Nghiên Cứu Các Mã Đối Ngẫu Của Mã Xyclic Cục Bộ.pdf

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ NGUYỄN VĂN TRUNG NGHIÊN CỨU CÁC MÃ ĐỐI NGẪU CỦA MÃ XYCLIC CỤC BỘ Chuyên ngành Cơ sở toán học cho tin học Mã số 62 46 01 10 TÓM TẮT[.]

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ NGUYỄN VĂN TRUNG NGHIÊN CỨU CÁC MÃ ĐỐI NGẪU CỦA MÃ XYCLIC CỤC BỘ Chuyên ngành: Mã số: Cơ sở toán học cho tin học 62 46 01 10 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tai Lieu Chat Luong HÀ NỘI – 2016 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ QN SỰ - BỘ QUỐC PHỊNG Người hướng dẫn khoa học: GS TS Nguyễn Bình TS Phạm Việt Trung Phản biện 1: PGS TS Lê Mỹ Tú Phản biện 2: PGS TS Đỗ Trung Tuấn Phản biện 3: TS Nguyễn Mạnh Linh Luận án bảo vệ Hội đồng bảo vệ cấp Viện theo định số 489/QĐ-VKHCNQS ngày 25 tháng năm 2016 Giám đốc Viện Khoa học Công nghệ quân sự, họp Viện Khoa học Công nghệ quân vào hồi … … ngày tháng … năm … Có thể tìm hiểu luận án - Thư viện Viện KH-CNQS - Thư viện Quốc gia PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Thơng tin vấn đề mã hóa thơng tin ln lĩnh vực nhiều chuyên gia hàng đầu giới tiếp tục nghiên cứu phát triển dựa tảng lý thuyết mã hóa (được bắt đầu nghiên cứu từ năm 40 kỉ trước) Các nghiên cứu lĩnh vực thường nghiên cứu độ tin cậy truyền tin kênh truyền có nhiễu, xây dựng mã tốt phương pháp giải mã hiệu Một kết bật lý thuyết mã hóa ứng dụng truyền tin lớp mã tuyến tính, đặc biệt lớp mã xyclic Tiếp tục kế thừa phát triển theo hướng phát triển mã khối tuyến tính mã xyclic, mã xyclic cục bắt đầu nghiên cứu phát triển Đây loại mã bao hàm tính chất mã xyclic truyền thống mà cịn có nhiều ưu điểm trội thiết thực như: khả lựa chọn mã đa dạng, tốc độ lập mã giải mã nhanh Xuất phát từ thực tế nghiên cứu mã xyclic cục từ đời đến nay, nghiên cứu sinh định lựa chọn đề tài “Nghiên cứu mã đối ngẫu mã xyclic cục bộ” làm đề tài nghiên cứu cho luận án Việc nghiên cứu mã đối ngẫu mã xyclic cục mục đích bổ sung, hồn thiện làm phong phú thêm mặt lý thuyết mã xyclic cục bộ, cịn giúp cho việc xây dựng, đánh giá lựa chọn mã tốt việc mã hóa giải mã thơng tin cách xác, hạn chế sai sót q trình truyền tin Mục tiêu nghiên cứu luận án - Nghiên cứu sâu mã xyclic cục bộ, tập trung vào mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic - Nghiên cứu khảo sát đặc điểm mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức, làm sở đề xuất phương án, cách tiếp cận để xây dựng mã đối ngẫu lớp mã xyclic cục xây dựng nhóm nhân xyclic Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận án thuộc phạm vi lý thuyết sở, tập trung nghiên cứu khảo sát chứng minh chặt chẽ mặt tốn học tính chất nhóm nhân xyclic, cấp số nhân xyclic lớp mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức, đề xuất cách xây dựng mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu tổng hợp, phân tích kết hợp với xây dựng chương trình khảo sát ngơn ngữ lập trình Matlab để tìm tính chất mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức, sử dụng kiến thức tốn học để chứng minh tính đắn tính chất trên, từ đề xuất phương án xây dựng lớp mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức Luận án sử dụng kết nghiên cứu cấu trúc đại số lý thuyết đại số tuyến tính, kết nghiên cứu mã xyclic cục lý thuyết mã kết hợp với kết khảo sát để chứng minh cho tính đắn tính chất mã xyclic cục Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án Luận án công trình nghiên cứu tương đối hồn chỉnh lớp mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức Những đóng góp luận án: xác định tính chất nhóm nhân xyclic: cấp nhị thức phân hoạch vành đa thức; xây dựng xác định cấp nhóm nhân xyclic tích cách kiến thiết thơng qua nhóm nhân xyclic thành phần; chứng minh mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức mã xyclic ; xác định tính chất mã xyclic lớp vành đa thức đặc biệt: Vành Mersenne Với tính chất xây dựng để thiết lập tìm kiếm mã đối ngẫu mã xyclic cục phân hoạch vành đa thức Cấu trúc luận án Luận án bao gồm phần mở đầu, kết luận chương nội dung Chương trình bày tổng quan mã khống chế sai, quan điểm xu hướng xây dựng mã khống chế sai, tiêu chuẩn đánh giá mã tốt, tập trung chủ yếu vào mã xyclic cục kiểu phân hoạch vành đa thức để xây dựng mã xyclic cục Chương trình bày tính chất nhóm nhân xyclic, vành đa thức mã xyclic, khảo sát chứng minh tính chất nhóm nhân xyclic cấp số nhân xyclic phân hoạch vành đa thức Chương trình bày chứng minh mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic mã xyclic, tính chất mã xyclic xây dựng vành Mersenne kiến thức sở, tảng mã đối ngẫu mã tuyến tính nói chung mã xyclic nói riêng, từ đề xuất phương án thuật tốn xây dựng mã đối ngẫu mã xyclic cục vành đa thức CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ MÃ KHỐNG CHẾ SAI 1.1 Những vấn đề hướng nghiên cứu mã khống 1.2 1.3 1.4 chế sai Các quan điểm xây dựng mã có kiểm tra sai Các tiêu chuẩn đánh giá mã khống chế sai Các loại mã khống chế sai điển hình 1.5 Mã xyclic cục Trong phần tác giả trình bày định nghĩa mã xyclic cục bộ, cách biểu diễn mã xyclic cục bộ, cách phân hoạch vành đa thức để xây dựng biểu diễn mã xyclic cục mối liên hệ mã xyclic cục với mã tuyến tính xây dựng cấu trúc đại số kết đạt hướng nghiên cứu mở mã xyclic cục Các dạng phân hoạch vành đa thức sử dụng để xây dựng mã xyclic cục bộ: - Phân hoạch chuẩn - Phân hoạch cực đại - Phân hoạch cực tiểu - Phân hoạch vành thành cấp số nhân có trọng số - Phân hoạch vành thành phần tử có tính chẵn lẻ trọng số - Phân hoạch vành thành cấp số nhân theo modulo… Đối với mã xyclic cục mã tuyến tính xây dựng cấu trúc đại số, khái quát phân loại dạng mã thuyến tính theo hình 1.6 Qua thời gian dài nghiên cứu, thành tựu mã xyclic cục có kết định góp phàn khơng nhỏ vào lĩnh vực nghiên cứu dạng mã khống chế sai ứng dụng đưa vào thực tiễn, kể đến thành tựu trình nghiên cứu mã xyclic cục như: - Xây dựng dạng phân hoạch khác kiểu phân hoạch khác vành đa thức làm sở để xây dựng mã xyclic cục - Xây dựng số mã xyclic cục tự trực giao mã xyclic cục có khả tự trực giao - Xây dựng số mã xyclic cục đối xứng tự đối xứng lớp kề (cấp số nhân) đối xứng tự đối xứng - Xây dựng