Đang tải... (xem toàn văn)
Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hội đồng chấm thi đã điều chỉnh một số nội dung và biểu điểm trong hướng dẫn này nhưng chúng tôi chưa cập nhật được mong quý vị thông cảm P[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức Ngày thi: 29/11/2012 Bài 1: Tìm số tự nhiên n để: a) A = n3 - n2 + n - là số nguyên tố n 3n 2n 6n n2 B= có giá trị là số nguyên b) c) D = n5 – n + là số chính phương (n 2) Bài 2: Cho biÓu thøc: P = Bài √a : − (1+ a+1 ) ( √ a −1 a √ a+2√√aa−a −1 ) a Rót gän biÓu thøc P b T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho P < c TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− √ Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ x −1+2=x T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: a) y=√ x 2+ x +5 b) x+ y ¿ =(x −1)( y +1) ¿ Bài : Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh a Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M D; M C ) chọn điểm N trên cạnh BC cho góc MAN = 45 O, DB cắt AM, AN theo thứ tự E và F a) Chứng minh góc AFM = góc AEN = 90O b) Chứng minh diện tích tam giác AEF nửa diện tích tam giác AMN c) Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi M chuyển động trên DC Bài : Cho a,b,c là các số dương, chứng minh : a b c T = 3a b c + 3b a c + 3c b a 5 Hä vµ tªn thÝ sinh: Sè b¸o danh : Phßng thi Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hội đồng chấm thi đã điều chỉnh số nội dung và biểu điểm hướng dẫn này chúng tôi chưa cập nhật mong quý vị thông cảm PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH (2) Híng dÉn chÊm thi CHỌN häc sinh giái líp Năm học 2012 - 2013 Môn: Toán Bài 1: (5,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để: a) A = n3 - n2 + n - là số nguyên tố b) c) n 3n 2n 6n n2 B= có giá trị là số nguyên D = n5 – n + là số chính phương, với n 2 a, (1điểm) A = n3 - n2 + n – = (n2 + 1)(n - 1) Để A là số nguyên tố thì n – = n = đó A= b, (2điểm) 0,5 0,5 B = n2 + 3n - n 0,5 0,5 0,5 0,5 B có giá trị nguyên n2 + n + là ước tự nhiên n2 + = không có giá trị thoả mãn Hoặc n2 + = n = Với n = thì B có giá trị nguyên c, (2điểm) D = n5 – n + = n(n4 - 1) + = n(n + 1)(n - 1)(n2 + 1) + 2 = n(n - 1)(n + 1) n 5 +2 = n(n - 1)(n + 1)(n- 2)(n + 2) + n(n - 1)(n + 1) + Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 5 Vậy D chia dư Do đó số D có tận cùng là 7nên D không phải số chính phương Vậy không có giá trị nào n để D là số chính phương Bµi 2: (5,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: P = √a : − (1+ a+1 ) ( √ a −1 a √ a+2√√aa−a −1 ) a Rót gän biÓu thøc P b T×m c¸c gi¸ trÞ cña a cho P < c TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a=19− √ a, §iÒu kiÖn cã nghÜa: a ≥ ; a ≠1 √a − a −1 (a+1)( √ a −1) √a − 1¿ ¿ ¿ ¿ a+ √ a+1 ( a+1)( √a − 1) ¿ ¿ a+1 a+ √ a+1 a+ √ a+1 b, P < ⇔ <1 -1 < ⇔ √ a −1 √ a −1 a+2 <0 ⇔ ⇔ a<1 ⇔ √ a −1< ( V× a + > ) √a − KÕt hîp víi §KX§ => Víi ≤ a<1 th× P < P= a+1+ √ a : a+1 (√ ) 2,0 ® 0,5® 1,0 ® 0,5 ® 0,5 0,5 0,5 0,5 (3) c, a=19− √ = − √ 3¿ => √ a=4 − √ ¿ => Thay vào biểu thức P tính đợc P = 24 − √3 =15 − √ 3− √ Bài 3: ( 3,5 ®iÓm ) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: √ x −1+2=x T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: a) b) x+ y ¿ =( x −1)( y +1) y=√ x 2+ x +5 ; 1) √ x −1+2=x ⇒ √ x −1=x −2 ¿ §K : x ≥ x=1 ¿ x =5 ¿ ¿ ¿ ¿ √ x − 1=x −2 ⇔2 x −1=x2 − x+ ¿ ⇔ x2 −6 x +5=0 ⇔( x −1)(x − 5)=0 ¿ ⇔ 2.a) y=√ x 2+ x +5 §K : x ∈ R , y >0 Bình phơng hai vế ta đợc y2 = (x + 2)2 + (y + x + 2)(y – x – 2) = Do x, y nguyªn vµ y d¬ng nªn ta cã: ¿ y + x+ 2=1 y − x − 2=1 ⇔ ¿ x=− y =1 ¿{ ¿ 1,0 ® 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2.b), T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x+ y ¿ 2=( x −1)( y +1) ¿ ⇔ x +2 xy + y 2=xy+ x − y −1 ⇔2 x 2+2 xy+2 y − x +2 y +2=0 y+1 ¿2 =0 ¿ ¿ x −1 ¿2 +¿ x+ y ¿ 2+¿ ⇔¿ 0,5 0,5 Bài : (6 điểm) Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh a Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M D ; M C ) chọn điểm N trên cạnh BC cho góc MAN = 45O, DB cắt AM, AN theo thứ tự E và F a) Chứng minh góc AFM = góc AEN = 90O (4) 4a b) Chứng minh diện tích tam giác AEF nửa diện tích tam giác AMN c) Chứng minh chu vi tam giác CMN không đổi M chuyển động trên DC Chứng minh : góc AFM = góc AEN = 90O A Nối A với C A3 = A1 ; B1 = C1 => AFB 2,0 B AMC (g.g) F AF AB AF AM (1) AB AC => AM AC MAF = CAB = 45 Có (2) Từ và => AFM ABC N 1,0 E => AFM = ABC = 90 C/M hoàn toàn tương tự có AEN = 900 vì AFM = AEN = 90 4b 1 K D M C 1,0 S AMN Chứng minh : AF AE Có AFM AEN => AM AN => AEF AMN (c.g.c) => S AEF S AEF AF (1) S AMN AM Có FAM = 450, AFM = 900 => AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2 S AEF AF 1 S AEF S AMN S AM = Thay vào (1) ta AMN 2 hay: => ĐPCM) 4c C/M chu vi CMN không đổi Trên tia đối tia DC lấy điểm K cho DK = BN 0.5 0.5 0.5 ADK = ABN => AK = AN và BAN DAK đó AMN = AKM (c.gc) => MN=KM Vì vậy: Chu vi CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN = CD + KD + CN = CD + NB + CN = CD + CB = 2a không đổi Tức là: Chu vi CMN không thay đổi M chuyển động trên cạnh DC 0.5 Bài : (2 điểm) Cho a,b,c là các số dương, chứng minh : a b c T = 3a b c + 3b a c + 3c b a 5 Đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a => x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c => 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ; y ( x z ) z ( x y) 4x ( y z) y x z => 10T = + + = 0.25 0.5 0.25 0.5 (5) x z y z x y y y = 12 – ( x + x + + + z + z ) 12 -6 =6 => T Dấu xẩy a = b = c 5 0.25 0.25 (6)