Thông tin tài liệu
ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II TỐN 10 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT TRỌNG ĐIỂM TỐN 10 HỌC KÌ II trang I TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI trang II HAI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI trang III QUI TẮC CỘNG VÀ QUI TẮC NHÂN trang IV HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP trang V NHỊ THỨC NEW-TON trang VI BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ trang VII ĐIỂM VÀ VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ trang VIII PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ trang 11 IX PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ trang 16 X ELIP, HYPEBOL VÀ PARABOL trang 18 B CÁC ĐỀ MINH HỌA KIỂM TRA HỌC KÌ II TỐN 10 NĂM HỌC 2022-2023 trang 21 ĐỀ SỐ 01 trang 21 ĐỀ SỐ 02 trang 22 ĐỀ SỐ 03 trang 23 ĐỀ SỐ 04 trang 24 C HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA trang 25 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 01 trang 25 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 02 trang 28 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 03 trang 32 HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 04 trang 35 HỒNG XN NHÀN GIÁO VIÊN TỐN TRƯỜNG THCS-THPT NGUYỄN KHUYẾN TH-THCS-THPT LÊ THÁNH TÔNG ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO A – TĨM TẮT LÍ THUYẾT TRỌNG ĐIỂM HỌC KÌ II TỐN 10 I – TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Định lí dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c ( a ) , = b2 − 4ac Nếu f ( x ) dấu hệ số a với x Nếu = f ( x ) dấu hệ số a với x b b \ − ; f ( x ) = x = − 2a 2a Nếu f ( x ) dấu hệ số a với x thuộc khoảng ( − ; x1 ) , ( x2 ; + ) ; f ( x ) trái dấu a với x thuộc khoảng ( x1 ; x2 ) ; x1 , x2 hai nghiệm f ( x ) x1 x2 Chú ý: Học sinh thay Δ trường hợp với = b2 − ac, b = Ví dụ 1: Xét dấu tam thức bậc hai sau: a) f ( x ) = −9 x + x − ; b b) f ( x ) = −2 x + x + Lời giải: a) f ( x ) = −9 x + x − ; ( a = −9, b = 6, c = −1) Ta có: = b2 − 4ac = ; f ( x ) có nghiệm kép x = , ta có bảng xét dấu: Kết luận: f ( x ) 0, x \ 3 ; f ( x ) = x = Ta nói gộp: f ( x ) 0, x b) f ( x ) = −2 x + x + ; ( a = −2, b = 1, c = 3) Ta có: = b2 − 4ac = 25 ; f ( x ) có hai nghiệm phân biệt x1 = −1, x2 = Ta có bảng xét dấu: Kết luận: 3 3 f ( x ) 0, x −1; ; f ( x ) 0, x ( − ; − 1) ; + 2 2 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu tập số thực: Cho tam thức bậc hai f ( x ) = ax + bx + c ( a ) , = b2 − 4ac Ta có: • f ( x ) 0, x • f ( x ) 0, x a a • f ( x ) 0, x • f ( x ) 0, x a a Chú ý: • Học sinh thay Δ trường hợp với = b2 − ac, b = b • Trong nhiều trường hợp biểu thức cho chưa phải tam thức bậc hai hệ số a chứa tham số m (hoặc tham số khác) ta cần xét thêm trường hợp a = xem có thỏa mãn tốn khơng, sau dùng đến bốn cơng thức Kết tốn hợp giá trị thu hai trường hợp xét Ví dụ 2: Tìm tất tham số m để f ( x ) = x − 2mx + m − m dương với x thuộc Lời giải: Ta có: a = 0, b = −2m, c = m2 − m Theo giả thiết: f ( x ) 0, x 1 (luôn đúng) a 2 ( −2m ) − ( m − m ) 4m2 − 4m2 + 4m m Vậy với m f ( x ) 0, x Ứng dụng bảng xét dấu tam thức bậc hai để giải bất phương trình: Bước 1: Tìm nghiệm (nếu có) tam thức bậc hai Bước 2: Lập bảng xét dấu tam thức bậc hai Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu, ta kết luận nghiệm bất phương trình Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: a) x2 − 3x ; b) − x + x − Lời giải: a) Đặt f ( x ) = x − 3x ; f ( x ) = x = x = Bảng xét dấu: 3 Ta có: x − 3x x 0; 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: 3 S = 0; 2 b) Đặt f ( x ) = − x + x − ; f ( x ) = x Bảng xét dấu: HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 Ta có: x − x + CHÂN TRỜI SÁNG TẠO x II – HAI DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI Phương trình dạng A = B : • Bước 1: Bình phương hai vế phương trình, ta phương trình A = B giải phương trình • Bước 2: Thay nghiệm phương trình (nếu có) bước vào phương trình ban đầu A = B xem có thỏa mãn hay khơng kết luận nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x + = − x + 3x + Lời giải: Bình phương hai vế phương trình, ta được: x + = − x + 3x + x − 3x − = x = x = − Thay giá trị x = 2; x = − vào phương trình ban đầu, ta thấy chúng thỏa mãn 1 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S = 2; − 2 Phương trình dạng A = B: • Bước 1: Bình phương hai vế phương trình, ta A = B2 giải phương trình • Bước 2: Thay nghiệm phương trình (nếu có) bước vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn hay khơng kết luận nghiệm phương trình ban đầu Ví dụ 2: Giải phương trình sau: A=B x + x = 4− x Lời giải: Bình phương hai vế phương trình, ta được: x = 2 1 x + x = ( − x ) x + x = 16 − x + x − x + x − 16 = 2 x = 16 Thay giá trị x = 2; x = 16 vào phương trình ban đầu, ta thấy có x = thỏa mãn Vậy, tập nghiệm phương trình S = 2 III – QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN Quy tắc cộng: Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B Phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A Khi số cách để thực cơng việc là: m + n Ví dụ 1: Đội I có thành viên, đội II có thành viên Có cách để chọn người từ hai đội để làm nhiệm vụ đặc biệt? Lời giải: Có hai phương án để chọn thành viên làm nhiệm vụ: Phương án A: Chọn thành viên từ đội I: có cách HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Phương án B: Chọn thành viên từ đội II: có cách Vậy số cách chọn thành viên làm nhiệm vụ là: + = 11 (cách) Quy tắc nhân: Giả sử công việc chia thành hai giai đoạn Giai đoạn thứ có m cách thực hiện, ứng với cách thực giai đoạn thứ giai đoạn thứ hai có n cách thực Số cách để hồn thành cơng việc m n (cách) Ví dụ 2: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố B đến thành phố C có đường Một người muốn di chuyển từ thành phố A đến thành phố C phải qua thành phố B Hỏi có cách để di chuyển từ thành phố A đến thành phố C Lời giải: Một người từ thành phố A đến thành phố C cần có hai giai đoạn bắt buộc: Giai đoạn thứ nhất: Đi từ thành phố A đến thành phố B: Có cách Giai đoạn thứ hai: Đi từ thành phố B đến thành phố C: Có cách Số cách hồn thành cơng việc là: = 15 (cách) Chú ý: • Quy tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp • Phân biệt quy tắc cộng quy tắc nhân: Khi công việc thực nhiều giai đoạn bắt buộc (nếu thiếu giai đoạn cơng việc khơng thể hồn thành), ta dùng đến quy tắc nhân; trường hợp lại ta dùng quy tắc cộng Ví dụ Có số tự nhiên gồm chữ số: a) Tùy ý? b) Phân biệt? c) Phân biệt số tự nhiên số lẻ? d) Phân biệt số tự nhiên chẵn? Lời giải : a) Gọi số tự nhiên cần tìm: abcde với a, b, c, d, e số lấy từ tập 0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Chọn a khác 0: có cách Vì số chọn tùy ý nên số cách chọn chữ số b, c, d, e 10 (cách) Vậy số số tự nhiên thỏa mãn: 9.104 = 90000 (số) b) Gọi số tự nhiên cần tìm: abcde Chọn a: a Có cách chọn a Chọn b: b a Có cách chọn b Theo quy luật số cách chọn c, d, e 8, 7, Vậy số số tự nhiên thỏa mãn: 9.9.8.7.6 = 27 216 (số) c) Gọi số tự nhiên cần tìm: abcde Chọn e 1;3;5;7;9 Có cách chọn e Chọn a với a 0, a e Có cách chọn a Mỗi chữ số b, c, d có 8, 7, cách chọn Vậy số số tự nhiên thỏa mãn: 5.8.8.7.6 = 13440 (số) HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO d) ☺ Cách giải 1: Trường hợp 1: e = Chọn a khác (tức a khác e): có cách chọn Mỗi chữ số b, c, d có 8, 7, cách chọn Khi đó, ta có được: 1.9.8.7.6 = 3024 (số) Trường hợp 2: e 2; 4;6;8 Chọn e: có cách chọn Chọn a với a 0, a e , ta có cách chọn Mỗi chữ số b, c, d có 8, 7, cách chọn Khi ta có được: 4.8.8.7.6 = 10752 (số) Vậy số số tự nhiên thỏa mãn: 3024 + 10752 = 13776 (số) ☺ Cách giải 2: Số số tự nhiên gồm chữ số phân biệt 27 216 (số) Số số tự nhiên lẻ gồm chữ số phân biệt 13440 (số) Theo quy tắc loại trừ, số số tự nhiên chẵn gồm chữ số phân biệt: 27 216 −13440 = 13776 (số) IV – HỐN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP Hốn vị: Cho tập X có n phần tử ( n 1) Mỗi cách xếp n phần tử tập X theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Kí hiệu : Pn số hoán vị n phần tử Khi đó: Pn = n ! = n ( n − 1)( n − ) 2.1 ; với n ! đọc n giai thừa Quy ước: 0! = Lưu ý: Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp Ví dụ 1: Có người tham gia trị chơi xếp vào vị trí cho trước, hỏi có cách xếp? Lời giải: Số cách xếp người vào vị trí cho sẵn là: P5 = 5! = 5.4 2.1 = 120 (cách) Chỉnh hợp: Cho tập X có n phần tử ( n 1) Mỗi cách lấy k phần tử tập X (1 k n ) xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Kí hiệu : Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử Khi đó: Ank = n ( n − 1)( n − ) ( n − k + 1) = n! ( n − k )! Lưu ý: Số hốn vị n phần tử số chỉnh hợp chập n n phần tử Tức là: Pn = Ann = n ! Ví dụ 2: Có cách chọn học sinh từ lớp học 30 học sinh để bầu vào vị trí lớp trưởng tổ trưởng tổ 1, 2, 3, (giả sử 30 em lớp có khả chọn nhau)? Lời giải: Số cách chọn học sinh thỏa mãn đề số chỉnh hợp chập 30 phần tử, ta có: A305 = 17100 720 cách chọn HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Tổ hợp: Cho tập X có n phần tử ( n 1) Mỗi cách lấy k phần tử tập X (1 k n ) gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Kí hiệu: Cnk số tổ hợp chập k n phần tử Khi đó: Cnk = n ( n − 1)( n − ) ( n − k + 1) n! = k! k !( n − k )! Ví dụ 3: Một đội đặc nhiệm có thành viên nam thành viên nữ Hỏi có cách chọn thành viên làm nhiệm vụ đặc biệt? Lời giải: Số cách chọn thành viên từ thành viên đội là: C82 = 28 Nhận xét: Ta có quy ước số tính chất sau: Ak • Cn0 = • Cnk = n k! k n−k k • Cn = Cn ( k n ) • Cn + Cnk +1 = Cnk++11 ( k n ) Ví dụ Rút gọn : Pn + C155 7!.4! 8! 6! a) A = b) B = k + − ; 10! 3!5! 2!4! An Pn −k C157 Lời giải: 7!.4! 8! 6! 7!1.2.3.4 5!.6.7.8 4!.5.6 41 a) A = − − = = ( 56 − 15 ) = 10! 3!5! 2!4! 7!.8.9.10 1.2.3.5! 1.2.4! 30 30 15! ( n + )! + 10!5! = n !( n + 1)( n + ) + 8!7! P C b) B = k n + + 157 = n! 15! n! 10!5! An Pn −k C15 ( n − k )! 8!7! ( n − k )! = ( n + 1)( n + ) + 8!5!6.7 6.7 37 = n + 3n + + = n + 3n + 8!9.10.5! 9.10 15 V – NHỊ THỨC NEWTON Công thức nhị thức Newton: Với n số nguyên dương, người ta chứng minh công thức khai triển biểu thức ( a + b ) (a + b) sau: n = Cn0 a n + Cn1a n −1b + + Cnk a n − k b k + + Cnn −1ab n −1 + Cnnb n n (*) Với giá trị n 2; 3 , ta có đẳng thức đáng nhớ: • Với n = thì: ( a + b ) = C20 a 2b0 + C21a1b1 + C22 a 0b = a + 2ab + b ; (a − b) = C20 a ( −b ) + C21a1 ( −b ) + C22 a ( −b ) = a − 2ab + b • Với n = thì: (a + b) = C30 a 3b + C31a 2b1 + C32 a1b + C33a 0b3 = a + 3a 2b + 3ab + b3 ; HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 (a − b) CHÂN TRỜI SÁNG TẠO = C30 a ( −b ) + C31a ( −b ) + C32 a1 ( −b ) + C33a ( −b ) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 Đặc biệt: Xét a = 1, b = x , ta được: • (1 + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + Cnk x k + + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n n • (1 − x ) = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x + Cnk ( − x ) + + Cnn −1 ( − x ) n k n −1 + Cnn ( − x ) n Ví dụ 1: Sử dụng cơng thức nhị thức Newton để khai triển biểu thức sau: b) ( x − 1) a) ( x + ) ; Lời giải: a) ( x + ) = C40 x 20 + C41 x3 21 + C42 x 22 + C43 x.23 + C44 x 24 = x4 + 8x3 + 24 x2 + 32 x + 16 b) ( x − 1) = C50 ( x ) ( −1) + C51 ( x ) ( −1) + C52 ( x ) ( −1) 5 +C53 ( x ) ( −1) + C54 ( x ) ( −1) + C55 ( x ) ( −1) = 32 x5 − 80 x4 + 80 x3 − 40 x2 + 10 x −1 Tam giác Pascal: Quy luật tìm hệ số khai triển dạng ( a + b ) Pascal thực theo mơ hình tam giác n bên dưới: n=0 n =1 1 n=2 n=3 3 n=4 Quy luật bảng số số cuối hàng 1; tổng hai số liên tiếp hàng số hàng kế vị trí hai số Ví dụ 2: Sử dụng tam giác Pascal, tìm hệ số x khai triển ( x + 1) Lời giải: Theo mơ tam giác Pascal, ta có: (x + 1) = ( x ) 10 + ( x ) 11 + ( x ) 12 + ( x ) 13 + ( x ) 14 = x8 + 4x6 + 6x4 + 4x2 + 4 Ta có hệ số x khai triển VI – BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Phép thử ngẫu nhiên, biến cố không gian mẫu: Phép thử ngẫu nhiên hoạt động mà ta biết trước kết Tập hợp kết xảy phép thử ngẫu nhiên gọi khơng gian mẫu phép thử đó, kí hiệu Mỗi tập không gian mẫu gọi biến cố phép thử Ta thường kí hiệu biến cố A, B, X, Y, … Một kết thuộc A gọi kết làm cho A xảy ra, ta thường gọi kết thuận lợi cho A Số kết thuận lợi A thường kí hiệu n ( A ) HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Biến cố chắn biến cố xảy ra, kí hiệu Biến cố biến cố không xảy ra, ta kí hiệu Biến cố đối A, kí hiệu A với A = \ A Ví dụ 3: Gieo súc sắc hai lần, mô tả biến cố sau trường hợp, cho biết có kết thuận lợi biến cố đó? a) Số chấm thu từ hai súc sắc giống b) Tổng số chấm thu lớn Lời giải: a) Gọi A biến cố “Số chấm thu từ hai súc sắc giống nhau” Ta có: A = (1;1) , ( 2; ) , ( 3;3) , ( 4; ) , ( 5;5 ) , ( 6;6 ) Số kết thuận lợi A b) Gọi B biến cố “Tổng số chấm thu lớn 8” Ta có: B = ( 4;5 ) , ( 5; ) , ( 5;5 ) , ( 5;6 ) , ( 6;5 ) , ( 6;6 ) Số kết thuận lợi B Ví dụ 4: Trong hộp có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp a) Xác định số phần tử không gian mẫu b) Tìm số kết thuận lợi biến cố A: “Lấy bi xanh bi đỏ” Lời giải: a) Phép thử chọn ngẫu nhiên bi từ hộp đựng 10 bi nên số phần tử không gian mẫu n ( ) = C102 = 45 b) Số kết thuận lợi A n ( A ) = C61 C41 = 24 Xác suất biến cố: Trong phép thử có số hữu hạn kết đồng khả xảy ra, xác suất biến cố n ( A) A kí hiệu P ( A ) tính theo cơng thức P ( A ) = , n ( A ) , n ( ) theo n () thứ tự số phần tử A không gian mẫu Một số tính chất: • P ( ) = 0, P ( ) = • P ( A ) 1, với biến cố A ( ) • P ( A ) = − P A , A A hai biến cố đối Ví dụ 1: Gieo súc sắc lần, tìm xác suất để số chấm thu số nguyên tố Lời giải: Mô tả không gian mẫu: = 1; 2; 3; 4; 5; 6 Suy ra: n ( ) = Mô tả biến cố A: “Số chấm thu số nguyên tố” A = 2; 3; 5 Suy n ( A ) = Vậy xác suất để biến cố A xảy P ( A ) = HOÀNG XUÂN NHÀN