Xác định hàm nguồn cho phương trình khuyếch tán và ứng dụng

SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT XÁC ĐỊNH HÀM NGUỒN CHO PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN VÀ ỨNG DỤNG Đơn vị thực hiện: PTN Khoa học Môi Trường Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12/2017 SỞ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TP HỒ CHÍ MINH VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ TÍNH TỐN BÁO CÁO TỔNG KẾT XÁC ĐỊNH HÀM NGUỒN CHO PHƢƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN VÀ ỨNG DỤNG Viện trưởng: Nguyễn Kỳ Phùng Đơn vị thực hiện: PTN Khoa học Môi TRường Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn Nguyễn Huy Tuấn TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12/2017 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang ĐƠN VỊ THỰC HIỆN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU I Báo cáo khoa học II Tài liệu khoa học xuất 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 CÁC PHỤ LỤC 21 Phụ lục 1: Bài báo “FOURIER TRUNCATION METHOD FOR AN INVERSE SOURCE PROBLEM FOR SPACE-TIME FRACTIONAL DIFFUSION EQUATION” Phụ lục 2: Bài báo “IDENTIFICATION AND REGULARIZATION FOR UNKNOWN SOURCE FOR A TIME-FRACTIONAL DIFFUSION EQUATION’’ Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng MỞ ĐẦU Đề tài nghiên cứu thuộc lĩnh vực tốn khơng chỉnh mà đối tượng khảo sát tốn ngược khơng chỉnh cho phương trình phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp phân số Bài tốn khơng chỉnh cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp phân số có nhiều ứng dụng khác lĩnh vực khoa học công nghệ, vật lý, học, y học, xử lý ảnh, kinh tế Đó tốn mà liệu thu thập thông qua thiết bị đo đạc chuyên dụng Trong thực tế, ta đo đạc liệu ln có sai số Vì tính ổn định nghiệm tốn khơng thỏa, tức sai số nhỏ liệu đo đạc dẫn đến sai số lớn nghiệm, gây khó khăn việc việc tính tốn số Vì thế, ta cần phải có phương pháp “chỉnh hóa” để giải vấn đề Các loại tốn khơng chỉnh cho cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp phân số nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm thời gian gần Từ thập niên 50 kỉ trước, cơng việc chỉnh hóa tốn không chỉnh nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới Một kết phương trình parabolic ngược thời gian cơng trình John [15] cơng bố năm 1955 John đề xuất phương pháp số để giải tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian, chứng minh phương pháp ổn định tập hàm số dương bị chặn Từ năm 1963, sau Tikhonov [29] đưa phương pháp chỉnh hóa tiếng ơng, tốn khơng chỉnh toán ngược trở thành ngành riêng vật lý tốn học khoa học tính tốn Năm 1967, Lattes Lions [16] đưa phương pháp tựa đảo (quasi-reversibility) R.Ewing [10] dùng phương pháp phương trình Sobolev để chỉnh hóa tốn Sau đó, Showalter [28] đề xuất phương pháp tựa biên (quasi-boundary value) hay cịn gọi phương pháp QBV Chúng ta kể thêm số kết tiếng tốn parabolic ngược thời gian tuyến tính [3,7,9,10,22] Trong khoảng vài chục năm gần đây, có nhiều nhà khoa học giới quan tâm, tìm hiểu nghiên cứu lĩnh vực Chẳng hạn Y.Zhang cộng nhóm nghiên cứu ông [3], Q.Z.Zang cộng [5], Ting Wei [20, 22, 23], J.J.Liu M.Yamamoto [17], K.Samamoto M.Yamamoto [18] Các đạo hàm cấp phân số sử dụng để mơ hình phổ biến bất thường, chùm hạt lây lan tỷ lệ khơng phù hợp với mơ hình cổ điển, chùm