Rối lai, rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - CAO THỊ BÍCH RỐI LAI, RỐI TĂNG CƯỜNG VÀ ÁP DỤNG CHO VIỄN CHUYỂN, VIỄN TẠO TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ VÀ VIỄN TÁC TỐN TỬ CĨ KIỂM SỐT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI – 2023 DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Tên tiếng Anh Tên tiếng Việt LOCC Local operations and classi- Thao tác địa phương giao cal communication tiếp cổ điển EPR Einstein-Podolsky-Rosen GHZ Greenberger-HorneZeilinger DOF Degree of freedom S-DOF Spatial-mode degree of free- Bậc tự không gian dom P-DOF Polarization degree of free- Bậc tự phân cực dom CV Continuous-variable Bậc tự Biến liên tục CV-DOF Continuous-variable degree Bậc tự có biến liên tục of freedom DV Discrete-variable Biến gián đoạn DV-DOF Discrete-variable degree of Bậc tự có biến gián đoạn freedom H Horizontally polarized sin- Phân cực ngang photon gle photon đơn V Vertically polarized single Phân cực dọc photon photon đơn SPDC Spontaneous parametric down-conversion BS Beam splitter Bộ tách chùm BBS Balanced beam splitter Bộ tách chùm cân iii iv P Phase shifter Bộ dịch pha PBS Polarization beam splitter Bộ tách phân cực HWP Half-wave plate Tấm nửa sóng QWP Quarter-wave-plate Tấm sóng phần tư LO Local oscillator Bộ dao động địa phương hay tham chiếu LOQC Linear optical computation QT Quantum teleportation BQT Bidirectional quantum tele- Viễn chuyển lượng tử hai portation chiều RIO Remote implementation of Viễn tác toán tử tổng quát operator CRIO Controlled remote imple- Viễn tác có kiểm sốt tốn mentation of operator tử tổng qt CRISO Controlled remote imple- Viễn tác có kiểm sốt toán mentation of a subset of tử giới hạn operatorscontrolled remote implementation of a subset of operators quantum Tính tốn lượng tử quang tuyến tính Viễn chuyển lượng tử DANH SÁCH BẢNG Bảng 2.1 Trạng thái ρ4 (τ ) công thức (2.119) phụ thuộc vào 16 trường hợp kết đo (j,chẵn) (j,lẻ) {n3 , n2 , n1 , nB } Trạng thái ρ4 (τ ), ρ4 (τ ) với (T ) j = 1, 2, 3, ρ4 (τ ) cho công thức (2.120) - (2.123) (2.126) Bảng 3.1 Trạng thái |ψkmns ⟩B photon B sau phép đo (S) Alice Charlie, toán tử hồi phục Rkmns với (S) Rkmns |ψkmns ⟩B =E(α |b0 ⟩ + β |b1 ⟩)B (P ) Bảng 3.2 Trạng thái Λkmn phụ thuộc vào kết kmn aABC Ψ4 pqnl = (|α, α, 0⟩ + |−α, −α, 1⟩)pqn (|0⟩ + |1⟩)l (2.90) Nhìn vào cơng thức ta thấy trạng thái cuối cho kết thành công Bốn trạng thái phía chuyển 54 trạng thái mong muốn cách sử dụng toán tử phục hồi Z X tác động lên trạng thái mode l, nhiên, tác động toán tử X lên trạng thái đơn tuyến cho xác suất 1/2 [66] Vì xác suất thành cơng q trình tạo trạng thái |Γ⟩ công thức (2.94) 3 PΓ = (Pchẵn̸=0,0 + Plẻ,0 ) = (1 − e−4|α| ) (2.91) Xác suất đạt 75% |α| ≥ 1.3 2.3 Viễn chuyển lượng tử có kiểm sốt từ trạng thái biến gián đoạn sang trạng thái biến liên tục ngược lại thông