Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.Rối lai, Rối tăng cường và áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử và viễn tác toán tử có kiểm soát.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - CAO THỊ BÍCH RỐI LAI, RỐI TĂNG CƯỜNG VÀ ÁP DỤNG CHO VIỄN CHUYỂN, VIỄN TẠO TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ VÀ VIỄN TÁC TỐN TỬ CĨ KIỂM SỐT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI – 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - CAO THỊ BÍCH RỐI LAI, RỐI TĂNG CƯỜNG VÀ ÁP DỤNG CHO VIỄN CHUYỂN, VIỄN TẠO TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ VÀ VIỄN TÁC TỐN TỬ CĨ KIỂM SOÁT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 44 01 03 Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS Nguyễn Bá Ân Người hướng dẫn khoa học 2: PGS.TS Nguyễn Hồng Quang HÀ NỘI – 2023 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Bá Ân, người có sức ảnh hưởng to lớn đời Tôi học từ thầy kiến thức vật lý, toán học mà học từ thầy cẩn thận, chu tinh thần trách nhiệm công việc Tôi ln cảm thấy tự hào học trị thầy Tôi xin cảm ơn thầy Nguyễn Hồng Quang, thầy hỗ trợ nhiều cho tồn khóa học Học viện khoa học công nghệ Tôi xin cảm ơn thầy cô, anh chị bạn Viện Vật Lý giúp đỡ cho nhiều lời khuyên, lời động viên chân thành, bổ ích, cho tơi sống, học tập làm việc môi trường thân thiện Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo, phòng đào tạo Học viện khoa học công nghệ tạo điều kiện tốt cho học tập làm việc Tôi xin cảm ơn Qũy phát triển khoa học công nghệ Quốc gia (NAFOSTED), Qũy đổi sáng tạo tập đoàn Vingroup (VINIF) hỗ trợ kinh phí để tơi hồn thành khóa học Cuối cùng, muốn gửi lời cảm ơn gia đình tơi, người ln u thương, ủng hộ chỗ dựa vững suốt trình tơi làm việc Hà Nội, tháng - 2023 Nghiên cứu sinh Cao Thị Bích LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án thân thực thời gian làm nghiên cứu sinh Cụ thể, chương phần giới thiệu vấn đề sở có liên quan đến luận án Trong chương chương 3, sử dụng kết nghiên cứu mà thực với thầy giáo hướng dẫn đồng nghiệp Lê Thành Đạt Cuối cùng, xin khẳng định kết có luận án “Rối lai, Rối tăng cường áp dụng cho viễn chuyển, viễn tạo trạng thái lượng tử viễn tác tốn tử có kiểm sốt” kết mới, khơng trùng lặp với kết luận án cơng trình có Nghiên cứu sinh Cao Thị Bích DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT Viết tắt Tên tiếng Anh LOCC Tên tiếng Việt Local operations and classi- Thao tác địa phương giao cal communication tiếp cổ điển EPR Einstein-Podolsky-Rosen GHZ Greenberger-HorneZeilinger DOF Degree of freedom Bậc tự S-DOF Spatial-mode degree of free- Bậc tự không gian dom P-DOF Polarization degree of free- Bậc tự phân cực dom CV Continuous-variable Biến liên tục CV-DOF Continuous-variable degree