khơng đối xứng Khi đạo hàm cấp phân số thay đạo hàm cấp phương trình khuếch tán, dẫn đến tăng cường khuếch tán (còn gọi siêu khuếch tán) Trong ứng dụng cho dòng chảy truyền tải nước ngầm, thành phần khuếch tán mơ hình phương trình truyền tải khuyếch tán, lây lan chất gây ô nhiễm tốc độ tương phản chất lỏng qua môi trường xốp [14] Hệ thống thâm nhiễm nước ngầm xử lý rò rỉ nước thải gặp phải dịng chảy, mơ tả phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Các mơ hình tốn học phù hợp với giải pháp thủy văn chiều thẳng đứng nạp nước ngầm cách trải Dịng chảy có tầm quan trọng lớn khoa học tài nguyên nước, kỹ thuật khoa học đất nông nghiệp Theo hiểu biết chúng tôi, loại tốn khơng chỉnh cho phương trình đạo hàm riêng sau cịn “bài tốn mở” tiếp tục nghiên cứu Loại 1: Bài tốn ngược khơng chỉnh cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp phân số theo biến thời gian Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng Loại 2: Bài tốn ngược khơng chỉnh cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp phân số theo biến không gian Loại 3: Bài tốn ngược khơng chỉnh cho phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp phân số hàm nguồn chưa biết Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Viện Khoa học Cơng nghệ tính tốn Thành phố Hồ Chí Minh (ICST phố Hồ Chí Minh) với tên dự án xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng ĐƠN VỊ THỰC HIỆN Phịng thí nghiệm: Khoa học Mơi Trường Chủ nhiệm đề tài: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn Thành viên đề tài: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn PGS TS Nguyễn Văn Thịnh CN Lê Đình Long CN Lê Thị Việt Phương CN Hồ Thị Kim Vân Cơ quan phối hợp: ĐẠI HỌC QUỐC GIA SEOUL, HÀN QUỐC Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng BÁO CÁO KHOA HỌC I BÁO CÁO NGHIÊN CỨU Những kết dự án nghiên cứu trình bày hai ván đề sau Bài tốn 1: Bài tốn ngược cho phương trình khuếch tán cấp phân số với đạo hàm Caputo giá trị đầu: Chúng tơi tìm cặp hàm (u, f) thõa phương trình sau với điều kiện biên giá trị đầu sau       u ( x, t )  r () u ( x, t )  h(t ) f ( x), ( x, t )  T ,  t   (1) u (1, t )  u (1, t )  0,  t  T , u ( x, 0)  0, x  ,   u ( x, T )  g ( x), x  , Trong  (t) u (x) hàm cho trước Cơng thức tính hàm nguồn F Trước hết, giới thiệu số tính chất tốn tử () /2 , xem [18] Giá trị riêng toán tử fractional Laplacian: Giá trị riêng () /2 số thực Một họ giá trị riêng {k }k 1 thõa mãn  1  2  3   , and k   as k   Chúng tơi có {k }k 1 giá trị riêng vector riêng phụ thuộc vào trị riêng toán tử fractional Laplacian  với điều kiện biên Dirichlet biên  : k ( x)  kk ( x), x ,  k ( x)  0, on , Thì chúng tơi định nghĩa toán tử () /2   k 0 k 0 () /2 u :  ckk ( x)   ck k /2k ( x) với ánh xạ từ H 0 () vào L2 () Cho     Bằng H 0 () đặt không gian hàm thuộc g  L2 () với tính chất sau   (1   )  | g k k 1 k |2  , gk   g ( x)k ( x)dx Thì chúng tơi định nghĩa sau‖ g‖ H  (  )     (1   )  | g k 1 k k |2 Nếu   H () L () Bây chúng tơi sử dụng phương pháp tách biến để tìm  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng nghiệm phương trình (1) Giả sử nghiệm phương trình (1) định nghĩa sau  u ( x, t )   uk (t )k ( x), with uk (t )  u (., t ), k ( x) k 1 Thì việc mở rộng hàm riêng đinh nghĩa phương pháp chuỗi Fourier.