Phương trình hàm một biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THẢO NHI PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2023 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THẢO NHI PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn TS TÔN THẤT TÚ Đà Nẵng - 2023 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Kiến thức sở 1.1 Khái niệm hàm biến 1.2 Hàm đơn điệu 1.3 Hàm tuần hoàn 1.4 Hàm liên tục 1.4.1 Các khái niệm 1.4.2 Hàm số liên tục đoạn 1.4.3 Hàm số liên tục 1.5 Hàm khả vi 4 6 Một số phương trình hàm biến 10 2.1 Bài tốn tìm đa thức 10 2.2 Phương trình hàm dạng f (ax + b) = cf (x) + d 15 2.3 Phương trình hàm dạng f (x) = f (g(x)) 20 2.4 Phương trình hàm dạng af (x) + bf (g(x)) = h(x) 25 2.4.1 Sử dụng dãy tuần hoàn 26 2.4.2 Sử dụng dãy hội tụ 29 2.4.3 Sử dụng dãy truy hồi tuyến tính 32 2.4.4 Sử dụng dãy số phương trình hàm đa thức số toán khác 33 2.5 Tính ổn định phương trình dạng f (x) = pf (x − 1) − qf (x − 2) 35 2.5.1 Nghiệm phương trình hàm 35 2.5.2 Tính ổn định 36 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình hàm phương trình mà đối tượng cần tìm nhiều hàm số Giải phương trình hàm tức tìm hàm số chưa biết Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng lý thuyết số giải tích tốn học Các dạng tốn phương trình hàm phong phú, bao gồm phương trình tuyến tính phương trình phi tuyến tính, phương trình hàm ẩn nhiều ẩn Ứng dụng học sinh, sinh viên, phương trình hàm lĩnh vực hay khó tốn sơ cấp, thường xuyên xuất kỳ thi Olympic toán học Quốc gia, Khu vực Quốc tế Các tốn phương trình hàm thường xếp vào lớp tốn khó kỳ thi Để thực giải toán này, điều quan trọng trước tiên phải nắm vững tính chất hàm số, số phương trình hàm bản, phương pháp giải có vận dụng thích hợp Với mong muốn tiếp cận với tốn kì thi Olympic Tốn, đặc biệt dạng phương trình hàm ẩn, tác giả chọn đề tài «Phương trình hàm xác định quan hệ hàm biến» làm đề tài nghiên cứu khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Thứ là, hệ thống lại số kiến thức hàm số Thứ hai là, hệ thống phân loại số dạng toán thường gặp phương pháp giải tốn phương trình hàm với nhiều ví dụ minh họa có lời giải, nhận xét bình luận Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo phương trình hàm vấn đề liên quan trao đổi với giáo viên hướng dẫn, từ hệ thống kiến thức, phân loại dạng toán phương pháp giải thường gặp Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức giải tích phương trình hàm Thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến phương trình hàm xác định quan hệ hàm biến tính ổn định phương trình hàm dạng f (x) = pf (x − 1) − qf (x − 2) Bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa kết mở rộng số kết tác giả trước Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hồn chỉnh đề tài Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số phương trình hàm xác định quan hệ hàm biến Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài số phương trình hàm xác định quan hệ hàm biến giải phép biến đổi đại số giải tích Ý nghĩa khoa học nghiên cứu Khóa luận trình bày cách hệ thống số dạng tốn phương trình hàm xác định quan hệ hàm biến Khóa luận tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh phổ thơng u tốn, sinh viên ngành Tốn quan tâm đến chủ đề phương trình hàm Tổng quan cấu trúc báo cáo Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Trình bày số kiến thức sở hàm số bao gồm khái niệm hàm biến, hàm đơn điệu, hàm tuần hoàn, hàm liên tục, hàm khả vi nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2: Trình bày số phương trình hàm quan hệ hàm biến gồm dạng toán tìm đa thức, phương trình hàm dạng f (ax + b) = cf (x) + d, phương trình hàm dạng f (x) = f (g(x)), phương trình hàm dạng af (x) + bf (g(x)) = h(x) tính ổn định phương trình hàm dạng f (x) = pf (x − 1) − qf (x − 2) CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khái niệm hàm biến Định nghĩa 1.1 Cho ∅ = ̸ X, Y ⊂ R Quy tắc f tương ứng số x ∈ X với số y ∈ Y gọi hàm số Ta gọi ◦ y giá trị f x viết y = f (x); ◦ X miền xác định f , ký hiệu Df ; ◦ f (X) tập giá trị f (x) x thay đổi Df , miền giá trị f , ký hiệu Rf ; ◦ x biến độc lập y biến phụ thuộc Một số hàm đặc biệt: ◦ Hàm f gọi hàm chẵn f (−x) = f (x) với x thuộc miền xác định f ◦ Hàm f gọi hàm lẻ f (−x) = −f (x) với x thuộc miền xác định f 1.2 Hàm đơn điệu Định nghĩa 1.2 Cho K khoảng (hay đoạn, nửa khoảng) R f hàm số xác định K (1) Hàm số f gọi đồng biến (hay tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) (2) Hàm số f gọi nghịch biến (hay giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≥ f (x2 ) (3) Hàm số f gọi tăng nghiêm ngặt K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) (4)Hàm số f gọi giảm nghiêm ngặt K ∀x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) (5) Ta nói hàm đơn điệu hàm số tăng giảm (6) Ta nói hàm đơn điệu nghiêm ngặt hàm số tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt Nhận xét 1.1 Hàm số không giảm nghĩa hàm số tăng tăng khơng nghiêm ngặt, hàm số khơng tăng nghĩa hàm số giảm giảm khơng nghiêm ngặt Nhận xét 1.2 i) Một hàm số không đơn điệu ii) Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đơn ánh, điều ngược lại không Định lý 1.1 Mọi hàm đơn điệu thực khoảng đơn ánh khoảng Mệnh đề 1.1 1) Nếu f, g : X → R hai ánh xạ tăng f + g tăng 2) Nếu f : X → R tăng ánh xạ −f : X → R f : X → R giảm, với X = {x ∈ R : −x ∈ X} f :X→R x 7→ f (−x) 3) Nếu f : X → R λ ∈ R+ λf tăng 4) Nếu f, g : X → R tăng không âm f g tăng 5) Nếu f : X → R g : Y → R tăng f (X) ⊂ Y ánh xạ hợp h : X → R tăng (với h(x) = g(f (x))) Ta phát biểu tính chất tương tự ánh xạ giảm Nhận xét 1.3 Nếu f : X → R tăng g : X → R giảm khơng thể kết luận f + g đơn điệu 1.3 Hàm tuần hoàn Định nghĩa 1.3 1) Cho T ∈ R∗+ , ta nói f T-tuần hoàn khi: ( x+T ∈X , ∀x ∈ X f (x + T ) = f (x) Ta nói T chu kì f 2) Ta nói f tuần hồn tồn T ∈ R∗+ cho f T- tuần hoàn với T ∈ R∗+ Nhận xét 1.4 1) Nếu f T- tuần hoàn với n ∈ R∗ , f nT- tuần hoàn 2) Nếu f tuần hoàn T1 , T2 chu kì f T1 + T2 chu kì f : x + T ∈ X, f (x + (T1 + T2 )) = f ((x + T1 ) + T2 ) = f (x + T1 ) = f (x) 1.4 Hàm liên tục 1.4.1 Các khái niệm Định nghĩa 1.4 Cho f : X → Y, a ∈ X Ta có định nghĩa sau • f gọi liên tục a với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X , |x − a| < δ |f (x) − f (a)| < ε • f gọi liên tục X f liên tục a ∈ X •Nếu f khơng liên tục a ta gọi a điểm gián đoạn f Nhận xét 1.5 a) Từ định nghĩa trên, dễ thấy a điểm lập X hàm số f liên tục a Thật vậy, a điểm lập X nên ta có lân cận U = (a − ε; a + ε) a cho U ∩ X = {a} Khi đó, với x ∈ X , |x − a| < δ với ε > b) Nếu a ∈ X điểm giới hạn X ta có f liên tục a limf (x) = f (a) x→a Ví dụ 1.1 Các hàm hằng, hàm đồng (f (x) = x) xác định R hàm số liên tục điểm R chúng liên tục R Ta có đặc trưng quan trọng tính liên tục hàm số thơng qua dãy hội tụ sau Định lý 1.2 Hàm số f : X → Y liên tục a ∈ X ứng với dãy (xn ) ⊂ X, (xn ) hội tụ a dãy (f (xn )) hội tụ f (a) Định lý 1.3 Cho hàm số f, g : X → Y a) Nếu f g liên tục a ∈ X hàm |f | , f + g, f g fg (nếu có lân cận U a cho g(x) ̸= 0, ∀x ∈ U ∩ X )cũng liên