Bậc tự có biến liên tục of freedom DV Discrete-variable Biến gián đoạn DV-DOF Discrete-variable degree of Bậc tự có biến gián đoạn freedom SPDC Spontaneous parametric down-conversion BS Beam splitter Bộ tách chùm BBS Balanced beam splitter Bộ tách chùm cân P Phase shifter Bộ dịch pha PBS Polarization beam splitter Bộ tách phân cực HWP Half-wave plate Bộ tách phân cực QWP Quarter-wave-plate Bộ tách phân cực LO Local oscillator Bộ dao động địa phương hay tham chiếu LOQC Linear optical quantum Tính tốn lượng tử quang computation tuyến tính QT Quantum teleportation Viễn chuyển lượng tử BQT Bidirectional quantum tele- Viễn chuyển lượng tử hai portation RIO chiều Remote implementation of Viễn tác toán tử tổng quát operator CRIO Controlled remote imple- Viễn tác có kiểm sốt tốn mentation of operator CRISO tử tổng quát Controlled remote imple- Viễn tác có kiểm sốt tốn mentation of a subset of tử giới hạn operatorscontrolled remote implementation of a subset of operators DANH SÁCH BẢNG Bảng 2.1 Trạng thái ρ4 (τ ) công thức (2.119) phụ 85 thuộc vào 16 trường hợp kết đo (j,chẵn) {n3 , n2 , n1 , nB } Trạng thái ρ4 (j,lẻ) (τ ), ρ4 (τ ) với (T ) j = 1, 2, 3, ρ4 (τ ) cho công thức (2.120) - (2.123) (2.126) Bảng 3.1 Trạng thái |ψkmns ⟩B photon B sau phép đo 126 (S) Alice Charlie, toán tử hồi phục Rkmns với (S) Rkmns |ψkmns ⟩B =E(α |b0 ⟩ + β |b1 ⟩)B (P ) Bảng 3.2 Trạng thái Λkmn phụ thuộc vào kết kmn thành công, trạng thái mode Bob sau hoạt động Alice, Charlie David ρ1 (τ ) = + 23 ⟨n2 , n3 |H3 ρ123 (τ )H3 |n2 , n3 ⟩23 Qn2 ,n3 , (2.101) với Qn2 ,n3 = T r{|n2 , n3 ⟩23 ⟨n2 , n3 |[H3 ρ123 (τ )H3+ ]} (2.102) xác suất đếm n2 n3 photon mode tương ứng Hoạt động Bob: Với vai trò người nhận thông tin, Bob người cuối đưa số hoạt động thích hợp để dựng lại trạng thái ρ1 (τ ) công thức (2.101) để thu trạng thái gần so với trạng thái mong muốn (2.98) Bob phải sử dụng tất kết phép đo công bố trước nA , n4 , n3 n2 , kết kết hợp 20 trường hợp khác {nA , n4 , n3 , n2 } Để hình dung xem trường hợp hữu ích, trường hợp khơng chúng tơi viết ρ1 (τ ) (2.101) dạng biểu thức tường minh sau (1,n2 ) (τ ) (2,n2 ) (τ ) ρ1 (τ ) = (δ0nA δ1n4 δ0n3 + δ1nA δ0n4 δ1n3 )ρ1 + (δ1nA δ0n4 δ0n3 + δ0nA δ1n4 δ1n3 )ρ1 (3) + δ0nA δ0n4 (δ0n3 + δ1n3 )ρ1 (τ ) (4) + (δ0nA δ2n4 + δ2nA δ0n4 )(δ0n3 + δ1n3 )ρ1 (τ ), (2.103) (1,n2 ) ρ1 (τ ) = L(n2 ) (τ ){|b|2 |τ α⟩1 ⟨τ α| + (−1)n2 Cτ (a∗ b|τ α⟩1 ⟨−τ α| + ab∗ | − τ α⟩1 ⟨τ α|) + [|b|2 (1 − τ ) + |a|2 τ ]| − τ α⟩1 ⟨−τ α|}, (2.104) với L(n2 ) (τ ) = [|b|2 (2 − τ ) + |a|2 τ + (−1)n2 Cτ (a∗ b + b∗ a)e−2α (2,n2 ) ρ1 (1,n2 +1) (τ ) = ρ1 79 (τ ), 2 τ ]−1 , (2.105) (2.106) (3) ρ1 (τ ) |τ α⟩1 ⟨τ α| + (1 − τ )| − τ α⟩1 ⟨−τ α| = − τ2 (2.107) (4) ρ1 (τ ) = | − τ α⟩1 ⟨−τ α| (2.108) Rõ ràng từ công thức trên, kết phép đo nằm hai dịng cuối (3) cơng thức (2.103) cho kết khơng mong muốn ρ1 (τ ) (2.107) (4) hay ρ1 (τ ) (2.108) không chứa tham số cần thiết a b Do đó, chúng tơi phân tích kết phép đo nằm hai dịng (2.103) Phân tích (2.104) n2 chẵn τ = (khơng có (1,n2 ) suy giảm mơi trường) ρ1 (1,chẵn) ρ1 (τ ) trở (τ = 1) = [1 + 2Re(a∗ b)e−2α ]−1 {|b|2 |α⟩1 ⟨α| + (a∗ b|α⟩1 ⟨−α| + ab∗ | − α⟩1 ⟨α|) + |a|2 | − α⟩1 ⟨−α|} = X |ψL (α)⟩1 ⟨ψCV (α)| X, (2.109) từ (1,even) |ψCV (α)⟩1 ⟨ψCV (α)| = Xρ1 (τ = 1)X (2.110) Trong hai công thức (2.109) (2.110), |ψCV (α)⟩ trạng thái CV định nghĩa (2.93) X toán tử tác động lên trạng thái kết hợp sau X |±τ α⟩ = |∓τ α⟩ Toán tử X dịch pha góc (T ) π thiết kế cách dễ dàng Biểu thức (2.110) cho thấy ρ1 (τ ), trạng thái mode mà Bob thu (T ) (1,chẵn) ρ1 (τ ) = Xρ1 (τ )X (2.111) Bây xem xét kỹ hai dòng công thức (2.103), thấy {nA , n4 , n3 , n2 } = {0, 1, 0, chẵn} {1, 0, 1, chẵn} (1,chẵn) {1, 0, 0, lẻ} {0, 1, 1, lẻ} ρ1 (τ ) trở thành ρ1 (T ) (T ) (1,chẵn) (τ ) = (1,chẵn) (τ )X, trạng thái cần (2,lẻ) (τ ) việc sử dụng Xρ1 (τ )X Điều nghĩa ρ1 (τ ) = Xρ1 chuyển tái tạo từ ρ1 (2,lẻ) (τ ) = ρ1 (τ ) ρ1 toán tử X tác động lên mode Vì tác động tốn tử X lên trạng thái kết hợp hồn tồn thực được, xác suất để trường 80 hợp xảy [P0,1 Q0,chẵn + Q1,lẻ + P1,0 Q1,chẵn + Q0,lẻ ] = [|b|2 (2 − τ ) + |a|2 τ 2 + Cτ (a∗ b + b∗ a)e−2τ α ] PX = (2.112) hệ số 1/2 dòng (2.112) xác suất Charlie tác động thành cơng tốn tử Hadamard PnA ,n4 , Qn2 ,n3 định nghĩa (2.100) (2.102) Ngược lại, trường hợp phép đo {nA , n4 , n3 , n2 } = {0, 1, 0, lẻ} {1, 0, 1, lẻ} {1, 0, 0, chẵn} {0, 1, 1, chẵn} ρ1 (τ ) (1,lẻ) trở thành ρ1 (2,chẵn) (τ ) = ρ1 (T ) (τ ) = XZρ1 (τ )ZX Điều ngụ ý để (T ) có trạng thái mong muốn ρ1 (τ ), Bob nên tác động lên trạng thái (1,lẻ) ρ1 (2,chẵn) (τ ) ρ1 (τ ) toán tử XZ, với toán tử Z chuyển |±τ α⟩ thành ± |±τ α⟩ Vấn đề trạng thái kết hợp, tác động tốn tử Z khó để đạt 100% Để vượt qua khó khăn đó, người ta thường làm gần toán tử Z cách sử dụng toán tử dịch chuyển [120] cách khôn khéo nhờ đến giao thức viễn chuyển lượng tử [53] công nghệ bớt photon khỏi trạng thái kết hợp [140] Dẫu việc triển khai tốn tử Z trạng thái kết hợp không tất định Xác suất thành cơng cho q trình 50% Do đó, trường hợp xảy với xác suất [P0,1 Q0,lẻ + Q1,chẵn + P1,0 Q1,lẻ + Q0,chẵn ] = [|b|2 (2 − τ ) + |a|2 τ 16 2 − Cτ (a∗ b + b∗ a)e−2τ α ], PXZ = (2.113) hệ số 1/4 dòng công thức (2.113) xác suất cho Charlie tác động thành cơng tốn tử Hadamard Bob tác động thành cơng tốn tử Z Tổng xác suất thành cơng PDV →CV cho việc chuyển trạng thái qubit đơn tuyến |ψDV ⟩A công thức (2.92) thành trạng thái 81 (T ) mốo Schrăodinger ( ) ca cụng thức (2.111) PDV →CV = PX + PXZ = [3(|b|2 (2 − τ ) + |a|2 τ ) 16 2 + Cτ (a∗ b + b∗ a)e−2τ α ] (2.114) (T ) Độ tin cậy FDV →CV trạng thái thu ρ1 (τ ) công