Đó là, chúng tơi nhân hai vế phương trình (1) k (x) lấy tích phân hàm theo biến x Sử dụng công thức Green k  , chúng tơi có hệ phương trình với điều kiện đầu giá trị  đầu cho phương trình vi phấn cấp phân số với hệ số Fourier uk (t) : chưa biết       uk (t )  r () uk (t )  h(t ) f k ( x), ( x, t )   (0, T ), (2)  t u (0)  u ( x, 0),  ( x) k  k Từ kết \cite{Salih}, công thức nghiệm phương trình với tốn giá trị đầu (2) cho sau:  t k u ( x, t )   (   1E ,  (( ) r   ) f ( x)h(t   ), k ( x) d )k ( x) k 1 Bằng cách đổi biến tích phân, chúng tơi viết lại  t k u ( x, t )   ( (t   )  1E , (( ) r  (t   )  )h( )d ) f ( x), k ( x)k ( x) k 1 Thay $t = T$ đẳng thức trên, có   g ( x), k ( x)k ( x) f ( x)   T k    1  k 1 0 (T   ) E , (( ) r (T   ) )h( )d Bằng cách đặt đơn giản k   (k , , r )  (T   )  1 E ,  (( ) r  (T   )  ), Thì hàm nguồn f(x) viết lại   g ( x), k ( x)k ( x) f ( x)   T  k 1  (  ,  , r ) h (  ) d    k Thì nghiệm f tồn chuỗi bên phải nghiệm xác hội tụ Với đánh giá sau g  H 0    , chúng tơi có  g ( x), k ( x)  | k 1  T   (k , , r )h( )d 2  k |   k 1 r  g ( x), k ( x) r 2  ‖ g‖ 2H  (  ) , ‖ h‖ C2 [0,T ] ‖ h‖ C2 [0,T ]  g ( x), k ( x)  | k 1  T    (k , , r )h( )d k2 r   g ( x), k ( x) (h) |2 (1  E ,1 (1 r  T  )) k 1 |  |  r 2 ‖ g‖ 2H  (  ) | (h) |2 (1  E ,1 (1 r  T  ))  g ( x), k ( x)k ( x)  Từ hai bất đẳng thức trên, kết luận chuỗi  k 1  T   (k , , r )h( )d hội tụ Chứng minh hồn tất Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng Cho R :[0, T ]  bổ đề tốn, nghiệm u  x, t  , f  x  toán (1)là Cho f1 f hai nghiệm nguồn phụ thuộc vào hai giá trị cuối h1 h2 theo thứ tự Giả sử h1  h chúng tơi lại có f1  f Trong thực tế, biết sau k E ,  (( ) r  (t   )  )  với   t Từ ‖ h‖ C[0,T ] | (h) | for t ∈ [0, T], chúng tơi có:  T T   (k , , r )h( )d | (h) |  (T   )  1E ,  (( | (h) | T  E ,  1 (( k  ) (rT )  )  k   ) r (T   )  )d Chúng tơi có  f1 ( x)  f ( x)   k 1  g1 ( x)  g ( x), k ( x)k ( x)  T   (k , , r )h( )d  Chứng minh hồn chỉnh 1.1) Tính khơng chỉnh tốn Xét tốn tử tuyến tính K : L2     L2    sau:  f ( x)   p( x,  ) f ( )d  [   (k , , r )h( )d ] f ( x), k ( x)k ( x)  k 1 T Bởi p( x, )  p(, x) chúng tơi biết tốn tử tốn tử tự liên hợp.Tiếp theo, chúng tơi chứng minh tính chất compact Dịnh nghĩa tốn tử hữa hạn N sau N T k 1  N f ( x)  [   (k , , r ) h( ) d ] f ( x), k ( x)k ( x) ‖  N f  f ‖ L2 (  )    ‖ h‖ k  N 1 C [0,T ] 2 k    [ k  N 1 T   (k , , r )h( )d ]2 |  f ( x), k ( x) |2 ‖ h‖ C2 [0,T ] |  f ( x), k ( x) |  2 N   | f ( x),  ( x) | k  N 1 k Điều ngụ ý ‖ h‖ C2 [0,T ] ‖ h‖ C[0,T ] ‖ N f  f ‖ L2 (  )  ( ‖ f ‖ 2L2 (  ) )1/2  ‖ f ‖ L2 (  ) 2 N N Vì thế, ‖ N  ‖  hội tụ theo chuẩn L( L2 (), L2 ()) N   , hiển nhiên, K toán tử compact, Các giá trị nhỏ toán tử tuyến tính compact tự liên hợp: T T k  k   (T   )  1E , (( ) r  (T   )  )h( )d     (k , , r )h( )d , 0 2 Và vector riêng k sở trực chuẩn L    Từ phương trình (1), tốn nguồn ngược giới thiệu có cơng thức viết lại phương trình tốn tử sau: Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng f ( x)  g ( x) sách Kirsch [11], để làm rõ vấn đề không chỉnh,chúng tơi giới thiệu ví  ( x) dụ cụ thể sau Với liệu đầu vào cuối chọn sau: g m ( x)  m , công thức r  m nguồn biễu diễn với g m sau: m ( x)  m   g m ( x), k ( x)k ( x)  f ( x)   m k 1  T   (k , , r )h( )d   k 1 r (  T , k ( x)k ( x)  )   (k , , r )h( )d  m ( x) m  T r ( )   (m , , r )h( )d 0 2 Cho chọn liệu