Khai phong nang luc mon toan 11 chan troi sang tao tap 1

NGUYỄ N HOÀNG THANH MỤC LỤC Chương Hàm số phương trình lượng giác Góc lượng giác 1.1 Góc lượng giác 1.2 Đơn vị radian 1.3 Đường tròn lượng giác Giá trị lượng giác góc lượng giác 2.1 Giá trị lượng giác góc lượng giác 2.2 Hệ thức giá trị lượng giác góc lượng giác Giá trị lượng giác góc liên kết 3.1 Hai góc đối nhau: α −α 3.2 Hai cung π: α α + π 3.3 Hai góc bù nhau: α π − α 3.4 Hai góc phụ nhau: α π2 − α 3.5 Bài tập Các công thức lượng giác 4.1 Công thức cộng 4.2 Cơng thức góc nhân đơi 4.3 Công thức biến đổi tích thành tổng 4.4 Cơng thức biến đổi tổng thành tích 4.5 Bài tập Hàm số lượng giác đồ thị 5.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 5.2 Hàm số tuần hoàn 5.3 Hàm số y = sin x 5.4 Hàm số y = cos x 5.5 Bài tập 5.6 Hàm số y = tan x 5.7 Hàm số y = cot x Phương trình lượng giác 6.1 Phương trình tương đương 6.2 Phương trình sin x = m 6.3 Phương trình cos x = m 6.4 Giải phương trình lượng giác máy tính cầm tay 6.5 Bài tập luyện tập Bài tập cuối chương 7.1 Câu hỏi trắc nghiệm 7.2 Bài tập tự luận Chương Dãy số Cấp số cộng Cấp số nhân i 1 6 9 9 10 10 12 12 13 14 14 15 17 17 17 17 18 18 19 19 22 22 22 23 24 24 27 27 27 29 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 Dãy Số 1.1 Dãy số gì? 1.2 Cách xác định dãy số 1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm 1.4 Dãy số bị chặn 1.5 Bài tập Cấp số cộng 2.1 Cấp số cộng 2.2 Số hạng tổng quát cấp số cộng 2.3 Tổng n số hạng cấp số cộng 2.4 Bài tập Cấp số nhân 3.1 Cấp số nhân 3.2 Số hạng tổng quát cấp số nhân 3.3 Tổng n số hạng cấp số nhân 3.4 Bài tập Bài tập cuối chương 4.1 Câu hỏi trắc nghiệm 4.2 Bài tập tự luận Chương Giới hạn hàm số liên tục 29 29 30 31 32 32 34 34 34 35 35 38 38 39 39 40 42 42 42 43 Giới hạn dãy số 1.1 Giới hạn dãy số 1.2 Các phép toán giới hạn hữu hạn dãy số 1.3 Giới hạn hữu hạn dãy số 1.4 Bài tập 1.5 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 1.6 Giới hạn vô cực 1.7 Bài tập Giới hạn hàm số 2.1 Giới hạn hữu hạn hàm số điểm 2.2 Các phép toán giới hạn hữu hạn hàm số 2.3 Bài tập 2.4 Giới hạn phía 2.5 Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực 2.6 Giới hạn vô cực hàm số điểm 2.7 Bài tập Hàm số liên tục 3.1 Hàm số liên tục điểm 3.2 Hàm số liên tục khoảng, đoạn 3.3 Tính liên tục hàm số sơ cấp 3.4 Tổng, hiệu, tích, thương hàm số liên tục 43 43 43 43 44 45 45 46 48 48 48 48 49 50 51 52 54 54 54 55 55 3.5 3.6 Bài tập 4.1 4.2 55 56 57 57 57 Ứng dụng hàm số liên tục Bài tập cuối chương Câu hỏi trắc nghiệm Bài tập tự luận Chương Đường thẳng mặt phẳng Quan hệ song song không gian SÁCH THAM KHẢO 59 Trang ii KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Điểm, đường thẳng mặt phẳng không gian 1.1 Mặt phẳng không gian 1.2 Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian 1.3 Cách xác định mặt phẳng 1.4 Hình chóp hình tứ diện 1.5 Bài tập 1.6 Bài tập sách giáo khoa Hai đường thẳng song song 2.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng khơng gian 2.2 Tính chất hai đường thẳng song song 2.3 Bài tập 2.4 Bài tập sách giáo khoa Đường thẳng mặt phẳng song song 3.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng 3.2 Điều kiện để đường thẳng song song với mặt phẳng 3.3 Tính chất đường thẳng mặt phẳng song song 3.4 Mặt phẳng qua hai đường thẳng chéo song song với đường lại 3.5 Bài tập 3.6 Bài tập sách giáo khoa Hai mặt phẳng song song 4.1 Hai mặt phẳng song song 4.2 Bài tập 4.3 Định lý Thalès không gian 4.4 Hình lăng trụ hình hộp 4.5 Bài tập sách giáo khoa 4.6 Bài tập dạng toán tổng hợp nâng cao Phép chiếu song song 5.1 Khái niệm phép chiếu song song 5.2 Các tính chất phép chiếu song song 5.3 Hình biểu diễn hình khơng gian 5.4 Bài tập Bài tập cuối chương 6.1 Câu hỏi trắc nghiệm 6.2 Bài tập