- Do tại VTCB lò xo không biến dạng, nên chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động lần lượt A A ℓ ℓ , trong đó ℓ0 là chiều dài tự nhiên của lò xo.. Tính chiề
Trang 1DẠNG 1 CHU KỲ, TẦN SỐ DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO
♦ Phương pháp giải bài tập
- Tần số góc, chu kỳ dao động, tần số dao động:
f
= π= π
ω
ω
- Trong khoảng thời gian ∆t vật thực hiện được N dao động thì
2 N
N N
f t
π
ω =
=
- Khi tăng khối lượng vật nặng n lần thì chu kỳ tăng n lần, tần số giảm n
- Khi mắc vật có khối lượng m1 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ 1
1
m
k
= π
Khi mắc vật có khối lượng m2 vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ 2
2
m
k
= π
Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 + m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ T= T12+T22
Khi mắc vật có khối lượng m = (m1 – m2) vào lò xo có độ cứng k thì hệ dao động với chu kỳ T= T12−T22
♦ Các ví dụ mẫu
Bài 1 Một vật khối lượng m = 500 (g) mắc vào một lò thì hệ dao động điều hòa với tần số f = 4 (Hz)
a) Tìm độ cứng của lò xo, lấy ππππ2
= 10
b) Thay vật m bằng vật khác có khối lượng m’ = 750 (g) thì hệ dao động với chu kỳ bao nhiêu?
Giải:
a) Độ cứng của lò xo là k = mω2
= m(2πf)2 = 0,5.(2π.4)2 = 320 (N/m)
b) Khi thay m bằng vật m’ = 750 (g) thì chu kỳ dao động là T ' 2 m ' 2 0, 75 0,3 (s)
Bài 2 Một vật khối lượng m = 250 (g) mắc vào một lò có độ cứng k = 100 (N/m) thì hệ dao động điều hòa a) Tính chu kỳ và tần số dao động của con lắc lò xo
b) Để chu kỳ dao động của vật tăng lên 20% thì ta phải thay vật có khối lượng m bằng vật có khối lượng m’
có giá trị bằng bao nhiêu?
c) Để tần số dao động của vật giảm đi 30% thì phải mắc thêm một gia trọng ∆m có trị số bao nhiêu?
Giải:
a) Ta có T 2 m 2 0, 25 0,1 (s) f 1 10(Hz)
π
b) Chu kỳ tăng lên 20% nên T ' 120%T m ' 12 m m ' 1, 44m 360 (g)
10
0, 49
+ ∆
Bài 3 Một vật khối lượng m treo vào lò xo thẳng đứng thì dao động điều hòa với tần số f 1 = 6 (Hz) Treo thêm gia trọng ∆∆∆∆m = 4 (g) thì hệ dao động với tần số f 2 = 5 (Hz) Tính khối lượng m của vật và độ cứng k của
lò xo
03 CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ CON LẮC LÒ XO
Trang 2Giải:
Từ công thức tính tần số dao động
1
2 1 2
f
f
=
π
=
Lại có k = mω2
= m(2πf1)2 = 0,1/11 (2π.6)2≈ 13,1 (N/m)
DẠNG 2 CÁC DẠNG CHUYỂN ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO
♦ Phương pháp giải bài tập
TH1: Hệ dao động trên mặt phẳng ngang
- Tại VTCB lò xo không bị biến dạng (∆ℓ0 = 0)
- Do tại VTCB lò xo không biến dạng, nên chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động lần lượt
A
A
ℓ ℓ , trong đó ℓ0 là chiều dài tự nhiên của lò xo
- Lực đàn hồi tác dụng vào lò xo chính là lực hồi phục, có độ lớn Fhp = k.|x|
Từ đó, lực hồi phục cực đại là Fhp.max = kA
TH2: Hệ dao động theo phương thẳng đứng
0
ℓ
ℓ
Từ đó, chu kỳ và tần số dao động của con lắc được cho bởi
0
0
2
g
f
= π= π ∆
ω
ω
ℓ
ℓ
- Do tại VTCB lò xo bị biến dạng, nên chiều dài của lò xo tại VTCB được tính bởi ℓcb = ℓ0 + ∆ℓ0, với ℓ0 là chiều dài tự nhiên của lò xo
Từ đó, chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo là
max min
cb
A
2
−
=
⇒
ℓ
- Lực đàn hồi tác dụng vào lò xo được tính bằng công thức Fđh = k.∆ℓ, với ∆ℓ là độ biến dạng tại vị trí đang xét Để
tìm được ∆ℓ ta so sánh vị trí cần tính với vị trí mà lo xo không biến dạng
Trong trường hợp tổng quát ta được công thức tính ∆ℓ = |∆ℓ0 ± x|, với x là tọa độ của vật tại thời điểm tính Việc
lấy dấu cộng (+) hay dấu trừ (–) còn phụ thuộc vào chiều dương, và tọa độ của vật tương ứng Từ đó ta được công
thức tính lực đàn hồi tại vị trí bất kỳ là Fđh = k.∆ℓ = k.|∆ℓ0 ± x|
Lực đàn hồi cực đại Fmax = k(∆ℓ0+ A), lực đàn hồi cực tiểu min 0 0
♦ Các ví dụ mẫu
Bài 1 Một con lắc lò xo có m = 400 (g) dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với tần số f = 5 (Hz) Trong quá trình dao động, chiều dài lò xo biến đổi từ 40 (cm) đến 50 (cm) Lấy ππππ2
= 10
a) Tính độ dài tự nhiên ℓ 0 của lò xo
b) Tìm độ lớn vận tốc và gia tốc khi lò xo có chiều dài 42 (cm)
c) Tìm F max và F khi lò xo dài 42 (cm)
Giải:
Trang 3a)
( ) ( )
0,01 (m) = 1 (cm)
ℓ
Trong quá trình dao động, chiều dài lò xo biến đổi từ 40 (cm) đến 50 (cm) nên ta có
max min
2
−
⇒
b) Tại VTCB, lò xo có chiều dài ℓcb = ℓ0 + ∆ℓ0 = 44 + 1= 45 (cm)
Tại vị trí mà lò xo dài ℓ = 42 cm thì vật cách VTCB một đoạn |x| = 45 – 42 = 3 (cm)
Độ lớn vận tốc v= ω A2−x2 = π2 f A2−x2 = π2 5 52−32 = π40 (cm/s) = 0,4 (m/s)π
Độ lớn gia tốc a = ω2
|x| = (2πf)2.|x| = (2π5)2.0,03 = 30 (m/s2)
c)Độ cứng của lò xo là k = mω2
= m.(2πf)2 = 0,4.(2π.5)2 = 40 (N/m) Lực đàn hồi cực đại:Fmax = k(∆ℓ0 + A) = 40(0,01 + 0,05) = 24 (N)
Khi lò xo có chiều dài 42 cm thì vật nặng ở cách vị trí cân bằng 3 cm Do chiều dài tự nhiên của lò xo là 44 cm nên vật nặng cách vị trí mà lò xo không biến dạng là 2 (cm) hay lò xo bị nén 2 (cm) ⇒ ∆ℓ = 2 (cm)
Khi đó, lực đàn hồi tác dụng vào vật nặng ở vị trí lò xo dài 42 (cm) là F = k.∆ℓ = 40.0,02 = 8 (N)
Bài 2 Một con lắc lò xo có độ cứng của lò xo là k = 64 (N/m) và vật nặng có khối lượng m = 160 (g) Con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng
a) Tính độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng, lấy g = 10 (m/s 2 )
b) Biết lò xo có chiều dài tự nhiên là ℓ 0 = 24 (cm), tính chiều dài của lò xo tại vị trí cân bằng
c) Biết rằng khi vật qua vị trí cân bằng thì nó đạt tốc độ v = 80 (cm/s) Tính chiều dài cực đại và cực tiểu của
lò xo trong quá trình dao động của vật
Giải:
a) Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng là 0 mg 0,16.10 0,025 (m) 2,5 (cm)
b) Tại VTCB lò xo có chiều dài ℓcb = ℓ0 + ∆ℓ0 = 24 + 2,5= 26,5 (cm)
c) Tốc độ khi vật qua vị trí cân bằng là tốc độ cực đại nên vmax = ωA
lượt là max cb
min cb
Bài 3 Một vật treo vào lò xo thẳng đứng làm lò xo dãn 10 (cm)