n ( A) = = n () ZALO: 0969 34 33 44 ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Ví dụ 2: Từ hộp đựng bi xanh bi vàng, lấy ngẫu nhiên viên bi, tính xác suất biến cố: a) A: “Lấy viên bi màu” b) B: “Lấy viên bi ln có đủ hai màu” c) C: “Lấy viên bi ln có bi màu vàng” Lời giải: a) Ta có: n ( ) = C114 Biến cố A xảy ta lấy bi xanh bi vàng Suy n ( A ) = C64 + C54 n ( A) C64 + C54 = = Xác suất để A xảy là: P ( A) = n () C114 33 b) Ta thấy B biến cố đối A, P ( B ) = − P ( A) = − 31 = 33 33 c) Xét biến cố đối C C : “Lấy viên bi khơng có màu vàng” ( ) ( ) C64 21 = C114 22 VII – ĐIỂM VÀ VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Ta có: n C = C64 Suy P ( C ) = − P C = − Tọa độ vectơ: Vectơ u có tọa độ ( x0 ; y0 ) u = x0 i + y0 j Tọa độ vectơ đơn vị: i = (1; ) , j = ( 0;1) Tọa độ vectơ không: = ( 0;0 ) Cho hai vectơ u = ( x ; y ) , v = ( x ; y ) , ta có: • u + v = ( x + x ; y + y ) • u − v = ( x − x ; y − y ) x = x • u=v y = y x = kx x y = • u phương với v k , u = kv k , với xy x y y = ky • ku = ( kx ; ky ) , k Ví dụ 1: Cho vectơ u , v biểu diễn sau: u = 2i − j , v = i + j a = ( 2m − 1; n + ) a) Xác định tọa độ vectơ u , v ; b) Tìm tọa độ u + v, u − 2v ; c) Hai vectơ u , v có phương? d) Tìm cặp số m, n cho a = u Lời giải: a) Ta có: u = ( 2; − 3) , v = (1;1) b) Ta có: u + v = ( + 1; − + 1) = ( 3; − ) ; u − 2v = ( − 2.1; − − 2.1) = ( 0; − ) 2 = k k = k , c) ☺ Cách 1: u , v phương k , u = kv k , (vơ lí) −3 = k k = −3 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 24 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO x2 y =1 Câu (1,5 điểm) Cho elip có phương trình tắc ( E ) : + a) Tìm tọa độ tiêu điểm F1 , F2 tiêu cự, tâm sai elip b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho MF1 − MF2 = Câu (1,0 điểm) Người ta làm thang bắc lên tầng hai ngơi nhà (hình vẽ), muốn họ cần làm đỡ BC có chiều dài m, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật tỉ số độ CE = Hỏi vị trí A cách vị trí B mét? dài BD Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: a) x + = x − x + ; b) x + 11 + x + = Câu (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau ln vơ nghiệm dù m lấy giá trị nào: x − ( m + 1) x + 2m + m + = Câu (1,5 điểm) Một đồn tàu nhỏ có toa khách đỗ sân ga, toa trống toa chứa nhiều người Có hành khách khơng quen biết bước lên tàu Hỏi có khả đó: a) Khách lên tàu tùy ý ; b) Mỗi khách lên toa ; c) Có hành khách lên toa, hành khách thứ ba lên toa khác? Câu (1,5 điểm) Xét biểu thức ( x + 1) a) Viết khai triển biểu thức nhị thức Newton theo thứ tự lũy thừa x tăng dần b) Chứng minh : C50 + C51 + C52 + C53 + C54 + C55 = 25 Câu (1,0 điểm) Kết ( b ; c ) việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, c số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình bậc hai x2 + bx + c = Tính xác suất để phương trình có nghiệm Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tham số đường thẳng biết đường trung trực đoạn thẳng AB với A ( 3;1) , B ( −3;5 ) x2 y Câu (1,0 điểm) Cho điểm M nằm hyperbol ( H ) : − = Nếu hồnh độ điểm M 16 khoảng cách từ M đến tiêu điểm ( H ) ? Câu (1,5 điểm) Một cổng hình bán nguyệt rộng 8,4 m, cao 4,2 m hình vẽ Mặt đường cổng chia làm hai cho xe vào a) Viết phương trình mơ cổng b) Một xe tải rộng 2,2m, cao 2,6 m đường quy định qua cổng mà khơng làm hư hỏng cổng hay khơng? HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 25 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO C – HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2022 – 2023 Câu (1,5 điểm) Giải phương trình sau: a) x + x + = − x ; b) x − x + = x − Hướng dẫn giải: a) Bình phương hai vế phương trình, ta được: x2 + 2x + = − x x2 + 3x + = x = −1 x = −2 Thay giá trị x = −1 , x = −2 vào phương trình ban đầu, ta thấy chúng thỏa mãn Vậy, tập nghiệm phương trình S = −1; − 2 b) Bình phương hai vế phương trình, ta được: 3x − x + = x − x + x − x − = x = x = − Thay giá trị x = , x = − vào phương trình ban đầu, ta thấy có x = thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình: S = 3 Câu (1,5 điểm) Cho f ( x ) = ( m + ) x − ( m − 1) x + + 2m (m tham số) a) Giải bất phương trình f ( x ) m = −3 b) Tìm tất giá trị m để phương trình f ( x ) = có nghiệm Hướng dẫn giải: a) Với m = −3 , ta có bất phương trình x2 + x − Vì tam thức bậc hai x2 + x − có hai nghiệm phân biệt −5 ; đồng thời a = nên x + x − x ( − ; − ) (1; + ) Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( − ; − ) (1; + ) b) Ta có: a = m + 4, b = − ( m − 1) , c = + 2m Trường hợp 1: a = m + = m = −4 Thay vào phương trình: x − = x = (có nghiệm) Do đó: m = −4 thỏa mãn Trường hợp 2: a = m + m −4 Phương trình có nghiệm = ( m − 1) − ( m + )(1 + 2m ) −7m2 − 38m −15 −5 m − 3 Kết hợp hai trường hợp trên, ta có m −5; − thỏa mãn đề 7 HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 26 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Câu (1,5 điểm) Từ nhóm 30 học sinh lớp 12 gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B học sinh khối C, cần chọn 15 học sinh, hỏi có cách chọn cho: a) Số học sinh khối ? b) Có học sinh khối A có học sinh khối C? Hướng dẫn giải: a) Số cách chọn học sinh khối (A, B, C) là: C155 , C105 , C55 Vậy số cách chọn thỏa mãn C155 C105 C55 = 756 756 (cách) b) Ta sử dụng quy tắc loại trừ lời giải sau: 13 Xét toán 1: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A: có C52C25 cách Xét tốn 2: Chọn học sinh khối C, 13 học sinh khối B khối A khơng thỏa u cầu • Trường hợp 1: Chọn học sinh khối C, 10 học sinh khối B học sinh khối A có C52C1010C153 cách • Trường hợp 2: Chọn học sinh khối C, học sinh khối B học sinh khối A có C52C109 C154 cách 13 − C1010C153 − C109 C154 = 51861950 (cách) Vậy số cách chọn thỏa mãn C52C25 Câu (1,0 điểm) Cho sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ sáu chữ số lập số tự nhiên, số có bốn chữ số khác không chia hết cho ? Hướng dẫn giải: Số có bốn chữ số có dạng abcd Đặt E = 0;1; 2;3; 4;5 Do abcd khơng chia hết có cách chọn d ( số: 1, 2, 3, 4) Chọn a E \ 0; d nên có cách chọn a Chọn b E \ a ; d nên có cách chọn b Chọn c E \ a ; b ; d nên có cách chọn c Theo quy tắc nhân ta có : 4.4.4.3 = 192 số tự nhiên thỏa mãn Câu (1,0 điểm) Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp 30 thẻ đánh số từ đến 30 a) Tính xác suất để thẻ lấy ghi số nguyên tố b) Tính xác suất để thẻ lấy ghi số không chia hết cho Hướng dẫn giải: Không gian mẫu = 1; 2; ; 30 n ( ) = 30 Gọi A biến cố “Thẻ lấy ghi số nguyên tố” B biến cố “Thẻ lấy ghi số không chia hết cho 5” 10 = a) Ta có: A = 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 n ( A ) = 10 Suy P ( A ) = 30 b) Từ khơng gian mẫu, có số tự nhiên chia hết cho 5, 10, 15, 20, 25, 30 Vì có 24 số tự nhiên khơng chia hết cho 5, hay n ( B ) = 24 Ta có: P ( B ) = n ( B ) 24 = = n ( ) 30 Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A ( −1; ) , B ( −3; −2 ) , C ( 4;1) HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 27 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng AB Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình đường trịn ( C ) qua điểm A, B có tâm nằm đường thẳng : 2x + y + = Hướng dẫn giải: a) AB có vectơ phương AB = ( −2; −6 ) nên có vectơ pháp tuyến n = ( 3; −1) Phương trình tổng quát AB : ( x + 1) − ( y − ) = x − y + = d ( C , AB ) = 3.4 − + 32 + ( −1) = 10 ; AB = 10 ; S ABC = d ( C , AB ) AB = 18 b) Gọi phương trình ( C ) : x2 + y − 2ax − 2by + c = với a2 + b2 − c Đường trịn có tâm I ( a; b ) 2a − 8b + c = −17 Do A, B ( C ) I nên ta có hệ phương trình: 6a + 4b + c = −13 2a + 3b = −4 Giải hệ phương trình trên, tìm ( a ; b ; c ) = ( −5; 2;9 ) Vậy phương trình đường trịn x2 + y + 10 x − y + = 1 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tắc elip (E), biết (E) qua điểm A ; có phương 2 trình đường chéo hình chữ nhật sở (E) x − y = Hướng dẫn giải: Gọi phương trình tắc elip ( E ) : x2 y + = với a b a b2 1 Ta có: A ; ( E ) + = (1) 2 a 4b Đường chéo hình chữ nhật có phương trình x − y = y = b x , suy = a = 2b (2) a x2 y + = b = a = Vậy phương trình tắc: ( E ) : + =1 Thay (2) vào (1) : 4b 4b Câu (1,0 điểm) Một tháp làm nguội nhà máy có mặt cắt hình hypebol x2 y2 có phương trình − = Biết chiều cao tháp 150 m khoảng cách 28 42 từ tháp đến đến tâm đối xứng hypebol lần khoảng cách từ tâm đối xứng đến đáy Tính bán kính bán kính đáy tháp HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 28 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Hướng dẫn giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ HK = 150 OH + OK = 150 Ta có : OH = 60 m, OK = 90 m 2 OH = OK OH = OK 3 Đường thẳng qua H, vuông góc Oy 1 : y = 60 1 cắt hypebol điểm có hồnh độ dương thỏa mãn x 602 − = x = 149 48,826 m 282 422 Đường thẳng qua K, vng góc với Oy : y = −90 cắt hypebol điểm có hồnh độ dương thỏa mãn x 902 − = x = 274 66, 212 m 282 422 Vậy bán kính tháp xấp xỉ 48,826 m , bán kính đáy tháp xấp xỉ 66, 212 m Câu (1,5 điểm) Giải phương trình sau: a) x2 − x − = − x2 + 2x + ; b) ( x − ) x + = x − Hướng dẫn giải: a) Bình phương hai vế phương trình: x − x − = − x + x + x − 3x − = x = −1 x = vào phương trình cho, ta thấy chúng thỏa mãn 5 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = −1; 2 Thay