tự luận Chương Các số đặc trưng đo xu trung tâm cho mẫu số liệu ghép nhóm 90 Số trung bình mốt mẫu số liệu ghép nhóm 1.1 Số liệu ghép nhóm 1.2 Số trung bình 1.3 Mốt 1.4 Bài tập Trung vị tứ phân vị mẫu số liệu ghép nhóm 2.1 Trung vị 2.2 Tứ phân vị 2.3 Bài tập Bài tập cuối chương 3.1 Câu hỏi trắc nghiệm 3.2 Bài tập tự luận SÁCH THAM KHẢO 59 59 59 61 62 63 65 67 67 68 69 71 73 73 73 73 74 74 75 77 77 78 79 79 81 82 85 85 85 86 86 88 88 88 90 90 91 91 92 94 94 94 96 97 97 97 Trang iii Chương HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài Góc lượng giác 1.1 Góc lượng giác 1.1.1 Khái niệm góc lượng giác Khái niệm: Cho tia Oa Khi xét chuyển động tia Om quanh gốc O tính từ vị trí ban đầu Oa theo chiều cố định, người ta quy ước chiều quay ngược chiều kim đồng hồ chiều dương chiều quay chiều kim đồng hồ chiều âm Một vòng quay theo chiều dương tương ứng với góc quay 360◦ , vịng quay theo chiều âm tương ứng với góc quay −360◦ + m − O a Khi tia Om quay: • nửa vịng theo chiều dương ta nói Om quay góc · 360◦ = 180◦ ; • 1 vịng theo chiều dương ta nói Om quay góc · 360◦ = 60◦ ; 6 • 5 vịng theo chiều âm ta nói Om quay góc · (−360◦ ) = −450◦ 4 Khái niệm: Cho hai tia Oa, Ob • Nếu tia Om quay quanh gốc O theo chiều cố định vị trí tia Oa dừng vị trí tia Ob ta nói tia Om quét góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob Ký hiệu: (Oa, Ob) • Khi tia Om quay góc α, ta nói số đo góc lượng giác (Oa, Ob) α Ký hiệu: (Oa, Ob) = α m m + − b O L Lưu ý: b O a a Với hai tia Oa Ob cho trước, có vơ số góc lượng giác có tia đầu Oa tia cuối Ob Ví dụ Xác định số đo góc lượng giác (Oa, Ob) hình sau KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TOÁN 11 b b b b O a) O a O a b) a O c) a d) L Lưu ý: Số đo góc lượng giác có tia đầu Oa tia cuối Ob sai khác bội ngun 360◦ nên có cơng thức tổng quát sđ (Oa, Ob) = α◦ + k360◦ (k ∈ Z) thường viết (Oa, Ob) = α◦ + k360◦ với α◦ số đo góc lượng giác có tia đầu Oa tia cuối Ob Chẳng hạn, hình ví dụ (Oa, Ob) = 90◦ + k360◦ ÷ = 60◦ Xác định số đo góc lượng giác biểu diễn hình vẽ viết cơng thức Ví dụ Cho MON tổng quát số đo góc lượng giác (OM, ON) N N N O a) O M b) M O M c) Ví dụ Trong khoảng thời gian từ đến 15 phút, kim phút quét góc lượng giác độ? 1.1.2 Hệ thức Chasles (Sa-lơ) Khái niệm: Với ba tia Oa, Ob Oc bất kì, ta có (Oa, Ob) + (Ob, Oc) = (Oa, Oc) + k360◦ , Ví dụ Trong hình bên, quạt có ba cánh phân bố Viết công thức tổng quát đo số đo góc lượng giác (Ox, ON) (Ox, OP) (k ∈ Z) y N O −50◦ x P M 1.2 Đơn vị radian Khái niệm: Trên đường trịn bán kính R tuỳ ý, góc tâm chắn cung có độ dài R gọi góc có số đo radian (đọc ra-đi-an, viết tắt 1rad ) SÁCH THAM KHẢO Trang KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 Trên đường trịn bán kính R, góc tâm có số đo α rad chắn cung có độ dài αR (Hình 10) Vì góc bẹt (180◦ ) chắn nửa đường trịn với độ dài πR, nên góc bẹt có số đo theo đơn vị radian π Khi ta viết B αR R 180◦ = π rad rad O R A Hình 10 Å ã π 180 ◦ ◦ ◦ Suy ra, với π ≈ 3,14, ta có = rad ≈ 0,0175 rad rad = ≈ 57,3 (hay 57 17′ 45′′ ) 180 π Do ta có cơng thức chuyển đổi số đo góc từ đơn vị radian sang độ ngược lại sau: Å ã πa 180α ◦ a◦ = rad α rad = 180 π 1◦ Ví dụ Đổi số đo góc sau từ radian sang độ ngược lại a) 45◦ b) −60◦ c) 2π rad d) rad Bài tập Đổi số đo góc sau sang radian: a) 30◦ ; b) 45◦ ; c) 60◦ ; d) 120◦ ; e) 135◦ ; f) 180◦ ; g) 270◦ ; h) 360◦ i) −30◦ ; j) −45◦ ; k) −60◦ ; l) −120◦ ; m) −135◦ ; n) −160◦ ; o) 275◦ ; p) 185◦ Bài tập Đổi số đo góc sau sang độ: a) π ; b) π ; c) π ; d) π ; e) 2π ; f) 3π ; g) 5π ; h) π ; 12 i) 7π ; j) 5π ; k) −5; l) 13π L Lưu ý: a) Khi ghi số đo góc theo đơn vị radian, người ta thường bỏ chữ rad sau số đo Ví dụ, viết π , rad viết π rad b) Với đơn vị radian, công thức số đo tổng quát góc lượng giác (Oa, Ob) (Oa, Ob) = α + k2π (k ∈ Z), Trong α số đo theo radian góc lượng giác có tia đầu Oa tia cuối Ob Lưu ý: không viết α + k360◦ hay a◦ + k2π (vì khơng đơn vị đo) 1.3 Đường trịn lượng giác Khái niệm: SÁCH THAM KHẢO Trang KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường trịn tâm O bán kính Trên đường tròn này, chọn điểm A(1; 0) làm gốc, chiều dương chiều ngược chiều kim đồng hồ chiều âm chiều chiều kim đồng hồ Đường tròn với gốc chiều gọi đường tròn lương giác y + A(1; 0) −1 O x − −1 Hình 11 Cho số đo góc α Trên đường trịn lượng giác, ta xác định điểm M cho số đo góc lượng giác (OA, OM) α (Hình 12) Khi điểm M gọi điểm biểu diễn góc có số đo α đường trịn lượng giác y M α A x O Hình 12 Ví dụ Biểu diễn đường trịn lượng giác góc lượng giác có số đo là: a) 30◦ ; b) 45◦ ; c) 60◦ ; d) 90◦ ; e) 120◦ ; f) 135◦ ; g) 180◦ ; h) 225◦ ; i) 270◦ ; j) −30◦ ; k) −60◦ ; l) −90◦ ; m) −120◦ ; n) −135◦ ; o) 865◦ ; p) −7π Bài tập Biểu diễn góc lượng giác sau đường trịn lượng giác: a) π ; b) π ; c) π ; d) π ; e) 2π ; f) 3π ; g) −π ; h) −π ; i) −π ; π j) − ; k) −17π ; l) 13π Bài tập Góc lượng giác đây? 31π có điểm biểu diễn đường tròn lượng giác với góc lượng giác sau 3π 10π −25π ; ; 7 Bài tập Viết công thức số đo tổng quát góc lượng giác (OA, OM) (OA, ON) hình bên y M 120◦ A O −75◦ x N Hình 14 SÁCH THAM KHẢO Trang KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 Bài tập 16 Mơ tả vị trí tương đối đường thẳng a, b, c, d, e với mặt phẳng (P) mặt trước tồ nhà hình SÁCH THAM KHẢO Trang 76 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Bài Hai mặt phẳng song song 4.1 Hai mặt phẳng song song Giới thiệu: Hai mặt phẳng khơng gian có vị trí tương đối sau: Trùng nhau, cắt song song M P d Q Q P Q C A P B Khái niệm: Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung Cơng thức cần nhớ: Định lí Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt hai đường thẳng song song với mặt phẳng (Q) (P) song song với (Q) a b P Q Định lí Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước có mặt phẳng song song với mặt phẳng a A b P a′ b′ Q Định lí Cho hai mặt phẳng (P) (Q) song song với Nếu (R) cắt (P) cắt (Q) hai giao tuyến chúng song song với a P b Q R SÁCH THAM KHẢO Trang 77 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 Ví dụ Hộp giấy có mặt hình chữ nhật Hình 3a vẽ lại với đỉnh A, B, C, D, A ′ , B ′ , C ′ , D ′ Hình 3b Quan sát hộp giấy cặp mặt phẳng song song với Hình 3b B C A D C′ B′ A′ Hình 3a D′ Hình 3b Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD đáy lớn AD AD = 2BC Gọi M N trung điểm SA AD Chứng minh hai mặt phẳng (BMN) (SCD) song song với S M N A D B Ví dụ Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD Vẽ nửa đường thẳng song song với nhau, nằm phía (P) qua điểm A, B, C, D Một mặt phẳng (P ′ ) cắt bốn nửa đường thẳng nói A ′ , B ′ , C ′ , D ′ a) Chúng minh mp(AA ′ , BB ′ ) song song với mp(CC ′ , DD ′ ) b) Chứng minh tứ giác A ′ B ′ C ′ D ′ hình bình hành C z y C′ B′ O′ x t D′ A′ c) Gọi O O ′ giao điểm hai đường chéo ABCD A ′ B ′ C ′ D ′ Chứng minh OO ′ ∥ AA ′ B C O A D 4.2 Bài tập 4.2.1 Chứng minh hai mặt phẳng song song L Lưu ý: Cách chứng minh hai mặt phẳng song song, ta cần  a ∥ (α)    b ∥ (α) ⇒ (α) ∥ (β)  a, b ⊂ (β)    a∩b = A Bài tập Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm AB, AC, AD Chứng minh (MNP) ∥ (BCD) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm SA, SB, SC Chứng minh (MNP) ∥ (ABCD) Bài tập Cho hình chóp S.ABC Các điểm I, J, K trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCA Chứng minh (IJK) ∥ (ABC) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm AD, BC, SA Chứng minh (MNP) ∥ (SCD) Bài tập Cho hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng khác Chứng minh (ADF) ∥ (BCE) SÁCH THAM KHẢO Trang 78 