a) Tính chu kỳ dao động điều hòa của con lắc lò xo, lấy g = 10 (m/s 2 )
b) Tìm ℓ max , ℓ min của lò xo trong quá trình dao động, biết F max = 6 (N), F min = 4 (N) và ℓ 0 = 40 (cm)
c) Tìm chiều dài của lò xo khi lực đàn hồi tác dụng vào lò xo là F = 0,5 (N)
Giải:
a) Theo bài ta có ∆ℓ0 = 10 (cm), tần số góc dao động là
0
5
π π
b) Ta có max 0
ℓ ℓ
Khi đó, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo là max 0 0
0
ℓ
ℓ
theo bài, F = 0,5 (N) = k.∆ℓ ⇒ độ biến dạng của lò xo tại vị trí này là ∆ℓ = F/k = 0,01 (m) = 1 (cm)
do chiều dài tự nhiên là 40 (cm), nên để lò xo bị biến dạng 1 cm, (giãn hoặc nén 1 cm) thì chiều dài của lò xo nhận các giá trị 39 cm (tức bị nén 1 cm) hoặc 41 cm (tức bị dãn 1 cm)
DẠNG 3 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA CON LẮC LÒ XO
♦ Phương pháp giải bài tập
Trang 4Giả sử phương trình dao động của con lắc lò xo là x = Acos(ωt + ϕ) cm Ta cần xác định các đại lượng trong phương trình:
- Tần số góc ω:
0
max max
k
2
2 f T v
a v
ω = = ∆
ω = π= π
ω =
−
ω =
ℓ
- Biên độ dao động A:
max
2 2 2
max min
v A
v
A
2
=
ω
- Pha ban đầu ϕ: Tại t = 0, 0
0
♦ Các ví dụ mẫu
Bài 1 Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với chu kì T = 2 (s) Vật qua VTCB với vận tốc v 0 = 31,4 (cm/s) Biết vật nặng của con lắc có khối lượng m = 1 (kg)
a) Viết phương trình dao động của con lắc, chọn t = 0 lúc vật qua VTCB theo chiều dương
b) Tính cơ năng toàn phần và động năng của vật khi vật ở li độ x = –8 (cm)
c) Tìm vị trí của vật mà tại đó động năng lớn gấp 3 lần thế năng
Giải:
a) Phương trình dao động điều hòa của con lắc có dạng x = Acos(ωt + ϕ) cm
Ta có: T = 2 (s) ⇒ ω = 2π/T = 2π/2 = π (rad/s)
Khi vật qua VTCB thì tốc độ của vật đạt cực đại, khi đó vmax = ωA ≈10π (cm/s) ⇒ A = vmax/ω = 10π/π = 10 (cm) Tại t = 0, vật qua VTCB theo chiều dương 0
0
(rad)
> −ω ϕ > ϕ <
Vậy phương trình dao động của vật là x = 10cos(πt – π/2) cm
b) Cơ năng toàn phần của vật là 1 2 2 1 2 2
khi vật có li độ x = – 8 (cm), thế năng của vật là Et 1m 2x2 1 2.0,082 0,032 (J)
⇒ Động năng của vật là Eđ = E – Et = 0,05 – 0,032 = 0,018 (J)
c) Khi động năng gấp ba lần thế năng ta có d t 2 2
t
=
Bài 2 Một vật có khối lượng m = 400 (g) được treo vào lò xo có hệ số đàn hồi k = 100 (N/m), hệ dao động
điều hòa Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng 2 (cm) rồi truyền cho nó vận tốc ban đầu v 0 =15 5 (cm/s) theo π
phương thẳng đứng Lấy ππππ2
= 10
a) Tính chu kỳ, biên độ dao động và vận tốc cực đại của vật
b) Viết phương trình dao động, chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất và chiều dương hướng lên c) Biết chiều dài tự nhiên của lò xo là ℓℓℓℓ0 = 40 (cm), tính chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình vật dao động điều hòa
d) Tính độ lớn lực đàn hồi cực đại, cực tiểu của vật trong quá trình dao động
e) Tại vị trí mà vật có động năng bằng 3 lần thế năng thì độ lớn của lực đàn hổi bằng bao nhiêu?