số lớp mã xyclic cục mã xyclic n 1 phần tử liên hợp lũy đẳng nuốt e  x    xi i 0 phần tử liên hợp zero vành chẵn - Xây dựng số mã xyclic cục phân hoạch hỗn hợp - Xây dựng hệ mật đa biểu trường hợp riêng hệ mật ln hồn số loại vành đặc biệt (vành đa thức có n  2k vành đa thức có hai lớp kề xyclic) Mã tuyến tính Khơng có cấu trúc Mã tuyến tính ngẫu nhiên Vành số Có cấu trúc n chẵn Vành đa thức Z2[x]/xn+1 Vành ma trận Mã AN cylic Vành lớp liên hợp n lẻ Ma trận Cauchy Ma trận Vandermon Mã Gopa Mã BCH Vành đồng dư Phân hoạch vành theo nhóm nhân cyclic Trên vành Mã cyclic cục Trên vành Mã cyclic theo Ideal I= Phân hoạch cực tiểu Phân hoạch chuẩn Mã cyclic cục đa tốc độ Phân hoạch cực đại Vành vành ước vành Hai vành Mã cyclic cục liên hợp Mã tựa cyclic cục Mã cyclic đơn nhịp Mã cyclic với nhịp x: I={ximod h(x)} Mã cyclic với nhịp đa thức Hình 1.6: Phân hoạch loại mã tuyến tính Với kết đạt nói, mã xyclic cục nghiên cứu khồn chỉnh mặt lý thuyết, nhiên cịn có hướng nghiên cứu mở để hồn thiện mặt lý thuyết mã xyclic cục như: - Nghiên cứu phổ trọng số mã xyclic cục - Khảo sát kỹ cấu trúc nhóm nhân xyclic cấp số nhân xyclic vành Tìm tiêu chuẩn nhận biết cho đa thức có cấp cực đại vành - Xây dựng ma trận kiểm tra mã xyclic cục - Nghiên cứu mã xyclic cục theo quan điểm lý thuyết hệ thống   - Nghiên cứu mã xyclic cục trường mở rộng GF n - Nghiên cứu lý thuyết phổ cho mã xyclic cục - Nghiên cứu mã đối ngẫu mã xyclic cục - Nghiên cứu vành chẵn mã xây dựng vành KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương đề cấp đến xu hướng quan điểm xây dựng mã không chế sai giới, mã khống chế sai điển hình xây dựng cấu trúc đại số mối quan hệ mã mã xyclic cục bộ, cách xây dựng biểu biễn mã xyclic cục phân hoạch vành đa thức, phương pháp phân hoạch vành đa thức để xây dựng mã xyclic cục với thành tựu quan trọng trình nghiên cứu mã xyclic cục hướng nghiên cứu cho mã xyclic cục bộ, hướng nghiên cứu tác giả mã xyclic cục Nội dung chương đề cấp đến mối liên hệ mã xyclic cục mã tuyến tính bảng phân loại mã tuyến tính CHƯƠNG NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC Cơ sở đại số Phần đề cập đến định nghĩa tính chất cấu trúc đại số liên quan đến luận án: nhóm vành trường 2.2 Vành đa thức trường Galois Phần đề cập đến khái niệm, định nghĩa tính chất vành đa thức trường Galois, đa thức bất khả quy 2.3 Lũy đẳng vành đa thức theo modulo  x n  1 2.1 2.3.1 Khái niệm tính chất Định nghĩa 2.16: Trong vành đa thức, R  x  tồn đa thức mà bình phương lại đa thức gọi lũy đẳng vành  x  /  x n  1 , ký hiệu: e  x  e  x   e2  x   e  x  (2.11) Tính chất lũy đẳng vành đa thức: (i) Tập lũy đẳng vành đa thức  x  /  x n  1 lập thành vành (ii) e  x  lũy đẳng vành đa thức, gcd  e  x  ,1 ước không tầm thường  x n  1 Trong vành đa thức  x  /  x n  1 tồn lũy đẳng n 1 e0  x    x i , lũy đẳng gọi lũy đẳng nuốt (Swallowing i 0 Idempotent) Trong vành đa thức  x  /  x n  1 bất kì, với lớp kề chứa lũy đẳng nuốt e0  x  n lẻ ln tồn Tính chất lũy đẳng nuốt: - Nếu a  x    x  /  x n  1 W  a  x   số lẻ a  x  e0  x   e0  x  - Nếu a  x    x  /  x n  1 W  