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TỐN 11 Bài tập Cho hình chóp S.ABC có G trọng tâm tam giác ABC Gọi M, N điểm cạnh SA cho SM = MN = NA a) Chứng minh GM ∥ (SBC) b) Gọi D điểm đối xứng A qua G Chứng minh (MCD) ∥ (NBG) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi I, H, K trung điểm SA, SB, SC Gọi M giao điểm AH DK, N giao điểm DI CH a) Chứng minh (IHK) ∥ (ABCD) b) Chứng minh (SMN) ∥ (IHK) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M điểm AD Gọi (α) mặt phẳng qua M song song với AB SC Chứng minh (α) ∥ (SDC) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với AD ∥ BC AD = 2BC Gọi J trung điểm SD O = AC ∩ BD a) Tìm giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng (BCJ) b) Gọi E, F, Q trung điểm AD, DE, OA Tìm giao tuyến mặt phẳng (SQE) (SCF) c) Gọi M điểm thuộc đoạn SC cho MC = 3MS Chứng minh hai mặt phẳng (MFJ) (SQE) song song với Bài tập 10 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng ∆SAB Lấy điểm M BC điểm K SA cho BM = AK a) Chứng minh MK ∥ (SCD) b) Mặt phẳng (α) qua M song song với AB, SB Mặt phẳng (α) cắt SC, SD, AD theo thứ tự N, P, Q Chứng minh MNPQ hình thang c) Tìm vị trí M để NK ∥ (ABCD) Bài tập 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA SD a) Chứng minh (OMN) ∥ (SBC) b) Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ ∥ (SBC) Bài tập 12 Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi H, K, I trung điểm SA, CD, KS a) Chứng minh (OHK) ∥ (SBC) b) Gọi J điểm (ABCD) cách AB, CD Chứng minh IJ ∥ (SAB) c) Giả sử tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE, AF đường phân giác tam giác ACD SAB Chứng minh EF ∥ (SAD) 4.3 Định lý Thalès không gian Công thức cần nhớ: Định lí Ba mặt phẳng đơi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ d A B C d′ A′ B′ C′ Ví dụ Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi song song Hai đường thẳng d d′ cắt ba mặt phẳng (P), (Q), (R) A, B, C A′ , B′ , C′ Cho AB = 3, BC = 7, A′ C′ = 20 Tính độ dài A′ B′ , B′ C′ 4.4 Hình lăng trụ hình hộp SÁCH THAM KHẢO Trang 79 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TOÁN 11 Khái niệm: Cho hai mặt phẳng (P) (P′ ) song song với Trên (P) cho đa giác lồi A1 A2 An Qua đỉnh đa giác này, ta vẽ đường thẳng song song với cắt (P′ ) A′1 , A′2 , , A′n Hình tạo hình bình hành A1 A2 A′2 A′1 , A2 A3 A′3 A′2 , , An A1 A′1 A′n hai đa giác A1 A2 An , A′1 A′2 A′n gọi hình lăng trụ, kí hiệu A1 A2 An · A′1 A′2 A′n Trong hình lăng trụ A1 A2 An , A′1 A′2 A′n , ta gọi • Hai đa giác A1 A2 An A′1 A′2 A′n hai mặt đáy nằm hai mặt phẳng song song A5′ • Các điểm A1 , A2 , , An , A′1 , A′2 , , A′n đỉnh A4′ • Các hình bình hành A1 A2 A′2 A′1 , A2 A3 A′3 A′2 , , An A1 A′1 A′n mặt bên A1′ A3′ A2′ • Các đoạn thẳng A1 A′1 , A2 A′2 , , An A′n cạnh bên • Các cạnh bên song song • Các cạnh hai đa giác đáy cạnh đáy Các cạnh đáy tương ứng song song A5 A4 A1 A3 A2 L Lưu ý: Hình lăng trụ có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, tương ứng gọi hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác, Ví dụ Thực theo yêu cầu sau a) Gọi tên hình lăng trụ hình sau b) Gọi tên thành phần hình lăng trụ hình A′ A′ C′ B′ A D′ C′ B′ C A E′ I′ C′ B′ D E I B a) C B J C B b) J′ c) Khái niệm: Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành Trong hình hộp ta có SÁCH THAM KHẢO Trang 80 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 • Sáu mặt sáu hình bình hành Mỗi mặt có mặt song song với A′ D′ • Hai mặt gọi hai mặt đối diện C′ B′ • Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo • Bốn đường chéo cắt trung điểm đường I A D C B Ví dụ Cho hình hộp ABCD · A′ B′ C′ D′ Chứng minh (BDA′ ) (B′ D′ C) mặt phẳng song song 4.5 Bài tập sách giáo khoa Bài tập 13 Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD Ta dựng