Phương trình parabolic ngược và ứng dụng trong bài toán nguồn ô nhiễm nước ngầm

Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn ô nhiễm nước ngầm SỞ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT PHƢƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƢỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN Ơ NHIỄM NƢỚC NGẦM Cơ quan chủ trì: Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn Chủ nhiệm đề tài: TS NGUYỄN HUY TUẤN TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 10/2014 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT PHƢƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƢỢC VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN Ơ NHIỄM NƢỚC NGẦM Viện Trưởng Nguyễn Kỳ Phùng Đơn vị thực hiện: PTN Khoa Học Môi Trường Chủ nhiệm đề tài TS NGUYỄN HUY TUẤN TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 10/2014 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm MỤC LỤC Page GIỚI THIỆU 2 ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 BÁO CÁO KHOA HỌC 3.2 TÀI LIỆU XUẤT BẢN 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 PHỤ LỤC 25 5.1 PHỤ LỤC 1: 26 Bài báo “On a initial inverse problem in nonlinear heat equation associated with time-dependent coefficient” 5.1 PHỤ LỤC 2: Bài báo “Identification of the pollution source of a parabolic equation with 27 the time-dependent heat conduction” Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm GIỚI THIỆU Ô nhiễm nước ngầm vấn đề môi trường nghiêm trọng toàn hệ sinh thái Chất lượng số lượng nước ngầm dễ bị ảnh hưởng người thay đổi môi trường tự nhiên Do trình tự làm nguồn nước ngầm bị nhiễm q trình chậm, nên phương pháp khắc phục hậu ô nhiễm mơi trường thường sử dụng học, hóa học sinh học Những phương pháp thường tốn kém, khó thực số trường hợp Để thực phương pháp khắc phục thành công hiệu quả, cần cơng cụ giám sát Một mơ hình số cung cấp giải pháp xa cho trình Để xây dựng mơ hình cho hệ thống nước ngầm thực sự, có hai cách tiếp cận truyền thống: tốn mơ thuận (forward simulation) tốn mơ ngược (backward inverse calibration).Trước dự đoán trạng thái hệ thống chưa biết cách giải phương trình chủ yếu liên quan, sau xác định thông số vật lý chưa rõ Do liệu số thông số vật lý quan sát trực tiếp nhiều trường hợp, phải giải toán ngược để tìm cấu trúc mơ hình thích hợp thơng số mơ hình, sau giải tốn thuận để có kết dự báo cần thiết Những thập niên vừa qua, nhiều nghiên cứu thực với tốn ngược để tìm giải tốn nhiễm nước ngầm Phương pháp sử dụng nhiều phương pháp tối ưu để nhận nghiệm thích hợp tính khơng nghiệm vô số kết hợp tin Gorelik et al (1983) lần giải tốn thuận với mơ hình tối ưu tuyến tính phương pháp quy hoạch tuyến tính thống kê đa biến Mơ hình tối ưu cung cấp phương pháp hiệu để nhận biết trình truyền tải vị trí nguồn gây nhiễm nước ngầm môi trường đồng Tuy nhiên lược đồ tối ưu cổ điển tốn nhiều thời gian tính tốn, sai số tính tốn lớn, hạn chế trường hợp mà số liệu thu thập có dạng phân bố tập trung theo đường cong (“breakthrough curves”) Những khó khăn gặp phải việc giải toán đề cập tính chất giả định họ đặt ý nghĩa Hadamard [23] Cho liệu đo tốt, chúng tơi khơng có giải pháp tốt phương pháp thơng thường, thực tế Nói cách khác, ổn định chương trình giải pháp bị vi phạm Tổng quát hơn, lý thuyết tốn ngược đặt ra, khơng có chiến lược chung để đối phó với tốn này, phương trình địi hỏi phương pháp cụ thể khác nhau, tùy thuộc vào đặc điểm phương trình Các thiết lập xác tốn quy tắc phần quan trọng đường để giải tốn Tìm ước tính lỗi nhiệm vụ khó khăn Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm nghiên cứu Đối với số toán, ước tính khơng dễ dàng có Vì vậy, bên cạnh vài nghiên cứu trước đây, kết thu từ nghiên cứu thêm vào lý thuyết toán ngược đặt ra, đặc biệt tốn Cauchy cho phương trình parabol ngược ứng dụng nguồn nước ngầm ô nhiễm Lời cảm ơn Nghiên cứu tài trợ Viện Khoa học Công nghệ tính tốn Thành phố Hồ Chí Minh (ICST phố Hồ Chí Minh) với tên dự án phương trình parabol ngược ứng dụng nguồn gây ô nhiễm nước ngầm Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm : Khoa học Mơi Trường Chủ nhiệm đề tài : TS Nguyễn Huy Tuấn Thành viên đề tài : TS Nguyễn Huy Tuấn BS Lê Đình Long Cơ quan phối hợp : Đại học Khoa học tự nhiên thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Đại học Quốc Gia Seoul, Hàn Quốc Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 BÁO CÁO KHOA HỌC Bài tốn 1: (Xác định nguồn nhiễm phương trình parabol với dẫn nhiệt phụ thuộc thời gian) Chúng tơi xét tốn tìm cặp hàm (u, F) thỏa mãn phương trình sau ut  Duxx  Vux  Ru  F ( x , t ), (x,t)   (0,T)  u   (1)  u( x ,0)  u( x , T )  g( x ), x    Chúng tơi giải vài tốn tổng quát Bài toán (1) Bài toán 2: (Một tốn ngược phương trình nhiệt phi tuyến kết hợp với hệ số phụ thuộc thời gian) Chúng tơi xét tốn tìm nhiệt độ u(x, t), (x, t) ∈ R × [0; T ], sau ut  D(t )uxx  F ( x, t, u), (x,t)  (0,T)    u( x, T )  g( x ), x  (2) với D=D(t) hệ số phụ thuộc thời gian Trong toán số 1, chúng tơi xét tốn sau ut  Duxx  Vux  Ru   (t ) f ( x ),  , u(0, t )  u( , t )   , u( x,0)  u( x, T )  g( x ) ,  (x,t)  (0,  )  (0,T) t  (0, T ) x  (0,  ) (1) x  (0,  ) Bài toán ngược nguồn giả định.Thật vậy, giải pháp tương ứng với liệu đưa khơng thể khơng tồn tại, chí giải pháp tồn (duy nhất) sau khơng phụ thuộc liên tục vào liệu Bởi tốn giả định chặt chẽ khó khăn, nhiều giả thiết dạng nguồn nhiệt theo thứ tự Trong thực tế, cho  (t) n hàm F viết  F( , t)  n (t) fn ( ) Trong trường hợp đơn giản nhất, rút gọn xấp xỉ để n0 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm giới hạn đầu F( x, t)   (t) f ( x),  cho trước, giới hạn nguồn dạng xuất thường xuyên, ví dụ, giới hạn kiểm sốt cho phương trình parabolic Trong [1,2], tác giả xác định nguồn nhiệt phụ thuộc vào biến miền bị chặn phương pháp tựa giá trị biên thuật toán lặp lặp lại Trong [3], tác giả nghiên cứu nguồn nhiệt phụ thuộc thời gian phương pháp giải pháp Trong thời gian dài, nghiên cứu từ nguồn nhiệt thời gian phụ thuộc [4,5,6] khơng gian phụ thuộc [1,2,6-8] Trong et al [9,10] xem xét toán phương pháp biến đổi Fourier Tuy nhiên hội tụ, ổn định nhanh với giải pháp xác Phương pháp cho thấy ổn định hội tụ giải pháp xác Sau đó, chúng tơi ước tính sai số giải pháp xác giải pháp quy tắc với bậc logarit Holder Cuối cùng, số thí nghiệm đưa Các chi tiết viết gọi Phụ lục Bài tốn (1) biến đổi d  dt u( x, t ),sin nx  n a(t ) u( x, t ),sin nx   (t ) f ( x ),sin nx ,  t  T ,   u( x , t ),sin nx    u( x , T ),sin nx  g( x ),sin nx  (3) Bằng phương pháp tách biến, chúng tơi tìm nghiệm toán (3) f ( x ),sin nx =e  n2 A (T ) f ( x )= e n 1  T n2 A ( t )   (t)dt   e   1 g( x ),sin nx 1 n2 A ( T )  T n2 A ( t )   (t )dt  gn ( x )sin nx  e   Bài tốn tìm lại hàm nguồn tốn khơng chỉnh Trong đó, nghiệm phụ thuộc vào liệu khơng tồn tại, thật có tồn Thì khơng phụ thuộc liên tục theo liệu Vì vấn đề khó khăn, có nhiều hàm nguồn thiết lập Trong thực tế, cho  n (t ) sở Hàm F(x,t)  (,) t   ( tf )n()  Trong trường hợp đơn giản  viết dạng sau F n n  (,) xt   () t f(x ),  (t ) biết nhất, đề xuất cho hàm F Trong báo [1,2], tác giả chọn nguồn nhiệt phụ thuộc vào biến miền bị chặn phương pháp phần tử biên thuật giải tách Trong báo số [3], tác giả thử nguồn nhiệt phụ thuộc vào thời gian Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm phương pháp đưa nghiệm Trong thời gian dài, kết cho nghiên cứu toán nguồn nhiệt phụ thuộc vào thời gian thể