cuối sau Và sai số L2    hai liệu cuối sau: m ( x) ‖ g m  g‖ L2 (  ) ‖ ‖ L2 (  )  , m  m    |r | ( ) |r | ( ) 2 Vì lim ‖ g m  g‖ L2 (  )  lim  m m m   |r | ( ) Và sai số L2    hai nguồn tính tốn sau: m ( x) ‖ f m  f ‖ L2 (  ) ‖ m  T |r | ( )   (k , , r )h( )d 0 Với có   (0,1) r số thực dương  ‖ L2 ( )  m  T |r | ( )   (k , , r )h( )d 0 ,  m  ) m ‖ f  f ‖ L2 (  )  ‖ h‖ C [0,T ] Điều dẫn đến ( m  ) m lim ‖ f  f ‖ L2 (  )  lim   m  m‖ h‖ C [0,T ] Chúng kết luận tốn ngược tìm lại hàm nguồn tốn khơng chỉnh Trong phần này, chúng tơi chọn tốn tử K tử nghiệm đặt định nghĩa nghiệm chặt cụt sau: ( Chỉnh hóa tốn nguồn ngược phương pháp chặt cụt  g ( x), k ( x)k ( x) N f ,N ( x)   k 1  T   (k , , r )h ( )d Trong số tự nhiên dương N coi tham số chỉnh hóa Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng Kế tiếp, chúng tơi xem xét cách chỉnh hóa a a-priori phương pháp an a -posteriori chọn từ số chỉnh hóa.Dưới cách chọn tham số chỉnh hóa thế, sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa tính tốn sau 1.2) Sai số cách chọn tham số chỉnh hóa tiên nghiệm Sau đó, chúng tơi tính tốn sai số f  f  ,N L2    trình bày sai số hội tụ cách chọn số tiên nghiệm số chỉnh hóa sau : 1.5.1) Nếu    1, chọn   ‖ f ( x)  f ,N ( x)‖ L2 (  )     1 M  , chúng tơi có sai số sau:  1  , M  ( )  , chúng tơi có sai số sau: ( x)‖ L2 (  )   M ( f , h, h , r , T )  , ( f , h, h , r , T ), ‖ f ‖ L2 (  ) r  ( f , h , h , r , T )  [  max { , }] ,  ,  | (h) | (1  E ,1 (1 r  T  )) | (h ) | Trong 1.3) ,N ( 1) ( )  1.5.2) Nếu   , chọn   ‖ f ( x)  f M Sai số cách chọn tham số chỉnh hóa hậu nghiệm Trong phần này, chúng tơi xem xét cách chọn sai số hậu nghiệm nguyên lí Chênh lệch Định nghĩa N FN g    g (x), k ( x)k ( x) k 1 Theo ngun lí này, chúng tơi có K  K ( , g  ) nghiệm phương trình toán tử ‖ ( I  FN ) g  ‖ L2 ()  m ‖ ( I  FN 1 ) g  ‖ L2 ( ) , m  Chúng tơi có ‖ h‖ C[0,T ] M  ( 1) N (  )  r (m  1) ‖ FN 1 g  g‖ L2 (  ) ‖ ( FN 1  I ) g   ( I  FN 1 )( g  g  )‖ L2 (  ) ‖ ( FN 1  I ) g  ‖ L2 (  ) ‖ ( I  FN 1 )( g  g  )‖ L2 (  )  (m  1) Mặt khác, cho k  N , chúng tơi có | T    (k , , r )h( )d |‖ h‖ C[0,T ]  T    (k , , r )d ‖ h‖ C[0,T ] (1  E (k r  T  )) ‖ h‖ C[0,T ]  k r  N r  ,1 Điều ngụ ý Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 10 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng   k N k N ‖ FN 1 g  g‖ 2L2 (  )   | g ( x), k ( x) |2   |   (k , , r )h( )d  f ( x), k ( x) |2 ‖ h‖  2C [0,2 T ] N r  ‖ h‖ ‖ h‖ C2 [0,T ] |  f ( x ),  ( x )  |   k N2 r  k N   C [0,T ]  2 k N N   (1   ) k (1  k ) 2 |  f ( x), k ( x) |2 k ‖ h‖ C2 [0,T ] ‖ f ‖ 2H  (  ) ‖ h‖ C2 [0,T ] 2 N2 r  N Vì thế, ‖ FN 1 g  g‖ L2 (  )  2 k kN  (1   )  |  f ( x),  ( x) | N2 r   T M2 2 2 (  1) r N M ‖ h‖ C[0,T ] Điều ngụ ý r  N ( 1) M ‖ h‖ C[0,T ] ‖ h‖ C[0,T ] M  ( 1) N  ( ) r  N ( 1)  r  (m  1) Chúng tơi có: (m  1)    ‖ f ( x)  f  , N ( x)‖ L2 (  )    1 M  1[   ( f , h , h, r , m, T )   1 ]  ,  (h, r , T )(m  1) Trong  ( f , h , h, r , m, T )  (  , ‖ h‖ C [0,T ]  r r  (m  1) | (h ) | 1 )  1 max{‖ f ‖ L2 (  ) , (1  E ,1 }, (1 r  T  ))    1 (r ) (h, r , T )   | ( h) |  1 (1  E   ,1  (1 r T ))   1 Bài tốn 2: Chúng tơi xem xét tốn sau (2)   u    uxx   (t ) f(x), (x,t)  (0,1)  (0,1),  t t  (0,1) ux (0,t)  u x (1,t)  0, u(1,t)  t  (0,1)  x  (0,1) u( x ,0)  u0 ( x ), (1) Trong [11], M Kirane S Malik xem xét toán nguồn