nửa đường thẳng song song với nằm phía (P) qua điểm A, B, C, D Một mặt phẳng (Q) cắt bốn nửa đường thẳng nói A′ , B′ , C′ , D′ Chứng minh AA′ + CC′ = BB′ + DD′ Bài tập 14 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành có O giao điểm hai đường chéo Gọi M, N trung điểm SA, SD a) Chứng minh (OMN) ∥ (SBC) b) Gọi E trung điểm AB F điểm thuộc ON Chứng minh EF song song với (SBC) Bài tập 15 Cho hai hình vng ABCD ABEF hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD, AF M ′ , N ′ a) Chứng minh (CBE) ∥ (ADF) b) Chứng minh (DEF) ∥ (MNN ′ M ′ ) Bài tập 16 Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ Gọi G G ′ trọng tâm hai tam giác B ′ D ′ A BDC ′ Chứng minh G G ′ chia đoạn A ′ C thành ba phần Bài tập 17 Để làm khung lồng đèn kéo quân hình lăng trụ lúc giác ABCDEF.A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ , Bình gắn hai tre A1 D1 , F1 C1 song song với mặt phẳng đáy cắt O1 (hinh bên dưới) F′ E′ A′ D′ C′ B′ F1 O1 A1 D1 C1 E F A D B C a) Xác định giao tuyến mặt phẳng (A1 D1 , F1 C1 ) với mặt bên lăng trụ b) Cho biết A ′ A1 = 6AA1 AA ′ = 70 cm, tính CC1 C1 C ′ Bài tập 18 Chỉ mặt phẳng song song hình sau Tìm thêm số ví dụ khác mặt phẳng song song thực tế SÁCH THAM KHẢO Trang 81 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 4.6 Bài tập dạng toán tổng hợp nâng cao Bài tập 19 (HKI 2011-2012 PTNK) Hình chóp S.ABCD có O tâm hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh SA cho SM = 2MA, N trung điểm AD a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) (MBC) b) Tìm giao điểm I SB (CMN); giao điểm J SA (ICD) c) Chứng minh ID, JC SO đồng quy E Tính tỷ số SE SO Bài tập 20 (HKI 2010-2011 THTH) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi M, N trung điểm SA, SD K điểm cạnh SB cho SK = 2KB a) Xác định giao tuyến (d1 ) (SBC) (SAD), giao tuyến (d2 ) (SBC) (KMN) b) DM cắt (SBC) I Tứ giác ISDA hình gì? c) Gọi J giao điểm (d2 ) SC Tính tỷ số S∆SNJ S∆SDC Bài tập 21 (HKI 2012-2013 THTH) Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thang có đáy lớn AB a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SCD) (SAB) b) Gọi Q trung điểm SD, lấy M ∈ SA cho SA = 3SM Mặt phẳng (α) chứa MQ song song AB, cắt SB, SC N K Tứ giác MNKQ hình gì, sao? Tính tỷ số diện tích S∆KNS S∆BCS c) Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh rằng: MQ, NK, SI đồng quy Bài tập 22 (HKI 2011-2012 Lê Q Đơn) Cho hình chóp S.ABCD biết đáy hình thang, có đáy lớn AD lần đáy nhỏ BC O giao điểm AC BD Gọi E, F trung điểm SA SD Điểm G trọng tâm tam giác SDC a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD); (SAD) (SBC) b) Mặt phẳng (α) qua EF song song SB, cắt CD AB P, Q Chứng minh EQ ∥ SB Tứ giác EFPQ hình ? c) Chứng minh BE ∥ (SCD) GO ∥ (SBC) d) Tìm giao điểm M SB (CDE) Chứng minh S∆SME S = ∆SBA S∆SMF S∆SBD Bài tập 23 (HKI 2011-2012 PTNK) Hình chóp S.ABCD có O tâm hình hình hình ABCD, điểm M thuộc cạnh SA cho SM = 2MA, N trung điểm AD a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAD) (MBC) b) Tìm giao điểm I SB (CMN); giao điểm J SA (ICD) c) Chứng minh ID, JC SO đồng quy E Tính tỷ số SE SO Bài tập 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AB = 2a, cạnh AD = CD = a Mặt bên SAB tam giác Gọi M điểm thuộc cạnh AD cho AM = x, (0 < x < a) (α) mặt phẳng qua M, song song với cạnh SA AB, cắt cạnh BC, SC, SD N, P, Q SÁCH THAM KHẢO Trang 82 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 a) Nêu rõ cách xác định thiết diện MNPQ mặt phẳng (α) với hình chóp cho b) Chứng minh thiết diện MNPQ hình thang cân c) Gọi I giao điểm MQ NP Chứng minh điểm M di động đoạn AD điểm I ln di động đường thẳng cố định Bài tập 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (đáy lớn AD) a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAC) (SBD), (SAD) (SBC) b) Gọi