a  x   số chẵn a  x  e0  x   2.3.2 Các lũy đẳng nguyên thủy cách xác định 2.3.2.1 Các chu trình n Các chu trình C s (cyclotomic coset) theo modulo n trường GF   xác định theo công thức sau:  Cs  s, s, 22 s, 2ms 1  (2.12) Trong 2ms 1  s mod n Khi đó, tập số nguyên theo modulo n phân hoạch thành chu trình Ta có: 1, 2, , n  Cs s Số phần tử chu trình C s gọi lực lượng chu trình, ký hiệu: # Cs Tính chất chu trình Nếu n lẻ, tập quỹ đạo C  Cs : s  hoạch vành n  tạo thành phân n # C0  , s  n , ta có: # Cs | # C1 Nói cách khác, chu trình C1 có lực lượng lớn 2.3.2.2 Sự tồn lũy đẳng nguyên thủy vành đa thức Bổ đề 2.1: Đa thức e  x  lũy đẳng tập số với hệ số khác khơng trùng với hợp chu trình Ví dụ 2.5: Xét vành  x  /  x7  1 , theo định nghĩa chu trình, ta có: C0  0  e0  x   C1  1, 2, 4  e1  x   x  x  x 11 Bổ đề 2.4 Với đa thức   Fq  x  /  x n  1 số tự nhiên m , ta có: gcd  m , x n  1  gcd  , x n  1 (2.19) Bổ đề 2.5: Mọi ước   x n  1 tồn lũy đẳng  Rn cho    *|  * Rn* (2.20) Với R tập đa thức nguyên tố với  x  1 * n n Bổ đề 2.6:   Rn , ta có    *  lũy đẳng Rn  * thỏa mãn tính chất gcd  * , x n  1  Nói cách khác, ta viết Rn  E  Rn  Rn* Bổ đề 2.7:   E  Rn  ta có  Rq*, n      * |  *  Rq*,n  nhóm nhân với phần tử đơn vị  Định lý 2.4  ,   Rq ,n  Fq  x  /  x n  1 với Fq trường đặc số p hữu hạn n không bội p Nếu    Rq*, n ,  lũy đẳng #       #  2.4.3 (2.23) Cấp cực đại đa thức vành Định lý 2.5: Trong vành đa thức  x  /  x n  1 , cấp cực đại đa thức  xác định sau: Nếu n lẻ xn    fi  x  , fi  x  đa thức bất khả quy Khi ord    2m  Trong m  max deg fi  x  Nếu n chẵn, n  s  2k  1 x2k 1    fi  x  Khi max ord    s  2m  1 Trong m  max deg fi  x  12 2.4.4 Cấp nhị thức Định lý 2.6: Cấp nhị thức  x j xác định sau: ord  x j | 2mi  ví i j  Ci (2.26) Chứng minh: Xét chu trình Ci  i, i.21 , i.22 , , i.2mi 1 Với j  Ci , ta có: 1  x j    x j Rõ ràng j  Ci Xét nhóm nhân xyclic sinh 1  x j  , nhóm chứa tất nhị thức 1  x j  với j  Ci Như phần tử có cấp chúng có cấp chúng có cấp ước 2mi 1 với mi số nguyên dương nhỏ thỏa mãn i.2mi  i mod n, mi  Ci Nhận xét: - Các nhị thức 1  x j  với j  Ci nhị thức có cấp lớn mi  max mi i Ví dụ 2.9: n  9; m0  1; m1  6; m3  Ta có: ord 1  x   26   63 ord 1  x3   22   - Với n ta ln có nhị thức 1  x  phần tử có cấp cực đại số tất nhị thức Ví dụ 2.10: Với n  ta có: C1  1, 2, 4,3  m1   ord 1  x j   24   15 Bổ đề 2.11: Với n lẻ, xét nhóm nhân xyclic sinh   a  x  : A  a i  x  ; i  1, 2,  A  ord    m Khi nhóm nhân cylic A sinh  có cấp m với  đa thức đối xứng (đa thức bù)  13 Chứng minh: Để chứng minh cho trường hợp trên, ta cần phải chứng minh   k k Thật vậy, với k  , :      (với  lũy đẳng nuốt vành đa thức) nên :       2   2   2   2 Giả sử đẳng thức với giá trị k có nghĩa     k Khi ta có: k 1 k       k        k     k 1     k     02   k 1   k    1  Từ tính chất chẵn lẻ trọng số đa thức, ta có  k   tính chất chẵn lẻ  k    đa thức có trọng số lẻ Từ tính chất lũy đẳng nuốt, ta có:  k    1    Suy ra: Do đó:   k 1   k 1     k 1 A  A   , , ,  , , , Bổ đề chứng minh Ví dụ 2.11: Cho n  5,   x   0,1  0,1 ,  0,  ,  0,1, 2,3 ,  