HSG TOÁN 9 VĨNH NINH 2017 2018

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2017 – 2018 TRƯỜNG THCS VĨNH NINH Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2 điểm) a/ Chứng minh với số nguyên a A = a − 6a − 7a + 12 chia hết cho b/ Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức Câu ( điểm) a/ Tính giá trị biểu thức A = ( y + 2) x + = y2 + 3+ 2 3+ 2 − 3+ 2 a + b + c =  2 b/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = (1+ b ) (1+ c ) + b (1+ a ) (1+ c ) + c (1+ b ) (1+ a ) Chứng minh a 1+ a2 2 + b2 2 + c2 =2 Câu ( điểm) a/ Giải phương trình: x − 5x + − x − =  x + y − xy =  3 b/ Tìm x, y thỏa mãn điều kiện  x + y = 5x + 15y Câu (3 điểm) a/ Cho tam giác ABC có góc A nhọn có diện tích S Chứng minh S= AB.AC.s in A b/ Cho tam giác ABC, có góc A 600, đường phân giác AD Chứng minh 1 + = AB AC AD c/ Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm O tam giác ta vẽ OD ⊥ BC; OE ⊥ AC; OF ⊥ AB Hãy xác định vị trí điểm O để OD + OE + OF2 có giá trị nhỏ Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương a.b.c=1 1 + + ≤ Chứng minh ab + a + bc + b + ca + c + -Hết Học sinh khơng sử dụng máy tính có chức soạn thảo Cán coi thi khơng giải thích thêm ! https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2017 – 2018 Mơn: Tốn PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS VĨNH NINH I Một số ý chấm • Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết hợp logic • Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm • Bài hình học sinh khơng vẽ hình khơng chấm điểm • Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm trịn số II Đáp án biểu điểm Câu (2 điểm) a/ Chứng minh với số nguyên a A = a − 6a − 7a + 12 chia hết cho b/ Tìm số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức ( y + 2) x +1 = y2 a ( a − 1) ( a + 1) − 6(a − a + 2) a − a − 6(a − a + 2) a) Ta có A = = Vì a – 1; a; a + ba số nguyên liên tiếp Suy a ( a − 1) ( a + 1) M2 a ( a − 1) ( a + 1) M hay a ( a − 1) ( a + 1) M6 Mà 6(a − a + 2) M6 với a số nguyên Suy A = a ( a − 1) ( a + 1) − 6(a − a + 2) M6 Vậy A = a − 6a − 7a + 12 chia hết cho với số nguyên A b) Ta có ( y + 2) x + = y2  ( y + 2) x + − y2 =  ( y + 2) ( x + − y ) = 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ Do x, y số nguyên nên y + x + − y ước Ta có trường hợp sau TH1 y + =  x + − y = TH2  y + = −1   x + − y = −3 TH3 y + =  x + − y = TH4  y + = −3   x + − y = −1  y = −1   x =   y = −3   x = −8 0,25đ (loại) 0,25đ y =   x =   y = −5   x = −8 (loại) https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Vậy (x, y) = (0; 1) (0; -1) Câu ( điểm) a/ Tính giá trị biểu thức A = + 3+ 2 3+ 2 b/ Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a/ Ta có A = ( = a 2 1+ a2 )( + b2 + + 2 + 2 + 3+ 2 a + b + c =  2 a + b + c = (1+ b ) (1+ c ) + b (1+ a ) (1+ c ) + c (1+ b ) (1+ a ) Chứng minh − 3+ 2 ) + c2 =2 − 3+2 − 3+ 2 3+ 2 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ = 3− 2 3+ 2 = =1 ( 3−2 2) ( 3+ 2) b) Vì a + b + c =  2 a + b + c = a + b + c + ( ab + bc + ca ) =  a + b2 + c2 = =>  => ab + bc + ca = 1 + a = ( a + b ) ( a + c )  1 + b = ( a + b ) ( b + c )  + c2 = ( a + c ) ( b + c ) Khi ta có  0,25 0,25 Suy ( 1+ b ) ( 1+ c ) + b ( 1+ a ) ( 1+ c ) + c (1+ b ) ( 1+ a ) a 2 1+ a 1+ b = a ( b + c ) + b(a + c) + c(a + b) 2 2 1+ c 0,25 = 2(ab + bc + ca) =2 Câu ( điểm) 0,25 a/ Giải phương trình: x − 5x + − x − =  x + y − xy =  3 b/ Tìm x, y thỏa mãn điều kiện  x + y = 5x + 15y a) ĐKXĐ: x ≥ 2 Ta có x − 5x + − x − =  x − 6x + + (x − − x − + 1) =  ( x − 3) + ( x − − 1) =  x − =    x − − =  0,25 0,25 0,25 x =   x − =  x = 3(TM ĐKXĐ) 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ Vậy x =  x + y − xy =  3 b/ Ta có  x + y = 5x + 15y   x + y − xy =  x =    x + y = x + 3y y =  2   x + y − xy =  2  ( x + y ) ( x + y − xy ) = 5x + 15y 0,25 05   x = ±    y = 0,25 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = ( , 0); (- , 0) Câu (3 điểm) a/ Cho tam giác ABC có góc A nhọn có diện tích S Chứng minh S= AB.AC.s in A b/ Cho tam giác ABC, có góc A 60 0, phân giác AD Chứng minh 1 + = AB AC AD c/ Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm O tam giác ta vẽ OD ⊥ BC; OE ⊥ AC; OF ⊥ AB Hãy xác định vị trí điểm O để OD + OE + OF2 có giá trị nhỏ BỘ ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 0946095198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k 265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=180k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k a) B Kẻ đường cao BH BH.AC Ta có S = (1) BH Lại có sinA = AB => BH = AB.sinA (2) AB.AC.s in A S= Từ (1) (2) ta có C A 1đ H b/ Ta có SABC = SABD + SACD Do B 0,25đ D 0,25đ C A H A https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ F E 1 AB.AC.sin A = AB.AD.sin ∠BAD + AC.AD.sin ∠CAD 2 K O 1 AB.AC.sin 600 = AB.AD.sin AC.AD.sin 300 B 30 + D 2 H Hay AB.AC = ( AB + AC ) AD C => AB + AC 1 = = + Nên ta có AD AB.AC AB AC c/ Vẽ đường cao AH OK vng góc với AH Ta có OE2 + OF2 = OA2 ≥ AK2 Mặt khác có OD = HK Nên ta có OD2 + OE2 + OF2 ≥ AK2 + HK2 Áp dụng bất đẳng thức a + b2 ≥ ( a + b) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ta có ( AK + KH ) AH = 2 OD2 + OE2 + OF2 ≥ AK2 + HK2 ≥ Dấu “=” xảy O trung điểm AH 0,25đ AH Vậy Min(OD2 + OE2 + OF2) = O trung điểm AH 0,25đ Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương abc=1 1 + + ≤ Chứng minh ab + a + bc + b + ca + c + x y z ,b = ;c = y z x Đk: x, y, z >0 Thì ta có Đặt 1 yz zx xy P= + + = + + ab + a + bc + b + ca + c + xy + xz + 2yz xy + yz + 2xz xz + yz + 2xy yz zx xy − P = 1− +1− +1− xy + xz + 2yz xy + yz + 2xz xz + yz + 2xy a=   1  − P = ( xy + yz + xz )  + +  xy + xz + 2yz xy + yz + 2xz xz + yz + 2xy  0,25 0,25 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/ 1 + + ≥ Áp dụng Bất đẳng thức A B C A + B + C Ta có − P ≥ ( xy + yz + xz ) 0,25 9 = ⇔ P≤3− = 4xy + 4yz + 4xz 4 xy + yz + 2xz = xy + 2yz + xz = 2xy + yz + xz ⇔ x = y = z =1  xyz =  Dấu “=” xảy hay a=b=c=1 0,25 ... ĐỀ ĐÁP ÁN HSG MƠN TỐN CẤP HUYỆN, TỈNH FILE WORD Zalo 094 6 095 198 160 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 6=110k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 250 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 7=180k; 70 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC... HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 210 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 8=150k; 60 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG CÁC HUYỆN CỦA VĨNH PHÚC=100k 30 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=50k 265 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HUYỆN=200k; 230 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP... ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CẤP TỈNH=180k 50 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN HÀ NỘI=80k; 55 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN (2020-2021)=80k; 90 ĐỀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN CÁC HUYỆN CỦA TỈNH VĨNH PHÚC=100k a) B Kẻ đường cao BH BH.AC Ta