Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Tỉnh Thái Nguyên Học sinh giỏi 99 A Câu 2x x x3 x x B 2 x x 2 (6,0 điểm) Cho biếu thức Rút gọn biểu thức A B Tìm tất giá trị x để A B A Tìm giá trị lớn biểu thức B Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y ax b parabol ( P) : y x Tìm tất giá trị a, b để đường thẳng (d ) qua điểm M (3;5) tiếp xúc với parabol ( P ) Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x 2(m 1) x m 0( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BK, CI cắt điểm H Trên cạnh AB, AC lấy điểm L,F cho HL∥ DI, HF∥ DK Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn (O) a Chứng minh tứ giác BIKC, BLFC nội tiếp đường tròn b Đường thẳng BK cắt đường tròn (O) điểm J ( J B ) Chứng minh ba điểm L, F, J thẳng hàng c Gọi P giao điểm AH LF Chứng minh AH = AP.AE Câu (2,0 điểm) 2024 2023 a) Tìm số nguyên dương n để n n số nguyên tố b) Cho phương trình x ax b 0(a, b ; b 1) Chứng minh phương trình có 2 hai nghiệm số nguyên a b hợp số Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi a, b thỏa mãn điều kiện a b 4 Tìm giá trị nhỏ 1 P a 2b a b biểu thức Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP ÁN A Câu 2x x x3 x x B 2 x x 2 (6,0 điểm) Cho biếu thức Rút gọn biểu thức A B Tìm tất giá trị x để A B A Tìm giá trị lớn biểu thức B Lời giải x 0 Điều kiện xác định biểu thức A x 4 Điều kiện xác đinh biểu thức B x 0 A B x x x 2 x ( x 2) x ( x 2)(2 x 1) 2 x x x x x ( x 1) 2( x 1) ( x 1)( x 2) 2 2 x 2 x 2 x 1 x 0 Với x 4 ta có A B x x x x x ( x 2) 0 x 0 x 4 Vậy x 0 A B A x x 1 Ta có: B A 0 Với x 0 B (1) x Với x 4 , ta có: A B x x Áp dụng bất đẳng thức AM GM , ta có: x Dấu "=" xảy x 2 x x 1 x (thỏa mãn) A 1 Khi đó: B (2) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 A Từ (1) (2) ta có: Giá trị lớn biểu thức B Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d ) : y ax b parabol ( P) : y x Tìm tất giá trị a, b để đường thẳng (d ) qua điểm M (3;5) tiếp xúc với parabol ( P ) Lời giải Đường thẳng (d ) qua điểm M (3;5) 3a b 5 (1) 2 Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) ( P ) là: x ax b x ax b 0 Đường thẳng (d ) tiếp xúc với ( P) phương trình x ax b 0 có nghiệm kép 0 a 4b 0 (2) a 2 a 12a 20 0 a 10 (1) b 5 3a vào (2) ta có phương trình: Với a 2 b Với a 10 b 25 Vậy a 2 b 1; a 10 b 25 đường thẳng (d ) tiếp xúc với parabol ( P) Câu (2,0 điểm) Cho phương trình x 2(m 1) x m 0( m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Lời giải 15 m 1 m m m m 0 m 2 a) Ta có m Vậy với phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phương trình x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền x1 x2 x x 98 x1 x2 2(m 1) x x m Áp dụng định lý Viet phương trình ta có: x1 x Do x1 x2 x1 x2 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 2(m 1) m m m m Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 m m 11 2 x1 x2 98 x1 x2 x1 x2 98 2m 3m 44 0 11 m không thỏa mãn Kết hợp với điều kiện, ta có m thỏa mãn; Vậy