qua trạng thái rối lai ảnh hưởng môi trường Dưới thiết kế giao thức viễn chuyển lượng tử trạng thái qubit đơn tuyến trạng thái kết hợp Trong [113,116] tác giả nghiên cứu viễn chuyển lượng tử trạng thái photon phân cực đơn trạng thái kết hợp, đồng thời nghiên cứu viễn chuyển lượng tử trạng thái qubit đơn tuyến trạng thái kết hợp cách sử dụng trạng thái rối lai phù hợp chúng Để giải điều kiện thực tế q trình truyền tải thơng tin lượng tử vậy, điều quan trọng phải tính đến hiệu ứng liên kết tương tác với môi trường Ngồi ra, thực tế thường địi hỏi có bên thứ ba làm nhiệm vụ giám sát Điều thực cách thêm người giám sát vào trạng thái rối bên liên quan người đóng vai trị định cho việc giao thức có tiếp tục thực hay dừng lại Dưới trình bày giao thức cho việc truyền tải thông tin hai loại qubit khác Cụ thể: Alice, Bob, Charlie David bốn bên cách xa phép thực hoạt động địa phương giao tiếp cổ điển Alice Charlie bên không gian DV hoạt động với qubit đơn tuyến Bob David bên không gian CV có khả điều khiển trạng thái kết hợp Mục đích chúng tơi tạo giao thức cho phép viễn chuyển theo hai hướng, từ trạng thái qubit đơn tuyến sang trạng thái kết hợp ngược lại xun qua mơi trường có nhiễu kiểm soát đồng thời Charlie David Trong mục 55 đưa hai nhiệm vụ cần giải Ở nhiệm vụ thứ nhất, giả sử Alice giữ trạng thái tồn không gian DV sau |ψDV ⟩ = a |0⟩ + b |1⟩ , (2.92) |0⟩ (|1⟩) trạng thái chân không (trạng thái photon) a, b số phức chưa biết thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa |a|2 + |b|2 = Alice cần bí mật chuyển đến cho Bob thơng tin hệ số a, b nằm trạng thái CV |ψCV (α)⟩ = N (a |α⟩ + b |−α⟩), (2.93) |±α⟩ trạng thái kết hợp có biên độ phức ±α N = N (a, b, α) = (1+2Re(a∗ b)e−2|α| )−1/2 hệ số chuẩn hóa trạng thái |ψCV (α)⟩ Nhiệm vụ thứ hai, ngược lại với nhiệm vụ đầu tiên, Bob giữ qubit trạng kết hợp trạng thái (2.93) cần phải chuyển cách an toàn cho Alice hệ số a, b nằm trạng thái qubit đơn tuyến (2.92) Chúng hướng tới việc thiết kế giao thức cho hai nhiệm vụ giám sát đồng thời hai người kiểm soát Charlie David, với Charlie làm việc với trạng thái qubit đơn tuyến DV David có khả điều khiển qubit trạng thái kết hợp Mỗi số hai nhiệm vụ nêu hồn thành có cho phép hai kiểm soát viên Để thực hai nhiệm vụ hoạt động địa phương giao tiếp cổ điển, bốn bên Alice, Bob, Charlie David cần chia sẻ trước kênh rối lai DV-CV có dạng khiết sau |Γ(α)⟩1234 = √ (|α, α, 0, 0⟩ + |−α, −α, 1, 1⟩)1234 , (2.94) trạng thái chúng tơi thiết kế sơ đồ tạo thành công mục 2.2 bên Kênh lượng tử phải phân phối để Alice giữ mode 4, David giữ mode 2, Charlie giữ mode Bob giữ mode Trong trình phân phối kênh lượng tử, độ rối kênh bị suy giảm tương tác với môi trường xung quanh Điều mô tả phương trình Chủ [126] ∂ρ1234 (t) = (J + L)ρ1234 (t) (2.95) ∂t Ở t thời gian tương tác mode quang học môi trường, ρ1234 (t) ma trận mật