Một số loại phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN VĂN HÒA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HÓA, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC NGUYỄN VĂN HỊA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Đặng Quang Á THANH HÓA, NĂM 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Văn Hòa ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo giảng dạy chương trình học lớp cao học Phương pháp toán sơ cấp K8 trường đại học Hồng Đức, khóa 2015-2017, người truyền đạt cho tơi kiến thức hữu ích chun ngành Phương pháp tốn sơ cấp làm sở cho thực tốt luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TS Đặng Quang Á người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tác giả suốt trình thực luận văn, hồn cảnh xa xơi thầy nhiệt tình thơng qua phương tiện liên lạc để giúp tơi hồn thành tốt luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy giáo, cô giáo làm công tác phản biện đọc kỹ luận văn cho ý kiến quý giá Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo, cô giáo khoa Khoa học Tự nhiên trường đại học Hồng Đức tạo điều kiện giúp đỡ tận tình suốt q trình tơi học tập khoa, trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Thanh Hóa, tháng năm 2017 Học viên Nguyễn Văn Hòa iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 Chương Phương trình hàm Cauchy 1.1 1.2 Một số loại phương trình hàm Cauchy 1.1.1 Phương trình hàm Cauchy cộng tính 1.1.2 Phương trình hàm Cauchy mũ 1.1.3 Phương trinh hàm Cauchy logarit 1.1.4 Phương trình hàm Cauchy nhân tính 10 1.1.5 Phương trình hàm Cauchy cộng tính nhiều biến số 13 1.1.6 Phương trình hàm Cauchy nhân tính nhiều biến số 15 Bài tốn áp dụng 17 1.2.1 Bài toán 17 1.2.2 Áp dụng vào hàm số chuyển đổi đại lượng trung bình 21 1.2.3 Áp dụng giải số đề thi học sinh giỏi 23 Chương Phương trình hàm d’Alembert 2.1 2.2 Nghiệm phương trình d’Alembert 28 2.1.1 Nghiệm liên tục phương trình hàm d’Alembert 28 2.1.2 Nghiệm tổng quát phương trình d’Alembert 33 2.1.3 Đặc trưng hàm Cosin 40 Bài toán áp dụng 42 Chương Phương trình hàm lượng giác 3.1 28 48 Một số định nghĩa 48 iv 3.2 3.3 Nghiệm phương trình hàm lượng giác 49 3.2.1 Nghiệm phương trình hàm Cosin-Sin 49 3.2.2 Nghiệm phương trình hàm Sin - Cosin 54 3.2.3 Nghiệm Phương trình hàm Sin 57 Bài toán áp dụng 60 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các phương trình hàm lĩnh vực tốn học đại Nguồn gốc phương trình hàm bắt đầu với định nghĩa đại hàm số Từ năm 1747 tới năm 1750, d’Alembert công bố ba báo phương trình hàm Đây ba báo lĩnh vực Sự lớn mạnh đáng kể phương trình hàm kích thích luật hình bình hành Năm 1769, d’Alembert đưa tốn tìm lời giải phương trình hàm f (x+y)+f (x−y) = 2f (x)f (y) Nhiều nhà toán học tiếng bao gồm N.H Abel, J Bolyai, A.L Cauchy, J d’Alembert, S D Poisson nghiên cứu phương trình hàm đơn giản tự nhiên Phương trình hàm khai thác chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi phổ thơng trung học Các tốn phương trình hàm thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp nước Hiện nước ta có số sách tham khảo cho học sinh phổ thơng có đề cập đến phương trình hàm Tuy nhiên nguồn tài liệu nước ngồi phương trình hàm nhiều viết nhà tốn học nhà sư phạm lớn Chính thế, tơi cho việc tìm hiểu khai thác tài liệu quý giá mặt lý thuyết ứng dụng để phục vụ nâng cao trình độ chun mơn cần thiết Vì tơi chọn nghiên cứu đề tài "Một số loại phương trình hàm" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số loại phương trình hàm như: Một số loại phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm d’Alembert, phương trình hàm lượng giác từ tài liệu nước, nước Nhiệm vụ đề tài - Tổng hợp kiến thức sở số loại phương trình hàm phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm d’Alembert, phương trình hàm lượng giác - Đưa tập áp dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Một số loại phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm d’Alembert, phương trình hàm lượng giác - Phạm vi nghiên cứu: Sử dụng tài liệu nước nước hệ thống, chứng minh định lý, đưa toán áp dụng ba loại phương trình nghiên cứu luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn Luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên, học viên cao học bạn học sinh việc tìm hiểu số loại phương trình hàm Cấu trúc luận văn Ngồi lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương Phương trình hàm Cauchy Chương trình bày: Một số loại phương trình hàm Cauchy đưa tốn áp dụng phương trình hàm Cauchy Chương Phương trình hàm d’Alembert, nghiệm liên tục nghiệm tổng qt phương trình hàm d’Alembert, tốn áp dụng Chương Phương trình hàm lượng giác, số định nghĩa, nghiệm phương trình lượng giác tốn áp dụng Trong luận văn Định ngĩa, Định lý, Tính chất Hệ sử dụng tài liệu [5] Bài toán áp dụng sử dụng chủ yếu tài liệu [1], [2], tham khảo thêm tài liệu [6], [3], [4] Chương Phương trình hàm Cauchy 1.1 Một số loại phương trình hàm Cauchy Chương trình bày định nghĩa, tính chất liên quan đến phương trình hàm Cauchy tốn ứng dụng 1.1.1 Phương trình hàm Cauchy cộng tính Cho f : R → R, R tập hợp số thực, f hàm thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) với x, y ∈ R Phương trình hàm gọi phương trình hàm Cauchy cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : R → R gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính f (x + y) = f (x) + f (y) với x, y ∈ R Định nghĩa 1.1.2 Một hàm f : R → R gọi hàm tuyến tính có dạng f (x) = cx c số tùy ý Định nghĩa 1.1.3 Một hàm f : R → R gọi hàm hữu tỉ f (rx) = rf (x) (1.2) với x ∈ R số hữu tỉ r Định lý 1.1.4 Cho f : R → R nghiệm phương trình Cauchy cộng tính Khi f hửu tỉ Hơn nữa, f tuyến tính tập số hữu tỉ Q Chứng minh Thế x = y = vào (1.1) ta thấy f (0) = Thế y = −x vào (1.1) sau dùng f (0) = 0, ta thấy f hàm lẻ R, nghĩa f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R (1.3) Tiếp theo, ta