M trung điểm SD Tìm giao điểm K AM mặt phẳng (SBC) Tìm thiết diện mặt phẳng (MAB) với hình chóp S.ABCD c) Gọi G, H, I, J trọng tâm tam giác SAD, SCD, SAB, SBC Chứng minh GH ∥ IJ Bài tập 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang (đáy lớn AD) Gọi M, N, E trung điểm AB, CD, SA a) Dựng thiết diện tạo mặt phẳng (MNE) hình chóp S.ABCD b) Chứng minh SC song song với (MNE) Gọi F giao điểm (MNE) với SD Đường thẳng AF có song song với mặt phẳng (SBC) không ? c) Cho M, N hai điểm cố định nằm hai cạnh AB, CD cho MN song song với AD E, F hai điểm di động cạnh SA, SD cho EF song song với AD Gọi I giao điểm ME NF I di động đường nào? Bài tập 27 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K trung điểm BC, CD, DB a) Chứng minh mặt phẳng (ADI), (ABJ) (ACK) có chung đường thẳng b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Xác định thiết diện tứ diện với (KGE) √ Bài tập 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, SA = SB = a, SC = SD = a Gọi E, F trung điểm cạnh SA, SB Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = x, (0 < x < a) a) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MEF)? Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x c) Tìm vị trí điểm M để diện tích thiết diện đạt giá trị nhỏ Bài tập 29 Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M, P hai điểm di động cạnh AD BC cho AM = CP = x, (0 < x < a) Một mặt phẳng qua MP song song với CD cắt tứ diện theo thiết diện a) Chứng minh thiết diện thông thường hình thang cân b) Tìm x để diện tích thiết diện nhỏ Bài tập 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB = a, AD = 2a ∆SAB vuông cân đỉnh A Điểm M di động AD với AM = x Mặt phẳng (α) qua M song song với mặt phẳng (SAB), cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang vng b) Tính diện tích MNPQ theo a, x Tính x để diện tích 3a2 c) Tìm tập hợp giao điểm I MQ NP M di động AD Bài tập 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, hai điểm M P di động AD SC MA PS cho = = x, (x > 0) MD PC a) Chứng minh MP song song với mặt phẳng Q cố định b) Mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng (Q) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện cắt BD J Chứng minh IJ có phương khơng đổi Tìm x để PJ ∥ (SAD) SÁCH THAM KHẢO Trang 83 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 Bài tập 32 Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ có tất √ mặt hình vng cạnh a Các điểm M, N AD ′ , DB cho AM = DN = x, (0 < x < a 2) a) Chứng minh x biến thiên, đường thẳng MN song song với mặt phẳng cố định b) Chứng minh x = √ a MN ∥ A ′ C Bài tập 33 Cho hình lập phương ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ cạnh a Gọi M, N, P trung điểm AB, B ′ C ′ , DD ′ a) Chứng minh (MNP) song song với mặt phẳng (AB ′ D ′ ) (BDC ′ ) b) Xác định thiết diện hình lập phương với mặt phẳng (MNP) Thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện Bài tập 34 Cho hình lăng trụ ABC.A ′ B ′ C ′ có đáy tam giác cạnh a Các mặt bên ABB ′ A ′ , ACC ′ A ′ hình vng Gọi I, J tâm mặt bên nói O tâm đường ngoại tiếp tam giác ABC a) Chứng minh IJ ∥ (ABC) b) Xác định thiết diện hình lăng trụ với mặt phẳng (IJD) Chứng minh thiết diện hình thang cân Tính diện tích theo a SÁCH THAM KHẢO Trang 84 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 Bài Phép chiếu song song 5.1 Khái niệm phép chiếu song song Phép chiếu song song thường dùng để biểu diễn hình khơng gian lên mặt phẳng Khái niệm: Trong không gian, cho mặt phẳng (P) đường thẳng l cắt (P) Với điểm M không gian, vẽ đường thẳng qua M song song trùng với l Đường thẳng cắt (P) M ′ Phép cho tương ứng điểm M không gian với điểm M ′ (P) gọi phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l l M Phương chiếu M′ P Mặt