0,  , 1,  ,  0,1, 2,  , 3,   A   0,3 ,  0,1,3,  ,  2,3 ,  2,  ,  0, 2,3,  , 1,  , 1,3  , 1, 2, 3,    2,3,  , 1,3,  ,  1, 2,3 ,  0, 2,3  ,  3 ,  0,1,   A  1, 2,  ,   ,  0,1,  ,  0,1,3 , 1 ,  0,3,  ,  0, 2,  ,    A  A  ord a  x   15 14 Các phần tử có cấp 15 A :  x,1  x ,1  x3 ,1  x , x  x , x  x , x  x Các phần tử có cấp 15 A : x  x3  x , x  x3  x , x  x  x ,1  x  x ,1  x  x 2.4.5 Tích nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức Định lý 2.7 Cho   1.Rn*    Rn* Kí hiệu k  ord Rn  h  ord Rn  Khi ta có: (i) ord Rn   | k h (ii) Nếu gcd  k , h    ord Rn      Ví dụ 2.12: Trên vành (2.27) k h ord   2  Rn*    x  /  x9  1 1   xét hai nhóm nhân xyclic có phần tử sinh:   x  x  x  x8 ~   x  x3  x  x ~ Ta có: 1    2,5,6,8  2,3,6,7   2,5,6,8 , 1,3, 4,7  , 1, 2,3, 4,5,6,7,8 G1  ord  G1   G2   2,3,6,7  ,  3, 4,5,6  , 1,3,6,8 ,  2,7  , 1,8 , 1, 2,3, 4,5,6,7,8 ord  G2   Nhận thấy hai nhóm nhân có cấp nguyên tố có lũy đẳng   1, 2,3, 4,5,6,7,8  , dựa vào Định lý 2.7 vừa chứng minh trên, ta có nhóm nhân sinh phần tử sinh       1,6,7,8  có cấp ord   ord     3.7  21 Kiểm tra lại: 1,6,7,8 ,  2,3,5,7  ,  4,5  , 1, 4,5,6  ,  0,1,3,6,8 1,8  ,  2,5,6,8 , 1, 2,3,8     G   2, 4,5,6  ,  0, 2,3, 4,6,7  ,  3, 4,5,8  2,7  2,7  ,  0,1,3, 4,5,6  , 1,3, 4,7  ,  2,3,6,7      2, 4,6,7  ,  0, 2,3,5,6,7  , 1,3,6,8  ,  0,1,3,6,7,8  ,  0,3, 4,5,6,7 1, 2,3, 4,5,6,7,8   Rõ ràng ord  G   21 15 Như vậy, theo định lý 2.7 nêu trên, nhận thấy, từ phần tử có cấp nhỏ, ta xây dựng phần tử có cấp n phần tử chọn có cấp nguyên tố có đa thức lũy đẳng 2.5 Thuật tốn tìm cấp đa thức F  x  /  x n  1 Định lý 2.8:   Rq ,n  Fq  x  /  x n  1 với Fq trường đặc số p hữu hạn n không bội p , ta có   ord Rq ,n  | p ord n p  (2.28) Thuật tốn xác định cấp nhóm nhân xyclic Input: a  x   Fq  x  /  x n  1 với p  char  Fq  , n không bội p Output: d  ord  a  x   mod  Fq , x1n  m  ord n p d  pm  Phân tích thừa số nguyên tố d   pici lưu vào k 1 i 0 mảng k chiều P cặp số  pi , ci  e  a d mod  Fq , x n  1 If  a  e  return For i  to k  6.1  p, c   P i  6.2 6.3 t d / p j 0 6.4 While at mod  Fq , x n  1  e and j  c   6.4.1 d  t // d bội ord  a  mod  Fq , x n  1 6.4.2 t  d / p // Ứng với j  c  t khơng phải số nguyên 6.4.3 j  j  Return d 16 KẾT LUẬN CHƯƠNG Mã xyclic mã xyclic cục xây dựng sở cấu trúc đại số: nhóm, vành trường Trong lý thuyết mã mã xây dựng sở cấu trúc đại số phức tạp có điều kiện để xây dựng nên lớp mã tốt Các kết trình bày chương 2: Xác định cấp nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức cách kiến thiết thông qua hai phương án: - Xác định cấp đa thức thông qua việc xác định cấp nhị thức phân hoạch vành đa thức - Xác định cấp đa thức tích thơng qua việc xác định cấp đa thức thành phần với điều kiện đa thức thành phần có đa thức lũy đẳng có cấp nguyên tố - Chứng minh tính chất đề xuất thuật tốn hiệu xác định cấp đa thức vành hữu hạn CHƯƠNG CÁC MÃ ĐỐI NGẪU CỦA NHÓM NHÂN XYCLIC 3.1 Các mã đối ngẫu mã khối tuyến tính Phần tác giả đề cập đến cấu trúc mã khối tuyến tính xây dựng không gian k chiều không gian tuyến tính n chiều, mã khối tuyến tính hệ thống phương pháp xây dựng mã đối ngẫu mã khối tuyến tính tơng qua việc biến đổi mã tuyến tình dạng hệ thống 3.2 Các mã đối ngẫu mã xyclic Nội dung phần tập trung vào định nghĩa mã xyclic, ma trận sinh ma trận kiểm tra mã xyclic vành đa thức Các mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic Đối với mã xyclic, việc khảo sát lựa chọn để tìm mã tối ưu vành đa thức có giá trị n lớn phức tạp khó 3.3 17 khăn, chí để nhớ đa thức sinh mã xyclic vấn đề Để giải yêu cầu nêu trên, tác giả đề suất thật tốn chứng minh thính chất mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic Tình chất phát biểu thơng qua định lý 3.2, kèm theo thuật tốn xác định đa thức sinh mã xyclic thông qua khảo sát xây dựng mã xyclic cục từ nhóm nhân xyclic (là dạng lớp kề xyclic (trên phân hoạch vành đa thức) Định lý 3.2: Mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức mã xyclic Mã xyclic xây dựng vành đa thức có bậc cấp lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức xây dựng lớp kề xyclic Thuật toán xác định mã xyclic xây dựng từ nhóm nhân xyclic Input: Nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức Output: Mã xyclic xây dựng từ nhóm nhân xyclic Bước 1: - Xây dựng nhóm nhân xyclic   a  x  vành đa thức - Đặt n  ord  a  x   - Lập ma trận mã xyclic cục từ phần tử nhóm nhân xyclic a  x  thu - Sử dụng thuật toán Gauss-Jordan để chuyển ma trận lập dạng ma trận hệ thống - Loại bỏ hàng (nếu có) ma trận mã Ta ma trận sinh G  m, k  Bước 2: - Chuyển đổi ma trận sinh G  n, k  dạng phần tử nhóm - Đặt h  x   Ak  k ; h  x   /  xn  1 *  xn   - Tính g  x      h x  g  x  đa thức sinh mã xyclic cần tìm 18 Ví dụ 3.7: Trong vành  x  /  x9  1 , đa thức tích thành đa thức bất khả quy: x9   1  x   x  x  x3  x   x9  phân  Xét nhóm nhân a  x    x  x  x ~   vành 2  x  /  x9  1 Xây dựng nhóm nhân ta nhóm nhân:    A        1             7   1     1   Tiến hành lập ma trận chuyển ma trận lập ma trận hệ thống, loại bỏ hàng có kết ta ma trận mã hệ thống:  1  3  11  3   1     G  1  31       Dễ dàng nhận thấy G nhóm nhân xây dựng phân hoạch vành đa thức theo modulo h  x  với h  x    x  x  1  x  x 1  x  x  Theo tính chất mã xyclic cục xây dựng theo modulo h  x  , *  xn   ta có g  x      h x  Xét vành đa thức  x  /  x 21  1 , ta có: x 21   1  x  1  x  x 1  x  x 1  x  x 1  x  x  x 1  x  x  x  x  Xét * *  x 21   g  x    1  x  1  x  x3 1  x  x  x  x 1  x  x3  x  x5  x     1 x  x  1   1 1 1  x16 1        11  12  16   x x x x x x x   x x   x  x5  x8  x10  x12  x13  x14  x15  x16 Theo định nghĩa ma trận sinh G mã xyclic thiết lập: 19  g  x     x  x5  x8  x10  x12  x13  x14  x15  x16     11 13 14 15 16 17   xg  x    x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  G   x g  x     x  x  x  x10  x12  x14  x15  x16  x17  x18       x g  x    x3  x  x8  x10  x13  x15  x16  x17  x18  x19     12 14 16 17 18 19 20   x g  x   x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  1  0 G  0  0 0  0 1 0 1 1 1 0 0  0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0  0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1  Dùng công