chứng minh nghiệm phương trình Cauchy cộng tính hữu tỉ Với x ∈ R, ta có f (2x) = f (x + x) = f (x) + f (x) = 2f (x) Như f (3x) = f (2x + x) = f (2x) + f (x) = 2f (x) + f (x) = 3f (x) Bằng phép quy nạp ta có f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z+ (1.4) Nếu n ∈ Z− −n ∈ Z+ , lúc từ (1.3) (1.4) ta f (nx) = f (−(−n)x) = −f (−nx) = −(−n)f (x) = nf (x) Như ta f (nx) = nf (x), ∀n ∈ Z, x ∈ R Tiếp theo, lấy r số hữu tỉ tùy ý, lúc ta viết r = (1.5) k , k ∈ Z, l ∈ N∗ l 51 cho ta f (x − y) = f (x) f (y) + c2 Thay y −y dùng việc f hàm chẵn, ta thấy f (x + y) = f (x − y) Nghĩa f số, trường hợp không xãy Vậy g không số Vì g khơng số nên chọn y0 cho g(y0 ) 6= Khi từ (3.12) cho y = y0 , ta g(x) = c g(−x), (3.13) đây, c số khác khơng Khi đó, g(x) = c2 g(x) Vì g khác số nên c2 = 1, nghĩa c = ±1 Ta chứng minh c = −1 Giả sử điều khơng Khi c = từ (3.13), ta có g(x) = g(−x) (3.14) Nghĩa là, g hàm chẵn Vì vậy, thay y −y vào (3.1), ta f (x + y) = f (x) f (−y) + g(x) g(−y) = f (x) f (y) + g(x) g(y) = f (x − y) Nghĩa f (x + y) = f (x − y) với x, y ∈ R Khi f (u) = f (v) (3.15) với u, v ∈ R Vì (3.15) suy f (u) = c, ∀u ∈ R, c số Đây điều mâu thuẫn f khác số Vậy c = −1 g(x) = −g(−x) (3.16) với x ∈ R Vậy g hàm lẻ Cuối cùng, y −y vào (3.1) sử dụng f chẵn g lẻ, ta f (x + y) = f (x) f (−y) + g(x) g(−y) = f (x) f (y) − g(x) g(y) 52 Vì ta có f (x + y) = f (x) f (y) − g(x) g(y) (3.17) Cộng (3.1) (3.17), ta f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) f (y) (DE) với x, y ∈ R Nghĩa f thỏa mãn (DE) Bây theo Định lý 2.1.11, hàm f có cơng thức f (x) = E(x) + E ∗ (x) (3.18) với x ∈ R, E hàm số mũ khác không Thay giá trị f vào (3.1), ta E(x) − E ∗ (x) E(y) − E ∗ y) · = g(x) g(y) − 2 Vì g hàm Nên ta suy g(x) = k E(x) − E ∗ (x) với k = −1 Vậy (3.6) Ta có điều phải chứng minh Nhận xét 3.2.3 Từ phát biểu định lý suy f (x)2 + g(x)2 = (3.19) Định lý sau giới thiệu nghiệm liên tục phương trình hàm (3.1) Định lý 3.2.4 Nghiệm liên tục phương trình hàm f (x − y) = f (x) f (y) + g(x) g(y) (3.1) cho f (x) = c p g(x) = c(1 − c) ) f (x) = c p g(x) = − c(1 − c) (3.20) ) (3.21) 53 f (x) = cos (αx) g(x) = ±sin (αx) ) (3.22) α c số tùy ý Chứng minh Chúng ta đạt (3.20) (3.21) dựa vào Nhận xét 3.2.1 Vì f liên tục thỏa mãn phương trình f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) f (y), nghiệm (khác số) f cho f (x) = cos (αx) (3.23) f (x) = cosh (βx) (3.24) Nếu f (x) = cos (αx) theo (3.19) ta có g(x)2 = − cos2 (αx) hay g(x) = ± sin (αx), (3.25) điều suy từ (3.6) Vậy nên (3.23) (3.25) cho ta nghiệm (3.22) Nếu f (x) = cosh (βx) ta thấy |f (x)| = |cosh (βx)| ≥ Với x 6= 0, |f (x)| > β 6= 0, nói cách khác f hàm Tuy nhiên, theo (3.19), ta biết |f (x)| ≤ với x ∈ R Vậy nên f (x) = cosh (βx) không nghiệm (3.1) Vậy định lý chứng minh Nhận xét 3.2.5 Từ (3.6) tính liên tục E cho ta (3.22) 54 3.2.2 Nghiệm phương trình hàm Sin - Cosin Xét phương trình hàm sin-cosin f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x) (3.2) với x, y ∈ R Sau ta xác định nghiệm tổng quát phương trình hàm mà khơng có điều kiện quy hàm chưa biết f g Định lý 3.2.6 Cho f, g : R → C thỏa mãn phương trình hàm (3.2) với x, y ∈ R Khi f g có dạng f (x) g = tùy ý ) f (x) = A(x)E(x) g(x) = E(x), (3.26) ) E1 (x) − E2 (x) f (x) = 2α E1 (x) + E2 (x) g(x) = , (3.27)    (3.28)   E1 , E2 : R → C∗ hàm số mũ, A : R → C hàm cộng tính, α số phức khác không Chứng minh Dễ dàng kiểm tra f = g tùy ý nghiệm phương trình hàm (3.2) Vậy từ trở ta giả sử f 6= Tiếp theo ta tính f (x + y + z) = f (x) g(y + z) + f (y + z) g(x) = f (x) g(y + z) + f (y) g(z) g(x) + f (z) g(y) g(x) (3.29) f (x + y + z) = f (x + y) g(z) + f (z) g(x + y) = f (x) g(y) g(z) + f (y) g(x) g(z) + f (z) g(x + y) (3.30) 55 Từ (3.29) (3.30), ta thu f (x) [g(y + z) − g(y) g(z)] = f (z) [g(x + y) − g(x) g(y)] (3.31) Vì f 6= nên tồn z0 ∈ R cho f (z0 ) 6= Thay z = z0 vào (3.31), ta thấy g(x + y) − g(x) g(y) = f (x) l(y), (3.32) l(y) = g(y + z0 ) − g(y) g(z0 ) f (z0 ) (3.33) Đổi chỗ x y (3.32), ta thu g(x + y) − g(x) g(y) = f (y) l(x) (3.34) Vậy từ (3.32) (3.34), ta có f (x) l(y) = f (y) l(x) (3.35) với x, y ∈ R Vì f 6= nên (3.35) cho ta l(x) = α2 f (x), (3.36) α số Thế (3.36) vào (3.32), ta g(x + y) = g(x) g(y) + α2 f (x) f (y) (3.37) với x, y ∈ R Bây ta xét hai trường hợp Trường hợp Giả sử α = Khi (3.37) cho ta g(x + y) = g(x) g(y) (3.38) g(x) = E(x), (3.39) với x, y ∈ R Như E : R → C hàm số mũ Vì f 6= nên ta có E 6= Vì hàm 56 số mũ không đồng không đâu nên ta có f (x + y) = f (x) E(y) + f (y) E(x) nghĩa f (x + y) f (x) f (y) = + E(x + y) E(x) E(y) (3.40) Xác định A(x) = f (x) , E(x) ta có A(x + y) = A(x) + A(y) Vậy A : R → C hàm cộng tính Trong trường hợp nghiệm (3.2) xác định f (x) = A(x)E(x) g(x) = E(x) ) Trường hợp Giả sử α 6= Nhân phương trình (3.2) với α, sau cộng, trừ kết với (3.37), ta có tương ứng g(x + y) + αf (x + y) = [g(x) + αf (x)][g(y) + αf (y)] (3.41) g(x + y) − αf (x + y) = [g(x) − αf (x)][g(y) − αf (y)], (3.42) Vì g(x) + αf (x) = E1 (x) g(x) − αf (x) = E2 (x), ) (3.43) E1 , E2 : R → C hàm số mũ Vậy cách cộng trừ biểu thức trên, ta có khẳng định nghiệm E1 (x) − E2 (x) f (x) = 2α E1 (x) + E2 (x) g(x) =      (3.44) 57 Chứng minh định lý hoàn thành Nhận xét 3.2.7 Nếu hàm f : R → C hàm lẻ hàm g : R → C hàm lẻ E1∗ (x) = E1 (−x) = g(−x) + αf (−x) = g(x) − αf (x) = E2 (x) Vậy nghiệm (3.28) biểu thị f (x) = 3.2.3 E1 (x) − E1∗ (x) E1 (x) + E1∗ (x) g(x) = 2α Nghiệm Phương trình hàm Sin Xét phương trình hàm sin f (x + y)f (x − y) = f (x)2 − f (y)2 (3.3) với x, y ∈ R Định lý 3.2.8 Hàm f : R → C thỏa mãn phương trình hàm (3.3) với x, y ∈ R f có dạng f (x) = f (x) = A(x) E(x) + E ∗ (x) f (x) = , 2α      (3.45)     E : R → C∗ hàm số mũ, A : R → C hàm cộng tính khác khơng, α số khác không Chứng minh Dễ dàng kiểm tra f = nghiệm (3.3) Vậy từ ta giả sử f 6= Vì tồn x0 ∈ R cho f (x0 ) 6= Xác định φ(x) = f (x + x0 ) − f (x − x0 ) 2f (x0 ) (3.46) 58 với x ∈ R Khi từ (3.46) (3.3), ta có 2φ(x)φ(y) = [f (x + x0 ) − f (x − x0 )][f (y + x0 ) − f (y − x0 )] 2f (x0 )2 = [f (x + x0 )f (y + x0 ) − f (x − x0 )f (y + x0 ) 2f (x0 )2 − f (x + x0 )f (y − x0 ) + f (x − x0 )f (y − x0 )]      x−y x−y x+y x+y f + x0 + f + x0 − = 2f (x0 )2 2 2     x+y x−y x+y x−y −f + − x0 f − + x0 2 2     x+y x−y x+y x−y + + x0 f − − x0 −f 2 2     x+y x+y x−y x−y − x0 + f − x0 − +f 2 2 + f (x − y + x0 ) − f (x − y − x0 )] "    2   x−y x+y x+y −f = f + x0 − f 2f (x0 )2 2   2 2   x + y2 x−y x−y +f − x0 − f + x0 +f 2   2 # x+y x−y +f − x0 − f 2 "  2    2 x+y x+y x−y = f + x0 − f +f + x0 2f (x0 )2 2      2 x + y2 x−y x+y −f −f +f − x0 2 2  2 #  x−y x−y −f +f − x0 2 = [f (x + y + x0 )f (x0 ) + f (x − y + x0 )f (x0 ) 2f (x0 )2 − f (x + y − x0 )f (x0 ) − f (x − y − x0 )f (x0 )] = [f (x + y − x0 ) + f (x − y + x0 ) 2f (x0 )2 59 + f (x − y + x0 ) − f (x − y − x0 )] = φ(x + y) + φ(x − y) Như hàm φ : R → C thỏa mãn phương trình d’Alembert φ(x + y) + φ(x − y) = 2φ(x)φ(y) với x, y ∈ R Nghiệm tổng quát phương trình thu từ Định lý 2.1.11 E(x) + E ∗ (x) φ(x) = , (3.47) E : R → C hàm số mũ Phương trình hàm (3.3) viết lại thành  f (u)f (v) = f u+v 2  +f u−v  (3.48) với u, v ∈ R Nếu f (y) 6= y khác tùy ý, f (x + y) − f (x − y) 2f (y) f (x + y)f (a) − f (x − y)f (a) = 2f (y)f (a)



x+y−a x−y+a x−y−a f x+y+a − f − f + f 2 2 = 2f (y)f (a)



x+a−y x−a+y x−a−y f x+y+a − f − f + f 2 2 = 2f (y)f (a) f (x + a)f (y) − f (x − a)f (y) f (x + a) − f (x − a) = = 2f (y)f (a) 2f (a) = φ(x) Vậy f (x + y) − f (x − y) = 2f (y)φ(x) (3.49) Từ (3.47) dễ thấy φ(0) = (3.50) 60 Thế x = vào (3.49) sử dụng (3.50), ta có f (−y) = −f (y) (3.51) f (y + x) + f (y − x) = 2f (y)φ(x) (3.52) Như (3.49) cho ta Đổi chỗ x y (3.52), ta thấy f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)φ(y) (3.53) Cộng (3.52) với (3.53) sử dụng (3.51), ta f (x + y) = f (x)φ(y) + f (y)φ(x) (3.54) với x, y ∈ R Vì f hàm lẻ φ chẵn nên từ Định lý 3.2.6 Nhận xét 3.2.7, ta có khẳng định nghiệm f (x) = A(x) (3.55) E(x) − E ∗ (x) f (x) = , 2α (3.56) E : R → C∗ hàm số mũ, A : R → C hàm cộng tính, α số khác khơng Ta có điều phải chứng minh 3.3 Bài tốn áp dụng Bài tốn 13 ([2]) Tìm hàm f : R → R thỏa mãn phương trình hàm sin (x + y) = f (x) sin y + f (y) sin x, ∀x, y ∈ R Giải Cho y = π vào (3.57) ta π  cos x = f (x) + f sin x, ∀x ∈ R (3.57) (3.58) 61 π  π  π Từ (3.58) cho x = ta 2f =0⇔f =0 2 Vậy f (x) = cos x, ∀x ∈ R Bài tốn 14 ([2]) Tìm hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm sin (x + y) = f (x) sin y + g(y) sin x, ∀x, y ∈ R (3.59) π vào (3.59) ta π  cos x = f (x) + g sin x, ∀x ∈ R (3.60) π  Suy f (x) = cos x + b sin x, ∀x ∈ R, b = −g số Thay vào (3.59) ta Giải Cho y = sin (x + y) = (cos x + b sin x) sin y + g(y) sin x, ∀x, y ∈ R ⇔ sin x cos y = b sin x sin y + g(y) sin x, ∀x, y ∈ R Trong (3.61) lấy x = (3.61) π , ta cos y = b sin y + g(y), ∀y ∈ R, hay g(x) = cos x − b sin x, ∀x ∈ R