phẳng chiếu • Mặt phẳng (P) gọi mặt phẳng chiếu đường thẳng l gọi phương chiếu phép chiếu song song nói • Phép chiếu song song theo phương l gọi tắt phép chiếu theo phương l • Điểm M ′ gọi ảnh điểm M qua phép chiếu theo phương l • Cho hình H khơng gian Ta gọi tập hợp H ′ ảnh M ′ tất điểm M thuộc H qua phép chiếu song song theo phương l hình chiếu song song H lên mặt phẳng (P) 5.2 Các tính chất phép chiếu song song Tính chất cần nhớ: Tính chất Hình chiếu song song đường thẳng đường thẳng Hình chiếu song song đoạn thẳng đoạn thẳng Hình chiếu song song tia tia Tính chất Hình chiếu song song hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song trùng Tính chất • Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng khơng làm thay đổi thứ tự ba điểm • Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song trùng Ví dụ a) Tìm hình chiếu song song đoạn thẳng AC, tia AB đường thẳng AD Hình b) b) Quan sát Hình a) so sánh hai ti số AB A ′ B ′ , CD C ′ D ′ c) Quan sát Hình b) so sánh hai tỉ số DA D ′ A ′ , DB D ′ B ′ A C l A B B l C D A′ P C′ D′ a) SÁCH THAM KHẢO B′ A′ B′ P D C′ D′ b) Trang 85 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 5.3 Hình biểu diễn hình khơng gian Khái niệm: Hình biểu diễn hình H khơng gian hình chiếu song song H mặt phẳng theo phương chiếu hình đồng dạng với hình chiếu L Lưu ý: Dựa theo tính chất phép chiếu song song, ta phải tuân theo số quy tắc vẽ hình biểu diễn, chẳng hạn a) Nếu hình H có hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) chúng biểu diễn hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau) tỉ số độ dài hai đoạn thẳng phải tỉ số độ dài hai đoạn thẳng tương ứng hình H b) Nếu hình phẳng nằm mặt phẳng khơng song song với phương chiếu • Hình biểu diễn đường trịn thường elip • Hình biểu diễn tam giác (vng, cân, đều) tam giác • Hình biểu diễn hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành hình bình hành Ví dụ Quan sát bên tìm hình biểu diễn a) đoạn thẳng AB b) tam giác ABC c) đường tròn (C) tâm O O (C) (E) B O′ d A C P B′ A′ C′ P a) b) Ví dụ Vẽ hình biểu diễn nêu nhận xét hình biểu diễn mặt hình sau a) Hình hộp b) Lăng trụ có đáy lục giác c) Tứ diện 5.4 Bài tập Bài tập Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? a) Một đường thẳng song song với hình chiếu b) Một đường thẳng trùng với hình chiếu c) Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với d) Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo trùng SÁCH THAM KHẢO Trang 86 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 Bài tập Vẽ hình biểu diễn lục giác Bài tập Vẽ hình biểu diễn hình vng nội tiếp hình trịn Bài tập Cho hai điểm A, B nằm mặt phẳng (α) đường thẳng d cắt (α) Già sử đường thẳng AB cắt (α) điểm O Gọi A ′ B ′ hình chiếu song song A B (α) theo phương đường thẳng d Ba điểm O, A ′ , B ′ có thẳng hàng khơng? Vì sao? Chọn d cho a) A ′ B ′ = AB b) A ′ B ′ = 2AB Bài tập Vẽ hình biểu diễn a) Hình lăng trụ có đáy tam giác b) Hình lăng trụ có đáy lục giác c) Hình hộp SÁCH THAM KHẢO Trang 87 KHAI PHĨNG NĂNG LỰC TỐN 11 Bài Bài tập cuối chương 6.1 Câu hỏi trắc nghiệm Câu Cho tam giác ABC Lấy điểm M cạnh AC kéo dài (Hình bên) Mệnh đề sau mệnh đề sai? A M ∈ (ABC) B C ∈ (ABM) C A ∈ (MBC) D B ∈ (ACM) A C M B Câu Cho tứ diện ABCD với I J trung điểm cạnh AB CD Mệnh đề sau đúng? A Bốn điểm I, J, B, C đồng phẳng B Bốn điểm I, J, A, C đồng phẳng C Bốn điểm I, J, B, D đồng phẳng D Bốn điểm I, J, C, D đồng phẳng Câu Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD M, AB cắt CD N Trong đường thẳng sau đây, đường giao tuyến (SAC) (SBD)? A SM B SN C SB D SC Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J, E, F trung điểm SA, SB, SC, SD Trong đường thẳng sau, đường không song song với IJ? A EF B CD C AD D AB Câu Cho hình bình