Luận án tiến sĩ toán học phương trình parabolic ngược thời gian

1 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành hướng dẫn GS TSKH Đinh Nho Hào PGS TS Đinh Huy Hồng Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án chưa cơng bố trước Tác giả Nguyễn Văn Đức MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Mục lục Một số ký hiệu dùng luận án Mở đầu Chương 1: Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian 28 1.1 Một số khái niệm bổ đề sở 29 1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian tốn giá trị biên khơng địa phương trường hợp a=1 31 1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian toán giá trị biên không địa phương trường hợp a>1 41 1.4 Ví dụ số 63 1.5 Kết luận chương 68 Chương Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 69 2.1 Các kết ổn định 69 2.2 Hiệu chỉnh toán 77 2.3 Các ví dụ 91 2.4 Kết luận chương 96 Chương Các kết ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian 97 3.1 Các kết bổ trợ 98 3.2 Phương pháp nhuyễn kết ổn định 100 3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định 110 3.4 Ví dụ số 113 3.5 Kết luận chương 115 Kết luận chung kiến nghị 119 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án 121 Tài liệu tham khảo 122 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN R: đường thẳng thực Rn : không gian Euclid n-chiều C: mặt phẳng phức 1) cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số biến thiên theo thời gian chuẩn L2 2.2 Mục đích thứ hai luận án chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian tốn giá trị biên khơng địa phương Để xấp xỉ cách ổn định nghiệm tốn đặt khơng chỉnh, ta phải dùng phương pháp chỉnh hóa Các thuật tốn chỉnh Tikhonov, lặp, phương pháp toán liên hợp ([18], [31], [41], [56], [74], [75]), tỏ hữu hiệu cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Tuy nhiên, phương pháp cịn áp dụng cho phương trình parabolic ngược thời gian tổng quát Trong luận án chúng tơi phát triển luận văn cao học ([1], [2]) việc sử dụng phương pháp chỉnh hóa tốn biên khơng địa phương cho phương trình parabolic Ý tưởng chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian tốn biên khơng địa phương cho phương trình parabolic Vabishchevich ([103]) đề xuất vào năm 1981, sau vào năm 1985 Showalter ([93]) đưa phương pháp tương tự; Clark Oppenheimer ([23]) có số cải tiến cho phương pháp vào năm 1994 Trong luận văn cao học mình, tác giả đưa số đánh giá tốt cho phương pháp tác giả kể ([10], [23]) chứng minh phương pháp thực phương pháp hiệu chỉnh Mục đích mở rộng phương pháp cho phương trình phức tạp hơn, đặc biệt phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian 2.3 Mục đích thứ ba luận án nghiên cứu sơ đồ sai phân tiến ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian Trong báo ([29], [30], [37]), dựa phương pháp làm trơn mình, Đinh Nho Hào đề xuất sơ đồ sai phân tiến ổn định (trong chuẩn Lp ) cho số tốn đặt khơng chỉnh Áp dụng phương pháp cho phương trình parabolic ngược thời gian điều khả thi thú vị Tính tốn máy tính dựa theo sơ đồ sai phân tiến có hiệu quả, nên việc nghiên cứu chúng cho tốn đặt khơng chỉnh cần thiết Đối tượng nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu đánh giá ổn định chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian hệ số phụ thuộc thời gian Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian không gian Hilbert (L2 ) không gian Banach (Lp , p > 1) Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp lồi logarithm, phương pháp toán giá trị biên không địa phương phương pháp làm nhuyễn Đinh Nho Hào đề xướng Ý nghĩa khoa học thực tiễn Ý nghĩa khoa học: Làm phong phú thêm kết nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian Ý nghĩa thực tiễn: Ứng dụng vào tốn truyền nhiệt, đồng