52 hsg 9 tay ninh

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Tỉnh Tây Ninh Câu (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương cho a  b  14 c a  b  c  59 Tính giá trị biểu thức S a  b  c x2  b) Giải phương trình Câu 1  x   0 x x (4,0 điểm) x   m  3 x  m  0 m a) Cho phương trình ( tham số) Tìm tất giá trị nguyên m để phương trình cho có nghiệm nguyên  P  : y x đường thẳng  d  : y x  m  ( m tham số) Tìm m để  P  b) Cho parabol  d  hai điểm phân biệt A  x1; y1  B  x2 ; y2  cho y12  y22  x1 x2 91 cắt Câu (4,0 điểm) a) Cho n số nguyên dương Tìm dư phép chia n  3n  14n  2023 cho b) Cho a, b, c ba số thực dương cho a  b  c 6 Chứng minh bất đẳng thức a b c    b 4 c 4 a 4 Câu (4,0 điểm)    a) Cho tam giác ABC ( AB  AC ) có B 45 , C 30 đường trung tuyến BM Tính AMB b) Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) có đường trung tuyến BD Gọi E điểm ED cạnh BC cho BE 2 EC Tính BD Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Gọi N điểm đoạn thẳng AM ( N khác A M ), đường thẳng BN cắt AC E đường thẳng CN cắt AB D Chứng minh DE song song BC  O  Xét điểm M thay đổi b) Cho hình vng ABCD có cạnh a nội tiếp đường tròn  O  E đường thẳng EC cắt đoạn thẳng OA ( M khác O A ), đường thẳng DM cắt BD N Tìm giá trị lớn diện tích tam giác EMN -Hết - CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (4,0 điểm) a) Cho a, b, c số thực dương cho a  b  14 c a  b  c  59 Tính giá trị biểu thức S a  b  c Lời giải Biến đổi đẳng thức cho thành  a  a   b  b   c  14 c  49 0 Do (1)  a  a 1    Do    a1    a1 ,  a1 ,  b b 9    b    b ,  a  0    b  0    c  0 (2) c c   0 b  ,  c  14 c  49  c  (1) (2) không âm nên a 1  b 9 c 49  Vậy: S a  b  c 41 x2  b) Giải phương trình 1  x   0 x x Lời giải 2x  Đặt  t 1  t , t 0 x  t  (*), phương trình cho trở thành t  t  0 Kết hợp (*) nên nhận t 1 Với t 1 ta có 2x  1 1 x   x x  x 1   x  x  1  x  x  0 ( x 0)  (thoã mãn điều kiện x 0 ) x Với  x    x 1 x    x  x  0 ( x 0)  (thoã mãn điều kiện x 0 ) x Với 1 x 1, x  1, x  , x  2 Vậy phương trình cho có nghiệm Câu (4,0 điểm) x   m  3 x  m  0 m a) Cho phương trình ( tham số) Tìm tất giá trị ngun m để phương trình cho có nghiệm nguyên Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Ta có:  m  2m  2 m  1  k 8 Do giả thiết nên  k với k   Suy    m   k   m   k  8 1.8 2.4      1       Do m   k  m   k nên ta xét trường hợp sau:  m   k 1  m m   k  (loại) Trường hợp 1:  Tìm  m   k 2  Trường hợp 2: m   k 4 Tìm m 2 (nhận)  m   k  11  m  (loại) Trường hợp 3: m   k  Tìm  m   k   Trường hợp 4: m   k  Tìm m  (nhận) Thử lại:   x 2 x  x  0    x 3 Với m 2 , phương trình cho trở thành Vậy m 2 thoả yêu cầu toán   x 0 x  x 0   x  m   Với , phương trình cho trở thành Vậy m  thoả yêu cầu toán  P  : y x đường thẳng  d  : y x  m  ( m tham số) Tìm m để  P  b) Cho parabol  d  hai điểm phân biệt A  x1; y1  B  x2 ; y2  cho y12  y22  x1 x2 91 cắt Lời giải Hoành độ giao điểm ( P) (d ) nghiệm phương trình x  x  m   x  x  m  0 (1)  P d cắt hai điểm phân biệt    4m    m  (*) 2 4 Ta có: y1  y2  x1 x2 91  x1  x2  x1 x2 91  ( x12  x22 )  x12 x22  x1 x2 91   ( x1  x2 )2  x1 x2   x12 x22  x1 x2 91 (1) Ta có hệ thức Viet: x1  x2 1 x1 x2 m  nên (1) trở thành CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  m    m 19 2m  11m  76 0  Kết hợp (*) m  giá trị cần tìm Câu (4,0 điểm) a) Cho n số nguyên dương Tìm dư phép chia n  3n  14n  2023 cho Lời giải 3 Ta có n  3n 14n  2023 n  3n  3n   11n  2022  n  1  11n  2022  n  1   n  1  12n  2023 n  n  1  n    12n  2023 Do n  n  1  n   Mặt khác tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho  2;3 1 nên n  n 1  n   chia hết cho Và 12n chia hết n3  3n  14n  2023 n  n  1  n    12n  6.372  Vậy dư phép chia n  3n  14n  2023 cho b) Cho a, b, c ba số thực dương cho a  b  c 6 Chứng minh bất đẳng thức a b c    b 4 c 4 a 4 Lời giải a 1 ab   ab   ab   a   a   a  b 4 4 b 4 4 4b    Ta có: b 1 bc  c 1 ca   b  c    , a 4 4  Tương tự c  4  Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c 1 ab  bc  ca      a b c   b 4 c 4 a 4 4  a  b  c Do  3  ab  bc  ca  Dấu  xảy a b c a b c 1 (a  b  c )     a  b  c     b2  c2  a  4  12  Nên Dấu  xảy a b c 2 Câu (4,0 điểm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023    a) Cho tam giác ABC ( AB  AC ) có B 45 , C 30 đường trung tuyến BM Tính AMB Lời giải Kẻ đường cao AH ABC  • Do MAH cân M MAH 60 nên Suy HA HM (1)  45 nên vng cân HAB có AHB 90 HBA Do HB HA (2) Từ (1) (2) suy HB HM hay HBM cân H Do HM MC nên MHC cân M   Suy MHC MCH 30    MBH 30  MBH 15    Suy AMB MBH  MCH 45 b) Cho tam giác ABC vuông A ( AB  AC ) có đường trung tuyến BD Gọi E điểm ED cạnh BC cho BE 2 EC Tính BD Lời giải Gọi M trung điểm BE , N giao điểm ED BA Ta có ED đường trung bình MAC (vì E , D trung điểm MC AC ) Suy ED //MA ED  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 MA (1)  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 BNE có AM đường trung bình nên Từ (1) (2) suy ED  MA  EN (2) EN Suy ND 3ED (3) DBN có DA vừa trung tuyến vừa đường cao nên DBN cân D Suy BD  ND (4) Từ (3) (4) suy BD 3ED  ED  BD Câu (4,0 điểm) a) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Gọi N điểm đoạn thẳng AM ( N khác A M ), đường thẳng BN cắt AC E đường thẳng CN cắt AB D Chứng minh DE song song BC Lời giải Gọi K điểm đối xứng N qua M Tứ giác BNCK hình bình hành (vì có đường chéo cắt trung điểm đường) Suy BN //CK CN //BK AD AN  ABK có DN //BK nên AB AK AE AN  ACK có EN //CK nên AC AK AD AE  Suy ra: AB AC AD AE  ABC có AB AC nên DE //BC  O  Xét điểm M thay đổi b) Cho hình vng ABCD có cạnh a nội tiếp đường tròn  O  E đường thẳng EC cắt đoạn thẳng OA ( M khác O A ), đường thẳng DM cắt BD N Tìm giá trị lớn diện tích tam giác EMN CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Lời giải Kẻ EH  CD H , OI  CD I , dt : diện tích a  O  Tìm bán kính đường trịn    DC MDB   M  BDC  sđ BE  sđ B C 2     sđ BE  sđ CD DNC 2     MDC # CND (vì MDC DNC MCD CDN 45 ) MC DC   MC.ND CD a Suy CD ND Ta có: 1 dtDMNC  MC.ND  a 2 1 1 dt EDC  DC.EH  DC EI  DC  EO  OI   a 2  dt EMN dt EDC  dtDMNC  dt EMN  1 2 21 a  a  a 4 21 a  DM tia phân giác ADB Giá trị lớn diện tích tam giác EMN 21 a -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 