độ kênh lượng tử thời điểm t, 56 J L toán tử Lindblad tác động lên ρ1234 (t) sau Jρ1234 (t) = P P γ i ρ1234 (t)a†i Lρ1234 (t) = − γ2 i (a†i ρ1234 (t) + ρ1234 (t)a†i ), với γ hệ số phân rã xác định độ mạnh tương tác kênh lượng tử môi trường (a†i ) toán tử hủy (sinh) mode i Nghiệm phương trình (2.95) viết dạng ρ1234 (t) = exp[(J + L)t]ρ1234 (0), (2.96) với ρ1234 (t = 0) = |Γ⟩1234 ⟨Γ| trạng thái khiết ban đầu kênh lượng tử Sử dụng quy luật tác động J L thu kênh lượng tử trạng thái tạp ρ1234 (τ ) có dạng ρ1234 (τ ) = {[|τ α⟩1 ⟨τ α| ⊗ |τ α⟩2 ⟨τ α| ⊗|0⟩3 ⟨0| ⊗ |0⟩4 ⟨0| +Cτ |τ α⟩1 ⟨−τ α| ⊗ |τ α⟩2 ⟨−τ α| ⊗|0⟩3 ⟨1| ⊗ |0⟩4 ⟨1| +Cτ | − τ α⟩1 ⟨τ α| ⊗ | − τ α⟩2 ⟨τ α| ⊗|1⟩3 ⟨0| ⊗ |1⟩4 ⟨0| +| − τ α⟩1 ⟨−τ α| ⊗ | − τ α⟩2 ⟨−τ α| ⊗(τ |1⟩3 ⟨1| + (1 − τ ) |0⟩3 ⟨0|) ⊗(τ |1⟩4 ⟨1| + (1 − τ ) |0⟩4 ⟨0|)}, 2 (2.97) với C = e−4(1−τ )α τ = e−γt/2 Chú ý τ = γt = (khi γ = t = 0), τ → γt → ∞ (khi γ hữu hạn t → ∞) Từ công thức (2.97), ta thấy tương tác với môi trường làm giảm biên độ mode kết hợp từ ±α sang ±τ α chuyển trạng thái photon |1⟩ ⟨1|, trạng thái qubit đơn tuyến mode 4, trạng thái chân không |0⟩ ⟨0| (lưu ý photon qubit đơn tuyến không loại bỏ qubit khỏi không gian chúng xem xét lỗi ‘lật bit’ (bit-flip) sửa mã sửa lỗi lượng tử) Vì ảnh hưởng tương tác với mơi trường tính đến kênh lượng tử ρ1234 (τ ), sau làm việc thẳng với ρ1234 (τ ) thay cho ρ1234 (0) = |Γ⟩1234 ⟨Γ| Trước tiên ta xét nhiệm vụ thứ nhất: Viễn chuyển lượng tử có kiểm sốt từ trạng thái biến gián đoạn sang trạng thái biến liên tục Giả sử Alice có qubit đơn tuyến A nằm trạng thái |ψDV ⟩A = (a |0⟩ + b |1⟩)A 57 Hình 2.8: Giao thức viễn chuyển lượng tử có kiểm sốt từ trạng thái biến gián đoạn sang trạng thái biến liên tục có kiểm soát sử dụng kênh lượng tử ρ1234 (τ ) công thức (2.97) Đường liền nét dán nhãn (2, 3, A) biểu diễn mode (2, 3, A) D2 , D3 , DA D4 máy đo photon để đếm photon tương ứng từ mode Đường đứt nét biểu diễn số photon phát n2 , n3 , nA n4 H toán tử Hadamard U = X XZ toán tử hồi phục phụ thuộc vào số photon đếm từ máy đo cô cần chuyển trạng thái |ψDV ⟩A tới Bob cho Bob nhn c trng thỏi mốo Schrăodinger cú dạng |ψCV (τ α)⟩1 = N (a |τ α⟩ + b |−τ α⟩)1 (2.98) Chú ý trạng thái (2.93) đặc trưng ±α trạng thái (2.98) lại đặc trưng ±τ α Điều trạng thái khiết ban đầu ρ1234 (0) = |Γ(α)⟩1234 ⟨Γ(α)| bị chuyển thành ρ1234 (τ ) công thức (2.97): biên độ ban đầu ±α trạng thái kết hợp bị giảm ±τ α Ngoài ra, suy giảm, hệ số chuẩn hóa (2.98) bị biến đổi N = N (a, b, α) = (1 + 2Re(a∗ b)e−2α )−1/2 thành N = N (a, b, τ α) = 2 (1 + 2Re(a∗ b)e−2τ α )−1/2 Trạng thái tích qubit DV Alice với kênh lượng tử ρA ρ1234 (τ ) với ρA = |ψDV ⟩A ⟨ψDV | Hoạt động bốn người nhiệm vụ hiển thị Hình 2.8 Cụ thể bốn người Alice, Bob, Charlie David phải thực theo thứ tự sau Hoạt động Alice: Alice sử dụng thiết bị quang học P BSPA4 để làm rối mode A mode 4, sau đếm số photon