giá trị x = −1, x = b) Ta có: ( x − ) x + = x − x − = x = ( x − ) x + = ( x − )( x + ) 2 x + = x + x + = x + Xét phương trình HỒNG XN NHÀN x + = x + (1) ZALO: 0969 34 33 44 29 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO x = Bình phương hai vế (1), ta được: x + = x + x + x − x = x = Thay x = 0, x = vào phương trình (1), ta thấy chúng thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 0; 2; 4 Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình 1 − +1 x −1 x Hướng dẫn giải: x − ( x − 1) + x ( x − 1) x 1 x2 − x + Điều kiện: Ta có: − +1 0 x −1 x x −x ( x − 1) x x a1 = Dễ thấy x2 − x + 0, x = ( −1) − 4.1.1 Vì bất phương trình trở thành x2 − x x Tam thức bậc hai x2 − x có hai nghiệm x1 = 0, x2 = a2 = nên x − x x Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = ( − ;0 ) (1; + ) Câu (1,0 điểm) Tìm tất tham số m để f ( x ) = x − 2mx + m − m dương với x thuộc Hướng dẫn giải: Ta có: a = 1, b = −2m, c = m2 − m Theo giả thiết: f ( x ) 0, x 1 (luôn đúng) a 2 ( −2m ) − ( m − m ) 4m2 − 4m2 + 4m m Vậy với m f ( x ) 0, x Câu (1,5 điểm) Có sách lý, sách sinh, sách địa Hỏi có cách xếp sách vào giá sách hàng ngang nếu: a) Sắp xếp tùy ý ? b) Các sách môn học đứng cạnh ? Hướng dẫn giải: a) Số cách xếp tùy ý 12 sách lên giá 12! (cách) b) Gọi L nhóm sách lý, S nhóm sách sinh, Đ nhóm sách địa Số cách xếp L 3! ; số cách xếp S 4! ; số cách xếp Đ 5!; số cách xếp L, S, Đ với nhau: 3! Vậy số cách xếp thỏa mãn đề là: 3!4!5!3! = 103680 (cách) Câu (1, điểm) Cho 1 − x = a0 + a1 x + a2 x + a3 x3 + a4 x + a5 x a) Tìm hệ số lớn tất hệ số a0 , a1 , , a5 b) Tính tổng a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 30 ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Hướng dẫn giải: 5 a) Ta có: 1 − x = C50 + C51 − x + C52 − x + C53 − x + C54 − x + C55 − x 5 5 = − x + x − x3 + x − x5 = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + a4 x + a5 x (*) 2 16 32 5 5 Suy ra: a0 = 1, a1 = − , a2 = , a3 = − , a4 = , a5 = − 2 16 32 Ta thấy hệ số lớn tìm a2 = 1 b) Thay x = vào (*), ta được: 1 − = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 2 Vậy a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 32 Câu (1, điểm) Cho họ đường tròn ( Cm ) : x + y + 4mx + ( m + 1) y − = a) Tìm m để ( Cm ) qua điểm A (1; ) b) Chứng minh ( Cm ) ln đường trịn với số thực m Tìm bán kính bé đường tròn ( Cm ) Hướng dẫn giải: a) ( Cm ) qua điểm A (1; ) nên 12 + 02 + 4m.1 + ( m + 1) − = m = Vậy m = thỏa mãn đề b) Đặt a = ( m + 1) 4m = −2m, b = = − ( m + 1) , c = −1 −2 −2 nên ( Cm ) ln đường trịn với m Ta có : a + b − c = 4m + ( m + 1) + 0, m 2 1 9 Bán kính đường trịn : R = a + b − c = 5m + 2m + = m + + 5 5 2 Vậy bán kính nhỏ đườn trịn Rmin = ; m = − 5 x = t , d : x + y + = Viết phương trình tham số Câu (1,0 điểm) Cho hai đường thẳng d1 : y = −2 + 2t đường thẳng d qua điểm M ( 3;0 ) , đồng thời cắt hai đường thẳng d1 , d hai điểm A, B cho M trung điểm đoạn AB Hướng dẫn giải: HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 31 ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Xét đường thẳng d2 : x + y + = ; thay x = t y = −3 − t , ta có phương trình tham số x = t d2 : y = −3 − t Gọi A = d d1 A ( t ; − + 2t ) ; gọi B = d d B ( t ; − − t ) t + t 3 = Vì M ( 3;0 ) trung điểm đoạn AB nên 0 = −2 + 2t − − t 11 t = t + t = 11 16 16 Ta có A ; AM = − ; − = − u với u = (1;8 ) 3 3 3 2t − t = t = vectơ phương d x = + t Phương trình tham số d y = 8t Câu (1,0 điểm) Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B hịn đảo theo lộ trình đảo từ A đến C (đường bờ biển) từ C đến B (dưới nước) B hình vẽ Hịn đảo cách bờ biển km Giá để xây đường ống biển bờ 50000 USD km, giá để xây đường ống 6km nước 130000 USD km; B điểm bờ biển cho BB vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B km Biết chi phí làm đường ống 1170000 USD Hỏi vị C B' (9 - x)km x km trí C cách vị trí A km? bờ biển Hướng dẫn giải: A Gọi x = BC ( x ), đó: BC = x + 36 Số tiền xây đường ống bờ: ( − x ) 50 000 ; số tiền xây đường ống biển: 130 000 x + 36 Tổng chi phí bỏ để làm đường ống là: ( − x ) 50 000 + 130 000 x + 36 Theo giả thiết: ( − x ) 50 000 + 130 000 x + 36 = 1170 000 ( − x ) + 13 x + 36 = 117 13 x + 36 = x + 72 72 5 x + 72 x − x= 2 169 ( x + 36 ) = 25 x + 720 x + 5184 144 x − 720 x + 900 = Ta có BC = 2,5 km AC = − 2,5 = 6,5 km Vậy, ví trí C cách vị trí A khoảng 6,5 km HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 32 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Câu (1,5 điểm) Giải phương trình sau: a) x + = x − x + 11 ; b) 5x + 10 = − x Hướng dẫn giải: a) Bình phương hai vế phương