Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Lạng Sơn (4,0 điểm) Cho biểu thức: x x x 1 x x 10 P : x x x x x x , với x 0, x 9 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x 7 Câu (4,0 điểm) x m x m m 0 m Cho phương trình ( tham số) a) Tìm điều kiện m để phuơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (4,0 điểm) 2m 8m x12 x22 x y xy x y 0 x y 4 Giải hệ phương trình: Câu (6,0 điểm) O Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp , AB AC Phân giác BAC cắt BC D O cắt điểm thứ hai P Gọi M giao điểm OP BC ; F đối xứng với D qua M Lấy điểm H nằm AO E nằm AD cho HD; FE vng góc với BC a) Chứng minh AHD PFE tam giác cân b) Gọi K giao điểm HD FP Chứng minh tứ giác BHCK nội tiếp đường tròn O1 O c) Gọi T giao điểm tia DA Gọi Q giao điểm HT BC Chứng minh AQ O tiếp tuyến Câu (2,0 điểm) a) 2 2 Tìm số nguyên dương x, y , z thỏa mãn: x y z y z 243 b) Cho đa giác có 2023 đỉnh Đánh dấu đỉnh đa giác hai chữ số Chứng minh chọn ba đỉnh đa giác đánh dấu giống tạo thành tam giác cân -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức: x x x 1 x x 10 P : x x x x x x , với x 0, x 9 a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x 7 Lời giải a) Với x 0, x 9 , ta có: x x x 1 x x 10 P : x x x x 1 x x x x x x 3 x 10 : x x 1 x x x 1 x3 x x x x x : x1 x x x x 1 x : x 3 P x3 x x 10 x 1 x x 10 x 1 x Vậy với x 0, x 9 b) x 7 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 1 x 1 x x x x 1 x x 1 x 2 x 1 1 12 6 P 4 x 2 3 3 x 4 44 3 2 Vậy P 6 x 7 Câu (4,0 điểm) x m x m m 0 m Cho phương trình ( tham số) a) Tìm điều kiện m để phuơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2m 8m x12 x22 Lời giải Xét phương trình x 2m x m m 0 m ( tham số) 2m 3 4.1 m 2m a) Để phuơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 4m2 12m 4m 8m 4m m CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Vậy với m phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khi theo hệ thức Vi-et, ta có: b) Với x1 x2 2m x1 x2 m 2m Theo ta có: 2m 8m P x1 x22 (ĐK: x12 x22 0 ) m m 8m 2m 8m 2m 8m 2m 8m P x1 x22 x1 x2 x1 x2 2m 3 m 2m 4m 12m 2m 4m m 8m 10 10 10 1 1 1 2 2 2m 8m 10 2m 8m 10 m 2 Vậy MinP m 0 m 2 (thỏa mãn điều kiện) Câu (4,0 điểm) x y xy x y 0 x y 4 Giải hệ phương trình: Lời giải x y xy x y 0 x y 4 Xét hệ phương trình: x 2; y ĐKXĐ: 1 2 2 2 Từ (1), ta có: x y xy x y 0 x y xy x y y y 0 2 x y y x y y x y y 0 x y x y x y 0 x 3 y Với x y thay vào (2), ta có: y y 4 y y y 2 y 2 16 y y y 64 32 y y y 36 y 68 0 y 2 3y 2 y 2 TM y 34 KTM 8 y y 4 y x 2 Với x 3 y thay vào (2), ta có: y y 4 y 4 y 4 y 2 x 3.2 x 2 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có tập nghiệm Câu (6,0 điểm) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 S 2; Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 O Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp , AB AC Phân giác BAC cắt BC D O cắt điểm thứ hai P Gọi M giao điểm OP BC ; F đối xứng với D qua M Lấy điểm H nằm AO E nằm AD cho HD; FE vng góc với BC a) Chứng minh AHD PFE tam giác cân b) Gọi K giao điểm HD FP Chứng minh tứ giác BHCK nội tiếp đường tròn O1 O c) Gọi T giao điểm tia DA Gọi Q giao điểm HT BC Chứng minh AQ tiếp tuyến O Lời giải A H O B M D F C P E a) Chứng minh AHD PFE tam giác cân Ta có AP tia phân giác BAC PAB PAC PB PC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) P điểm BC OP BC (quan hệ vng góc đường kính dây) HD //OP //FE (cùng vng góc với BC ) Vì F đối xứng với D qua M M trung điểm DF PDF có PM vừa trung tuyến, vừa đường cao nên PDF cân P PM phân giác OPD OPF ; Vì PEF OPD (hai góc đồng vị); PFE OPF (hai góc so le trong) PEF PFE PFE cận P Vì HPA OPD (hai góc đồng vị); HAD OPD ( OAP cân O ) AHD cân H b) Gọi K giao điểm HD FP Chứng minh tứ giác BHCK nội tiếp đường trịn O1 CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 A H O M B D F C P K E Xét DAB DCP có: ADB CDP (hai góc đối đỉnh); DAB DCP (hai góc nội tiếp chắn BP ); DA DC DAB ∽ DCP g g DA.DP DB.DC DB DP Xét DHA DPK