hóa số liệu, xử lý ảnh, Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh Để tiện lợi cho thảo luận sau, mục chúng tơi trình bày khái niệm đánh giá ổn định chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh (xem [3]) Giả sử ta cần giải phương trình Au = f với A tốn tử (tuyến tính phi tuyến) từ không gian hàm X vào không gian hàm Y đó, cịn f kiện cho thuộc khơng gian Y Khi tốn đặt khơng chỉnh, khơng phải với kiện f tốn có nghiệm thường nghiệm tốn tồn (theo nghĩa đó), lời giải khơng phụ thuộc liên tục (theo metric đó) vào kiện f Do tính khơng ổn định tốn nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện tốn dẫn đến sai số lớn lời giải Mục đích lý thuyết tốn đặt không chỉnh đưa phương pháp số hữu hiệu để giải toán cách ổn định Để đạt mục đích trước hết phải nghiên cứu tính ổn định có điều kiện toán, nghĩa lớp M khơng gian X để lời giải toán thuộc lớp phụ thuộc liên tục vào kiện tốn Các đánh giá khơng nói lên tính chất định tính tốn mà giúp ta việc phát triển phương pháp số để giải toán đánh giá sai số phương pháp Để đơn giản, ta giả thiết X Y không gian định chuẩn với chuẩn tương ứng k · kX k · kY Giả sử rằng, ta chọn tập hợp M biết u ∈ M phụ thuộc liên tục vào f , nghĩa là, tồn hàm ω biến thực, liên tục, với ω(0) = 0, cho kukX ω(kf kY ) Đánh giá gọi đánh giá ổn định ([14]) trường hợp này, tốn gọi ổn định có điều kiện hay ổn định theo nghĩa Tikhonov ([56]) (Tikhonov người đưa nhận xét vào năm 1943 ([98])) Tập M thường tập mà lời giải tốn có ý nghĩa vật lý, chẳng hạn tập mà lời giải bị chặn (nhiệt độ vận tốc q trình vật lý giới nội, ), tập lồi, tập hàm không âm, tập hàm đơn điệu, Nếu ω(t) = ctα với α > đó, ta có đánh giá n nh kiu Hă older v ta cú mt "bi tốn tốt" Nếu ω hàm dạng logarithm ta có đánh giá ổn định kiểu logarithm - "bài tốn xấu" Cịn ta khơng có đánh giá tốc độ tiến tới ω(t) t → ta có "bài toán xấu" Giả sử với toán tử A không gian định chuẩn (X, k · kX ) (Y, k · kY ) vừa đề cập trên, tốn giải phương trình Au = f tốn đặt khơng chỉnh Ngồi ra, giả sử rằng, với vế phải xác f¯, tồn nghiệm nhất; nghĩa tồn u¯ cho A¯ u = f¯ Trên thực tế f¯ không biết, mà ta biết phần tử fδ số dương δ cho kfδ − f¯kY δ Yêu cầu đặt xây dựng nghiệm xấp xỉ phương trình – phần tử uδ cho uδ → u¯ δ → Vì tốn đặt khơng chỉnh, khơng thể sử dụng tốn tử ngược A−1 , nghĩa là, khơng thể chọn uδ = A−1 fδ Bởi tốn tử ngược khơng xác định fδ khơng liên tục Y Do muốn xây dựng nghiệm xấp xỉ uδ , ta cần đề xuất phương pháp chỉnh hóa Sau đây, chúng tơi nhắc lại khái niệm chỉnh hóa tốn đặt khơng chỉnh (xem [27], [41], [67]) Tốn tử R(f, α), phụ thuộc tham số α, bị chặn với α > 0, tác động từ Y vào X gọi chỉnh hóa cho phương trình Au = f (đối với phần tử f¯), điều kiện sau thỏa mãn 1) Tồn hai số dương δ1 α1 cho toán tử R(f, α) xác định với α ∈ (0, α1 ) với f ∈ Y : kf − f¯kY δ, δ ∈ (0, δ1 ); 2) Tồn phụ thuộc α = α(f, δ) cho với ε > 0, tồn δ(ε) δ1 thỏa mãn: với f ∈ Y , kf − f¯kY δ kéo theo bất đẳng 10 thức kR(f, α) − u¯kX ε Trong định nghĩa trên, α chọn không phụ thuộc f ta gọi cách chọn tiên nghiệm Nếu α chọn phụ thuộc f δ ta gọi cách chọn hậu nghiệm 7.2 Tổng quan phương trình parabolic ngược thời gian Một cơng trình nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian cơng trình John ([58]) công bố năm 1955 Trong [58], John đề xuất phương pháp số để giải toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, chứng minh phương pháp ổn định tập hàm số dương bị chặn Krein người sử dụng phương pháp lồi logarithm để thu đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số số hệ số phụ thuộc thời gian khơng gian Hilbert cơng trình [63] xuất năm 1957 Tiếp theo kết tính ngược xuất ([64], [68]) Ngồi ra, cơng trình [64], Krein đưa đánh giá cận nghiệm Kết kéo theo tính ngược nghiệm phương