m phương trình có hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < BC < AC) nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BK, CI cắt điểm H Trên cạnh AB, AC lấy điểm L,F cho HL∥ DI, HF∥ DK Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn (O) a Chứng minh tứ giác BIKC, BLFC nội tiếp đường tròn b Đường thẳng BK cắt đường tròn (O) điểm J ( J B ) Chứng minh ba điểm L, F, J thẳng hàng c Gọi P giao điểm AH LF Chứng minh AH = AP.AE Lời giải: J A F L P K Q I H B O D C E 0 a) Theo giả thiết ta có: BIC 90 BKC 90 Suy ra, tứ giác BIKC nội tiếp đường trịn đường kính BC Vì Vì HL ∥ DI AL AH AI AD (1) HF∥ DK AF AH AK AD (2) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 AL AF LF / / IK AI AK Từ (1), (2) suy Vì tứ giác BIKC nội tiếp nên BCK AIK Mặt khác AIK ALF (vì LF / / IK ) Suy BCK ALF Xét tứ giác BLFC ta có: BCK ALF Do tứ giác BLFC nội tiếp đường tròn AJH AJB ACB sdAB b) Ta có: Lại có: ACB AHJ (vì phụ với DAC ) Suy AJH AHJ → K trung điểm HJ = FHJ cân F KFJ HFK (3) Vì HF // DK nên HFK DKC (4) Vì tứ giác AKDB nội tiếp đường trịn đường kính AB nên DKC ABC (5) Từ (3), (4), (5) suy KFJ LBC Ta có: LFJ LFK KFJ LFC LBC 180 (vì tứ giác BLFC nội tiếp đường trịn) Do ba điểm L, F, J thẳng hàng (đpcm) c) Gọi Q giao điểm thứ hai đường thẳng CH với đường tròn (O) Chứng minh tương tự ý b, ta có ba điểm L, F, Q thẳng hàng I trung điểm HQ Vậy điểm Q, L, F, J thẳng hàng Ta có: AQ AH AJ AQJ AQJ cân A AJQ AJQ AEJ sdAJ Laị có AEJ AQJ CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 AJP AEJ AJ AE PAJ EAJ APJ # AJE AP AJ Vì AH AJ nên AH AE.AP Ta có: (g.g) (đpcm) Câu (2,0 điểm) 2024 2023 a) Tìm số nguyên dương n để n n số nguyên tố b) Cho phương trình x ax b 0(a, b ; b 1) Chứng minh phương trình có 2 hai nghiệm số nguyên a b hợp số Lời giải 2024 2023 a) Với n 1 ta có: n n 3 số nguyên tố Vậy n 1 thỏa mãn Với n 2 2024 2023 2024 2023 Ta có: n n n n n n n n n n 2022 1 n n 2022 1 n n n 2022 n3 674 n3 n3 (n 1) n n n3 673 n3 673 672 n3 672 n3 1 n3 1 2024 2023 Do đó: n n chia hết cho n n 2024 2023 Mặt khác, với n 2 n n n n 2024 2023 Do n n hợp số 2024 2023 Tóm lại: n 1 n n số nguyên tố b) Giả sử phương trình cho có hai nghiệm ngun x1 , x2 Vì b nên x1 0 x2 0 x1 x2 a x1 x2 b Áp dụng định lý Viét ta có: Suy ra: a b x1 x2 x1 x2 1 a x1 x2 b x1 x2 x12 x22 x12 x22 x12 x22 2 2 Vì x1 , x2 số nguyên khác nên x1 1, x2 số nguyên x1 2, x2 2 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 2 Do đó: a b hợp số Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực dương thay đổi a, b thỏa mãn điều kiện a b 4 Tìm giá trị nhỏ 1 P a 2b a b biểu thức Lời giải 9 a b Ta có P a 2b (a b) 2 (a b) 2 ab ab ab Áp dụng bất đẳng thức AM GM , ta có: P (a b) Do ab (a b)2 ( a b) a 2b 16 144 144 P (a b ) ( a b) (a b) 9(a b)2 144 18 16 ( a b) Áp dụng bất đắng thức AM GM , ta có: P Do 7(a b) 9( a b) 144 7.4 18 16 16 ( a b) 16 P 5 Dấu "=" xảy a b 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 Trang