trình, ta được: x2 + = x2 − x + 11 x2 + x − = x = x = −3 Thay giá trị x = , x = −3 vào phương trình, ta thấy chúng thỏa mãn Vậy, tập nghiệm phương trình S = 2; − 3 b) Bình phương hai vế phương trình, ta được: x = x + 10 = 64 − 16 x + x x − 21x + 54 = x = 18 Thay hai giá trị x = , x = 18 vào phương trình cho, ta thấy có x = thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình: S = 3 Câu (1,0 điểm) Tìm tất tham số m để f ( x ) = mx − x + m âm với x Hướng dẫn giải: Ta có: a = m, b = −2, c = m Theo giả thiết: mx2 − x + m 0, x (*) x 0, x Trường hợp 1: a = m = Thay vào (*): −2 x 0, x (sai) Suy m = không thỏa Trường hợp 2: a = m m m m a m Khi đó: (*) m −1 2 m m −1 m ( −2 ) − 4m.m m Vậy với m −1 f ( x ) ln âm với x Câu (1,5 điểm) c) Cho tập hợp A = 0; 1; 2; 3; 4; 5 Có thể lập số tự nhiên chẵn có bốn chữ số khác nhau? d) Cho hai đường thẳng d1 d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d có n điểm phân biệt (n 2) Biết có 2800 tam giác mà đỉnh chúng điểm nói Tìm n Hướng dẫn giải: a) Gọi số tự nhiên có bốn chữ số abcd với a, b, c, d lấy từ tập A Trường hợp 1: d = Chọn d: có cách Chọn a ( a ) : có cách Số cách chọn b, c 4, Số số tự nhiên trường hợp 1 = 60 Trường hợp 2: d 2; 4 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 33 ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Chọn d: có cách Chọn a ( a 0, a d ) : có cách Số cách chọn b, c 4, Số số tự nhiên trường hợp = 96 Vậy số số tự nhiên thỏa mãn đề 60 + 96 = 156 b) Nhận xét: Một tam giác tạo thành cần điểm thuộc d1 ; điểm thuộc d ngược lại Vì số tam giác có là: C102 Cn1 + C101 Cn2 Ta có: C102 Cn1 + C101 Cn2 = 2800 45n + 5n ( n − 1) − 2800 = n = 20 Câu (1,0 điểm) Xét biểu thức ( x + y ) + ( x − y ) Viết khai triển biểu thức nhị thức Newton 3 tìm tổng hệ số số hạng mà lũy thừa x lớn lũy thừa y Hướng dẫn giải: a) Ta có: ( x + y ) + ( x − y ) = C30 x + C31 x ( y ) + C32 x ( y ) + C33 ( y ) 3 +C30 ( x ) + C31 ( x ) ( − y ) + C32 ( x )( − y ) + C33 ( − y ) 2 = x3 + x2 y + 12 xy + y3 + 8x3 −12 x2 y + xy − y3 = 9x3 − 6x2 y + 18xy + y3 b) Có hai số hạng mà lũy thừa x lớn lũy thừa y x3 , − x2 y Tổng hệ số chúng: + ( −6 ) = Câu (1,0 điểm) Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để: a) Tổng số chấm thu từ hai súc sắc b) Tích số chấm hai súc sắc số phương Hướng dẫn giải: Số phần tử khơng gian mẫu n ( ) = = 36 a) Gọi biến cố A : “Tổng số chấm thu từ hai súc sắc 6” Ta có: A = (1; ) , ( 2; ) , ( 3; 3) , ( 5; 1) , ( 4; ) n ( A ) = n ( A) = n ( ) 36 b) Gọi biến cố C : “Tích số chấm hai súc sắc số phương” Ta có : C = (1; 1) , ( 2; ) , ( 3; 3) , ( 4; ) , ( 5; ) , ( 6; ) , (1; ) , ( 4; 1) n ( C ) = Do P ( A) = Vậy P ( C ) = n (C ) = = n ( ) 36 Câu (1,5 điểm) a) Tìm góc hai đường thẳng d1 , d biết rằng: d1 : x − y − 10 = d : x − y + = b) Viết phương trình đường thẳng d song song với : x + y − = cách điểm A ( −2; 3) khoảng Hướng dẫn giải: a) Hai đường d1 , d có cặp vectơ pháp tuyến n1 = ( 2; − 1) , n2 = (1; − 3) HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 34 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO n1.n2 2.1 + 3.1 ( d1 , d ) = 45 = = = n1 n2 + 1 + cos ( d1 , d ) = b) Ta có: d // : x + y − = Phương trình d có dạng: x + y + c = ( c −2 ) Mặt khác: d ( A, d ) = −2 + 4.3 + c + 16 = 10 + c = 17 d : x + y + 17 − 10 = c = 17 − 10 c = −3 17 − 10 d : x + y − 17 − 10 = Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x + y + 17 − 10 = 0; x + y − 17 − 10 = x2 y + =1 a) Tìm tọa độ tiêu điểm F1 , F2 tiêu cự, tâm sai elip Câu (1,5 điểm) Cho elip có phương trình tắc ( E ) : b) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( E ) cho MF1 − MF2 = Hướng dẫn giải: a) Ta có a2 = a = 2 ; b2 = b = ; c2 = a2 − b2 = c = Do elip có tiêu điểm F1 ( −2; ) , F2 ( 2; ) , tiêu cự F1F2 = 2c = , tâm sai e = c = a b) Gọi M ( x ; y ) ( E ) MF1 = a + c 1 x=2 2+ x, M F2 = 2 − x; a 2 1 MF1 − MF2 = 2 + x −2 − x = x = 2 Thay vào ( E ) : Vậy M ( y2 + = y2 = y = ) ; − M ( ) ; thỏa mãn đề Câu (1,0 điểm) Người ta làm thang bắc lên tầng hai ngơi nhà (hình vẽ), muốn họ cần làm đỡ BC có chiều dài m, đồng thời muốn đảm bảo kỹ thuật tỉ số độ CE = Hỏi vị trí A cách vị trí B mét? dài BD Hướng dẫn giải: Đặt AB = x Xét tam giác ABC vng B có: AC = x + 16 HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 35 ÔN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TỐN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO AC CE x + 16 = = AB BD x 5 x x x + 16 = x x = 2 16 x = 144 9 x + 16 = 25 x Theo tính chất định lí Ta-lét, ta có: ( ) Vậy hai vị trí A, B cách m Câu (1,5 điểm) Giải phương trình: a) x + = x − x + ; Hướng dẫn giải: b) x + 11 + x + = a) Bình phương hai vế phương trình, ta có: 3x − x + = x + 3x − x − = x = x = − Thay giá trị x = 1, x = − vào phương trình cho, ta thấy chúng thỏa mãn 1 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 1; − 3 b) Ta có: x + 11 + x + = x + 11 = − x − Bình phương hai vế phương trình, ta x + 11 = x + x + x − x − 10 = x = 65 65 − 65 vào phương trình ban đầu, ta thấy có x = thỏa mãn 2 − 65 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = Câu (1,0 điểm) Chứng minh phương trình sau ln vơ nghiệm dù m lấy giá trị nào: x − ( m + 1) x + 2m + m + = Thay hai giá trị x = Hướng dẫn giải: Ta có: a = 1, b = −2 ( m + 1) , b = − ( m + 1) , c = 2m + m + = ( m + 1) − ( 2m + m + 3) = − m + m − Đặt f ( m ) = − m + m − với f = − ( −1)( −2 ) = −7 Bảng xét dấu f ( m ) : HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 36 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy f ( m ) 0, m CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Do phương trình cho ln vô nghiệm với giá trị m Câu (1,5 điểm) Một đồn tàu nhỏ có toa khách đỗ sân ga, toa trống toa chứa nhiều người Có hành khách không quen biết bước lên tàu Hỏi có khả đó: a) Khách lên tàu tùy ý ; b) Mỗi khách lên toa ; c) Có hành khách lên toa, hành khách thứ ba lên toa khác? Hướng dẫn giải: a) Khách lên tàu tùy ý nên khách có lựa chọn Vậy số khả thỏa mãn = 27 b) Số cách chọn toa để xếp hành khách là: A33 = 3! = c) Giai đoạn 1: Chia hành khách làm hai nhóm X, Y: nhóm có người nhóm có người Số cách thực là: C32 Giai đoạn 2: Chọn toa tàu để xếp hai nhóm X, Y vào, số cách thực A32 Vậy số cách xếp khách lên tàu thỏa mãn C32 1 A32 = 18 Câu (1,5 điểm) Xét biểu thức ( x + 1) a) Viết khai triển biểu thức nhị thức Newton theo thứ tự lũy thừa x tăng dần b) Chứng minh : C50 + C51 + C52 + C53 + C54 + C55 = 25 Hướng dẫn giải: a) Ta có: ( x + 1) = C50 x + C51 x + C52 x + C53 x + C54 x + C55 (*) = + 5x + 10 x2 + 10 x3 + 5x4 + x5 b) Từ khai triển (*) câu a), thay x = , ta được: (1 + 1) = C50 15 + C51.14 + C52 13 + C53 12 + C54 + C55 = C50 + C51 + C52 + C53 + C54 + C55 Vậy C50 + C51 + C52 + C53 + C54 + C55 = 25 Câu (1,0 điểm) Kết ( b ; c ) việc gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần, b số chấm xuất lần gieo đầu, c số chấm xuất lần gieo thứ hai, thay vào phương trình bậc hai x2 + bx + c = Tính xác suất để phương trình có nghiệm Hướng dẫn giải: Số phần tử không gian mẫu n ( ) = = 36 Xét biến cố A : “Phương trình x2 + bx + c = có nghiệm” b2 Trường hợp 1: b Khi c nhận giá trị tùy ý từ đến 6, nên có tất 2.6 = 12 kết thuận lợi cho biến cố A Trường hợp 2: b = Khi c , nên có 1.4 = kết thuận lợi cho biến cố A Ta có: = b2 − 4c Điều kiện toán là: = b − 4c c HOÀNG XUÂN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 37 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Trường hợp 3: b Ta thấy có ba kết thỏa mãn ( 3;1) , ( 3; ) , ( 2; 1) Vậy n ( A ) = 12 + + = 19 Xác suất để phương trình có nghiệm P ( A ) = n ( A) 19 = n ( ) 36 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tham số đường thẳng biết đường trung trực đoạn thẳng AB với A ( 3;1) , B ( −3;5 ) Hướng dẫn giải: Đường thẳng qua trung điểm I ( 0;3 ) đoạn AB, đồng thời nhận AB = ( −6; ) làm vectơ pháp tuyến, nhận u = ( 2;3) làm vectơ phương x = 2t Vậy phương trình tham số là: y = + 3t x2 y Câu (1,0 điểm) Cho điểm M nằm hyperbol ( H ) : − = Nếu hoành độ điểm M 16 khoảng cách từ M đến tiêu điểm ( H ) ? Hướng dẫn giải: Ta có : a2 = 16, b2 = 9, c2 = a2 + b2 = 25 c = Tiêu điểm ( H ) F1 ( −5;0 ) F2 ( 5; ) Thay x = vào phương trình (H) : ( 82 y − = y = 3 16 ) ( ) Có hai điểm thỏa mãn M 8;3 M 8; − 3 Ta có: M1F1 = M F1 = 14 , M1F2 = M F2 = Câu (1,5 điểm) Một cổng hình bán nguyệt rộng 8,4 m, cao 4,2 m hình vẽ Mặt đường cổng chia làm hai cho xe vào a) Viết phương trình mơ cổng b) Một xe tải rộng 2,2m, cao 2,6 m đường quy định qua cổng mà khơng làm hư hỏng cổng hay khơng? HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44 38 ƠN TẬP KIỂM TRA HỌC KÌ II – TOÁN 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Hướng dẫn giải: a) Đặt hệ trục Oxy hình vẽ với gốc O tâm bán nguyệt Khi cổng cho nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 4, 2m ; phương trình nửa x + y = 4, 22 đường tròn là: y b) Xe tải phải đường bên phải (ứng với phần tư đường trịn) Xe tải muốn qua khơng vướng đường chéo mặt cắt ngang xe tải (giả sử hình chữ nhật) nhỏ bán kính cổng bán nguyệt Đường chéo cần tìm : 2, 22 + 2, 62 3, m R Vậy xe tải qua cổng mà khơng gây hư hỏng HỒNG XN NHÀN ZALO: 0969 34 33 44
Ngày đăng: 21/06/2023, 06:06
Xem thêm:
