PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP BUÔN MA THUỘT ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 02 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN Ngày thi 02/3/2023 Thời gian làm bài 150 phút (K[.]
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP BN MA THUỘT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022-2023 MƠN: TỐN Ngày thi: 02/3/2023 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 02 trang) Câu (4,0 điểm) a Tính giá trị biểu thức A x 2021 x 2022 b Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng: Câu (4,5 điểm) x x x2 x x2 a Giải phương trình b Tìm nghiệm phương trình: 42 4 12 , biết 1 1 1 x yz y xz z xy xy yz zx x 2023 x xy y 7 x y P a2 b2 c2 a b c c Cho a 2, b 3, c 4 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức Câu (3 điểm) a Biển Chết hồ nước mặn trái đất Đây nơi hồn tồn bị bao bọc mà khơng có nước biển ngồi Điểm độc đáo biển Chết sở hữu độ mặn cao gấp 9, lần so với nước biển thường Đây điểm du lịch độc đáo, du khách không bị chìm tận hưởng cơng dụng muối biển sức khỏe (biết rằng, nước biển thường có độ mặn 3,5%) Thầy Phương lấy 500g nước biển Chết 400g nước biển thường đổ chung vào thùng Sau thầy cho thêm vào thùng 10 lít nước Hỏi 17 nước thùng nước lợ khơng? Biết nước lợ có độ mặn dao động từ 0,5% đến 30 %, xem lượng muối nước không đáng kể lít nước nặng kg b Gen B có 3600 liên kết Hidro số Nucleotit loại T lớn số Nucleotit khơng bổ sung với 300 Nucleotit Tính số Nucleotit loại gen B Biết rằng, để tính số lượng Nucleotit (A, T, G, X) phân tử ADN, ta áp dụng nguyên tắc bổ sung: “A liên kết với T liên kết Hidro G liên kết với X liên kết Hidro” %A = %T, %G = %X Tổng số Nucleotit gen B: N A T G X 2A 2G 2T 2X Câu (4,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH a Chứng minh CIJ CBH b Chứng minh CJH đồng dạng với HIB c Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD HC d Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH CH đạt giá trị lớn Câu (4 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a Chứng minh CM vng góc với EF b Chứng minh NB.DE a B , D , M thẳng hàng c Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp lần diện tích hình vng ABCD Hết Hướng dẫn giải Câu (4,0 điểm) a Tính giá trị biểu thức A x 2021 x 2022 b Cho x, y, z ba số dương Chứng minh rằng: Lời giải x 42 4 12 a Ta có Do A 12021 12022 2023 42 4 12 , biết 1 1 1 x yz y xz z xy xy yz zx x 2023 1 31 12023 1 1 1 x yz 2 x yz b Áp dụng bất đẳng thức CauChy, ta có 1 1 ; y xz y xz z xy z xy Tương tự: 1 1 1 2 x yz y xz z xy x yz y xz z xy Nên 2 Áp dụng bất đẳng thức A B C AB BC CA 1 x yz x yz 1 2 yz xz xy (1) xyz Ta có x y z xy xz xz (2) 1 1 x yz 1 1 x yz y xz z xy xyz xy yz zx Từ (1) (2) suy (đpcm) x yz y xz x y z “=” z xyz Dấu xảy Câu (4,5 điểm) x x x2 x x2 a Giải phương trình b Tìm nghiệm phương trình: x xy y 7 x y a2 b2 c2 P a b c c Cho a 2, b 3, c 4 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x x x2 x x2 a Giải phương trình ĐKXĐ: x 1 1 2x 2 1 x 2x x 1 x 2x x 2x x2 2x 2x x x 1 2 x 1 x x 1 x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 2x 1 x 2x 1 x x x (TM ) x x x x x x 1 x 1 x x x x Vì nên x Vậy nghiệm phương trình x xy y 7 x y b Tìm nghiệm phương trình: 2 2 x xy y 7 x y x xy y x 14 y 0 x y x y 14 y 0(1) x y 4.5 y 14 y 75 y 210 y 49 x k k (1) có nghiệm nguyên x có nghiệm nguyên 2 75 y 210 y 49 k 196 y k y 196 y 65 5 y 8 5 y 15 y 3 y 0;1;2;3 x 0(TM ) x x 0 x x 0 x (loai ) Nếu y 0 (1) trở thành ' Nếu y 1 (1) trở thành x x 0 khơng có nghiệm ngun, 46 x 1( N ) x x 0 x 1 x 0 x ( L) Nếu y 2 (1) trở thành khơng có nghiệm nguyên, x 1( N ) x x 0 x 1 x 3 0 x ( L) Nếu y 3 (1) trở thành khơng có nghiệm ngun, x; y 0;0 ; 1;2 ; 1;3 Vậy phương trình có nghiệm ngun a2 b2 c2 P a b c c Cho a 2, b 3, c 4 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức P a 1 b2 1 c 1 1 a b c 3a 8b 15c a b c a b c a b c a b 16 c 16 Ta có a b c 3.2 8.3 15.4 121 2 a b 16 c 16 12 a a a 2 b b 3 “=” 9 b c 4 c 16 c Dấu xảy a 2 b 3 121 MinP c 4 12 Vậy Câu (3 điểm) a Biển Chết hồ nước mặn trái đất Đây nơi hồn tồn bị bao bọc mà khơng có