42 toan 9 hsg 22 23 ninh thuan

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 Tỉnh Ninh Thuận Học sinh giỏi 99 Câu 2022  22023 1) Tính tổng: A 1      x 3   2) Chứng minh số: x  x  14 0 5 nghiệm phương trình: Câu 1) Tìm số tự nhiên nhỏ thỏa hai tính chất sau: a) Chữ số cuối b) Nếu bỏ chữ số cuối thêm chữ số vào trước chữ số cịn lại số nhận gấp lần số ban đầu 2) Giải phương trình: x  x  5 x  x  20   x  1 Câu 2 1) Chứng minh rằng: a  b  c ab  bc  ac với a, b, c 1   3 xyz  x , y , z x y z 2) Cho thỏa x8  y  z P x3 y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Câu Cho tam giác ABC cạnh a với đường cao AH M điểm cạnh BC Vẽ ME  AB, MF  AC Gọi O trung điểm AM 1) Chứng minh điểm A, E , H , M , F nằm đường tròn, Tứ giác OEHF hình gì? 2) Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác OEHF theo a M di động cạnh BC -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 2022  22023 1) Tính tổng: A 1      x 3   2) Chứng minh số: x  x  14 0 5 nghiệm phương trình: Lời giải 2022  22023 1) Tính tổng: A 1      A 1   22  23   2022  2023 A 2  22  23  24   22023  22024  A 2 A  A   22  23  24   22023  2024      2  23   2022  22023  22024  2024  Vậy A 2 x 3   2) Chứng minh số: x  x  14 0 5 nghiệm phương trình: Ta có: x 3   1    3 1 5   1   1   1 1   21 2  2 3 Với x 2 x  x  14 2  3.2  14 8   14 0 x 3   Vậy:  nghiệm phương trình: x  x  14 0 Câu 1) Tìm số tự nhiên nhỏ thỏa hai tính chất sau: a) Chữ số cuối b) Nếu bỏ chữ số cuối thêm chữ số vào trước chữ số cịn lại số nhận gấp lần số ban đầu 2) Giải phương trình: x  x  5 x  x  20   x  1 Lời giải 1) Tìm số tự nhiên nhỏ thỏa hai tính chất sau: a) Chữ số cuối b) Nếu bỏ chữ số cuối thêm chữ số vào trước chữ số cịn lại số nhận gấp lần số ban đầu Gọi số cần tìm a , a số tự nhiên có n chữ số Theo đề ta có: 6a 4.a  6.10n  a 4  10a    6.10 n  a 40a  24  6.10 n  24 39 a  a 2.10n  13 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 2.10  12  13 13 (Loại) Với 2.102  192 n 2  a   13 13 (Loại) Với 2.103  1992 n 3  a   13 13 (Loại) Với n 1  a  2.104  19992  13 13 (Loại) Với 2.105  199992 n 5  a   15384 13 13 Với (Thỏa mãn) 153846 Vì số cần tìm nhỏ nên số n 4  a  2) Giải phương trình: x  x  5 x  x  20   x  1 (1) x 5  x  x  20   x  1 0   x  5  x    x  1 0     x   ĐKXĐ:  1  x  x  5  x    x  1  x     x  x     x   5 x  x  5  x   (2) Đặt: a  x  x  ; b  x  ; ab 0 , ta có:  2  2a  3b 5 ab (để phương trình có nghiệm 2a  3b 0 )  4a  12ab  9b 25ab  4a  13ab  9b 0  4a  4ab  9ab  9b 0   a  b   4a  9b  0  a b    4a 9b Với a b  x  x   x   x  5x  0  x   61 (thỏa mãn) 4a 9b   x  x   9  x    x  25 x  56 0   x    x   0 Với 7  x     x 8 (thỏa mãn)   S  ;8    Vậy phương trình có tập nghiệm Câu 2 1) Chứng minh rằng: a  b  c ab  bc  ac với a, b, c CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 1   3 xyz  x , y , z x y z 2) Cho thỏa 8 x  y  z8 P x3 y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải 2 1) Chứng minh rằng: a  b  c ab  bc  ac với a, b, c Với a, b, c xét hiệu a  b  c  ab  bc  ca   a  2ab  b  b  2bc  c  c  2ca  a  2 2    a  b    b  c    c  a   0 2   với a, b, c  a  b  c ab  bc  ca với a, b, c Dấu “ ” xảy a b c 1   3 2) Cho x, y, z thỏa xyz  x y z 8 x  y  z8 P x3 y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1   3 xyz  x , y , z x y z Với thỏa , ta có: P x8  y  z x5 y5 z5    x3 y3 z y z x3 z x3 y Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: x5 1 x5 1 3x x5 3x 2   3 3   3   xyz x y3 z3 x x y z x x yz y z z5 3z 2 y5 y2     3 3 xyz z x y xyz y x z Tương tự, ta có: ; Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều trên, ta có: P  x2  y  z  xyz  1 1  1 1 1 xy  yz  zx      3         3 xyz  x y z x y z x y z Vậy MinP 3 x  y  z 1 Câu Cho tam giác ABC cạnh a với đường cao AH M điểm cạnh BC Vẽ ME  AB, MF  AC Gọi O trung điểm AM 1) Chứng minh điểm A, E , H , M , F nằm đường trịn, Tứ giác OEHF hình gì? 2) Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác OEHF theo a M di động cạnh BC Lời giải CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023 A O F E B M H C 1) Chứng minh điểm A, E , H , M , F nằm đường trịn, Tứ giác OEHF hình gì?    Theo ta có: AEM  AFM  AHM 90 nên điểm nằm đường trịn đường kính AM , có tâm trung điểm O AM ABC AH A cạnh có đường cao nên phân giác  BAC 60    BAH CAH   30 2 ;   2.EAH 2.30 60 (góc nội tiếp góc tâm OEH có OE OH (bán kính  O  ); EOH  chắn EH )  OEH  OE OH  EH ;   O Tương tự: OFH có OF OH (bán kính   ); FOH 2.FAH 2.30 60 (góc nội tiếp  góc tâm chắn FH )  OFH  OF OH  FH ; OE OF  HE  HF  OH  Tứ giác OEHF có: nên hình thoi OEHF 2) Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác theo a M di động cạnh BC AM  OH  Ta có OHM vng H có HO trung tuyến OEH có cạnh OH  SOEH OH AM   16 ; 2 OH AM   16 ; OH  SOFH OFH có cạnh Diện tích tứ giác OEHF là: AM SOEHF SOEH  SOFH  ; AH AM  AH  SOEHF  Lại có ; a a2 3 AH   SOEHF  32 Mà ABC có AH đường cao nên a2 3 Vậy giá trị nhỏ tứ giác OEHF 32 đạt AM  AH hạy M trung điểm BC -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-2023  Trang 