ngược với toán sau:  D0 (u ( x, t )  u ( x, 0))  u xx  f ( x) (t ), ( x, t )  (0,1)  (0,1),   u (1, t )  0, t  (0,1),  u x (0, t )  u x (1, t ), t  (0,1), u ( x, 0)  u ( x),  u ( x,1)  u1 ( x), x  (0,1)  Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 11 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng Trường hợp 1: Nếu u  C1 ([0,1]; L2 (0,1))  C ([0,1]; H (0,1)), f  L2 (0,1), chúng tơi có: 1  f ( x) cos( x)dx   u1 ( x) cos( x)dx  E ,1 ( ) u0 ( x) cos( x)dx 0 s  1  E , ( s ) (1  s)ds Lấy tích phân vế phương trình (1) với cos( x) lấy tích phân từ đến 1, chúng tơi có 1 0 Dt ( u ( x, t ) cos( x)dx)   uxx ( x, t ) cos( x)dx   (t )  f ( x) cos( x)dx Lấy tích phân phần với điều kiện u(1,t)=0, chúng tơi có 1 1  uxx ( x, t ) cos( x)dx  ux ( x, t ) cos( x) |0   ux ( x, t )sin( x)dx    u x ( x, t )sin( x)dx 0 1 0  u ( x, t )sin( x) |10   u ( x, t ) cos( x)dx    u ( x, t ) cos( x)dx Kế tiếp, có 1 d u ( x, t ) cos( x)dx    u ( x, t ) cos( x)dx   (t )  f ( x) cos( x)dx dt  0 0 Điều cho chúng tơi thấy hàm h(t )   u ( x, t ) cos( x)dx nghiệm tốn thỏa phương trình sau:   Dt h(t )   h(t )  H (t ),  t  1,  h(0)  h0 , Trong H (t )   (t )  f ( x) cos( x)dx Nghiệm cho sau t h(t )  E ,1 ( t )h0   s 1E , ( s ) H (t  s)ds,  Trong E , hàm Mittag Leffler định nghĩa 2.1 Bằng cách chọn t=1, chúng tơi có 1 1 0 0  1   u1 ( x) cos( x)dx  E ,1 ( ) u0 ( x) cos( x)dx   s E , ( s ) (1  s)ds  f ( x) cos( x)dx Chứng minh hoàn tất Bây giờ,chúng tơi trình bày kết chỉnh hóa Cho u0 , u1 thuộc L2 (0,1)   C ([0,1]) Cho họ (u,f) nghiệm xác phượng trình (1) Giả sử f  H (0,1) Cho C0 ,   , giả sử   ,u1 thõa mãn ‖     ‖ C (0,1)  sup |  (t )    (t ) |  , ‖ u1  u1 ‖ L2 (0,1)   , ‖ u0  u0‖ L2 (0,1)   0t 1 Với điều kiện  ( x)  C0 ,  ( x)  C0 a.eon (0,1) Chúng tơi định nghĩa nghiệm chỉnh hóa f  sau  Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 12 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng 1 f ( x)   2  max       u1 ( x) cos( x)dx  E ,1 ( ) u0 ( x) cos( x)dx 0 (  s max 1 ei  x d  E , ( s )  (1  s )ds) Trong max : max ( ) gọi tham số chỉnh hóa Cho chọn max cho 1 lim max  lim max   0, chúng tơi có  0 max  ‖ f  f  ‖ 2L2 (0,1)  64  ‖ f ‖ 2H (0,1) | max |2   C12  (1  max ) Trường hợp 2: P Cho   C ([0,1]) thỏa mãn NZ  Cho M     ln( M 1 ) Thì ( ,  )  for a.e   Hơn nữa, đặt R  ,   0, ln(ln( M 1 )) Cho q số cho  q  q Thì độ đo Lebesgue tập sau B( ,  )  {   B(0, R ),| ( , ) | M  } for  đủ nhỏ, B(0, R ) cầu mở 6 R Định lí 2: Cho u0 , u1 Định lí 2.1 Cho M  bổ đề 2.6 Định nghĩa cho nghiệm chỉnh hóa sau R f  ( x)  F  ( ,  )ei  x d  ,  2  R Trongđó 1  u ( x ) cos(  x ) dx  E (   ) u0 ( x) cos( x)dx   ,1   if |  ( ,  ) |  q and |  | R , F  ( ,  )    ( ,  )   if |  ( ,  ) |  q or |  | R   Với  q  Thì với  đủ nhỏ thuộc khoảng (0, ( )1q ) , chúng tơi có đánh sau: 2P Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 13 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng ‖ f  f  ‖ 2L2 (0,1)  4‖ f   f ‖ 2L2 ( )  ln (ln(  43     q ‖ f ‖ 2H (0,1) ln (   q 8C2   ( P   ) q Việc chứng minh hoàn chỉnh  ln(ln(  (f ) ‖ )) P  ( f )‖ 2L2 ( ) ln (ln(  2‖ f ‖ ) P P    )) q L2 (0,1) 3  ln ( P    ) q   ln( ) 24q )) ( P   ) Ví dụ số tương ứng: Để minh chứng cho phương pháp chúng tôi, chúng tơi có ví dụ số để chứng minh tính chỉnh hóa cho lí thuyết chúng tơi Trong ví dụ này, chúng tơi tìm ví dụ số trường hợp  (t )  với t [0, T ] Trong tính tốn chúng tơi, chúng tơi sử dụng code Matlab cho Podlubny [19] để tính tốn hàm Mittag Leffler với hệ số kiểm sốt 10^{-8}.Trong phần này, chúng tơi xem xét phương trình (1) với liệu xác sau: x3 x x3 x   ), uT ( x)  E ,1 (1)(   )  6 Trong cấp phân số   0,3 Nghiệm xác biểu diễn sau x3 x f ( x)  (   x  ), x3 x u ( x, t )  E ,1 (t  )(   ) Dữ liệu nhiễu cho sau: u1 (.)  