Sau thử lại ta kết luận: Các hàm số thỏa mãn yêu cầu đề f (x) = cos x + b sin x, ∀x ∈ R g(x) = cos x − b sin x, ∀x ∈ R b số tùy ý Bài toán 15 ([2]) Tìm hàm f, g : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) = g(x) sin y + g(y) sin x, ∀x, y ∈ R (3.62) Giải Trong (3.62) cho y = ta f (x) = a sin x, ∀x ∈ R, a = g(0) số Thay vào (3.62), ta a sin (x + y) = g(x) sin y + g(y) sin x, ∀x, y ∈ R (3.63) 62 Trong (3.63) cho y = π , ta a cos x = g(x) + g π  π  sin x, ∀x ∈ R (3.64) π , ta g = Vậy g(x) = a cos x, ∀x ∈ R 2 Thử lại ta hàm số thỏa mãn yêu cầu đề Trong (3.64) cho x = f (x) = a sin x, ∀x ∈ R g(x) = a cos x, ∀x ∈ R (a số tùy ý ) Bài tốn 16 ([2]) Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + y) f (x − y) = sin2 x − sin2 y, ∀x, y ∈ R (3.65) Giải Ta có sin (x + y) sin (x − y) = sin2 x cos2 y − cos2 x sin2 y, = sin2 x (1 − sin2 y) − (1 − sin2 x) sin2 y = sin2 x − sin2 y Vì (3.65) ⇔ f (x + y) f (x − y) = sin (x + y) sin (x − y), ∀x, y ∈ R (3.66) Đặt u = x + y, v = x − y Khi (3.66) tương đương với f (u) f (v) = sin u sin v, ∀u, v ∈ R (3.67) Dễ thấy hàm f ≡ không thỏa mãn (3.65) Xét f 6≡ Khi tồn x0 ∈ R cho f (x0 ) 6= Trong (3.67) lấy v = x0 ta f (u) = Đặt a = sin x0 sin u, ∀u ∈ R f (x0 ) sin x0 , f (x0 ) f (x) = asin x, ∀x ∈ R 63 Thay vào (3.67) ta a2 = hay a = ±1 Thử lại ta hàm số thỏa mãn yêu cầu đề f (x) = sin x, ∀x ∈ R f (x) = −sin x, ∀x ∈ R 64 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn với đề tài " Một số loại phương trình hàm" đạt kết sau: Luận văn trình bày lời giải số loại phương trình hàm Cauchy như: Phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy mũ, phương trình hàm Cauchy logarit, phương trình hàm Cauchy nhân tính áp dụng vào giải số tốn hàm chuyển đổi đại lượng trung bình, trình bày lời giải số tốn đề thi học sinh giỏi Trình bày định nghĩa, xác định nghiệm liên tục, nghiệm tổng quát phương trình d’Alembert, đặc trưng hàm Cosin giải tốn áp dụng phương trình hàm d’Alembert Trình bày định lý chứng minh nghiệm phương trình hàm CosinSin, hàm Sin-Cosin, hàm Sin tốn áp dụng Hướng nghiên cứu là: * Một số nội dung nghiên cứu là: Phương trình hàm Cauchy mở rộng Phương trình hàm Jensen Phương trình hàm Pexider’s Mặc dù cố gắng song luận văn cịn nhiều thiếu sót Rất mong nhận đóng góp quý thầy cô bạn đọc 65 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục, Hà Nội , 1998 [2] Nguyễn Tài Chung, Bồi dưỡng học sinh giỏi Phương trình Hàm, NXB ĐHQG Hà Nội, 2014 [3] Mai Thị Yến, Ứng dụng hàm liên tục phương trình hàm, Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Sơ cấp, ĐH Hồng Đức Thanh Hóa, 2016 [4] Nguyễn Văn Mậu, Lớp phương trình hàm Cauchy, d’Alembert dạng tốn liên quan, nguồn internet: http://www.vnmath.com/2012/ 09/phuong-trinh-ham-cauchy-dalembert-va.html,2012 [B] Tài liệu tiếng Anh [5] P.K.,Kannappan P., Introdution to functional equations, CRC Press, 2011 [6] Andreescu T., Boreico I.,Functional equations, Elec Ed 2007