hai mode hai máy đo photon DA D4 Số photon phát nA n4 58 Trạng thái mode 1, lúc có dạng ρ123 (τ ) = + A4 ⟨nA , n4 |P BSP A4 [ρA ρ1234 (τ )]P BSPA4 |nA , n4 ⟩A4 PnA ,n4 , (2.99) với  + PnA ,n4 = T r |nA , n4 ⟩A4 ⟨nA , n4 |[P BSPA4 [ρA ρ1234 (τ )]P BSPA4 ] (2.100) xác suất đếm nA photon mode A n4 photon mode Sau biết giá trị nA n4 , Alice thông qua kênh liên lạc cổ điển thơng báo giá trị chúng để Bob sử dụng sau Chú ý mode A hay mode chứa tối đa photon tách chùm cân nên có năm trường hợp giá trị {nA , n4 }, {nA , n4 } = {0, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {0, 2} {2, 0} Hoạt động David : Với vai trò người kiểm soát, David sử dụng máy đo photon D2 để đếm số photon mode 2, với kết n2 thông báo kết kênh truyền thông cổ điển Chú ý mode trạng thái kết hợp n2 ∈ {0, 1, 2, , ∞} phân thành số chẵn lẻ, n2 = {chẵn, lẻ} Hoạt động Charlie: Là kiểm sốt viên khơng gian DV, Charlie tác động toán tử Hadamard lên mode 3, sau sử dụng máy đo photon D3 để đếm số photon n3 , thông báo kết kênh thông tin cổ điển Chú ý n3 ∈ {0, 1} mode trạng thái DV tồn hai trạng thái |0⟩ |1⟩ Thực tế, triển khai toán tử Hadamard qubit đơn tuyến khó khăn Một tác động trực tiếp cổng Hadamard với đếm photon qubit phụ trợ điều xảy ra, thành công [139] Tuy nhiên, sử dụng phép đo pha thích ứng [66] cho phép áp dụng cổng Hadamard qubit đơn tuyến thành công 50% Giả sử cổng Hadamard tạo thành công, trạng thái mode Bob sau hoạt động Alice, Charlie David ρ1 (τ ) = + 23 ⟨n2 , n3 |H3 ρ123 (τ )H3 |n2 , n3 ⟩23 Qn2 ,n3 , (2.101) với Qn2 ,n3 = T r{|n2 , n3 ⟩23 ⟨n2 , n3 |[H3 ρ123 (τ )H3+ ]} (2.102) xác suất đếm n2 n3 photon mode tương ứng 59 Hoạt động Bob: Với vai trò người nhận thông tin, Bob người cuối đưa số hoạt động thích hợp để dựng lại trạng thái ρ1 (τ ) công thức (2.101) để thu trạng thái gần so với trạng thái mong muốn (2.98) Bob phải sử dụng tất kết phép đo công bố trước nA , n4 , n3 n2 , kết kết hợp 20 trường hợp khác {nA , n4 , n3 , n2 } Để hình dung xem trường hợp hữu ích, trường hợp khơng chúng tơi viết ρ1 (τ ) (2.101) dạng biểu thức tường minh sau (1,n2 ) (τ ) (2,n2 ) (τ ) ρ1 (τ ) = (δ0nA δ1n4 δ0n3 + δ1nA δ0n4 δ1n3 )ρ1 + (δ1nA δ0n4 δ0n3 + δ0nA δ1n4 δ1n3 )ρ1 (3) + δ0nA δ0n4 (δ0n3 + δ1n3 )ρ1 (τ ) (4) + (δ0nA δ2n4 + δ2nA δ0n4 )(δ0n3 + δ1n3 )ρ1 (τ ), (2.103) (1,n2 ) ρ1 (τ ) = L(n2 ) (τ ){|b|2 |τ α⟩1 ⟨τ α| + (−1)n2 Cτ (a∗ b|τ α⟩1 ⟨−τ α| + ab∗ | − τ α⟩1 ⟨τ α|) + [|b|2 (1 − τ ) + |a|2 τ ]| − τ α⟩1 ⟨−τ α|}, (2.104) với L(n2 ) (τ ) = [|b|2 (2 − τ ) + |a|2 τ + (−1)n2 Cτ (a∗ b + b∗ a)e−2α (2,n2 ) ρ1 (3) ρ1 (τ ) (1,n2 +1) (τ ) = ρ1 2 τ ]−1 , (τ ), |τ α⟩1 ⟨τ α| + (1 − τ )| − τ α⟩1 ⟨−τ α| = − τ2 (2.105) (2.106) (2.107) (4) ρ1 (τ ) = | − τ α⟩1 ⟨−τ α| (2.108) Rõ ràng từ công thức trên, kết phép đo nằm hai dịng cuối (3) cơng thức (2.103) cho kết khơng mong muốn ρ1 (τ ) (2.107) (4) hay ρ1 (τ ) (2.108) không chứa tham số cần