nước biển ngồi Điểm độc đáo biển Chết sở hữu độ mặn cao gấp 9, lần so với nước biển thường Đây điểm du lịch độc đáo, du khách không bị chìm tận hưởng cơng dụng muối biển sức khỏe (biết rằng, nước biển thường có độ mặn 3,5%) Thầy Phương lấy 500g nước biển Chết 400g nước biển thường đổ chung vào thùng Sau thầy cho thêm vào thùng 10 lít nước Hỏi 17 nước thùng nước lợ khơng? Biết nước lợ có độ mặn dao động từ 0,5% đến 30 %, xem lượng muối nước không đáng kể lít nước nặng kg b Gen B có 3600 liên kết Hidro số Nucleotit loại T lớn số Nucleotit khơng bổ sung với 300 Nucleotit Tính số Nucleotit loại gen B Biết rằng, để tính số lượng Nucleotit (A, T, G, X) phân tử ADN, ta áp dụng nguyên tắc bổ sung: “A liên kết với T liên kết Hidro G liên kết với X liên kết Hidro” %A = %T, %G = %X Tổng số Nucleotit gen B: N A T G X 2A 2G 2T 2X Lời giải m 9, 6.3,5%.500 3,5%.400 182 g a Tổng khối lượng muối có thùng là: m 500 400 10.1000 10900 g Tổng khối lượng muối nước có thùng là: m 182 182 T 100% 100% % m 10900 109 Độ mặn nước thùng là: 182 17 1 30 nên nước thùng nước lợ Vì 109 b Gọi số Nucleotit loại G x (cái), ( x N * ) Ta có số Nucleotit loại T x 300 Tổng số có 3600 liên kết nên ta có phương trình : x x 300 3600 x x 600 3600 x 3000 x 600 (thỏa mãn) Vậy tổng số có 600 Nucleotit loại G; 600 Nucleotit loại X; 900 Nucleotit loại T; 900 Nucleotit loại A Câu (4,5 điểm) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH a Chứng minh CIJ CBH b Chứng minh CJH đồng dạng với HIB c Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD HC d Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH CH đạt giá trị lớn Lời giải Gọi R bán kính (O) a Chứng minh CIJ CBH CBH ACH ( Cùng phụ HCB ) (1) CHD : Xét I J trung điểm CH DH nên IJ đường trung bình tam giác CHD nên IJ ACH IJ / /CD IJ / / AC C (2) CIJ CBH Từ (1) 92) suy ra: b Chứng minh CJH đồng dạng với HIB CJ Ta có: CJ đường trung bình tam giác ADH nên AH HI CJ HI CJ AH HI CH Mà CH ( Do I trung điểm CH) nên AH CH AH CH CJ CH AHC CHB CH HB HI HB Mặt khác: Lại có: CJ / / AB CH vng góc AB nên CH CJ nên JCH 90 CJ CH Xét CJH HIB có: JCH IHB , HI HB nên CJH đồng dạng HIB c Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD HC 0 Ta có: HIB HBI 90 mà HBI CHJ ( CJH đồng dạng HIB ) Suy ra: HIB CHJ 90 900 HEI vuông E IEJ Tứ giác CIEJ có: IEJ ICJ 90 nên tứ giác CIEJ nội tiếp đường tròn Suy ra: ECI EIJ hay ECH HJI Mà HJI HDC ( Vì IJ //CD) nên ECH HDC Xét HEC HCD có: ECH CDH ; CHD chung nên HEC đồng dạng HCD HE HC HC HE.HD HC HD d Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH CH đạt giá trị lớn 2 AH CH 2 AH CH AH CH 2 AC AH CH AC Ta có: Dấu “=” xảy AH =CH ACH vng cân H, suy BAC 45 0 Mà tam giác ABC vuông C nên AC ABcos45 2 Rcos45 R 2 Giá trị lớn AH +CH AC R 2 2 R Khi C giao điểm nửa (O;R) A; R Câu (4 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a N điểm tùy ý thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a Chứng minh CM vng góc với EF b Chứng minh NB.DE a B , D , M thẳng hàng c Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp lần diện tích hình vng ABCD Lời giải a Chứng minh CM vng góc với EF Xét hai tam giác vng: ECD FCB có ECD BCF (cùng phụ với ECB ); DC CB Suy ECD FCB (g.c.g) Suy EC EF FEC cân C Mà M trung điểm EF nên CM đường trung tuyến đường cao Suy CM vng góc với EF b Chứng minh NB.DE a B , D , M thẳng hàng + Vì ECD FCB (cmt) ED FB NCF vuông C, đường cao CB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có CB NB.BF NB.ED a + Do ABCD hình vng nên BD đường trung trực AC (1) EF CM CEF vuông C có CM đường trung tuyến EF AM AEF vng A có AM đường trung tuyến Suy AM CM M thuộc đường trung trực AC (2) Từ (1) (2) suy raB , D , M thẳng hàng (vì thuộc đường trung trực AC) c Tìm vị trí N AB cho diện tích tứ giác ACFE gấp lần diện tích hình vuông ABCD DE BF x x + Đặt 1 S ACFE S ACF S AEF AE CB AF= AE AD AB BF = x. a x 2 x a x 3a 6a a.x x 0 x 3a x 2a 0 x 2a Vì (Vì x, a x 3a ) + Vì x 2a nên DE 2 AD A trung điểm AD nên AE a AN AE a 1 N + Vì AE//BC, theo hệ định lí Thales, ta có NB BC a trung điểm AB Vậy N trung điểm AB S ACFE 3S ABCD S ACFE 3S ABCD Hết