có: ADH KDP (hai góc đối đỉnh); (1) HAD OPD ( OAP cân O ); PKD OPF (hai góc đồng vị); OPD OPF ( PM phân giác DPF , ý a)) HAD PKD ; DH DP DH DK DA.DP DA DK (2) DB DK DB.DC DH DK DA.DP DH DC Từ (1) (2), ta có: Xét DBH DCK có : DB DK HDB KDC (hai góc đối đỉnh) ; DH DC (chứng minh trên) ; DBH ∽ DKC c.g c DBH DKC , tứ giác BHCK có hai đỉnh B, K nhìn cạnh HC góc nên tứ giác nội tiếp O c) Gọi T giao điểm tia DA Gọi Q giao điểm HT BC Chứng minh AQ tiếp tuyến O DHA ∽ DPK g g CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 A H T O M Q B D F C P K E Ta có: PDK , PDF , PFE tam giác cân P PK PD PE PF DFEK hình chữ nhật KE //DF BCEK hình thang Xét KDB EFC có: KDB EFC 90 ; KD EF (tính chất hình chữ nhật); MB MC ( OM BC ), MD MF GT DB FC ; KDB EFC c.g c DBK FCE hình thang BCEK hình thang cân nên nội tiếp O E O1 đường tròn, mà BHCK nội tiếp đường tròn ; Xét DHT DEK có: DHT DEK EDK (hai góc nội tiếp chắn KT ); HDT (đối đỉnh); DHT ∽ DEK g g DTH DKE , mà DKE 90 ( DFEK hình chữ nhật) DTH 90 HT AD HAD cân H có HT đường cao nên trung trực mà Q HT QA QD QAD cân HDA Q QAD QDA , lại có HAD ( HAD cân H ) QAD HAD QDA HDA HDQ 90 QAH 90 QA AH hay QA OA A O QA tiếp tuyến O Câu (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên dương x, y, z x y z y z 243 thỏa mãn: b) Cho đa giác có 2023 đỉnh Đánh dấu đỉnh đa giác hai chữ số Chứng minh chọn ba đỉnh đa giác đánh dấu giống tạo thành tam giác cân Lời giải 2 2 a) Xét số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: x y z y z 243 2 2 z 3 z 3 z 3 z 3m m N * Vì 243;3 x ;9 y ;6 y z chia hết 2 2 x y 36m 54m y 243 x y 12m2 18m y 81 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2 x 3 x 3 x 3n n N * Vì 81;3 y ;18m y chia hết 2 2 9n y 12m 18m y 81 3n y 4m2 6m y 27 3n 4m y 6m 1 27 Do m, n nguyên dương (1) m, n 1 3n 4m y 6m 1 3 y 7 y y 1 y 27 y 4 y 2 y 2 2 Với y 1 vào (1), ta có: 3n 10m 28 2 Nếu m 2 10m 40 3n 10m 28 (không thỏa mãn) m 1 3n 10 28 n 6 (không thỏa mãn) 2 Với y 2 vào (1), ta có: 3n 28m 31 2 Nếu m 2 28m 112 3n 28m 31 (không thỏa mãn) m 1 3n 28 31 n 1 n 1 (không thỏa mãn) x 3n 3; z 3m 3 Vậy có số nguyên dương thỏa mãn b) Cách 1: x; y; z 3; 2;3 Ta có đa giác có 2023 đỉnh, phải tồn đỉnh kề P Q đánh số 1(Theo nguyên lý Đirichlet), giả sử P Q đánh số Vì đa giác cho đa giác có số đỉnh lẻ nên phải tồn đỉnh nằm đường trung trực đoạn thẳng PQ Giả sử đỉnh A Nếu A đánh số ta có tam giác APQ tam giác cân có ba đỉnh A, P, Q đánh số Nếu A đánh số 0, lúc gọi B C đỉnh khác đa giác kề với P Q Nếu hai đỉnh B C đánh số tam giác ABC cân có ba đỉnh đánh số Nếu ngược lại, hai đỉnh B C đánh số tam giác BPQ tam giác CPQ tam giác cân có ba đỉnh đánh số Vậy trường hợp chọn ba đỉnh đa giác đánh dấu giống tạo thành tam giác cân Cách 2: Giả sử chọn đỉnh đa giác với dấu tạo thành tam giác cân Trước tiên, chứng minh có đỉnh liên tiếp đánh dấu đỉnh liên tiếp đánh dấu Giả sử khơng có đỉnh liên tiếp đánh dấu Điều có nghĩa đỉnh đánh dấu ngăn cách đỉnh Vì vậy, số đỉnh đánh dấu phải 1012 (nếu không, không đủ chỗ cho 1) Tương tự, khơng có đỉnh liên tiếp đánh dấu 1, số đỉnh đánh dấu phải 1012 Nhưng điều khơng thể xảy tổng số đỉnh 2023, ln có đỉnh liên tiếp đánh dấu giống Bây giờ, chọn cặp đỉnh liên tiếp đánh dấu giống nhau, giả sử Đặt chúng A B , đặt S tâm đa giác Khi đó, SA SB Ta đánh dấu điểm C đường tròn ngoại tiếp cho tổng số đỉnh A C (không kể A ) tổng số đỉnh B C (không kể B ) 1010 Khi đó, đa giác chia thành hai phần có số đỉnh nhau: phần từ A qua C đến B phần từ B qua C đến A CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Do đó, SC SA SB tam giác ABC cân Vì có đỉnh liên tiếp đánh dấu 1, lại đỉnh đa giác (ở hai phần) phải có đỉnh đánh dấu Nếu C đánh dấu 1, ta có tam giác cân với ba đỉnh đánh dấu Nếu C đánh dấu 0, ta có tam giác cân với ba đỉnh đánh dấu Điều mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, ln chọn đỉnh đa giác đánh dấu giống tạo thành tam giác cân -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang