02 hsg9 bà rịa vũng tàu 22 23

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Học sinh giỏi 99 Câu Tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu (3,0 điểm)    x 2  A     :    x  x x  x  x    x  x   với  x 1 Rút gọn biểu thức 3 So sánh hai số M   2  10  N   80   Câu 80 (3,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: x 48  x 4  10     x x  x y  2  x ( x  1, y  0)  y  xy  2  Câu (3,0 điểm) 2 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thoả mãn x  y  xy  x  y  11 0 Cho a, b, c số nguyên thoả mãn a  b  c 4046 Chứng minh P (a  b)(b  c)(c  a )  6abc chia hết cho 14 Câu (4,0 điểm) y  Tìm Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc parabol (P) y  x có tung độ A toạ độ điểm B thuộc (P) cho tam giác OAB vuông B 2 2 Cho số x, y, z thoả mãn  x, y, z 3 x  y  z 2( x  y  z  1) Chứng minh bất đẳn Câu (5,0 điểm) Cho điểm M nằm (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MC đường tròn (O) (A, C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MBD (O) cho B nằm M D, BC < BD MC BC  Chứng minh MD CD AD.BC = AB.CD   Trên đoạn BD lấy điểm F cho FAD BAC Chứng minh hai tam giác ABF, ACD đồng dạng AD.BC + AB.CD = AC.BD Tiếp tuyến B (O) cắt MC N cắt đường thẳng CD P; ND cắt đường tròn (O) E Chứng minh A, E, B thẳng hàng CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 g thức Câu  11  xy  yz  zx  3  Đẳng thức xảy nào? (2,0 điểm) Cho điểm A nằm (O) Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AED (E nằm A D) không qua O cắt BC F Hai tia CE DB cắt G, tia đối tia BC lấy điểm H cho tứ giác CDHG nội tiếp đường tròn 1   AD AE AF Khi tam giác CDG có diện tích 1, chứng minh S DBE DE  BC -Hết - CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu (3,0 điểm)    x 2  A     :    x  x x  x  x    x  x   với  x 1 Rút gọn biểu thức 3 So sánh hai số M   2  10  N   80   80 Lời giải    x 2  A     :   x 1 x x  x  x    x  x    Rút gọn biểu thức với  x 1    x 2  A     :    x 1 x x  x  x    x  x    x1   1   :     x 1 x   x  1   x  x1 x 1        x  1 x    x 1     :  x 1 x1   x1 x 1          x  x 1   x1    :    x1 x 1  x 1 x1                       x  1  x  1     x1  x 1          x1 x1 x1 x  (với  x 1 ) 3 So sánh hai số M   2  10  N   80   80 M   2  10     21   1    1    1   2 N   80   80 CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  N3   80   N 9  80   80  80  N  N  N  18 0   N    N  N   0  N 3 N 9 5  5     M  N  M Câu (3,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: x 48  x 4  10     x x  x y  2  x ( x  1, y  0)  y  x y  2  Lời giải x 48  x 4  10     x  (ĐK: x 0 ) x  x  144  x 4  10    0 3x  x  x  144 10 x 40   0 x 3x x  10 x3  120 x  144  0 3x  x  10 x3  120 x  144 0  x  10 x  120 144  0 x x 144  12      x    10  x   0 x x    12  12     x   10  x    24 0 x x   12   12    x  10   24  x  x  x   Mà Và  24 1   24  24   1 2   12  12    3    8    4    6    x 12 12  x  10 x x CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Nên ta có trường hợp sau:  12 x 1  x   12 x   10  24  x  TH1: 12   x  x 24    x  12  10  x TH :  12  x  1  x   14  12 x   14  x (vơ lí)  12  x  x 24  24 9   x  12 9 x  (vơ lí) 12  x 2  x   12 x   10  12  x  TH3: 12   x  x 2    12 x    x (vơ lí) 12   x  x 12    x  12  10  x TH :   12  x  x 12  12 8   x  12 8 x  (vơ lí) 12   x  x 3   12 x   10   x  TH5:   x   x   12 3 x  2 12 2 x (vơ lí) 12   x  x 8    x  12  10  x TH :    x   x   12 8 x  7 12 7 x (vơ lí) 12   x  x 4    x  12  10  x TH7:    x   x   12 4 12 x  x 4 12 x 4 x  x  x  12 0   x    x   0  x  2(tm)  x  0      x  0  x2 6(tm) 12   x  x 6   12 x   10  x TH8:    x   x   12 6 12 x  x 6 12 x 6 x  x  x  12 0  a 1; b '  3; c 12  CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  ' b '2  ac ( 3)  1.( 12) 21   '  21  x 3  21; x4 3  Do  ' > nên phương trình có nghiệm phân biệt: Vậy phương trình cho có nghiệm  x y  2  x  y  x y  2  t Đặt  1   1 21(tm) x1  2; x2 6; x3 3  21; x4 3  21(tm) ( x  1, y  0)  2 x ,t  y t  2 t  t  2t  0  t 1  x 1  x  y 1 y  3  1  x   y  1 2     ta có  Từ  1  1  ;   2   Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (3,0 điểm) 2 Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thoả mãn x  y  xy  x  y  11 0 Cho a, b, c số nguyên thoả mãn a  b  c 4046 Chứng minh P (a  b)(b  c)(c  a)  6abc chia hết cho 14 Lời giải 2 x  y  3xy  3x  y  11 0  x ( x  y )  y ( x  y )  3( x  y )  11 0  ( x  y )(2 x  y  3)  11 Vì x, y  Z  x  y x  y   Ư(11) Ta có trường hợp sau: CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  x  y 11   Trường hợp 1: 2 x  y    x    y 20  x  y    Trường hợp 2: 2 x  y  11  x 15   y  16  x  y  11   x  y    Trường hợp 3:  x 15   y  26  x  y 1   x  y   11  Trường hợp 4:  x    y 10 Vậy tất cặp số nguyên (x, y) (–9; 20), (15; –16), (15; – 26), ( –9; 10) Vì a, b, c số nguyên thoả mãn a  b  c 4046 nên a  b  c 2.7.28914 P (a  b)(b  c )(c  a )  6abc (a  b  c )(b  c )(c  a )  c (b  c )(c  a )  6abc ( a  b  c)(b  c)(c  a )  c (a  b  c)  abc Vì a  b  c 4046 nên ba số a, b, c số nguyên chẵn  abc 2 Vậy P (a  b)(b  c)(c  a )  6abc 14 Câu (4,0 điểm) y  Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A thuộc parabol (P) y  x có tung độ A Tìm toạ độ điểm B thuộc (P) cho tam giác OAB vuông B 2 2 Cho số x, y , z thoả mãn  x, y , z 3 x  y  z 2( x  y  z  1) Chứng minh bất đẳng thức  11  xy  yz  zx    Đẳng thức xảy nào? Lời giải Điểm A thuộc (P) nên có toạ độ A(– 2; – 4) A(2; –4) B  ( P)  B(b;  b ); b 2, b 0 Khi A(– 2; – 4), tam giác OAB vuông B ta có: OA2 OB  AB  b3  3b  0  (b  1)(b  b  2) 0 b 1( N )   B (1;  1) b  2( L) Khi A( 2; – 4), tam giác OAB vuông B ta có: OA2 OB  AB  b3  3b  0  (b  1)(b  b  2) 0 b  1( N )   B( 1;  1) b 2( L ) Vậy có hai điểm B(1; –1) B(–1; –1) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023  ( x  y )  ( y  z )2  ( z  x )  0  x  y  z xy  yz  zx 2 Ta có:  3( xy  yz  zx) ( x  y  z )  xy  yz  xz  ( x  y  z ) 2 2 2 Ta lại có: 2( xy  yz  xz ) 2( x  y  z )  ( x  y  z ) 3( x  y  z ) Đặt a = x + y + z ; b = xy + yz + xz 2 2 Ta có: x  y  z 2( x  y  z  1)  a 6(a  1)  a  6a 6  (a  3) 15 Mà x  y  z 3  a  0  a   15  a 3  15 1 b  a  b  (3  15)  b (  5) 3 Mặt khác:  x  y z  x  y  z 1   2 Dấu = xảy  x  y  z 2( x  y  z  1) * Ta có: ( x  1)( y  1)( z  1)  (3  x)(3  y )(3  z ) 0  xy  yz  xz 4( x  y  z )  13  b 4a  13 x  y  z 2( x  y  z  1)  ( x  y  z )  2( x  y  z )  2( xy  yz  xz )  a  2a  2b 2 Vì b 4a  13  a  2a  8a  26  a  10a  24  ( a  5) 1 (1) Ta có: ( x  1)( x  3) 0  ( y  1)( y  3) 0 ( z  1)( z  3) 0  11  x  y  z 4( x  y  z )   2( x  y  z  1)   Từ (1) a 6  b 4a  13 4.6  13 11 Dấu = xảy ( x; y; z ) hoán vị (1; 2; 3) Câu (5,0 điểm) Cho điểm M nằm (O) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MC đường tròn (O) (A, C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MBD (O) cho B nằm M D, BC < BD MC BC  Chứng minh MD CD AD.BC = AB.CD CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023   Trên đoạn BD lấy điểm F cho FAD BAC Chứng minh hai tam giác ABF, ACD đồng dạng AD.BC + AB.CD = AC.BD Tiếp tuyến B (O) cắt MC N cắt đường thẳng CD P; ND cắt đường tròn (O) E Chứng minh A, E, B thẳng hàng Lời giải Xét tam giác MDC ta có: tam giác MCB  CMD chung   MCB MDC (cùng chắn cung BC)  MCB ∽ MDC (g-g)  MC BC  MD CD (1) Chứng minh: AD.BC = AB.CD Xét tam giác MAB tam giác MDA ta có: AMD chung   MAB MDA (cùng chắn cung AB)  MAB ∽ MDA (g-g)  MA AB  MD AD (2) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Mà MA = MC (3) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) BC AB   AD.BC  AB.CD Từ (1), (2) (3) ta có: CD AD (4) (đpcm)         Ta có: BAF BAC  CAF ; CAD FAD  CAF ; BAC FAD    BAF CAD Xét tam giác ABF tam giác ACD ta có:   BAF CAD (cmt ) ABF  ACD (cùng chắn cung AD)  ABF ∽ ACD (g-g)  AB BF   AB.CD  AC.BF AC CD (5) Xét tam giác ABC tam giác AFD ta có:   BAC FAD   BCA FDA (cùng chắn cung AB)  ABC ∽ AFD (g-g)  AC BC   AD.BC  AC.FD AD FD (6) Từ (5) (6) ta có: AD.BC + AB.CD = AC.FD + AC.BF = AC(FD + BF) = AC.BD (7) (đpcm) Từ (4) (7) ta có: AD.BC  AC.BD AC BC   AD BD (8) BC 2CE  Chứng minh được: BD DE (9) Chứng minh: PB2 = PC.PD PC PC.PD PB  CB       PD PD PD  BD  (10) 2 PC  CB   2CE      PD BD    DE  (11) Từ (9) (10) ta có: Giả sử AE cắt CD Q Xét tam giác QEC tam giác QDA ta có: CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 10  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023    EQC chung; QEC  ADC  QEC ∽ QDA (g-g) Mà QDE ∽ QAC   QC EC  QA AD QD DE  QA AC QC EC AC EC BC EC EC  EC        QD DE AD DE BD DE DE  DE  (12)  Từ (11) (12) PC QC   P Q PD QC Vậy A, E, P thẳng hàng Câu (2,0 điểm) Cho điểm A nằm (O) Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Vẽ cát tuyến AED (E nằm A D) không qua O cắt BC F Hai tia CE DB cắt G, tia đối tia BC lấy điểm H cho tứ giác CDHG nội tiếp đường tròn 1   AD AE AF Khi tam giác CDG có diện tích 1, chứng minh S DBE DE  BC Lời giải 6.1 (1,0đ) CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 11  Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam CLB Tốn THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022- 2023 Chứng minh : 1   AD AE AF Chứng minh AD AE  AC (1) Gọi I giao điểm OA BC , J trung điểm DE Chứng minh AF AJ  AI AO  AC (2) Từ (1) (2) suy AF AJ  AD AE   2AJ  AF AD AE AJ  AJ AE  JE  AD  JD AE  AD 1     AD AE AD AE AD AE AD AE 6.2 (1,0đ) Chứng minh: S DBE  DE BC Chứng minh DBE DHG  S DBE DE DE  S DHG  S DBE  S DHG DG DG (1) Gọi h1 , h2 chiều cao ứng với cạnh DG hai tam giác DHG , DCG S DHG h1 BH BH BH    S DHG  S DCG  S DCG h2 BC BC BC (2) Từ (1), (2) suy S DBE  DE BH  DG BC (3) Chứng minh BC BH BD BG  DG BD  BG Từ (3), (4) ta có 1 1    2 DG  BD  BG  BD BG 4BC BH S DBE  (4) DE BH DE   BC BH BC BC CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268  Trang 12 