hành ABCD điểm S không nằm mặt phẳng (ABCD) Giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) đường thẳng song song với đường thẳng sau đây? A AB B AC C BC D SA SM = Một mặt Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 10 M điểm SA cho SA phẳng (α) qua M song song với AB CD, cắt hình chóp theo tứ giác có diện tích 400 200 40 200 A B C D 9 Câu Quan hệ song song khơng gian có tính chất tính chất sau? A Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song với đường thẳng nằm (P) song song với (Q) B Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song với đường thẳng nằm (P) song song với đường thằng nằm (Q) C Nếu hai đường thẳng song song với nằm hai mặt phẳng phân biệt (P) (Q) (P) (Q) song song với D Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước Câu Cho hình lăng trụ ABC.A ′ B ′ C ′ Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, AA ′ , A ′ C ′ , BC Ta có A (MNP) ∥ (BCA) B (MNQ) ∥ (A ′ B ′ C ′ ) C (NQP) ∥ (CAB) D (MPQ) ∥ (ABA ′ ) 6.2 Bài tập tự luận Bài tập Cho hình hộp ABCD.A ′ B ′ C ′ D ′ Gọi M N trung điểm AB A ′ B ′ O điểm thuộc miền mặt bên CC ′ D ′ D Tìm giao tuyến mặt phẳng (OMN) với mặt hình hộp Bài tập Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều, M điểm cạnh AB, (α) mặt phẳng qua M (α) ∥ (SAD) cắt CD, SC, SB N, P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang cân b) Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a x Bài tập Cho mặt phẳng (α) hai đường thẳng chéo a, b cắt (α) A B Gọi d đường thẳng thay đổi luôn song song với (α) cắt a M, cắt b N Qua điểm N dựng đường thẳng song song với a cắt (α) điểm C a) Tứ giác MNCA hình gì? b) Chứng minh điểm C luôn chạy đường thẳng cố định SÁCH THAM KHẢO Trang 88 KHAI PHÓNG NĂNG LỰC TỐN 11 Bài tập Cho hai hình bình hành ABCD ABEF nằm hai mặt phẳng khác Lấy điểm M, N thuộc đường chéo AC BF cho MC = 2MA; NF = 2NB Qua M, N ké đường thẳng song song với AB, cắt cạnh AD, AF M1 , N1 Chứng minh a) MN ∥ DE; b) M1 N1 ∥ (DEF); c) (MNN1 M1 ) ∥ (DEF) ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM D D SÁCH THAM KHẢO A C A A A D Trang 89 Chương CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Bài Số trung bình mốt mẫu số liệu ghép nhóm 1.1 Số liệu ghép nhóm Khái niệm: Mẫu số liệu ghép nhóm thường trình bày dạng bảng thống kê có dạng sau: Nhóm Tần số Bảng 1: Bảng tần số ghép nhóm [u1 ; u2 ) [u2 ; u3 ) [uk ; uk+1 ) n1 n2 nk 
• Bảng gồm k nhóm uj ; uj+1 với ⩽ j ⩽ k, nhóm gồm số giá trị ghép theo tiêu chí xác định • Cỡ mẫu n = n1 + n2 + · · · + nk • Giá trị nhóm dùng làm giá trị đại diện cho nhóm Ví dụ nhóm [u1 ; u2 ) có giá trị đại diện (u1 + u2 )
 • Hiệu uj+1 − uj gọi độ dài nhóm uj ; uj+1 Ví dụ Tính giá trị đại diện độ dài nhóm mẫu số liệu sau Khoảng tuổi Số khách hàng nữ [20; 30) [30; 40) [40; 50) [50; 60) [60; 70) L Lưu ý: Một số quy tắc ghép nhóm mẫu số liệu Mỗi mẫu số liệu ghép nhóm theo nhiều cách khác thường tuân theo số quy tắc sau: • Sử dụng từ k = đến k = 20 nhóm Cỡ mẫu lớn cần nhiều nhóm số liệu Các nhóm có độ dài L thoả mãn R < k · L, R khoảng biến thiên, k số nhóm • Giá trị nhỏ mẫu thuộc vào nhóm [u1 ; u2 ) gần u1 tốt Giá trị lớn mẫu thuộc nhóm [uk ; uk+1 ) gần uk+1 tốt Ví dụ Cân nặng 28 học sinh nam lớp 11 cho sau: 55,4 49,7 62,6 45,1 54,2 56,2 56,8 63,2 58,8 46,1 59,4 49,6 60,7 59,1 58 55,3 59,5 55,8 63,6 45,5 61,8 46,8 52,3 54 63,4 49,2 57,9 52,6 Hãy chia mẫu liệu thành nhóm, lập bảng tần số ghép nhóm xác định giá trị đại diện cho nhóm • Các đầu mút nhóm khơng giá trị mẫu số liệu • Ta hay gặp bảng số liệu ghép nhóm số nguyên, chẳng hạn bảng thống kê số lỗi tả kiểm tra học kì mơn Ngữ Văn học sinh khối 11 sau: Số lỗi Số [1; 2] 122 [3; 4] 75 [5; 6] 14 [7; 8] [9; 10] Bảng số liệu khơng có dạng Bảng Để thuận lợi cho việc tính số đặc trưng cho bảng số 90