thức (2.111) trạng thái mong muốn |ψCV (τ α)⟩1 công thức (2.98) xác định FDV →CV = (T ) ⟨ψCV (τ α)|ρ1 (τ )|ψCV (τ α)⟩1 = N (a, b, τ α)Lchẵn (τ ){|b(b + ae−2τ + ((1 − τ )|b|2 + τ |a|2 )|(be−2τ + 2Cτ Re[ab∗ (ae−2τ 2 α 2 α 2 α )|2 + a)|2 + b)(a∗ + b∗ e−2τ 2 α )]} (2.115) Bây ta xét nhiệm vụ thứ hai: Viễn chuyển lượng tử có kiểm sốt từ trạng thái biến liên tục sang trạng thái biến gián đoạn Trong nhiệm vụ Bob đóng vai người chuyển thơng tin, gi mt trng thỏi mốo Schrăodinger |CV ( α)⟩B = N (a |τ α⟩ + b |−τ α⟩)B Nhiệm vụ Bob chuyển cách an toàn đến Alice trạng thái DV qubit đơn tuyến có dạng |ψDV ⟩4 = (a |0⟩ + b |1⟩)4 Hoạt động bốn bên nhiệm vụ hiển thị Hình 2.9 Như nhiệm vụ thứ nhất, bốn bên cần chia sẻ trước kênh lượng tử công thức (2.97) với phân phối mode Các hoạt động hai người kiểm sốt Charlie David khơng thay đổi, Alice Bob có Cụ thể, Bob người hoạt động cách cho mode mode B kết hợp với qua thiết bị quang học P BSP1B , phía sau đặt máy đo photon D1 DB để đếm số photon n1 nB tương ứng với n1 , nB ∈ {0, chẵn ̸= 0, lẻ} Nếu số photon đếm máy đo D3 Charlie D2 David n3 ∈ {0, 1} n2 ∈ {chẵn, lẻ} tương ứng trạng thái mode Alice 321B ⟨n3 , n2 , n1 , nB |ρ1234B (τ )|n3 , n2 , n1 , nB ⟩321B , ρ4 (τ ) = Pn3 ,n2 ,n1 ,nB 82 (2.116) Hình 2.9: Giao thức cho viễn chuyển lượng tử có kiểm soát từ trạng thái biến liên tục sang trạng thái biến gián đoạn có kiểm sốt sử dụng kênh lượng tử ρ1234 (τ ) công thức (2.97) Đường liền nét dán nhãn B (1, 2, 4) biểu diễn mode B (1, 2, 4) D1 , DB , D2 D3 máy đo photon để đếm photon tương ứng từ mode 1, B, Đường đứt nét biểu diễn số photon phát n1 , nB , n2 n3 H toán tử Hadamard V = I, X, Z XZ toán tử hồi phục phụ thuộc vào số photon đếm từ máy đo + ρ1234B (τ ) = H3 P BSP1B ρ(τ )1234 ρB (τ )P BSP1B H3+ , (2.117) với ρB (τ ) = |ψCV (τ α)⟩B ⟨ψCV (τ α)| Pn3 ,n2 ,n1 ,nB = T r{|n3 , n2 , n1 , nB ⟩321B ⟨n3 , n2 , n1 , nB |ρ1234B (τ )} (2.118) xác suất đếm n3 , n2 , n1 nB photon mode 3, 2, B cách tương ứng Thay ρ1234 (τ ) (2.97) ρB (τ ) = |ψCV (τ α)⟩B ⟨ψCV (τ α)| với |ψCV (τ α)⟩ định nghĩa (2.98) vào (2.117) sau vào (2.116) có (1,n1 +n2 ) (τ ) + δ1n3 δ0nB ρ4 (3,n2 +nB ) (τ ) + δ1n3 δ0n1 ρ4 ρ4 (τ ) = δ0n3 δ0nB ρ4 + δ0n3 δ0n1 ρ4 (5) + δ0nB δ0n1 (δ0n3 + δ1n3 )ρ4 (τ ), 83 (2,n1 +n2 ) (τ ) (4,n2 +nB ) (τ ) (2.119) (1,n1 +n2 ) ρ4 (τ ) = {(|a|2 + |b|2 (1 − τ ))|0⟩4 ⟨0| + (−1)(n1 +n2 ) Cτ (ab∗ |0⟩4 ⟨1| + ba∗ |1⟩4 ⟨0|) + |b|2 τ |1⟩4 ⟨1|}, n1 ̸= (2,n1 +n2 ) ρ4 (3,n2 +nB ) ρ4 (1,n1 +n2 +1) (τ ) = ρ4 (2.120) (τ ), (2.121) (τ ) = {(|b|2 + |a|2 (1 − τ ))|0⟩4 ⟨0| + (−1)(n2 +nB ) Cτ (ba∗ |0⟩4 ⟨1| + ab∗ |1⟩4 ⟨0|) + |a|2 τ |1⟩4 ⟨1|}, nB ̸= (4,n2 +nB ) ρ4 (3,n2 +nB +1) (τ ) = ρ4 (2.122) (τ ) (2.123) [(2 − τ ))|0⟩4 ⟨0| + Cτ (|0⟩4 ⟨1| + |1⟩4 ⟨0|) + τ |1⟩4 ⟨1|] (5) ρ4 (τ ) = (2.124) (5) Vì tham số a b không xuất ρ4 (τ ) (2.124) bỏ qua thành phần cuối phía bên phải (2.119) xem xét thành phần cịn lại Từ cơng thức (2.120), n1 + n2 chẵn {n1 = (1,n1 +n2 ) chẵn ̸= 0, n2 = chẵn} {n1 = lẻ, n2 = lẻ} τ = ρ4 (τ ) đơn giản trở thành (1,chẵn) ρ4 (2,lẻ) (τ = 1) = ρ4 (τ = 1) = {|a|2 |0⟩4 ⟨0| + |b|2 |1⟩4 ⟨1| + (ab∗ |0⟩4 ⟨1| + ba∗ |1⟩4 ⟨0|)} = |ψDV ⟩4 ⟨ψDV | (2.125) (T ) Điều cho thấy trạng thái ρ4 (τ ) mà Alice thu với τ ̸= phải (T ) (1,chẵn) ρ4 (τ ) = ρ4 (2,lẻ) (τ ) = ρ4 (τ ) (2.126) Dưới chúng tơi phân tích tất trường hợp xảy dựa kết đo {n3 , n2 , n1 , nB } Để có nhìn tổng quan, chúng tơi tóm tắt kết phân tích Bảng 2.1 84 Bảng 2.1: Trạng thái ρ4 (τ ) công thức (2.119) phụ thuộc vào 16 trường hợp (j,chẵn) kết đo {n3 , n2 , n1 , nB } Trạng thái ρ4 (j,lẻ) (τ ), ρ4 cho công thức (2.120) - (2.123) (2.126) Trường hợp # n3 n2 nB n1 1, 0, chẵn, 0, lẻ 3, 1, chẵn, 0, 5, 7, chẵn ̸= chẵn ̸= 0, 1, chẵn, 0, lẻ 9, 10 0, chẵn ̸= 0, chẵn, lẻ, lẻ 15, 16 lẻ 1, chẵn, lẻ, lẻ 13, 14 chẵn 0, chẵn, chẵn ̸= 0, 0, lẻ 11, 12 lẻ (T ) = ρ4 (τ ) (2,lẻ) ρ4 (τ ) (T ) = ρ4 (τ ) (1,lẻ) ρ4 (τ ) (T ) Zρ4 (τ )Z (2,chẵn) ρ4 (τ ) (T ) = Zρ4 (τ )Z (3,chẵn) ρ4 (τ ) (T ) = Xρ4 (τ )X (4,lẻ) ρ4 (τ ) (T ) = Xρ4 (τ )X (3,lẻ) ρ4 (τ ) (T ) XZρ4 (τ )ZX (4,chẵn) ρ4 (τ ) (T ) = XZρ4 (τ )ZX lẻ, lẻ 0, chẵn ̸= 1, chẵn, chẵn ̸= 0, 0, lẻ lẻ 85 (1,chẵn) ρ4 chẵn ̸= 0, chẵn, 0, ρ4 (τ ) chẵn ̸= 0, lẻ, lẻ (T ) (τ ) với j = 1, 2, 3, ρ4 (τ ) (τ ) (T ) Bảng 2.1 cho thấy rằng, để thu trạng thái ρ4 (τ ) (i) Alice khơng cần làm trường hợp từ đến 4, (ii) Alice sử dụng toán tử Z trường hợp từ đến 8, (iii) Alice sử dụng toán tử X trường hợp từ đến 12 (iv) Alice sử dụng toán tử XZ trường hợp từ 13 đến 16 Như trình bày trước đó, trạng thái qubit đơn tuyến, tác động toán tử Z hồn tồn thực được, tác động toán tử X thực với xác suất 1/2 Tổng xác suất thành công cho trình viễn chuyển trạng thái từ |ψCV (τ α)⟩ tới |ψDV ⟩ PCV →DV X = X X k=0,1 l=chẵn,lẻ m=chẵn̸=0,lẻ Pk,l,m,0 + Pk,l,0,m , (2.127) với Pn3 ,n2 ,n1 ,nB cho (2.118) Trong công thức trên, hệ số chung 1/2 xác suất thành cơng tác động tốn tử Hadamard lên mode hệ số 1/2 khác bên dấu ngoặc đơn xác suất tác động thành công tốn tử X lên mode Tính tốn Pn3 ,n2 ,n1 ,nB (2.118) thay chúng vào (2.127) chúng tơi nhận biểu thức giải tích tường minh cho PCV →DV sau 2 PCV →DV − e−2τ α = + 2Re(a∗ b)e−2τ α2 (2.128) (T ) Độ tin cậy trạng thái thu ρ4 (τ ) trạng thái mong muốn (2.92) FCV →DV = (T ) ⟨ψDV |ρ4 (τ )|ψDV ⟩4 = |a|4 + τ |b|4 + (1 − τ + 2Cτ )|a|2 |b|2 (2.129) Từ dòng thứ hai (2.129) dễ dàng thấy trường hợp khơng có photon, tức τ = C = 1, FCV →DV = (|a|2 + |b|2 )2 = Trong trường hợp ngược lại xảy toàn số photon kênh lượng tử bị tiêu tán hoàn toàn lúc ρ1234 (τ ) trở thành ρ1234 (τ = 0) = |0, 0, 0, 0⟩1234 ⟨0, 0, 0, 0| Cũng trường hợp (τ → 0) trạng thái CV cần viễn