tục a b) (Tính liên tục hàm hợp) Xét hàm số f : X → Y g : Y → Z Nếu f liên tục a ∈ X g liên tục f (a) ∈ Y g ◦ f liên tục a Định nghĩa 1.5 Một hàm số gọi hàm số sơ cấp biểu diễn số hữu hạn hàm số sơ cấp (là hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit, hàm lượng giác lượng giác ngược) thông qua hữu hạn phép toán số học phép hợp thành Định lý 1.4 Mọi hàm số sơ cấp liên tục miền xác định 1.4.2 Hàm số liên tục đoạn Định nghĩa 1.6 Hàm số f gọi liên tục đoạn [a; b] liên tục x ∈ (a; b)và liên tục phải a, ( lim+ f (x) = f (a)), liên tục trái x→a b, ( lim− f (x) = f (b)) x→b Hàm số liên tục đoạn [a; b] có tính chất đặc biệt Định lý 1.5 (Định lý giá trị cực biên Weierstrass) Cho f hàm số liên tục đoạn Khi đó, ta có : a) f hàm số bị chặn [a; b], tức tồn số thực m, M cho m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a; b] b) f đạt giá trị lớn nhỏ [a; b] Định lý 1.6 (Định lý giá trị trung gian) Cho f hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử u số nằm f (a) f (b) (tức f (a) < u < f (b) f (a) > u > f (b)) Khi tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = u Định lý giá trị trung gian có hệ quan trọng sau Hệ 1.1 f hàm số liên tục đoạn [a; b] Nếu f (a)f (b) < tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = 0, tức phương trình f (x) = có nghiệm thuộc (a; b) Hệ 1.2 f hàm số liên tục đoạn [a; b] Nếu f ([a; b]) = [m, M ] m M giá trị nhỏ giá trị lớn f đoạn [a; b] Ví dụ 1.2 Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng: với số thực a > 0, tồn số thực b > cho bn = a (ta gọi số thực b √ bậc n a, kí hiệu n a) 1.4.3 Hàm số liên tục Định nghĩa 1.7 Cho hàm số f : X → Y.f gọi liên tục X với ε > 0, tồn δ > cho với x, x′ ∈ X, |x − x′ | < δ |f (x) − f (x′ )| < ε Từ định nghĩa ta thấy f liên tục X f liên tục X Ngồi ra, khái niệm liên tục phát biểu thông qua dãy số sau Định lý 1.7 Cho hàm số f liên tục X với dãy (xn ), (x′n ) ∈ X, |xn − x′n | → |f (xn ) − f (x′n )| → Định lý 1.8 (Định lý Cantor) Nếu f liên tục [a; b] f liên tục [a; b] 1.5 Hàm khả vi Định nghĩa 1.8 Cho hàm số f : (a; b) → R Ta nói f khả vi x0 ∈ (a; b) f (x0 + h) − f (x0 ) biểu thức có giới hạn hữu hạn h → Giá trị h giới hạn gọi đạo hàm f x0 , ký hiệu f ′ (x0 ), tức f (x0 + h) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) = lim h→0 h→0 h x − x0 f ′ (x0 ) = lim Nếu hàm số f khả vi x0 ∈ (a; b) ta nói f khả vi (a; b) Nhận xét 1.6 1) Theo định nghĩa ta suy f khả vi x0 f liên tục x0 2) Giả sử f khả vi x0 Khi ta viết f (x0 + h) = f (x0 ) + hf ′ (x0 ) + hϕ(h), ϕ(h) → h → Ánh xạ tuyến tính dfx0 : h 7→ hf ′ (x0 ) gọi vi phân f x0 , nghĩa dfx0 = hf ′ (x0 ) (*) Mặt khác hàm số đồng f (x) = x có vi phân dx(h) = h nên ta thường viết đẳng thức (*) dfx0 (h) = f ′ (x0 )dx(h) hay vắn tắt dfx0 = f ′ (x0 )dx Trong trường hợp f khả vi (a; b) ta gọi df = f ′ (x)dx vi phân f (a; b) 3)Tính khả vi khái niệm có tính địa phương, nghĩa hàm f có khả vi x0 hay khơng phụ thuộc vào giá trị hàm lân cận x0 Từ ta mở rộng khái niệm khả vi cho hàm số f : D → R với D tập mở R, nghĩa với x ∈ D có lân cận x nằm D Ta có tính chất sau cho hàm số khả vi (D hiểu tập mở) Định lý 1.9 Cho f, g : D → R hàm số khả vi D Khi hàm số f + g, kf (k ∈ R), f g (nếu có thêm g(x) ̸= với f x ∈ D), khả vi D Hơn ta có với x ∈ D g a) (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x) b) (kf )′ (x) = kf ′ (x) ′ c) (f = f ′ (x)g(x) + f (x)g ′ (x)  g)(x) f ′ f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x) d) (x) = g g (x) + 2xn + 2b + b + 8xn + 2bxn − − xn − 8b − 8bxn − = |xn+1 − b| = 4+x