thiết a b Do đó, chúng tơi phân tích kết phép đo nằm hai dịng (2.103) Phân tích (2.104) n2 chẵn τ = (khơng có 60 (1,n2 ) suy giảm mơi trường) ρ1 (1,chẵn) ρ1 (τ ) trở (τ = 1) = [1 + 2Re(a∗ b)e−2α ]−1 {|b|2 |α⟩1 ⟨α| + (a∗ b|α⟩1 ⟨−α| + ab∗ | − α⟩1 ⟨α|) + |a|2 | − α⟩1 ⟨−α|} = X |ψL (α)⟩1 ⟨ψCV (α)| X, (2.109) từ (1,even) |ψCV (α)⟩1 ⟨ψCV (α)| = Xρ1 (τ = 1)X (2.110) Trong hai công thức (2.109) (2.110), |ψCV (α)⟩ trạng thái CV định nghĩa (2.93) X toán tử tác động lên trạng thái kết hợp sau X |±τ α⟩ = |∓τ α⟩ Toán tử X dịch pha góc (T ) π thiết kế cách dễ dàng Biểu thức (2.110) cho thấy ρ1 (τ ), trạng thái mode mà Bob thu (T ) (1,chẵn) ρ1 (τ ) = Xρ1 (τ )X (2.111) Bây xem xét kỹ hai dòng công thức (2.103), thấy {nA , n4 , n3 , n2 } = {0, 1, 0, chẵn} {1, 0, 1, chẵn} (1,chẵn) (2,lẻ) {1, 0, 0, lẻ} {0, 1, 1, lẻ} ρ1 (τ ) trở thành ρ1 (τ ) = ρ1 (τ ) = (T ) (T ) (1,chẵn) Xρ1 (τ )X Điều nghĩa ρ1 (τ ) = Xρ1 (τ )X, trạng thái cần (1,chẵn) (2,lẻ) chuyển tái tạo từ ρ1 (τ ) ρ1 (τ ) việc sử dụng toán tử X tác động lên mode Vì tác động tốn tử X lên trạng thái kết hợp hồn tồn thực được, xác suất để trường hợp xảy
[P0,1 Q0,chẵn + Q1,lẻ
+ P1,0 Q1,chẵn + Q0,lẻ ] = [|b|2 (2 − τ ) + |a|2 τ 2 + Cτ (a∗ b + b∗ a)e−2τ α ] PX = (2.112) hệ số 1/2 dòng (2.112) xác suất Charlie tác động thành cơng tốn tử Hadamard PnA ,n4 , Qn2 ,n3 định nghĩa (2.100) (2.102) Ngược lại, trường hợp phép đo {nA , n4 , n3 , n2 } = {0, 1, 0, lẻ} {1, 0, 1, lẻ} {1, 0, 0, chẵn} {0, 1, 1, chẵn} ρ1 (τ ) (1,lẻ) (2,chẵn) (T ) trở thành ρ1 (τ ) = ρ1 (τ ) = XZρ1 (τ )ZX Điều ngụ ý để 61 (T ) có trạng thái mong muốn ρ1 (τ ), Bob nên tác động lên trạng thái (1,lẻ) (2,chẵn) ρ1 (τ ) ρ1 (τ ) toán tử XZ, với toán tử Z chuyển |±τ α⟩ thành ± |±τ α⟩ Vấn đề trạng thái kết hợp, tác động tốn tử Z khó để đạt 100% Để vượt qua khó khăn đó, người ta thường làm gần toán tử Z cách sử dụng toán tử dịch chuyển [120] cách khôn khéo nhờ đến giao thức viễn chuyển lượng tử [53] công nghệ bớt photon khỏi trạng thái kết hợp [140] Dẫu việc triển khai tốn tử Z trạng thái kết hợp không tất định Xác suất thành cơng cho q trình 50% Do đó, trường hợp xảy với xác suất
PXZ = [P0,1 Q0,lẻ + Q1,chẵn
+ P1,0 Q1,lẻ + Q0,chẵn ] = [|b|2 (2 − τ ) + |a|2 τ 16 2 − Cτ (a∗ b + b∗ a)e−2τ α ], (2.113) hệ số 1/4 dòng công thức (2.113) xác suất cho Charlie tác động thành cơng tốn tử Hadamard Bob tác động thành cơng tốn tử Z Tổng xác suất thành cơng PDV →CV cho việc chuyển trạng thái qubit đơn tuyến |ψDV ⟩A công thức (2.92) thành trạng thái (T ) mốo Schrăodinger ( ) ca cụng thc (2.111) PDV →CV = PX + PXZ = [3(|b|2 (2 − τ ) + |a|2 τ ) 16 2 + Cτ (a∗ b + b∗ a)e−2τ α ] (2.114) (T ) Độ tin cậy FDV →CV trạng thái thu ρ1 (τ ) công thức (2.111) trạng thái mong muốn |ψCV (τ α)⟩1 công thức (2.98) xác định FDV →CV = (T ) ⟨ψCV (τ α)|ρ1 (τ )|ψCV (τ α)⟩1 = N (a, b, τ α)Lchẵn (τ ){|b(b + ae−2τ + ((1 − τ )|b|2 + τ |a|2 )|(be−2τ + 2Cτ Re[ab∗ (ae−2τ 2 α 2 α 2 α )|2 + a)|2 + b)(a∗ + b∗ e−2τ 2 α )]} (2.115) 62 Hình 2.9: Giao thức cho viễn chuyển lượng tử có kiểm sốt từ trạng thái biến liên tục sang trạng thái biến gián đoạn có kiểm sốt sử dụng kênh lượng tử ρ1234 (τ ) công thức (2.97) Đường liền nét dán nhãn B (1, 2, 4) biểu diễn mode B (1, 2, 4) D1 , DB , D2 D3 máy đo photon để đếm photon tương ứng từ mode 1, B, Đường đứt nét biểu diễn số photon phát n1 , nB , n2 n3 H toán tử Hadamard V = I, X, Z XZ toán tử hồi phục phụ thuộc vào số photon đếm từ máy đo Bây ta xét nhiệm vụ thứ hai: Viễn chuyển lượng tử có kiểm sốt từ trạng thái biến liên tục sang trạng thái biến gián đoạn Trong nhiệm vụ Bob đóng vai người chuyn thụng tin, gi mt trng thỏi mốo Schrăodinger |ψCV (τ α)⟩B = N (a |τ α⟩ + b |−τ α⟩)B Nhiệm vụ Bob chuyển cách an toàn đến Alice trạng thái DV qubit đơn tuyến có dạng |ψDV ⟩4 = (a |0⟩ + b |1⟩)4 Hoạt động bốn bên nhiệm vụ hiển thị Hình 2.9 Như nhiệm vụ thứ nhất, bốn bên cần chia sẻ trước kênh lượng tử cơng thức (2.97) với phân phối mode Các hoạt động hai người kiểm sốt Charlie David khơng thay đổi, Alice Bob có Cụ thể, Bob người hoạt động cách cho mode mode B kết hợp với qua thiết bị quang học P BSP1B , phía sau đặt máy đo photon D1 DB để đếm số photon n1 nB tương ứng với n1 , nB ∈ {0, chẵn ̸= 0, lẻ} Nếu số photon đếm máy đo D3 Charlie D2 David n3 ∈ {0, 1} n2 ∈ {chẵn, lẻ} 63 tương ứng trạng thái mode Alice ρ4 (τ ) = 321B ⟨n3 , n2 , n1 , nB |ρ1234B (τ )|n3 , n2 , n1 , nB ⟩321B Pn3 ,n2 ,n1 ,nB , (2.116) + ρ1234B (τ ) = H3 P BSP1B ρ(τ )1234 ρB (τ )P BSP1B H3+ , (2.117) với ρB (τ ) = |ψCV (τ α)⟩B ⟨ψCV (τ α)| Pn3 ,n2 ,n1 ,nB = T r{|n3 , n2 , n1 , nB ⟩321B ⟨n3 , n2 , n1 , nB |ρ1234B (τ )} (2.118) xác suất đếm n3 , n2 , n1 nB photon mode 3, 2, B cách tương ứng Thay ρ1234 (τ ) (2.97) ρB (τ ) = |ψCV (τ α)⟩B ⟨ψCV (τ α)| với |ψCV (τ α)⟩ định nghĩa (2.98) vào (2.117) sau vào (2.116) có (1,n1 +n2 ) (τ ) + δ1n3 δ0nB ρ4 (3,n2 +nB ) (τ ) + δ1n3 δ0n1 ρ4 ρ4 (τ ) = δ0n3 δ0nB ρ4 + δ0n3 δ0n1 ρ4 (2,n1 +n2 ) (τ ) (4,n2 +nB ) (τ ) (5) + δ0nB δ0n1 (δ0n3 + δ1n3 )ρ4 (τ ), (2.119) (1,n1 +n2 ) ρ4 (τ ) = {(|a|2 + |b|2 (1 − τ ))|0⟩4 ⟨0| + (−1)(n1 +n2 ) Cτ (ab∗ |0⟩4 ⟨1| + ba∗ |1⟩4 ⟨0|) + |b|2 τ |1⟩4 ⟨1|}, n1 ̸= (2,n1 +n2 ) ρ4 (3,n2 +nB ) ρ4 (1,n1 +n2 +1) (τ ) = ρ4 (2.120) (τ ), (2.121) (τ ) = {(|b|2 + |a|2 (1 − τ ))|0⟩4 ⟨0| + (−1)(n2 +nB ) Cτ (ba∗ |0⟩4 ⟨1| + ab∗ |1⟩4 ⟨0|) + |a|2 τ |1⟩4 ⟨1|}, nB ̸= (4,n2 +nB ) ρ4 (3,n2 +nB +1) (τ ) = ρ4 (2.122) (τ ) (2.123) (5) [(2 − τ ))|0⟩4 ⟨0| + Cτ (|0⟩4 ⟨1| + |1⟩4 ⟨0|) + τ |1⟩4 ⟨1|] ρ4 (τ ) = (2.124) 64 (5) Vì tham số a b không xuất ρ4 (τ ) (2.124) bỏ qua thành phần cuối phía bên phải (2.119) xem xét thành phần cịn lại Từ cơng thức (2.120), n1 + n2 chẵn {n1 = (1,n +n ) chẵn ̸= 0, n2 = chẵn} {n1 = lẻ, n2 = lẻ} τ = ρ4 (τ ) đơn giản trở thành (1,chẵn) ρ4 (2,lẻ) (τ = 1) = ρ4 (τ = 1) = {|a|2 |0⟩4 ⟨0| + |b|2 |1⟩4 ⟨1| + (ab∗ |0⟩4 ⟨1| + ba∗ |1⟩4 ⟨0|)} = |ψDV ⟩4 ⟨ψDV | (2.125) (T ) Điều cho thấy trạng thái ρ4 (τ ) mà Alice thu với τ ̸= phải (T ) (1,chẵn) (2,lẻ) ρ4 (τ ) = ρ4 (τ ) = ρ4 (τ ) (2.126) Dưới chúng tơi phân tích tất trường hợp xảy dựa kết đo {n3 , n2 , n1 , nB } Để có nhìn tổng quan, chúng tơi tóm tắt kết phân tích Bảng 2.1 Bảng 2.1: Trạng thái ρ4 (τ ) công thức (2.119) phụ thuộc vào 16 trường hợp (j,chẵn) (j,lẻ) (T ) kết đo {n3 , n2 , n1 , nB } Trạng thái ρ4 (τ ), ρ4 (τ ) với j = 1, 2, 3, ρ4 (τ ) cho công thức (2.120) - (2.123) (2.126) Trường hợp # n3 n2 nB n1 ρ4 (τ ) (1,chẵn) 1, 0, chẵn, 0, lẻ chẵn ̸= 0, ρ4 (τ ) (T ) lẻ = ρ4 (τ ) 3, 1, chẵn, 0, lẻ lẻ, chẵn ̸= ρ4 (τ ) (T ) = ρ4 (τ ) 5, 0, chẵn, 0, lẻ lẻ, chẵn ̸= ρ4 (τ ) (T ) Zρ4 (τ )Z 7, 1, chẵn, 0, lẻ chẵn ̸= 0, ρ4 (τ ) (T ) chẵn = Zρ4 (τ )Z 9, 10 0, chẵn, chẵn ̸= 0, 0, lẻ lẻ ρ4 (τ ) (T ) = Xρ4 (τ )X 11, 12 1, chẵn, lẻ, lẻ chẵn ̸= 0, ρ4 (τ ) (T ) = Xρ4 (τ )X 13, 14 0, chẵn, lẻ, lẻ chẵn ̸= 0, ρ4 (τ ) (T ) XZρ4 (τ )ZX 15, 16 1, chẵn, chẵn ̸= 0, 0, lẻ lẻ (2,lẻ) (1,lẻ) (2,chẵn) (3,chẵn) (4,lẻ) (3,lẻ) (4,chẵn) ρ4 (τ ) (T ) = XZρ4 (τ )ZX 65 (T ) Bảng 2.1 cho thấy rằng, để thu trạng thái ρ4 (τ ) (i) Alice khơng cần làm trường hợp từ đến 4, (ii) Alice sử dụng toán tử Z trường hợp từ đến 8, (iii) Alice sử dụng toán tử X trường hợp từ đến 12 (iv) Alice sử dụng toán tử XZ trường hợp từ 13 đến 16 Như trình bày trước đó, trạng thái qubit đơn tuyến, tác động toán tử Z hồn tồn thực được, tác động toán tử X thực với xác suất 1/2 Tổng xác suất thành công cho trình viễn chuyển trạng thái từ |ψCV (τ α)⟩ tới |ψDV ⟩   X X X PCV →DV = Pk,l,m,0 + Pk,l,0,m , (2.127) 2 k=0,1 l=chẵn,lẻ m=chẵn̸=0,lẻ với Pn3 ,n2 ,n1 ,nB cho (2.118) Trong công thức trên, hệ số chung 1/2 xác suất thành cơng tác động tốn tử Hadamard lên mode hệ số 1/2 khác bên dấu ngoặc đơn xác suất tác động thành cơng tốn tử X lên mode Tính tốn Pn3 ,n2 ,n1 ,nB (2.118) thay chúng vào (2.127) chúng tơi nhận biểu thức giải tích tường minh cho PCV →DV sau 2 − e−2τ α (2.128) PCV →DV = + 2Re(a∗ b)e−2τ α2 (T ) Độ tin cậy trạng thái thu ρ4 (τ ) trạng thái mong muốn (2.92) FCV →DV = (T ) ⟨ψDV |ρ4 (τ )|ψDV ⟩4 = |a|4 + τ |b|4 + (1 − τ + 2Cτ )|a|2 |b|2 (2.129) Từ dòng thứ hai (2.129) dễ dàng thấy trường hợp khơng có photon, tức τ = C = 1, FCV →DV = (|a|2 + |b|2 )2 = Trong trường hợp ngược lại xảy tồn số photon kênh lượng tử bị tiêu tán hoàn toàn lúc ρ1234 (τ ) trở thành ρ1234 (τ = 0) = |0, 0, 0, 0⟩1234 ⟨0, 0, 0, 0| Cũng trường hợp (τ → 0) trạng thái CV cần viễn chuyển (2.98) trở thành trạng thái chân khơng |0⟩1 Vì trường hợp này, tất mode không rối với vậy, thực với mode 2, 3, A không gây ảnh hưởng đến trạng thái mode Do đó, độ tin cậy tương ứng trường hợp khơng có tổn thất photon (độ tin cậy tuyệt đối 66 Hình 2.10: Độ tin cậy trình viễn chuyển trạng thái lượng tử từ trạng thái qubit √ đơn