chuyển (2.98) trở thành trạng thái chân khơng |0⟩1 Vì trường hợp này, tất mode không rối với vậy, 86 Hình 2.10: Độ tin cậy trình viễn chuyển trạng thái lượng tử từ trạng thái qubit √ đơn tuyến có dạng đặc biệt (|0 + |1)/ sang trng thỏi mốo Schrăodinger chẵn N (|τ α⟩ + |−τ α⟩) hàm γt với α = (đường cong màu đỏ), α = (đường cong màu xanh), α = (đường cong màu cam) α = (đường cong màu đen) thực với mode 2, 3, A không gây ảnh hưởng đến trạng thái mode Do đó, độ tin cậy tương ứng trường hợp khơng có tổn thất photon (độ tin cậy tuyệt đối dựa vào định nghĩa toán học trạng thái thu không chứa thông tin trạng thái mong muốn, tức vơ nghĩa mặt vật lý) Vì độ tin cậy khơng thể vượt γt thay đổi từ γt = tới γt = ∞ (tức τ biến đổi từ tới 0) tồn giá trị nhỏ độ tin cậy Ta tính số để xác định thể Hình 2.10, độ tin cậy FDV →CV cho trường hợp cụ thể viễn chuyển √ trạng thái DV có trọng số (|0⟩ + |1⟩)/ ti trng thỏi mốo Schrăodinger chn N (| + |−τ α⟩) vẽ hàm γt cho vài giá trị α Với giá trị xác định α, thời gian trôi độ tin cậy trước hết nhanh chóng giảm để đạt đến giá trị tối thiểu, sau tăng dần đến khoảng thời gian đủ lớn (t ≥ 10/γ) Ta hình dung thực tế giá trị α nhỏ đáy đường cong độ tin cậy nơng Đối với q trình viễn chuyển theo hướng ngược lại tức từ CV sang DV, biến đổi độ tin cậy có khác biệt Điều mơ tả Hình 2.11, hiển thị độ tin cậy FCV →DV hàm γt cho việc viễn chuyển trạng 87 thái mèo Schrăodinger chn N (| + | ) ti trng thái qubit đơn √ tuyến (|0⟩ + |1⟩)/ Hình 2.11 cho thấy rằng, với giá trị α, độ tin cậy FCV →DV lúc đầu giảm nhanh sau dần bão hịa đến giá trị tối thiểu 0.5 Từ Hình 2.11 thấy α lớn tốc độ giảm theo thời gian FCV →DV nhanh, đồng nghĩa với việc giá trị tối thiểu đạt sớm Một lưu ý quan trọng là, không giống viễn chuyển trạng thái môi trường lý tưởng xác suất thành công độ tin cậy không phụ thuộc vào trạng thái đầu vào, ảnh hưởng môi trường làm phát sinh phụ thuộc xác suất thành công độ tin cậy vào tham số thông tin a b Vấn đề cần quan tâm lúc giá trị trung bình xác suất thành công độ tin cậy tất giá trị có tham số đầu vào Nhắc lại a b buộc với điều kiện chuẩn hóa |a|2 + |b|2 = đặt chúng sau a = cos θ b = eiφ sin θ, với ≤ θ ≤ π/2 ≤ φ ≤ 2π Giá trị trung bình hàm f (θ, φ) định nghĩa [141] Z 2π Z π/2 f (θ, φ) = dφ f (θ, φ) sin(2θ)dθ 2π 0 (2.130) Nhờ công thức (2.130) sử dụng công thức (2.114) (2.128) chúng tơi tính tường minh xác suất thành công tương ứng P DV →CV = 3(1 − e−2τ 16 2 (2.131) 2 )arctanh(e−2τ α ) P CV →DV = (2.132) 8e−2τ α2 Đối với giá trị trung bình độ tin cậy, lấy tích phân (2.130) cho α FDV →CV cơng thức (2.115) khơng thể có biểu thức giải tích rõ ràng cho F DV →CV , chúng tơi đánh giá phương pháp tính số Tuy nhiên, cơng thức (2.129) F CV →DV đơn giản nên tích phân (2.30) tính giải tích cho kết F CV →DV = 1 2 + τ (1 + 2e−4(1−τ )α ) 88 (2.133) Để dễ so sánh, vẽ đồ thị Hình 2.12 hai giá trị trung bình F DV →CV F CV →DV hàm γt cho bốn giá trị khác α Một cách định tính, độ tin cậy “hành xử” giống √ trường hợp với a = b = 1/ (tức φ = θ = π/4) Hình 2.10 Hình 2.11 Cụ thể, cho giá trị α, F DV →CV có giá trị nhỏ trước tiệm cận 1, F CV →DV giảm đơn điệu có xu hướng tiệm cận đến giá trị thấp 1/2 (1/2 giá trị trung bình FCV →DV (γt → ∞) = cos2 (θ)) Đáng ý, tất giá trị α, F DV →CV lớn F CV →DV toàn thời gian Hơn nữa, giá trị nhỏ α (α = 0.5 Hình 2.12a) viễn chuyển lượng tử từ trạng thái qubit đơn tuyn ti trng thỏi mốo Schrăodinger luụn luụn tt kết cổ điển tương ứng với giá trị tin cậy tốt 2/3 (được biểu diễn đường ngang đứt nét Hình 2.12) Đối với giá trị lớn α (α = 1, Hình 2.12a, Hình 2.12b, Hình 2.12c Hình 2.12d tương ứng) tồn khoảng thời gian mà F CV →DV < 2/3, cho thấy viễn chuyển lượng tử miền thời gian không hiệu so với viễn chuyển cổ điển Đối với viễn chuyển lượng tử từ trạng thái kết hợp sang trạng thái qubit đơn tuyến tốt dịch chuyển cổ điển khoảng thời gian ngắn ban đầu trước F CV →DV nhanh chóng trở lên nhỏ 2/3 giữ nguyên sau Tính chất định tính khơng phụ thuộc vào α Tuy nhiên, mặt định lượng, giá trị lớn α thu hẹp thời gian ban đầu khoảng thời gian ưu viễn chuyển lượng tử so với viễn chuyển cổ điển Xác suất thành cơng trung bình vẽ Hình 2.13 Trong q trình viễn chuyển DV-CV có P DV →CV = 3/16, xác suất trung bình trình ngược lại CV-DV, P CV →DV , phụ thuộc vào α lớn P DV →CV Ví dụ, α có giá trị nhỏ P CV →DV < P DV →CV Tuy nhiên, α đủ lớn P CV →DV lớn P DV →CV γt không lớn Khoảng thời gian γt mà P CV →DV > P DV →CV mở rộng α tăng nhìn thấy từ đường cong với α = 1, Hình 2.13 89 Hình 2.11: Độ tin cậy trình viễn chuyển trạng thái lượng tử từ trng thỏi mốo Schrăodinger chn N (| +| α⟩) sang trạng thái qubit đơn tuyến đặc biệt (|0⟩+|1⟩)/ hàm γt với α = (đường cong màu đỏ), α = (đường cong màu xanh), α = (đường cong màu cam) α = (đường cong màu đen) 2.4 Kết luận chương Trong chương này, đề cập đến rối lai ứng dụng viễn chuyển trạng thái lượng tử có kiểm sốt Cụ thể sau: Trong mục 2.1, thiết kế sơ đồ để tạo loại rối lai trạng thái kết hợp có xét đến tính chất phân cực trạng thái phân cực photon Trong thiết k ny, mt trng thỏi mốo Schrăodinger phõn cc, cặp rối photon phân cực trạng thái kết hợp phân cực, chuẩn bị ngoại tuyến từ trước, cung cấp làm đầu vào cho sơ đồ chúng tơi Sau đó, sử dụng thiết bị quang học tuyến tính thơng thường chẳng hạn tách chùm, tách phân cực, nửa sóng máy đo phân giải số photon, tất hoạt động cần thiết thực cách hiệu Phụ thuộc vào kết phát số photon, ta biết trạng thái rối lai mong muốn có tạo thành cơng hay khơng Tổng xác suất thành công sơ đồ cao gấp đôi so với sơ đồ có cho trạng thái kết