báo [4,5,6] phụ thuộc vào không gian [1,2,6-8] Giáo sư Đặng Đức Trọng nhóm giáo sư, cơng trình [9,10] nghiên cứu vấn đề phương pháp biến đổi Fourier Các phương pháp chúng tơi trình bày ổn định hội tụ ngiệm xác nghiệm chỉnh hóa Kết đưa sai số với cấp độ logarithmic cấp độ Holder Cuối cùng, ví dụ số trình bày Các chi tiết báo trình bày phụ lục Chỉnh hóa phƣơng pháp tựa giá trị biên: Kí hiệu chuẩn không gian Sobolev H k (0, ) định nghĩa k k 2   f     n2 fn  fn  f ( x ),sin nx Chúng biến đổi phương k   n 1  trình (1) việc mở rộng hệ số Fourier cho thời điểm cuối:       u   u  a ( t )  t     (t ) f ( x ), (x,t)  (0,  )  (0,T)  x  x    u (0, t )  u ( , t )     u ( x ,0)    e  n A (T )  u ( x , T )   gn sin nx , x  (0,  )  n A (T )     n 1 e    Nghiệm toán cho công thức sau: 1  T n2 A ( t )  f ( x )= e  (t )dt  gn ( x )sin nx    n A (T )       n 1 e   Định lý 1: Giả sử tồn tải f , g  L2 (0, ) cho f 2k   g k   với   lim f   f  chúng  0    0   k>0 Nếu chọn     cho lim tơi có sai số sau: k f  f     C ( p, q, k , T ) C0T       ln( 1    k g ) k 1  B(q, k , T ) ln( qT    f ) 2k Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm Chỉnh hóa phƣơng pháp chặt cụt: Định lý 2: Giả sử ta có f  H (0, ) Cho g  L2 (0, ) liệu đo t=T Chúng định nghĩa 1  T n2 A ( t )  n A (T ) f ( x )= e  (t )dt  gn ( x )sin nx  e n 1   N  k 1  N     1, k   0,1 , với sai số tính tốn:    f  f  Q 1 k  2P k q4 g P  , C02 pC04 (1  e pT )4   Q  2    f     H (0, ) Kết tính số: Trong phần này, chúng tơi định lấy ví dụ tính tốn cho trường hợp chỉnh hóa Trong ví dụ số, chứng tơi tính tốn sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa với sai số dạng RMSE: RMSE : N N   f ( x )  f ( x ) n 1 n n với f ( xn ), f ( xn ) rời rạc hóa hàm f , f Bây giờ, chúng tơi có ut  a(t )uxx   (t ) f ( x ), (x,t)  (0,  )  (0,1),  , t  (0,1) u(0, t )  u( , t )  u( x,1)  g( x ) , x  (0,  )  Trong a(t )  t  1,  (t )  t  t  1, g( x )  sin x Chúng tơi tìm thấy nguồn xác 10 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm HÌNH 2: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp tựa giá trị biên 12 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm HÌNH 3: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp tựa giá trị biên   101 HÌNH 4: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp tựa giá trị biên   102 13 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm HÌNH 5: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp tựa giá trị biên   103 HÌNH 6: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp tựa giá trị biên   104 14 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm BẢNG 1: sai số nghi65m chỉnh hóa nghiệm xác phương pháp tựa giá trị biên  101 102 103 104 RMSE( f , f ) 3,33236*101 4.35208*102 9.20728*104 1.118641*105 HÌNH 7: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp chặt cụt hệ số Fourier 15 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm HÌNH 8: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp chặt cụt hệ số Fourier   101 HÌNH 9: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp chặt cụt hệ số Fourier   102 16 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm HÌNH 10: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp chặt cụt hệ số Fourier   103 HÌNH 11: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp chặt cụt hệ số Fourier   104 17 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm HÌNH 12: Nguồn xấp xỉ Màu đỏ nghiệm xác màu xanh nghiệm xấp xỉ phương pháp chặt cụt hệ số Fourier   105 Bảng 2: sai số nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác phương pháp chặt cụt hệ số Fourier  101 102 103 104 RMSE( f , f ) 1,74326*102 4.36408*104 1.38719*105 5.675528*106 18 