tuyến có dạng đặc biệt (|0⟩ + |1⟩)/ sang trạng thái mèo Schrăodinger chn N (| + | ) l hm γt với α = (đường cong màu đỏ), α = (đường cong màu xanh), α = (đường cong màu cam) α = (đường cong màu đen) dựa vào định nghĩa toán học trạng thái thu không chứa thông tin trạng thái mong muốn, tức vơ nghĩa mặt vật lý) Vì độ tin cậy khơng thể vượt γt thay đổi từ γt = tới γt = ∞ (tức τ biến đổi từ tới 0) tồn giá trị nhỏ độ tin cậy Ta tính số để xác định thể Hình 2.10, độ tin cậy FDV →CV cho trường hợp cụ thể viễn chuyển √ trạng thái DV có trọng số (|0⟩ + |1⟩)/ ti trng thỏi mốo Schrăodinger chn N (| α⟩ + |−τ α⟩) vẽ hàm γt cho vài giá trị α Với giá trị xác định α, thời gian trôi độ tin cậy trước hết nhanh chóng giảm để đạt đến giá trị tối thiểu, sau tăng dần đến khoảng thời gian đủ lớn (t ≥ 10/γ) Ta hình dung thực tế giá trị α nhỏ đáy đường cong độ tin cậy nông Đối với trình viễn chuyển theo hướng ngược lại tức từ CV sang DV, biến đổi độ tin cậy có khác biệt Điều mơ tả Hình 2.11, hiển thị độ tin cậy FCV →DV hàm γt cho việc viễn chuyển trạng thái mèo Schrăodinger chn N (| + | ) ti trng thái qubit đơn √ tuyến (|0⟩ + |1⟩)/ Hình 2.11 cho thấy rằng, với giá trị α, độ tin cậy FCV →DV lúc đầu giảm nhanh sau dần bão hịa đến giá trị tối thiểu 0.5 Từ Hình 2.11 thấy α lớn tốc độ giảm theo thời gian FCV →DV nhanh, đồng nghĩa với việc giá 67 trị tối thiểu đạt sớm Một lưu ý quan trọng là, không giống viễn chuyển trạng thái môi trường lý tưởng xác suất thành công độ tin cậy không phụ thuộc vào trạng thái đầu vào, ảnh hưởng môi trường làm phát sinh phụ thuộc xác suất thành công độ tin cậy vào tham số thông tin a b Vấn đề cần quan tâm lúc giá trị trung bình xác suất thành công độ tin cậy tất giá trị có tham số đầu vào Nhắc lại a b buộc với điều kiện chuẩn hóa |a|2 + |b|2 = đặt chúng sau a = cos θ b = eiφ sin θ, với ≤ θ ≤ π/2 ≤ φ ≤ 2π Giá trị trung bình hàm f (θ, φ) định nghĩa [141] Z π/2 Z 2π f (θ, φ) sin(2θ)dθ (2.130) dφ f (θ, φ) = 2π 0 Nhờ công thức (2.130) sử dụng công thức (2.114) (2.128) chúng tơi tính tường minh xác suất thành công tương ứng P DV →CV = 3(1 − e−2τ 2 16 (2.131) 2 )arctanh(e−2τ α ) P CV →DV = (2.132) 8e−2τ α2 Đối với giá trị trung bình độ tin cậy, lấy tích phân (2.130) cho FDV →CV cơng thức (2.115) khơng thể có biểu thức giải tích rõ ràng cho F DV →CV , chúng tơi đánh giá phương pháp tính số Tuy nhiên, cơng thức (2.129) F CV →DV đơn giản nên tích phân (2.30) tính giải tích cho kết F CV →DV = α 1 2 + τ (1 + 2e−4(1−τ )α ) (2.133) Để dễ so sánh, vẽ đồ thị Hình 2.12 hai giá trị trung bình F DV →CV F CV →DV hàm γt cho bốn giá trị khác α Một cách định tính, độ tin cậy “hành xử” giống √ trường hợp với a = b = 1/ (tức φ = θ = π/4) Hình 2.10 Hình 2.11 Cụ thể, cho giá trị α, F DV →CV có giá trị nhỏ trước tiệm cận 1, F CV →DV giảm đơn điệu có xu hướng tiệm cận đến giá trị thấp 1/2 (1/2 giá trị trung bình