u1 (.)  (2rand ( size(.))  1),  (t )  E ,1 (t  ), u0 ( x)  (   (.)   (.)  (2rand ( size(.))  1), u0 (.)  u0 (.)  (2rand ( size(.))  1)  Trong rand (.) [1,1] số ngẫu nhiên Chúng dễ dàng kiểm tra bất đẳng thức sau ‖ u1  u1‖ L2 (0,1)   ,‖ u0  u0‖ L2 (0,1)   ,‖    ‖ C ([0,1])   Từ công thức này, nghiệm chỉnh hóa biễu diễn sau: f  max ( x)   2 max    max   u1 ( x) cos( x)dx  E ,1 ( ) u0 ( x) cos( x)dx 0 (  s 1 ei  x d  E , ( s )  (1  s)ds) Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 14 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng  Trong tham số chỉnh hóa chọn sau max  Kế tiếp, chọn giá trị  0.02,  0.01,  0.001 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh  0.0001 , theo thứ tự Page 15 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng  M=101 M=127 M=256 2.00E − 02 0.12549456 0.126739224 0.126517239 1.00E − 02 0.05986023 0.058224624 0.062274456 1.00E − 03 0.00849653 0.009313471 0.010011026 1.00E − 04 0.006401596 0.006648954 0.007351341 1.00E − 05 0.006368745 0.006681924 0.007304089 1.00E − 06 0.006363962 0.006681951 0.007306117 Bảng 1: Sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa ví dụ với  khác Hình trình bày so sánh nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa M=101 (trên) M=256 (dưới) với   0.3 , bắt đầu nghiệm chỉnh hóa dao động xoay vịng quanh nghiệm xác lớn (trong khoảng 101  102 ), cuối nghiệm chỉnh hóa hội tụ tốt nghiệm xác  , tiến Bảng trình bày sai số tương đối nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa với   0.3 M=101, M=127 M=256 Trong dòng bảng số 1, chúng tơi trình bày giảm dần  , với  decreases to zero khơng theo luật Trong dịng số bảng số, dòng dòng 4, chúng tơi trình bày trường hợp M=101, M=127 M=256 Như trình bày bảng đây, Độ lớn sai số tương đối phụ thuộc vào   Nhìn chung, hội tụ tính nghiệm số rât tốt trường hợp   0.3 Ví dụ 2: Trong ví dụ này, chúng tơi có ví dụ  vài điểm Chúng chọn nghiệm xác sau u( x, t )   t  2t  exp( x)  Sau phép tính tốn đơn giản 2t 2 2t1  (t ) :   t2   2t (3   ) (2   ) f ( x)  exp( x) Bằng cách chọn   0,9 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 16 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng Nó dễ dàng để nhìn thấy t=0 vài điểm  (t )  0, i.e,  (0)  Từ  hàm liên 9 tục and  ( ) ( )  , khẳng định tồn t0  ( , ) 10 10 10 10 cho  (t0 )  Hơn nữa, cách đặt u( x,0)  u0 ( x)  and u( x,1)  u1 ( x)   exp( x) Từ u(1, t )  , áp dụng phương pháp chặt cụt kết 2.5 Nghiệm chỉnh hóa biểu diễn sau: 1  u ( x) cos(n x)dx  E (n  ) u ( x) cos(n x)dx cos(n x), ( x)      s E  ( n s ) (1  s)ds f n 2 ,1 1 n 0 , Trong : {n  :|  ( , n ) ||  s 1E , ( n2 s ) (1  s)ds | n q Phương pháp chặt cụt đặt tập sau s Đầu tiên, chúng tơi cần tính tốn  1 n , and n  R } E , ( n2 s ) (1  s)ds Từ   (.)   (.)  (2rand ()  1) , chúng tơi có 1 0  1 2   1 2   1 2   s E , ( n s ) (1  s)ds   s E , ( n s ) (1  s)ds  (2rand () 1) s E , ( n s )ds  Trong  (2rand ()  1)  s 1E , ( n2 s )ds  (2rand ()  1) (1  E ,1 ( 2n2 ))  2  n Trong thực tế s  1 E , ( s )(1  s)  1 ds  ( ) E ,    ( ), for all    R   Nếu   0,9 and q  0.4999 cách chúng tơi tính tốn, chúng tơi chọn ( ) vài giá trị sau A1  1.65 and A1  Vì   0, 2977324 R f (x)  f  (x) n 1E-03 4.43E+01 * ∩ [1, 2] 3.05E-04 1E-04 3.23E+02 * ∩ [1, 4] 2.66E-06 1E-06 1.63E+04 * ∩ [1, 11] 6.50E-07 1E-08 8.06E+05 * ∩ [1, 31] 1.96E-09 1E-10 3.98E+07 * ∩ [1, 110] 4.06E-11 L2  0,1 Sai số nghiệm xác nghiệm chỉnh hóa ví dụ với giá trị khác Nhưng nhìn chung, ví dụ, ví dụ chứng minh phương pháp chỉnh hóa chúng tơi nêu tốt dần Nó xác nhận nghiệm chỉnh hóa hội tụ tốt nghiệm xác phương pháp chúng tơi Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 17 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng II CÁC TÀI LIỆU KHOA HỌC ĐÃ XUẤT BẢN 1) Bài báo: “FOURIER TRUNCATION METHOD FOR AN INVERSE SOURCE PROBLEM FOR SPACE-TIME FRACTIONAL DIFFUSION EQUATION” Tạp chí: Electronic Journal of Differential Equations Tác giả: Huy Tuan Nguyen, Le Dinh Long 2) Bài báo: Identification and regularization for unknown source for a time-fractional diffusion equation Tạp chí: Computers and Mathematics with Applications Tác giả: Nguyen Huy Tuan, Mokhtar Kirane, Luu Vu Cam Hoan, Le Dinh Long Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 18 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G Dagan Theory of solute transport by groundwater Ann Rev Fluid Mech 1987; 19: 183215 [2] E M LaBolle, G E Fogg Role of molecular diffusion in contaminant migration and recovery in an alluvial aquifer system Transport Porous Med 2001; 42: 155-179 [3] Y Zhang, D A Benson, D M Reeves Time and space nonlocalities underlying fractionalderivative models: Distinction and literature review of field applications Adv Water Resour 2009; 32: 561-581 [4] R Metzler, J Klafter The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach Phys Rep 2000; 339: 1-77 [5] Q Z Huang, G H Huang, H B Zhan A finite element solution for the fractional advectiondispersion equation Adv Water Resour 2008; 31: 1578-1589 [6] B Berkowitz, A Cortis, M Dentz, H Scher Modeling non-Fickian transport in geological formations as a continuous time random walk Rev Geophys 2006; 44(2): RG2003 [7] B Berkowitz, H Scher On characterization of anomalous dispersion in porous media Water Resour Res 1995; 31: 1461-1466 [8] X X Zhang, M Lv, J.W Crawford, I M Young The impact of boundary on the fractional advection dispersion equation for solute transport in soil: Defining the fractional dispersive flux with the Caputo derivatives Adv Water Resour 2007; 30: 1205-1217 [9] H G Sun, W Chen, Y Q Chen Variable-order fractional differential operator in anomalous diffusion modeling Phys A 2009; 388: 4586-4592 [10] D A Benson, S W Wheatcraft, M M Meerschaert Application of a fractional advectiondispersion equation Water Resour Res 2000; 36(6): 1403-1412 [11] J D Seymour, J P Gage, S L Codd, R Gerlach Magnetic resonance microscopy of biofouling induced scale dependent transport in porous media Adv Water Resour 2007; 30(6-7): 1408-1420 [12] M M Meerschaert, D A Benson, B Baeumer Operator L´evy motion and multiscaling anomalous diffusion Phys Rev E 2001; 63: 021112 [13] D A Benson, C Tadjeran, M M Meerschaert, I Farnham, G Pohll Radial fractionalorder dispersion through