẳng qua M , đồng thời song song với SA BC Tìm thiết diện ( ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình ? Bài 106 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M , N thuộc cạnh AB, CD Gọi ( ) mặt phẳng qua MN song song SA a) Tìm thiết diện ( ) hình chóp b) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang Bài 107 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC ( P ) mặt phẳng qua AM song song với BD a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P) b) Gọi E, F giao điểm ( P) với cạnh SB SD Tìm tỉ số diện tích SME với SBC tỉ số diện tích SMF với SCD c) Gọi K giao điểm ME CB, J giao điểm MF CD Chứng minh K , A, J nằm đường thẳng song song với EF tìm tỉ số EF  KJ Bài 108 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N hai điểm nằm hai cạnh BC AD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng ( ) qua MN song song với CD Xác định vị trí hai điểm M , N để thiết diện hình bình hành Bài 109 Cho tứ diện ABCD Gọi I , J trung điểm AB CD, M điểm đoạn IJ Gọi ( P) mặt phẳng qua M song song với AB CD a) Tìm giao tuyến mặt phẳng ( P) ( ICD) b) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng ( P) Thiết diện hình ? 101 Bài 110 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi K J trọng tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh KJ // (SAB) b) Gọi ( P) mặt phẳng chứa KJ song song với AD Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P) Bài 111 Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh rằng: G1G2 // ( ABC) G1G2 // ( ABD) Bài 112 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm SAB, I trung điểm AB, lấy điểm M đoạn AD cho AD  AM a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC ) b) Đường thẳng qua M song song AB cắt CI N Chứng minh NG // (SCD) c) Chứng minh: MG // (SCD) Bài 113 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD AD  BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a) Chứng minh: OG // (SBC ) b) Cho M trung điểm SD Chứng minh: CM // (SAB) c) Gọi I điểm cạnh SC cho 2SC  3SI Chứng minh: SA // ( BDI ) Bài 114 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AD, SB a) Chứng minh: BD // ( MNP) b) Tìm giao điểm ( MNP) với BC c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( MNP) (SBD) d) Tìm thiết diện hình chóp với ( MNP) Bài 115 Cho tứ diện ABCD Gọi M điểm thuộc BC cho MC  MB Gọi N , P trung điểm BD AD a) Chứng minh: NP // ( ABC ) b) Tìm giao điểm Q AC với ( MNP) tính QA  QC Suy thiết diện hình chóp bị cắt ( MNP) c) Chứng minh: MG // ( ABD), với G trọng tâm tam giác ACD Bài 116 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, tâm O Gọi M , N , P trung điểm SA, BC , CD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC ) (SBD), (SAB) (SCD) b) Tìm giao điểm E SB ( MNP) c) Chứng minh: NE // (SAP) Bài 117 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M cạnh AB cho AM  MB Gọi G trọng tâm BCD I trung điểm CD, H điểm đối xứng G qua I a) Chứng minh: GD // ( MCH ) b) Tìm giao điểm K MG với ( ACD) Tính tỉ số 102 GK  GM Bài 118 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I , K trung điểm BC , CD a) Tìm giao tuyến (SIK ) (SAC), (SIK) (SBD) b) Gọi M trung điểm SB Chứng minh: SD // ( ACM ) c) Tìm giao điểm F DM (SIK ) Tính tỉ số MF  MD Bài 119 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi G trọng tâm SAB, AD lấy điểm E cho AD  AE Gọi M trung điểm AB a) Chứng minh: EG // (SCD) b) Đường thẳng qua E song song AB cắt MC F Chứng minh: GF // (SCD) c) Gọi I điểm thuộc cạnh CD cho CI  ID Chứng minh: GO // (SAI ) Bài 120 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SC N trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh: SB // ( AMN ) b) Tìm giao tuyến ( AMN ) với (SAB) IS  ID d) Gọi Q trung điểm ID Chứng minh: QC // ( AMN ) c) Tìm giao điểm I SD với ( AMN ) Tính tỉ số Bài 121 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm BC , CD a) Tìm giao tuyến (SMD) (SAB) b) Tìm giao tuyến (SMN ) (SBD) c) Gọi H điểm cạnh SA cho HA  HS Tìm giao điểm K MH (SBD) Tính tỉ số: KH  KM d) Gọi G giao điểm BN DM Chứng minh: HG // (SBC ) Bài 122 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AD đáy lớn AD  BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a) Chứng minh: OG // (SBC ) b) Gọi M trung điểm cạnh SD Chứng minh: CM // (SAB) c) Giả sử điểm I đoạn SC cho 2SC  3SI Chứng minh: SA // ( BID) KB  KG Bài 123 Cho hình chóp S.ABC Gọi M , P, I trung điểm AB, SC , SB Một mặt d) Xác định giao điểm K BG mặt phẳng (SAC) Tính tỉ số: phẳng ( ) qua MP song song với AC cắt cạnh SA, BC N , Q a) Chứng minh: BC // ( IMP) b) Xác định thiết diện ( ) với hình chóp Thiết diện hình ? c) Tìm giao điểm đường thẳng CN mặt phẳng (SMQ) Bài 124 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình tứ giác lồi Gọi M , N trung điểm SC CD Gọi ( ) mặt phẳng qua M , N song song với đường thẳng AC a) Tìm giao tuyến ( ) với ( ABCD) b) Tìm giao điểm đường thẳng SB với ( ) 103 Bài 125 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB CD Gọi M , N , I trung điểm AD, BC , SA a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( IMN ) (SAC ); (IMN ) (SAB) b) Tìm giao điểm SB ( IMN ) c) Tìm thiết diện mặt phẳng ( IDN ) với hình chóp S.ABCD Bài 126 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi G trọng tâm SAB; N điểm thuộc đoạn AC cho: AN  ; I trung điểm AB AC a) Chứng minh: OI // (SAD) GN // SD b) Gọi ( ) mặt phẳng qua O song song với SA BC Mặt phẳng ( ) cắt SB, SC L K Tìm hình tính thiết diện cắt mặt phẳng ( ) với hình chóp S.ABCD Bài 127 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi H , K trung điểm cạnh SA, SB M điểm thuộc cạnh CD, (M khác C D) a) Tìm giao tuyến của: ( KAM ) (SBC), (SBC) (SAD) b) Tìm thiết diện tạo ( HKO) với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình ? c) Gọi L trung điểm đoạn HK Tìm I  OL  (SBC ) Chứng minh: SI // BC Bài 128 Cho tứ diện ABCD, có M , N trung điểm cạnh AB, BC gọi G trọng tâm tam giác ACD a) Tìm giao điểm E MG ( BCD) b) Tìm d  ( MNG)  ( BCD) Giả sử d  CD  P Chứng minh: GP // ( ABC ) Bài 129 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SA thỏa MA  MS Hai điểm E F trung điểm AB BC a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng ( MEF ) (SAC) b) Xác định giao điểm K mặt phẳng ( MEF ) với cạnh SD Tính tỉ số: c) Tìm giao điểm I MF với (SBD) Tính tỉ số: KS  KD IM  IF d) Tìm thiết diện tạo mặt phẳng ( MEF ) cắt mặt hình chóp S.ABCD Bài 130 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SA, SD a) Xác định giao điểm NC (OMD) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( P) qua MO song song với SC Bài 131 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm SC , ( P) mặt phẳng qua AM song song với BD a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( P) b) Gọi E, F giao điểm ( P) với cạnh SB SD Hãy tìm tỉ số diện tích tam giác SME với tam giác SBC tỉ số diện tích tam giác SMF tam giác SCD c) Gọi K giao điểm ME CB, J giao điểm MF CD Chứng ba điểm K , A , J nằm đường thẳng song song với EF tìm tỉ số 104 EF  KJ  Vị trí tương đối hai mặt phẳng phân biệt  Cho hai mặt phẳng ( P) (Q) , xảy ba trường hợp sau:  Trường hợp ( P) (Q) có ba điểm chung khơng thẳng hàng, ta nói: hai mặt phẳng ( P) (Q) trùng Kí hiệu ( P)  (Q)  Trường hợp ( P) (Q) phân biệt có điểm chung, ta nói: hai mặt phẳng ( P) (Q) cắt theo giao tuyến  qua điểm chung Kí hiệu ( P)  (Q)    Trường hợp ( P) (Q) khơng có điểm chung, nghĩa ( P)  (Q)   , ta nói: hai mặt phẳng ( P) (Q) song song với Kí hiệu ( P) // (Q) (Q) // ( P)  Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung Ví dụ (CTST - Tr113) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD hình vẽ Hãy mặt phẳng song song với nhau? Điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí Nếu mặt phẳng ( ) chứa hai đường thẳng cắt a, b a, b song song với mặt phẳng (  ) ( ) song song với (  ) 105 Lưu ý: Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng Muốn chứng minh đường thẳng a // (Q), ta chứng minh a nằm mặt phẳng ( P) // (Q) Định lí Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng cho Hệ quả: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) ( ) có đường thẳng song song với d qua d có mặt phẳng song song với ( ) Dó đường thẳng d song song với ( ) ta phải chứng minh d thuộc mặt phẳng (  ) có (  ) // ( )  d // ( ) Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Cho điểm A không nằm mặt phẳng ( ) Mọi đường thẳng qua A song song với ( ) nằm mặt phẳng qua A song song với ( ) Định lí Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng 106 Định lí Thales khơng gian Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ( )//(  )//( ) AB AB  Tức d1  ( )  A1 , d1  (  )  B1 , d1  ( )  C1  1  2 B1C1 B2C2 d  ( )  A , d  (  )  B , d  ( )  C 2 2  d2 d1 A2 A1 γ B1 B2 β α C2 C1 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang mà AD // BC AD  BC Gọi M , N trung điểm SA AD Chứng minh: ( BMN ) // (SCD) S M A D N B C Hình lăng trụ hình hộp a Hình lăng trụ  Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai (Q) mặt phẳng song song gọi hai đáy tất cạnh không A'1 thuộc hai cạnh đáy song song với  Trong hình lăng trụ ta có  Các mặt khác với hai đáy gọi mặt bên hình lăng trụ A1  Cạnh chung hai mặt bên gọi cạnh bên hình lăng trụ  Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng A2 (P) trụ tứ giác …  Từ định nghĩa hình lăng trụ, ta suy tính chất sau:  Các cạnh bên song song  Các mặt bên mặt chéo hình bình hành  Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song 107 A'5 A'2 A'4 A'3 A5 A3 A4 b Hình hộp  Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Trong hình hộp ta có:  Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật  Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình vng gọi hình lập phương D1 C1 A1 D1 B1 A1 D A C1 B1 C D B A C B  Chú ý: Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm đường Bài tập Bài 132 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, SD K , I trung điểm BC , OM a) Chứng minh: (OMN ) // (SCD) b) ( PMN ) // ( ABCD) c) Chứng minh: KI // (SCD) Bài 133 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SA, SD a) Chứng minh rằng: (OMN ) // (SBC ) b) Gọi P , Q , R trung điểm AB, ON , SB Chứng minh: PQ // (SBC ) ( MOR) // (SCD) Bài 134 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng Gọi I , J , K trung điểm cạnh AB, CD, EF Chứng minh: a) ( ADF ) // ( BCE) b) ( DIK ) // ( JBE) Bài 135 Cho hình bình hành ABCD , ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC , BF lấy điểm M , N cho MC  AM , NF  BN Qua M , N kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD, AF theo thứ tự M1 , N1 Chứng minh : a) MN // DE b) M1N1 // ( DEF ) c) ( MNM1N1 ) // ( DEF ) Bài 136 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M , N thứ tự trung điểm AD, BC I , J , K theo thứ tự trọng tâm tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh: ( IJK ) // (CDFE) 108 Bài 137 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P trung điểm SA, BC , CD a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) ( MOP) b) Gọi E trung điểm SC I điểm cạnh SA thỏa AI  3IS CH  CB c) Gọi G trọng tâm SBC Tìm thiết diện hình chóp S.ABC bị cắt ( IMG) Tìm K  IE  ( ABC ) H  BC  ( EIM) Tính tỉ số Bài 138 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N trung điểm SA CD Gọi I trung điểm ME G  AN  BD a) Tìm giao điểm E AD với mặt phẳng ( BMN ) tìm giao điểm F SD với mặt phẳng ( BMN ) Chứng minh: FS  FD b) Chứng minh FG // (SAB) (CDI ) // (SAB) c) Gọi H giao điểm MN SG Chứng minh: OH // GF Bài 139 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC , N điểm đường chéo BD cho BD  3BN a) Xác định giao tuyến (SDC ) (SAB) tìm T  DM  (SAB) Tính b) Gọi K  AN  BC Chứng minh rằng: MK // (SBD) 109 TM  TD  Khái niệm phép chiếu song song  Trong không gian cho mặt phẳng ( P) đường thẳng l cắt ( P) Với điểm M không gian, vẽ đường thẳng qua M song song trùng với l Đường thẳng cắt ( P) M  Phép cho tương ứng điểm M không gian với điểm M  ( P) gọi phép chiếu song song lên mặt phẳng ( P) theo phương l  Trong đó:  Mặt phẳng ( P) gọi mặt phẳng chiếu;  Đường l gọi phương chiếu phép chiếu song song;  Phép chiếu song song theo phương l gọi tắt phép chiếu theo phương l  Điểm M  gọi ảnh điểm M qua phép chiếu theo phương l  Phép chiếu song song g dùng để biểu diễn hình khơng gian lên mặt phẳng Tính chất  Hình chiếu song song đường thẳng (đoạn thẳng, tia) đường thẳng (đoạn thẳng, tia)  Hình chiếu song song hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song trùng  Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm  Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song trùng 110 Hình biểu diễn hình khơng gian  Hình biểu diễn hình khơng gian hình chiếu song song hình mặt phẳng theo phương chiều hình đồng dạng với hình chiếu  Khi hình phẳng nằm mặt phẳng khơng song song với phương chiếu hình chiếu biểu diễn hình phẳng có tính chất sau:  Hình biểu diễn tam giác (cân, đều, vuông) tam giác  Hình biểu diễn hình vng (hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành) hình bình hành  Hình biểu diễn hình thang ABCD với AB // CD hình thang ABCD với AB // C D thỏa mãn AB AB  CD C D  Hình chiếu đứng, hình chiếu bằng, hình chiếu cạnh vật thể hình biểu diễn vật thể Vẽ hình biểu diễn hình H cho trước  Phương pháp  Xác định yếu tố song song hình H  Xác định tỷ số điểm M chia đoạn thẳng AB  Hình H  hình biểu diễn hình H phải có tính chất  Bảo đảm tính song song hình H  Bảo đảm tỷ số điểm M chia đoạn thẳng AB  Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hình lăng trụ ABC.ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Qua phép chiếu song song đường thẳng AA mặt phẳng chiếu  ABC  biến G thành G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Lời giải B A G M C B A G M C Gọi M trung điểm AC Do ABC.ABC hình lăng trụ Suy qua phép chiếu song song đường thẳng AA biến B thành B , biến M thành M  Theo đầu G trọng tâm tam giác ABC Suy B , M , G thẳng hàng BG  BM Mặt khác M trung điểm AC , suy M  trung điểm AC Vậy G trọng tâm tam giác ABC Ta có B , M  , G thẳng hàng 111 BG  BM Ví dụ Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với khơng? Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt song song với hay không? Lời giải b A a c Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với Hình chiếu hai đường thẳng cắt khơng thể song song với Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, O tâm đáy Trên cạnh SB , SD lấy điểm M , N cho SM  MB , SN  SD Hình chiếu M , N qua phép chiếu song song đường thẳng SO mặt phẳng chiếu  ABCD  P , Q Tính tỉ số OP OQ Lời giải S N M A P B D O Q C Do P hình chiếu song song M qua phép chiếu đường thẳng SO  BP OP    BO OB OP OQ  Chứng minh tương tự ta có  Ta có BO  DO  OQ OD Mà SM  MB  Bài tập 112 BM BP  BS BO Bài 140 Qua phép chiếu song song, tính chất khơng bảo tồn? A Chéo B Đồng qui C Song song D Thẳng hàng Bài 141 Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thảnh đoạn thẳng B Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song C Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không thay đổi thứ tự ba điểm D Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng Bài 142 Cho hình lăng trụ ABC.ABC , qua phép chiếu song song đường thẳng CC  , mặt phẳng chiếu ( ABC) biến M thành M  Trong M trung điểm BC Chọn mệnh đề đúng? A M  trung điểm AB B M  trung điểm BC C M  trung điểm AC D Cả ba đáp án sai Bài 143 Cho hình lăng trụ ABC.ABC , gọi I , I  trung điểm AB , AB Qua phép chiếu song song đường thẳng AI  , mặt phẳng chiếu ABC biến I thành ? A A B B C C  D I  Bài 144 Cho tam giác ABC mặt phẳng ( ) phương l Biết hình chiếu theo phương l tam giác ABC lên mặt phẳng ( P) đoạn thẳng Khẳng định sau đúng? A ( ) // ( P) B ( )  ( P) C ( ) // l    l D A, B, C sai Bài 145 Phép chiếu song song theo phương l không song song với a b , mặt phẳng chiếu ( P ) , hai đường thẳng a b biến thành a b Quan hệ a b khơng bảo tồn phép chiếu song song? A Cắt B Trùng C Song song D Chéo Bài 146 Hình chiếu hình chữ nhật khơng thể hình hình sau? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Hình thoi Bài 147 Khẳng định sau đúng? A Hình chiếu song song hình chóp cụt hình tam giác B Hình chiếu song song hình chóp cụt đoạn thẳng C Hình chiếu song song hình chóp cụt hình chóp cụt D Hình chiếu song song hình chóp cụt điểm Bài 148 Trong mệnh đề sau mệnh đề sai? A Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với B Một đường thẳng trùng với hình chiếu C Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo trùng D Một tam giác xem hình biểu diễn tam giác cân Bài 149 Qua phép chiếu song song biến ba đường thẳng song song thành A Ba đường thẳng đôi song song với B Một đường thẳng C Thành hai đường thẳng song song D Cả ba trường hợp Bài 150 Khẳng định sau đúng? 113 A Hình chiếu song song hình lập phương ABCD.ABCD theo phương AA lên mặt phẳng ( ABCD) hình bình hành B Hình chiếu song song hình lập phương ABCD.ABCD theo phương AA lên mặt phẳng ( ABCD) hình vng C Hình chiếu song song hình lập phương ABCD.ABCD theo phương AA lên mặt phẳng ( ABCD) hình thoi D Hình chiếu song song hình lập phương ABCD.ABCD theo phương AA lên mặt phẳng ( ABCD) tam giác Bài 151 Hình chiếu hình vng khơng thể hình hình sau? A Hình vng B Hình bình hành C Hình thang D Hình thoi Bài 152 Trong mện đề sau mệnh đề sai: A Một đường thẳng ln cắt hình chiếu B Một tam giác đề xem hình biểu diễn tam giác cân C Một đường thẳng song song với hình chiếu D Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với Bài 153 Trong mện đề sau mệnh đề sai: A Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt song song với B Một tam giác đề xem hình biểu diễn tam giác vuông C Một đường thẳng cắt với hình chiếu D Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt trùng Bài 154 Nếu đường thẳng a cắt mặt phẳng chiếu ( P) điểm A hình chiếu a là: A Điểm A B Trùng với phương chiếu C Đường thẳng qua A D Đường thẳng qua A A Bài 155 Giả sử tam giác ABC hình biểu diễn tam giác Hình biểu diễn tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là: A Giao điểm hai đường trung tuyến tam giác ABC B Giao điểm hai đường trung trực tam giác ABC C Giao điểm hai đường đường cao tam giác ABC D Giao điểm hai đường phân giác tam giác ABC Bài 156 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành M trung điểm SC Hình chiếu song song điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD) điểm sau đây? A S B Trung điểm SD C A D D Bài 157 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Hình chiếu song song điểm A theo phương AB lên mặt phẳng (SBC ) điểm sau đây? A S B Trung điểm BC C B D C - HẾT 114