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm Trong tốn số 2, chúng tơi xét tốn sau Chúng tơi xét tốn tìm nhiệt độ u(x, t), (x, t) ∈ R × [0; T ], sau ut  a(t )uxx  F ( x, t, u), (x,t)   (0,T)    u( x, T )  g( x ), x  Trong a(t), g(x), f (x, t, z) hàm thõa điều kiện cụ thể Bài toán nhiều người biết đến giả định [11] phương pháp quy tắc hóa cho u cầu Nó gọi tốn nhiệt ngược đầu tiên, toán nhiệt ngược, toán ngược Cauchy, hay toán giá trị cuối Mặc dù có nhiều cơng trình tốn nhiệt ngược với hệ số không đổi, tài liệu trường hợp phi tuyến toán với hệ số phụ thuộc thời gian Trong báo này, chúng tơi trình bày phương pháp sửa đổi để hợp thức toán (1.1) Theo số giả định giải pháp xác, chúng tơi có số tốc độ hội tụ nhanh Trong nghĩa đó, cải tiến kết biết đến [12], [13], [14] Chúng xem xét tốn quy cho phương trình phi tuyến nhiệt ngược với hệ số phụ thuộc thời gian, cụ thể toán (1.1) Chúng tơi thiết lập ước tính sai số Holder cho tất t ∈ [0, T ] Ước tính cải thiện số kết nhiều cơng trình trước Các chi tiết viết gọi Phụ lục Chúng xây dựng nghiệm chỉnh hóa nghiệm xác  u( x, t )  2 e [ B (T ) B ( t )]  i x e d    2  T  e  f ( , s, u)ei x dsd  t  e [ B ( t )  m ] i x  e d    k [ B ( T )  m ]  2    e 2 u ( x, t )  [ B ( s ) B ( t )]  T e[ B( s) B(t ) B(T )m ]  i x  t  2k  e[B(T )m] f ( , s, u )e dsd Bƣớc 1: chúng tơi chứng minh nghiệm xác Đặt G(w)( x, t)   ( x, t )  2  T e[ B ( s) B (t ) B (T )m ]  f ( , s, u )ei x dsd   2k [ B (T )  m ]   e 2  t  ( x, t )    e [ B ( t )  m ] i x    2k  e[B(T )m]  e d Chúng tơi có sai số m m K T m G (w)  G (v)    C1 w  v    m! m m 19 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm m m K T m lim   C1  m     m! Bƣớc 2: Cho u nghiệm toán (2) phụ thuộc vào liệu cuối g Chúng đánh giá sai số w ( x, t )  u ( x, t ) , chúng tơi có: w ( x, t )  u ( x, t )  2H (k , m)e K H ( k ,m )(T t )2  B ( t ) m B (T )  m (ln( I (k , m)  )) kB ( t ) kB (T ) B (T )  m Bƣớc 3: cho u nghiệm xác toán (2) phụ thuộc vào liệu cuối h We shall estimate the error u( x, t)  u ( x, t) , we have: u( x, t )  u ( x, t )  A(k , m)e K H ( k ,m )T (T t ) B ( t ) m  B(T ) m (ln( I ( k , m)  )) kB ( t ) kB (T ) B (T )  m Bằng kết bước bước 3, đánh giá sai số cách sử dụng bất đẳng thức tam giác:  tm t T m K (T  t )2 T  m T m  u( x , t )  w ( x , t )  2e   EC (k , s, m)   ln   cho ε đủ nhỏ, tồn số dương D cho s   2     s  T m   ln( )     Từ đó, chúng tơi kết luận t   T m  D  u( x , t )  w ( x , t )    t  T m K (T  t )2 2e D  EC (k , s, m)  T  m   ln      s 2     20 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm 3.2 XUẤT BẢN ĐÃ XUẤT BẢN CÁC ẤN PHẨM SAU: (1)Nguyen Huy Tuan, On heat equationassociated Application of Mathematics, 10.1007/s10492-014-0066-2) a initial inverse problem in nonlinear with time-dependent coefficient, 2014, Published August 2014 (Doi: (SCIE) (2)Nguyen Huy Tuan, Dang Duc Trong, Nguyen Dang Minh, Ta Hoang Thong, Identification of the pollution source of a parabolic equation with the time-dependent heat conduction, Journal of Inequalities and Applications, Published May 2014 (SCIE) 21 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tham khảo [1] Atmadja, J Bagtzoglou, AC: Marching-jury backward bearn equation and quasi-boundary methods for hydrologic inversion: application to contaminant plume spatial distribution recovery Water Resour Res 39 1038 – 1047 (2003) [2] Savateev, EG: On problems of determining the source function in a parabolic equation, J.Inverse Ill-Posed Prob.3, 83-102(1995) [3] Fatcas, A, Lesnic, D : The boundary-elementh method for determination of a heat source dependent on one variable J Eng Math 54, 375-388, (2006) [4] Johansson, T, Lesnic, D: Determination of spacewise dependent heat