fractured rock Water Resour Res 2004; 40: W12416 [14] J Bear, Dynamics of Fluids in Porous Media Dover, 1988; Published originally in 1972 by American Elsevier Pulishing Co [15] R R Nigmatullin, Realization of the generalized transfer equation in a medium with fractional geometry Physica Status (B) : Basic Research 133(1) (1986) 425-430 [16] K B Oldham, J Spanier, The fractional calculus, Academic Press, New York (1999) Viện Khoa học Công nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 19 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng [17] J J Liu and M Yamamoto, A backward problem for the time-fractional diffusion equation, Appl Anal 89 (2010), 1769-1788 [18] K Sakamoto, M Yamamoto, Initial value boundary value problems for fractional diffusionwave equations and applications to some inverse problems J Math Anal Appl 382 (2011),no 1, 426-447 [19] Ren, Caixuan; Xu, Xiang; Lu, Shuai; Regularization by projection for a backward problem of the time-fractional diffusion equation.J Inverse Ill-Posed Probl.22 (2014), no 1, 121–139 [20]Wang, Jun-Gang; Zhou, Yu-Bin; Wei, TingTwo regularization methods to identify a spacedependent source for the time-fractional diffusion equation.Appl Numer Math.68 (2013), 39–57 [21]Dou, F F.; Hon, Y C.; Numerical computation for backward time-fractional diffusion equation.Eng Anal Bound Elem.40 (2014), 138–146 [22] Wei, T.; Zhang, Z Q.; Stable numerical solution to a Cauchy problem for a time fractional diffusion equation.Eng Anal Bound Elem.40 (2014), 128–137 [23] Wei, Ting; Wang, Jungang; A modified quasi-boundary value method for an inverse source problem of the time-fractional diffusion equation.Appl Numer Math.78 (2014), 95–111 [24] J.-P Bouchaud and A Georges, Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications, Phys Rep., 195(4-5):127 293, 1990 [25] L Debnath, Recent applications of fractional calculus to science and engineering Int J Math Math Sci.}, 54:3413 3442, 2003 [26] I Podlubny, Fractional Differential Equations, Mathematics in Science and Engineering, vol 198, Academic Press Inc, San Diego, CA, 1990 [27] R Nigmatulin, The realization of the generalized transfer equation in a medium with fractal geometry, Phys Stat Sol B, 133:425 430, 1986 [28] J.G Wang, Y.B Zhou, T Wei, Two regularization methods to identify a spacedependent source for the time-fractional diffusion equation, Appl Numer Math 68 (2013), 39–-57 [29] Z.Q Zhang, T Wei, Identifying an unknown source in time-fractional diffusion equation by a truncation method, Appl Math Comput 219 (2013), no 11, 5972–-5983 Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 20 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng CÁC PHỤ LỤC PHỤ LỤC Bài báo: FOURIER TRUNCATION METHOD FOR AN INVERSE SOURCE PROBLEM FOR SPACE-TIME FRACTIONAL DIFFUSION EQUATION Tạp chí: Electronic Journal of Differential Equations Tác giả:Nguyễn Huy Tuấn, Lê Đình Long Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 21 Xác định hàm nguồn cho phương trình khuếch tán ứng dụng PHỤ LỤC Bài báo: Identification and regularization for unknown source for a time-fractional diffusion equation Tạp chí: Computers and Mathematics with Applications Tác giả:Nguyễn Huy Tuấn, Mokhtar Kirane, Lưu Vũ Cẩm Hồn, Lê Đình Long Viện Khoa học Cơng nghệ Tính tốn TP Hồ Chí Minh Page 22