trình parabolic không gian Banach Lp (p > 1) Từ cơng trình vừa đề cập trên, nay, hàng loạt cơng trình có giá trị nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian cơng bố Các cơng trình bao gồm: 1) Tính ngược (backward uniqueness): [5], [7], [61], [62], [64], [68], [83], [91] 2) Đánh giá ổn định: [5], [6], [19], [22], [31], [33], [36], [29], [56], [63], [67], [89] 3) Phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số ổn định hữu hiệu:[4], [10], [12], [16], [17], [23], [29], [32], [33], [35], [36], [42], [45], [46], [47], [51], [53], [58], [66], [67], [76], [78], [79], [92], [95] Nghiên cứu tính ngược nhằm trả lời cho câu hỏi: "Khi nghiệm phương trình parabolic với thời điểm cuối biết xác định nhất?" Chẳng hạn, tính ngược cho nghiệm phương KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ I Kết luận chung Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian, đánh giá ổn định phương pháp hiệu chỉnh nghiên cứu không gian Hilbert không gian Banach Luận án nghiên cứu hai trường hợp hệ số phương trình khơng phụ thuộc thời gian phụ thuộc thời gian Kết luận án là: Với phương trình parabolic ngược thời gian có hệ số khơng phụ thuộc thời gian khơng gian Hilbert, luật chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm cho phương pháp chỉnh hóa tốn giá trị biên không địa phương đề xuất dẫn đến đánh giá sai số có bậc tối ưu Phương pháp thử nghiệm máy tính cho thấy ổn định hữu hiệu Đưa kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert Kết đánh giá ổn định tốt kết Agmon Nirenberg Các luật chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm cho phương pháp chỉnh hóa phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương đề xut dn n cỏc ỏnh giỏ sai s dng Hăolder Đây kết cho phương pháp chỉnh phương trình parabolic ngược thời gian có hệ số phụ thuc thi gian cú ỏnh giỏ sai s dng Hăolder Đưa kết đánh giá ổn định chỉnh hóa phương trình truyền nhiệt ngược thời gian không gian Lp (R), p ∈ (1, +∞) Các ỏnh giỏ thu c cú dng Hăolder v cú cựng bậc kết đạt không gian Hilbert Trong trường hợp p = 2, đánh giỏ n nh dng Hăolder cho tt c o hm x t nghiệm đạt 120 Các kết số đưa để minh họa cho phần lý thuyết II Kiến nghị Trong thời gian tới nghiên cứu vấn đề sau: Tiếp tục nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach Nghiên cứu phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH CĨ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and H Sahli (2008), "A non-local boundary value problem method for parabolic equations backwards in time", Journal of Mathematical Analysis and Applications, No 345, pp 805-815 Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2009), "Stability results for the heat equation backward in time", Journal of Mathematical Analysis and Applications , No 353, pp 627-641 Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and D Lesnic (2009), "A non-local boundary value problem method for the Cauchy problem for elliptic equations", Inverse Problems, Vol 8, No 25, 055002, 27 pp Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and D Lesnic (2010), " Regularization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method", IMA Journal of Applied Mathematics, No 75, pp 291-315 Dinh Nho Hao and Nguyen Van Duc (2011), "Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients", Inverse Problems, Vol 27, No 2, 025003, 20 pp TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Đức (2006), Về lớp phương trình parabolic ngược thời gian, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh, Nghệ An [2] Nguyễn Văn Đức (2006) , "Về phương pháp chỉnh cho phương trình parabolic ngược thời gian", Tạp chí Khoa học Đại học Vinh, 35(2A), tr 49-54 [3] Phạm Minh Hiền (2007), Bài toán Cauchy cho số phương trình elliptic cấp hai, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, Hà Nội Tiếng nước [4] Abdulkerimov L Sh (1977), "Regularization of an ill-posed Cauchy problem for evolution equations in a Banach space", Azer- baidzan Gos Univ Ucen Zap., no 1, Fiz i Mat., pp.32–36 MR0492645.(Russian) [5] Agmon S and Nirenberg L (1963), "Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces", Comm Pure Appl Math., 16, pp.121–239 [6] Agmon S (1966), Unicité et convexité dans les problèmes différentiels, Les presses de l’ université de Montréal, 152pp [7] Agmon S and Nirenberg L (1967), "Lower bounds and uniqueness theorems for solutions of differential equations in a Hilbert space", Comm Pure Appl Math., 20, pp.207 –229 123 [8] Alifanov O M (1994), Inverse Heat Transter Problems, Springer [9] Ames K A and Stranghan B (1997), Non-standard and Improperly Posed Problems, Mathematics in Science and Engineering, Vol 194, Academic Press [10] Ames K A , Clark G W , Epperson J F , and Oppenheimer S F (1998), "A comparison of regularizations for an ill-posed problem", Math Comput., 224, pp 1451–1471 [11] Ames K A and Hughes R J (2005), "Structural stability for illposed problems in Banach spaces", Semigroup Forum, 70, pp.127– 145 [12] Áng D D (1985), "Stabilized approximate solutions of the inverse time problem for a parabolic evolution equation", J Math Anal Appl., Vol 111, No 1, pp.148–155 [13] Barenblatt G I , Bertsch M Passo R D and Ughi M (1993), "A degenerate pseudoparabolic regularization of a nonlinear forwardbackward heat equation arising in the theory of heat and mass exchange in stably stratified turbulent shear flow", SIAM J Math Anal., 24, pp.1414–1439 [14] Baumeister J (1987), Stable Solution of Inverse Problems, Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig [15] Bear J (1972), Dynamics of Fluids in Porous Media, Elsevier, New York [16] Boussetila N and Rebbani F (2006),"Optimal regularization method for ill-posed Cauchy problems," Electron J Differential Equations, 147, pp.1–15 124 [17] Buzbee B L and Carasso A (1973), "On the numberical computation of parabolic problems for preceding times", Math Comput., 27, No 122, pp 237-266 [18] Cannon J R (1984), "The One-Dimensional Heat Equation Reading", M.A: Addison- Wesley [19] Carasso A S (1976), "Error bounds in the final value problem for the heat equation", SIAM J Math Anal., Vol 7, No 2, pp 195-199 [20] Carasso A S (1977), "Computing small solutions of Burgers’ equation backwards in time", J Math Anal Appl., 59, pp 169-209 [21] Carasso A S (1997), "Error bounds in nonsmooth image deblurring", SIAM J Math Anal., 28, pp 656-668 [22] Carasso A S (1999), "Logarithmic convexity and the "slow evolution" constraint in ill-posed initial value problems", SIAM J Math Anal., 30, No 3, pp 479-496 [23] Clark G W and Oppenheimer S F (1994), "Quasireversiblity methods for non-well-posed problems", Electron J Differential Equations, 8, pp.1–9 [24] Cohen P J and Lees M (1961), "Asymptotic decay of solutions of differential inequalities", Pacific Math J., 11, pp.1235–1249 [25] Crooke P S and Payne L E (1984), "Continuous dependence on geometry for the backward heat equation", Math Meth in the Appl Sci., 6, pp 433-448 [26] Denche S M and Bessila K (2005), "A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems", J Math Anal Appl., 301, pp.419–426 125 [27] Denisov A M (1999), Elements of the Theory of Inverse Problems, Inverse and Ill-Posed Problems Series, Walter De Gruyter [28] Dinh Nho Hào (1990), "Notes on the Benjamin-Bona-Mahony Equation", Appl Anal., 35, pp.221–246 [29] Dinh Nho Hào (1994), "A mollification method for ill-posed problems", Numer Math., 68, pp.469–506 [30] Dinh Nho Hào (1996), "A mollification method for a noncharacteristic