source, J Comput Appl Math 209, 66 – 80 (2007) [5] Yan, L, Fu, C-L, Yang, F-L: The method of fundamental solutions for the inverse heat source problem, Eng Anal Bound Elem.32, 216-222 (2008) [6] Yang, F-L, Fu, C-L: Two regularization methods for identification of the heat source depending only on spatial variable for the heat eqution, J.Inverse IllPosed Prob 17(8), 815-830, (2009) [7] Cheng, W,Fu, C-L: Identifying an unknown source term in a spherically symmetric parabolic equation Appl Math.Lett 26, 387-391 (2013) [8] Yang, F-L, Fu, C-L:a simplified Tikhonov regularization method for the inverse spatial-dependent heat source problem, J.Comput Appl Math 255, 555-567 (2014) [9] Trong,DD, Tuan, NH: a nonhomogeneous backward heat problem: regularization and error estimate, Electronic J.Differ Equat 2008, 33 (2008) [10] Trong,DD, Quan, PH, Dinh Alain, PN: Determination of a two dimensional heat source: uniqueness, regularization, and error estimate, J.Comput,Appl Math, 191, 50-67, (2006) [11] L Payne: Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 22, SIAM, Philadelphia, 1975 [12] P H Quan, D D Trong: A nonlinearly backward heat problem: uniqueness, regularization and error estimate Appl Anal 85 (2006), 641–657 22 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm [13] P H Quan, D D Trong, L M Triet, N H Tuan: A modified quasi-boundary value method for regularizing of a backward problem with time-dependent coefficient Inverse Probl Sci Eng 19 (2011), 409–423 [14] D D Trong, N H Tuan: Regularization and error estimate for the nonlinear backward heat problem using a method of integral equation Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser A, Theory Methods 71 (2009), 4167–4176 [15] D D Trong, N H Tuan: Regularization and error estimate for the nonlinear backward heat problem using a method of integral equation Nonlinear Anal., Theory Methods Appl., Ser A, Theory Methods 71 (2009), 4167–4176 [16] B Yıldız, H Yeti¸skin, A Sever: A stability estimate on the regularized solution of the backward heat equation Appl Math Comput 135 (2003), 561– 567 [17] J Cheng, M Yamamoto, Unique continuation on a line for harmonic functions, Inverse Probl 14 (1998) 869882 [18] T DeLillo, V Isakov, N Valdivia, L Wang, The detection of surface vibrations from interior acoustical pressure, Inverse Probl 19 (2003) 507524 [19] L Marin, D Lesnic, The method of fundamental solutions for the Cauchy problem associated with two-dimensional Helmholtz-type equations, Comput Struct 83 (45) (2005) 267278 [20] J R Wang: Shannon wavelet regularization methods for a backward heat equation J Comput Appl Math 235 (2011), 3079–3085 [21] T Wei, Y.C Hon, L Ling, Method of fundamental solutions with regularization techniques for Cauchy problems of elliptic operators, Eng Anal Bound Elem 31 (4) (2007) 373385 [22] B Yıldız, H Yeti¸skin, A Sever: A stability estimate on the regularized solution of the backward heat equation Appl Math Comput 135 (2003), 561– 567 [23] J Hadamard Lectures on the Cauchy Problem in Linear Partial Differential Equation Yale University Press, New Haven, 1923 23 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm CÁC PHỤ LỤC 24 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm Phụ lục Bài báo : Xác định nguồn nhiễm phương trình parabol với dẫn nhiệt phụ thuộc thời gian Tạp chí : JOURNAL OF INEQUALITIES AND APPLICATIONS Tác giả : Nguyễn Huy Tuấn, Đặng Đức Trọng, Tạ Hồng Thơng, Nguyễn Đăng Minh 25 Phương trình parabolic ngược ứng dụng tốn nhiễm nước ngầm Phụ lục Bài báo : Một tốn ngược phương trình nhiệt phi tuyến kết hợp với hệ số phụ thuộc thời gian Tạp chí : APPLICATION OF MATHEMATICS Tác giả : Nguyễn Huy Tuấn 26