hợp khơng phân cực Kế hoạch không khả thi mà cịn kinh tế tài ngun tiêu thụ khơng phải sử dụng tốn tử dịch chuyển Chúng 90 Hình 2.12: Độ tin cậy trung bình trình viễn chuyển có kiểm sốt trạng thái lượng tử từ trạng thái biến gián đoạn sang biến liên tục (đường cong màu xanh) độ tin cậy trung bình trình ngược lại từ trạng thái biến liên tục sang trạng thái biến gián đoạn (đường cong màu đỏ) hàm γt với (a) α = 0.5, (b) α = 1, (c) α = (d) α = Đường ngang màu đen 2/3 giá trị trung bình cổ điển tốt tơi xem xét yếu tố thực tế ảnh hưởng đến hiệu suất chương trình, bao gồm suy giảm độ rối/sự photon tương tác với môi trường trạng thái đầu vào, sai khác tài ngun thực tế khơng hồn hảo thiết bị Phân tích chi tiết cho thấy sơ đồ chúng tơi trụ vững trước hiệu ứng khơng hồn hảo nhỏ thực với công nghệ Tiếp theo, mục 2.2 chúng tơi xem xét hai loại mã hóa qubit, qubit đơn tuyến lại chồng chập trạng thái kết hợp, gi l qubit di dng trng thỏi mốo Schrăodinger Đầu tiên, xây dựng sơ đồ tạo trạng thái rối bốn bên thích hợp mà sau q trình chia sẻ bốn bên thơng qua tương tác với môi trường trở thành trạng thái trộn Sau chúng tơi sử dụng trạng thái trộn kênh lượng tử để thực viễn chuyển lượng tử có kiểm sốt 91 Hình 2.13: Xác suất thành cơng trung bình q trình viễn chuyển lượng tử có kiểm sốt từ trạng thái biến liên tục sang trạng thái biến gián đoạn hàm γt với α = 0.5 (đường cong màu đỏ), α = (đường cong màu xanh), α = (đường cong màu cam) α = (đường cong màu đen) Xác suất thành cơng trung bình q trình viễn chuyển lượng tử theo chiều ngược lại số biểu diễn đường ngang màu tím giá trị 3/16 qubit đơn tuyến qubit trng thỏi mốo Schrăodinger Do cú tng tỏc với môi trường, độ tin cậy viễn chuyển lượng tử xác suất thành công hàm số thông số trạng thái cần viễn chuyển Vì vậy, chúng tơi tính tốn giá trị trung bình chúng Đối với độ tin cậy trung bình, q trình viễn chuyển lượng tử DV-CV ln lớn so với trình ngược lại CV-DV Tuy nhiên, xác suất thành cơng trung bình, số trình viễn chuyển lượng tử CV-DV hàm phụ thuộc biên độ α trình ngược lại DV-CV Sự phụ thuộc vào α tinh tế Ví dụ, gia tăng α làm giảm độ tin cậy trung bình (xem Hình 2.10, 2.11 2.12) làm tăng xác suất thành cơng trung bình (xem Hình 2.13) Điều đáng lưu ý mã hóa qubit đơn tuyến đặc biệt thú vị khả chuyển đổi lẫn tự nhiên hệ thống vật lý khác hệ thống nguyên tử, học quang học Qubit đơn tuyến chuyển đổi thành định dạng qubit khác, ví dụ: qubit phân cực [142] Điều có nghĩa trạng thái rối trạng thái kết hợp trạng thái qubit phân cực 92 tạo từ rối lai trạng thái kết hợp trạng thái đơn tuyến Trong hai giao thức viễn chuyển lượng tử mục 2.2, chúng tơi thiết kế có hai người làm nhiệm vụ kiểm soát, người thao tác khơng gian DV người cịn lại khơng gian CV Về mặt ý nghĩa, điều tạo công bên với 93