Cauchy problem for a parabolic equation", J Math Anal Appl., 199, pp.873–909 [31] Dinh Nho Hào (1998), Methods for Inverse Heat Conduction Problems, Peter Lang, New York [32] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and Sahli H (2008), "A non-local boundary value problem method for parabolic equations backward in time", J Math Anal Appl., No 345, pp 805–815 [33] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2009), "Stability results for the heat equation backward in time", J Math Anal Appl., No 353, pp 627-641 [34] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and Lesnic D (2009), "A nonlocal boundary value problem method for the Cauchy problem for elliptic equations", Inverse Problems, 25, 055002, 27pp [35] Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and Lesnic D (2010), "Regularization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method", IMA J Appl Math., No 75, pp 291-315 [36] Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2011), "Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients", Inverse Problems, Vol 27, No 2, 025003, 20 pp 126 [37] Dinh Nho Hào, Pham Minh Hien and Sahli H (2007), "Stability results for a Cauchy problem for an elliptic equation", Inverse Problems, 23, pp.421–461 [38] Dinh Nho Hào, Reinhardt H -J and Seiffarth F (1994), "Stable fractional numerical differentiation by mollification", Numer Funct Anal and Optimiz., 15, pp 635–659 [39] Eldén L (1982), "Time discretization in the backward solution of parabolic equations I", Math Comput., Vol.39, No 159, pp.53– 68 [40] Eldén L (1982), "Time discretization in the backward solution of parabolic equations II", Math Comput., Vol.39, No 159, pp.69– 84 [41] Engl H W., Hanke M and Neubauer A (1996), Regularization of Inverse Problems, Kluwer, Dordrecht [42] Ewing R E (1975), "The approximation of certain parabolic equations backward in time by Sobolev equations", SIAM J Math.Anal., 6, pp.283–294 [43] Franklin J N (1974), "On Tikhonov’s method for ill-posed problems", Math Comput., Vol 28, No.128, pp.889–907 [44] Friedman A (1969), Partial Differential Equations, Holt, Rinehart and Winston, New York [45] Gajewski H and Zacharias K (1972), "Zur Ruguliarisierung einer nichtkorrekter Probleme bei Evolutionsgleichungen", J Math Anal Appl., 38, pp.784–789 [46] Han H., Ingham D B and Yuan Y (1995), "The boundary element method for the solution of the backward heat conduction equation", J Comput Phys., 116, pp.292–299 127 [47] Hasanov A and Mueller J L (2001), "A numerical method for backward parabolic problems with non-selfadjoint elliptic operators", Appl Numer Math., 37, pp.55–78 [48] Hetrick B M C and Hughes R J (2007), "Continuous dependence results for inhomogeneous ill-posed problems in Banach space", J Math Anal Appl., 331, pp.342–357 [49] Hetrick B M C and Hughes R J (2009), "Continuous dependence on modeling for nonlinear ill-posed problems", J Math Anal Appl., 349, pp.420–435 [50] Hăollig K (1983), "Existence infinitely many solution for a forward backward heat equation", Trans Amer Math Soc., 278, pp.299– 316 [51] Hăohn W (1982), "Finite elements for parabolic equations backwards in time", Numer Math., 40, pp.207–227 [52] Huang Y and Quan Z., (2004), "Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups", J Differential Equations, 203, pp.38–54 [53] Huang Y and Quan Z (2005), "Regularization for a class of illposed Cauchy problem", Proc Amer Math Soc., 133, pp.3005– 3012 [54] Huang Y (2008), "Modified quasi-reversibility method for final value problems in Banach spaces", J Math Anal Appl., 340, pp.757-769 [55] Huang Y and Quan Z ,(2006) "Weak regularization for a class of ill-posed cauchy problems", Acta Math Sci., 26B(3), pp.483-490 [56] Isakov V (1998), Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York 128 [57] Ivanov V K., Mel’nikova I V., and Filinkov A I (1995), "OperatorDifferential Equations and Ill-Posed Problems" Fizmatlit “Nauka”, Moscow, (Russian) [58] John F (1955), "Numerical solution of the equation of heat conduction for preceeding times", Ann Mat Pura Appl , 40, pp.129142 [59] Kichenassamy S (1997), "The Perona-Malik paradox", SIAM J Appl Math ,57, pp 1328-1342 [60] Koenderink J J (1984), "The structures of images", Biol Cybernet, 50, pp 363-370 [61] Kukavica I (2003), "Backward uniqueness for solutions of linear parabolic equations", Proc Amer Math Soc., 132, No.6, pp 1755–1760 [62] Kukavica I (2007), "Log–log convexity and backward uniqueness", Proc Amer Math Soc., 135, No 8, pp 2415–2421 [63] Krein S G (1957), "On correctness classes for certain boundary problems", (Russian) Dokl Akad Nauk SSSR (N.S.), 114, pp 1162–1165 [64] Krein S G and Prozorovskaya O I (1960), " Analytic semigroups and incorrect problems for evolutionary equations", (Russian) Dokl Akad Nauk SSSR 133, pp 277–280, Translated as Soviet Math Dokl., 1, pp 841–844 [65] Krein S G (1971), Linear Differential Equations in Banach Space, Translated from the Russian by J M Danskin Translations of Mathematical Monographs, Vol 29 American Mathematical Society, Providence, R.I., v+390 pp 129 [66] Lattes R and Lions J.-L (1967), "Méthode de Quasi-Réversibilité et Applications", Dunod, Paris, (English translation R.Bellman, Elsevier, New York, 1969) [67] Lavrent’ev M M , Romanov V G and Shishat-skii S P (1986), Ill-Posed Problems of Mathematical Physics, Amer Math Soc Providence Rhode Island [68] Lions J.-L and Malgrange B (1960), "Sur l’unicité rétrograde dans les problèmes mixtes paraboliques", Math Scand., 8, pp 277–286 [69] Long N.-T and Dinh A P N (1994), "Approximation of a parabolic non-linear evolution equation backward in time", Inverse Problems, 10, pp 905–914 [70] Long N.-T and Dinh A P N (1996), "Note on a regularization of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time", Inverse Problems, Vol 12, No 4, pp 455–462 [71] Lundvall J Kozlov V and Weinerfelt P (2006), "Iterative methods for data assimilation for Burgers’ equation", J Inve Ill-posed Problems, Vol 14, No 5, pp 505–535 [72] Manselli P., Miller K (1980), "Dimensionality reduction methods for efficient numerical solution, backward in time, of parabolic equations with variable coeffcients", SIAM J Math Anal., Vol 11, No 1, pp.147-159 [73] Manselli P., Miller K (1980), "Calculation of the surface temperature and heat flux on one side of a wall from measurements on the opposite side", Ann Mat Pure Appl (4) 123, pp.161-183 [74] Marchuk G I (1986), Mathematical Models in Environmental Problems, North Holland, Amsterdam 130 [75] Marchuk G I (1992), Adjoint Equations and Analysis of Complex Systems, Nauka, Moscow [76] Mel’nikova I V (1992), "Regularization of ill-posed differential problems", Siberian Math J., 33, pp.289–298 [77] Melnikova I V and Filinkov A (2001), Abstract Cauchy problems: Three Approaches Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL [78] Mera N S., Elliott L., Ingham D B., and Lesnic D (2001), "An iterative boundary element method for solving the one-dimensional backward heat conduction problem" , Int J Heat Mass Transfer, 44, pp.1937–1946 [79] Miller K (1973), "Stabilized quasireversibility and other nearly best possible methods for non-well-posed problems", Symposium on Non-Well-Posed Problems and Logarithmic Convexity, Lecture Notes in Mathematics, Vol.316, Springer-Verlag, Berlin, pp.161–176 [80] Miranker W E (1961), "A well-posed problem for the backward heat equation", Proc Amer Math Soc., 12, pp.243–247 [81] Murio D (1993), The Mollification Method and the Numerical Solution of Ill-Posed Problems, Wiley, New York [82] Nikol’skii S M (1975), Approximation of Functions of Several Variables and Imbedding Theorems, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg-New York [83] Ogawa H (1965), "Lower bounds for solutions of differential inequalities", Proc Amer Math Soc., 16, No.6, pp.1241-1243 [84] Payne L E (1975), Improperly Posed Problems in Partial Differential Equations, SIAM, Philadelphia 131 [85] Padrón V (1990), Sobolev regularization of some nonlinear illposed problems, PhD thesis University of Minnensota, Minneapolis [86] Padrón V (1998), "Sobolev regularization of a nonlinear ill-posed parabolic problem as a model for aggregating populations", Commun Partial Differential Equations, 23(3,4), pp.457–486 [87] Perona P and Malik J (1990), "Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion", IEEE Trans Pat Anal Mach Inte., 12, pp.629-639 [88] Piskarev S I (1988) , "Estimates of the rate of convergence in solving ill-posed problems for evolution equations", Math USSR Izvestiya., Vol 30, No 3., pp.639–651 [89] Ponomarev S M (1986), "On an ill-posed problem in nonlinear wave theory", Soviet Math Dokl., 33, pp.621–624 [90] Renardy M , Hursa W J , Nohel J A (1987), Mathematical Problems in Viscoelasticity, Wiley, New York [91] Santo D D and Prizzi M (2005), "Backward uniqueness for parabolic operators whose coefficients are non-Lipschitz continuous in time", J Math Pures Appl., 84, pp.471–491 [92] Showalter R E (1974), "The final value problem for evolution equations", J Math Anal Appl., 47, pp.563–572 [93] Showalter R E (1985), "Cauchy problem for hyper-parabolic partial differential equations", Trends in the Theory and Practice of Non-Linear Analysis, (Arlington, Tex., 1984), North-Holland Math Stud., 110, North-Holland, Amsterdam , pp.421–425 132 [94] Renardy M and Rogers R C An Introduction to Partial Differential Equations, 2nd Edition, Springer-Verlag, New York Inc 2004 [95] Tautenhahn U and Schrăoter T (1996), "On optimal regularization methods for the backward heat equation", Zeitschrift fă ur Analysis und Anwendungen, 15, pp.475–493 [96] Tautenhahn U (1998) , "Optimality for ill-posed problems under general source conditions", Numer Funct Anal and Optimiz., 19, pp.377–398 [97] Tanabe H , Equations of Evolution, Pitman, London, 1979 [98] Tikhonov A N (1943), "On the stability of inverse problems", Dokl Akad Nauk SSSR, 39, No 5, pp 195-198 (Russian) [99] Tikhonov A N (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", (Russian) Dokl Akad Nauk SSSR, 151, pp 501-504 [100] Tikhonov A N and Arsenin V Y (1977), Solutions of Ill-Posed Problems, Winston, Washington [101] Tran Duc Van and Dinh Nho Hào (1994), Differential Operators of Infinite Order with Real Arguments and their Applications, World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ [102] Trong D D and Tuan N H (2009), "Regularization of the nolinear backward heat problem using a method of integral equation", Nonlinear Anal., Vol 71, pp.4167-4176 [103] Vabishchevich P N (1981), "Nonlocal parabolic problems and the inverse heat-conduction problem", (Russian) Differentsial’nye Uravneniya, 17, No 7, pp.1193–1199 133 [104] Vabishchevich P N (1983), "Numerical solution of nonlocal elliptic problems" (Russian) Izv Vyssh Uchebn Zaved Mat., No 5, pp.13–19 [105] Vasin V V (1973), "The stable computation of the derivative in the space C(−∞, +∞)", USSR Comput Math Math Phys., 13, No 6, pp.16-24 [106] Widder D V (1975), The Heat Equation, Academic Press, New York [107] Yagi A Abstract Parabolic Evolution Equations and their Applications, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2010