02 hsg9 bà rịa vũng tàu 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu Câu 1 (3,0 điểm) 1 Rút gọn b[.]

Trang 1

Tỉnh Bà Rịa Vũng TàuCâu 1.(3,0 điểm) 1 Rút gọn biểu thức 1 2 2 : 1 211 1 1xAxxx xxxx                  với 0x12 So sánh hai số 33 2 2 10 6 3M     và 339 80 9 80N    

Câu 2.(3,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 1 2248 4103 3xxxx       2 121 ( 1, 0).2xyyxxyxy     Câu 3.(3,0 điểm) 1 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn 2x2y23xy3x3y11 0

2 Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn a bc4046 Chứng minh rằng

()()() 6

Pa b b c c aabcchia hết cho 14

Câu 4.(4,0 điểm)

1 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc parabol (P) y x2 có tung độ y  A 4 Tìm toạ độ các điểm B thuộc (P) sao cho tam giác OAB vuông tại B.

2 Cho các số , ,x y z thoả mãn 1x y z, ,3 và x2y2z2 2(x  yz 1) Chứng minh bất đẳn

Câu 5 (5,0 điểm)

Cho điểm M nằm ngoài (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MC của đường tròn (O) (A, C là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MBD của (O) sao cho B nằm giữa M và D, BC < BD.

1 Chứng minh MCBC

MD CD và AD.BC = AB.CD

2 Trên đoạn BD lấy điểm F sao cho  FADBAC Chứng minh hai tam giác ABF, ACD đồng dạng và AD.BC + AB.CD = AC.BD

3 Tiếp tuyến tại B của (O) cắt MC tại N và cắt đường thẳng CD tại P; ND cắt đường tròn (O) tại E Chứng minh A, E, B thẳng hàng

g thức 11 xyyzzx 3 52 Đẳng thức xảy ra khi nào?

9

Trang 2

Câu 6.(2,0 điểm) Cho điểm A nằm ngoài (O) Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn

(O) (B, C là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AED (E nằm giữa A và D) không đi qua O cắt BC ở F Hai tia CE và DB cắt nhau ở G, trên tia đối của tia BC lấy điểm H sao cho tứ giác CDHG nội tiếp đường tròn

1 1 1 2

AD AE  AF

2 Khi tam giác CDG có diện tích bằng 1, chứng minh

Trang 4

3339 80 39 80N    39 80 9 80 3N      N33 18 0NN    2 3 3 6 0NNN    3N 2 9 5 4 5 2 4 5 2 6 2N        M N M

Câu 2.(3,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 1 2248 4103 3xxxx       2 121 ( 1, 0).2xyyxxyxy     Lời giải 1 2248 4103 3xxxx       (ĐK: x 0) 42144 410 033xxxx       42144 10 40033xxxx    43210 120 14403xxxx   4310 120 144 0xxx    22120 14410 0xxxx    22144 1210 0xxxx           212 1210 24 0xxxx             12 1210 24xxxx             Mà 241.2424. 1 2.1212. 2 3. 8 8. 3 4. 6 6. 4Và x 12 x 12 10xx   

Trang 6

Do '> 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:x3  3 21;x4  3 21(tm) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là x1  2;x2 6;x3  3 21;x4  3 21(tm)

2   12 11 ( 1, 0).2 2xyyxxyxy     Đặt tx 1,t 0y  1 t 1 2t  22 1 0 1ttt      11 1 3xxyy    Từ  2 và  3 ta có 1 221 22xy   

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là 1 2; 1 2

2 2       Câu 3.(3,0 điểm) 1 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn 2x2y23xy3x3y11 0

2 Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc4046 Chứng minh rằng

()()() 6

Pa b b c c aabcchia hết cho 14

Trang 7

Trường hợp 3: 11 152 3 1 26xyxxyy          Trường hợp 4: 1 92 3 11 10xyxxyy          Vậy tất cả các cặp số nguyên (x, y) là (–9; 20), (15; –16), (15; – 26), ( –9; 10)

2 Vì a, b, c là các số nguyên thoả mãn abc4046nên abc2.7.289 14

( )( )( ) 6 ( )( )( ) ( )( ) 6

P  ab bc ca  abc abc bc ca c bc ca  abc

2

(abc b)( c c)( a) c a( bc) 7abc

        

Vì a bc4046nên ít nhất một trong ba số a, b, c là số nguyên chẵn

2

abc

  Vậy P(a b b c c a )(  )(  ) 6 abc14

Câu 4.(4,0 điểm)

1 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc parabol (P) y x2 có tung độ y  A 4 Tìm toạ độ các điểm B thuộc (P) sao cho tam giác OAB vuông tại B.