Giải:
a) Ta có: k 100 5 T 2 0, 4 (s)
π
ω
( )
2 2
2 2
15 5 v
5
π
Tốc độ cực đại của vật là vmax =ωA = 7.5π = 35π (cm/s)
b) Phương trình dao động điều hòa có dạng x = 7cos(5πt + ϕ) cm
Tại t = 0, vật ở vị trí thấp nhất, chiều dương hướng lên ⇒ x0 = – A ⇔ Acosϕ = – A ⇒ cosϕ = –1 ⇔ϕ = π (rad)
Trang 5⇒ Phương trình dao động là x = 7cos(5πt + π) (cm)
c) Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng là 0 mg 0, 4.10 0,01 (m) 1 (cm)
Từ đó, chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo là max 0 0
d) Ta có: max ( 0 ) ( )
ℓ
ℓ
e) Khi động năng gấp ba thế năng ta có:
t
A
2
=
ℓ
ℓ
Bài 3 Một lò xo (khối lượng không đáng kể) đầu trên cố định, đầu dưới treo vật có khối lượng 80 (g) Vật nặng dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 4,5 (Hz) Trong quá trình dao động
độ dài ngắn nhất của lò xo là 40 (cm) và dài nhất là 56 (cm)
a) Viết phương trình dao động, chọn gốc toạ độ ở vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, t = 0 lúc lò xo ngắn nhất
b) Tìm độ dài tự nhiên của lò xo, lấy g = 10 (m/s 2 )
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi nó ở li độ x = 4 (cm)
Giải:
a) Phương trình dao động điều hòa của vật có dạng x = Acos(ωt + ϕ) cm
với ω = 2πf = 2π.4,5 = 9π (rad/s)
Biên độ dao động của vật thoải mãn A = (ℓmax – ℓmin)/2 = 8 (cm)
Tại t = 0, lò xo ngắn nhất ⇒x = – A ⇔ cosϕ = – 1 ⇔ϕ = π (rad)
Vậy phương trình dao động là x = 8cos(9πt + π) cm
b) Tại vị trí cân bằng lò xo biến dạng đoạn ∆ℓ0 = g/ω2
= 10/810= 1/81 m = 100/81 cm
⇒ Chiều dài tự nhiên của lò xo là ℓ0 = ℓmax – A – ∆ℓ0 = 56 – 8 – 100/81 ≈ 46,8 cm
c) Tại x = 4, v= ±ω A2−x2 = ± π9 82−42 = ±36 3 (cm/s)π ; a = –ω2
x = –(9π)2.0,04= –32,4 (m/s2)
Bài 4 Một vật nặng có khối lượng m = 100 (g), gắn vào một lò xo có khối lượng không đáng kể, đầu kia của
lò xo treo vào một điểm cố định Vật dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số f = 3,5 (Hz) Trong quá trình dao động, độ dài của lò xo lúc ngắn nhất là 38 (cm) và lúc dài nhất là 46 (cm)
a) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc thời gian là lúc vật ở vị trí thấp nhất, chiều dương hướng lên trên
b) Tính độ dài tự nhiên ℓℓℓℓ0 của lò xo khi không treo vật nặng
c) Tính vận tốc và gia tốc của vật khi ở cách vị trí cân bằng 2 (cm)
Giải:
a) Phương trình dao động điều hòa của vật có dạng x = Acos(ωt + ϕ) cm
với ω = 2πf = 2π.3,5 = 7π (rad/s)
A = (ℓmax – ℓmin)/2 = 4 cm
Mặt khác, tại t = 0 vật ở vị trí thấp nhất ⇒ x = – A ⇔ cosϕ = – 1 ⇔ϕ = π (rad)
Vậy phương trình dao động của vật là x = 4cos(7t + π) cm
b) Độ biến dạng của lò xo tại vị trí cân bằng là ∆ℓ0 = g/ω2
= 10/490= 1/49 m = 100/49 cm
⇒ Chiều dài tự nhiên của lò xo là ℓ0 = ℓmax – A – ∆ℓ0 = 46 – 4 – 100/49 ≈ 39,96 cm
c) Vật cách vị trí cân bằng 2 cm ⇒ x = ± 2 cm
Với x = ± 2, v= ±ω A2−x2 = ± π7 42−22 = ±14 3 (cm/s)π ; a = –ω2
x = –(7π)2 (±0,02) = ∓ 9,8 (m/s2)
Bài 5 Một lò xo có khối lượng không đáng kể và chiều dài ℓℓℓℓ0 = 29,5 (cm) được treo thẳng đứng Phía dưới treo một vật nặng khối lượng m Kích thích cho vật dao động điều hòa thì chiều dài của lò xo biến đổi từ 29 (cm) đến 35 (cm) Cho g = 10 (m/s 2 )
a) Tính chu kỳ dao động điều hòa của con lắc
b) Viết phương trình dao động của con lắc, chọn gốc thời gian là lúc lò xo có chiều dài 33,5 (cm) và đang chuyển động về phía vị trí cân bằng, chọn chiều dương hướng lên
Giải:
Trang 6a) Biên độ dao động của vật được cho bởi A = (ℓmax – ℓmin)/2 = 3 cm
Từ công thức ℓmax = ℓ0 + ∆ℓ0 + A ⇒ ∆ℓ0 = ℓmax – A – ℓ0 = 2,5 (cm)
0
ℓ
ℓ
b) Tại vị trí cân bằng, chiều dài của lò xo là ℓcb = ℓ0 + ∆ℓ0 = 29,5 + 2,5 = 32 (cm)
Tại thời điểm t = 0, ℓ = 33,5 cm ⇒ x0 = – 1,5 cm (do chọn chiều dương hướng lên) và sinϕ < 0 ⇒ ϕ = – 2π/3 (rad) Vậy phương trình dao động của con lắc là x = 3cos(20t – 2π/3) cm
Bài 6 Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ cố định, đầu dưới của lò xo treo một vật nặng có khối lượng m = 100 (g) Lò xo có độ cứng k = 25 (N/m) Kéo vật ra khỏi VTCB theo phương thẳng
đứng và hướng xuống dưới một đoạn 2 (cm) rồi truyền cho nó một vận tốc v =10π 3 (cm/s)0 hướng lên Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, gốc toạ độ là VTCB, chiều dương hướng xuống Lấy g = 10 (m/s 2 ), ππππ2
= 10
a) Viết phương trình dao động của vật nặng
b) Xác định thời điểm mà vật qua vị trí lò xo dãn 2 (cm) lần đầu tiên
c) Tìm độ lớn lực phục hồi như ở câu b
Giải:
a) Phương trình dao động điều hòa của vật có dạng x = Acos(ωt + ϕ) cm
Tần số góc của vật là ω = k = 25 = 5π (rad/s)
Từ hệ thức liên hệ ta có
2 2
5
π
= + = + = ⇒ =
Tại t = 0, x = 2 cm và sin ϕ > 0 (do vận tốc truyền hướng lên trên trong khi chiều dương hướng xuống ⇒ v < 0)
Từ đó ta được 0
0
1
(rad) 3
2
π
ϕ =
<
−ω ϕ < ϕ >
Vậy phương trình dao động của vật là x = 4cos(5πt + π/3) cm
b) Độ biến dạng của lò tại vị trí cân bằng
0
mg
0, 04 (m) 4 (cm)
k
khi lò xo dãn 2 (cm) thì vật nặng có li độ x = –2 (cm)
Đến đây ta có hai phương án giải:
Cách 1 (sử dụng phương trình lượng giác)
Ta thấy để lần đầu tiên vật qua li độ x = –2 (cm) thì trên sơ đồ vật đi theo
chiều âm Khi đó ta có:
3
π + = −
= −
− π π + <
min
1
15
Cách 2 (sử dụng trục thời gian trong trường hợp đặc biệt)
Vật bắt đầu dao động từ li độ x = 2 (cm) theo chiều âm, để vật lần đầu tiên
qua vị trí lò xo dãn 2 (cm) (tức là đi từ x = 2 đến x = –2) thì vật đi hết thời
gian T/6 Vậy khi vật ở x = –2 (cm) lần đầu tiên là t T 2 1 (s)
π
ω
c) Độ lớn lực hồi phục khi vật ở li độ x = –2 (cm) là Fhp = k|x| = 25.0,02 = 0,5 (N)