2 Cho các số , ,x y z thoả mãn 1x y z, ,3 và x2y2z2 2(x  yz 1) Chứng minh bất đẳng thức 11xyyzzx 3 52 Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải

1 Điểm A thuộc (P) nên có toạ độ A(– 2; – 4) hoặc A(2; –4)

2

( ) ( ; ); 2, 0

B P  B b bb  b

Khi A(– 2; – 4), do tam giác OAB vuông tại B ta có:

2223 3 2 0 ( 1)( 2 2) 0OA OB AB b  b   b b  b  1( )(1; 1)2( )bNBbL   

Khi A( 2; – 4), do tam giác OAB vuông tại B ta có:

222323 2 0 ( 1)( 2) 0OA OB AB b  b   b b  b 1( )( 1; 1)2( )bNBbL    

Vậy có hai điểm B(1; –1) và B(–1; –1)

Trang 8

 ( )

BAFCAD cmt

ABFACD (cùng chắn cung AD)

ABF  ∽ ACD (g-g) ABBFAB CDAC BFACCD    (5)

Xét tam giác ABC và tam giác AFD ta có:  

BACFAD

 

BCAFDA (cùng chắn cung AB)

ABC  ∽ AFD (g-g) ACBCAD BCAC FDADFD    (6) Từ (5) và (6) ta có:

AD.BC + AB.CD = AC.FD + AC.BF = AC(FD + BF) = AC.BD (7) (đpcm)

3 Từ (4) và (7) ta có: . 22AC BDACBCAD BCADBD   (8) Chứng minh được: BC 2CEBD DE (9) Chứng minh: PB2 = PC.PD 2222.PCPC PDPBCBPDPDPDBD        (10) Từ (9) và (10) ta có: 222PCCBCEPDBDDE          (11) Giả sử AE cắt CD tại Q

Xét tam giác QEC và tam giác QDA ta có: 

EQC chung; QECADC

Trang 9

Từ (11) và (12) PCQCPQPDQC   Vậy A, E, P thẳng hàng Câu 6 (2,0 điểm)

Cho điểm A nằm ngoài (O) Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AED (E nằm giữa A và D) không đi qua O cắt BC ở F Hai tia CE và DB cắt nhau ở G, trên tia đối của tia BC lấy điểm H sao cho tứ giác CDHG nội tiếp đường tròn

1 1 1 2

AD AE  AF

2 Khi tam giác CDG có diện tích bằng 1, chứng minh

224DBEDESBCLời giải 6.1 (1,0đ) Chứng minh : 1 1 2AD AE  AFChứng minh 2AD AE  AC (1)

Gọi I là giao điểm của OA và BC , J là trung điểm của DE

Trang 10

 ( )

BAFCAD cmt

ABFACD (cùng chắn cung AD)

ABF  ∽ ACD (g-g) ABBFAB CDAC BFACCD    (5)

Xét tam giác ABC và tam giác AFD ta có:  

BACFAD

 

BCAFDA (cùng chắn cung AB)

ABC  ∽ AFD (g-g) ACBCAD BCAC FDADFD    (6) Từ (5) và (6) ta có:

AD.BC + AB.CD = AC.FD + AC.BF = AC(FD + BF) = AC.BD (7) (đpcm)

3 Từ (4) và (7) ta có: . 22AC BDACBCAD BCADBD   (8) Chứng minh được: BC 2CEBD DE (9) Chứng minh: PB2 = PC.PD 2222.PCPC PDPBCBPDPDPDBD        (10) Từ (9) và (10) ta có: 222PCCBCEPDBDDE          (11) Giả sử AE cắt CD tại Q

Xét tam giác QEC và tam giác QDA ta có: 

EQC chung; QECADC

Trang 11

Từ (11) và (12) PCQCPQPDQC   Vậy A, E, P thẳng hàng Câu 6 (2,0 điểm)

Cho điểm A nằm ngoài (O) Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AED (E nằm giữa A và D) không đi qua O cắt BC ở F Hai tia CE và DB cắt nhau ở G, trên tia đối của tia BC lấy điểm H sao cho tứ giác CDHG nội tiếp đường tròn

1 1 1 2

AD AE  AF

2 Khi tam giác CDG có diện tích bằng 1, chứng minh

224DBEDESBCLời giải 6.1 (1,0đ) Chứng minh : 1 1 2AD AE  AFChứng minh 2AD AE  AC (1)

Gọi I là giao điểm của OA và BC , J là trung điểm của DE

Trang 12

AJAJAD AEAEJEADJDAD AE  1 1AEADAD AEADAE  6.2 (1,0đ) Chứng minh: 224DBEDESBCChứng minhDBE DHG22DBEDHGSDESDG 22DBEDHGDESSDG   (1)

Gọi h ,1 h lần lượt là chiều cao ứng với cạnh 2 DGcủa hai tam giác DHG,DCG