thức Gauss-Jordan biến đổi ma trận hệ thống, ta có ma trận: 1  0 G  0  0 0  0 0 0 1 0 1 1 1  0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0  0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1    1  3  11     1        3 4 4             Có thể thấy, ma trận mã xyclic cục xây dựng theo modulo h  x  vành  x  /  x 21  1 ma trận mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân a  x  với a  x    x  x  x vành 3.4  x  /  x9  1 mà xây dựng Các mã xyclic vành Mersenne Nội dung phần đề cập đến tính chất mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic vành Mersenne, tính chất trình bày theo bổ đề 3.3 Bổ đề 3.3: Trên vành Mersenne ( n  2m  ), tất mã xyclic cục xây dựng từ nhóm nhân xyclic mã xyclic xây dựng vành và vành ước 20 Các mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng từ nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức Trong phần này, tác giả đề xuất thuật toán xây dựng mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức Phân tích khó khăn gặp phải q trình nghiên cứu mã xyclic cục mã đối ngẫu Dựa nội dung tính chất trình bày phần đầu chương, từ đề xuất thuật tốn xây dựng mã đói ngẫu mã xyclic cục xây dựng từ nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức 3.5 Thuật toán xác định mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng từ nhóm nhân xyclic: Input: Đa thức xây dựng mã theo nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức  x /  x m  1 Output: Mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng từ nhóm nhân xyclic Bước 1: - Xây dựng nhóm nhân xyclic a  x  vành đa thức - Đặt n  ord  a  x   - Lập ma trận mã xyclic cục từ phần tử nhóm nhân xyclic a  x  thu - Sử dụng thuật toán Gauss-Jordan để chuyển ma trận lập dạng ma trận hệ thống - Loại bỏ hàng cột (nếu có) ma trận mã Ta ma trận hệ thống G  n, k  với k số hàng ma trận Bước 2: - Chuyển đổi ma trận sinh G  n, k  dạng phần tử nhóm - Đặt h  x   Ak   k ; h  x   [ x] /  x n  1 - Mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic mã có đa thức sinh h  x  21 Nhận xét: Đối với mã xyclic cục xây dựng từ nhóm nhân cylic, sau chuyển ma trận hệ thống dễ dàng đa thức sinh mã xyclic mã đối ngẫu mã xyclic này: - Để tìm đa thức sinh mã xyclic truyền thống tương ứng, ta lấy giá trị hàng cuối ma trận hệ thống đọc giá trị từ trái sang phải loại bỏ k  giá trị - Để tìm mã đối ngẫu mã xyclic, từ ma trận hệ thống ta lấy giá trị cột thứ k  ma trận hệ thống đọc giá trị từ lên thêm giá trị k vào cuối giá trị nhận Bảng 3.2: Kết khảo sát mã xyclic cục xây dựng từ nhóm nhân xyclic mã xyclic tương ứng vành  x  / x   xn  a  x (0,1,2), (1,3), (2,3), (0,1,2,3,5) (0,1,3), (0,2,3), (0,3,4), x7  (2,3,4) (0,1,2,3,4) (1,2), (1,2,3,5) (3,4), (0,2,3,4), (1,2,3,4) 3.6 VĐT mã tt h x  g  x (0,1,2,4) (0,1,3) x7  (0,2,3,4) (0,2,3) (0,1,3) (0,2,3) (0,1,2,4) (0,2,3,4) Đánh giá hiệu giải mã mã xyclic mã xyclic cục Đối với mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức, tác giả chứng minh mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic mã xyclic, sử dụng phương pháp giải mã mã xyclic cho mã xyclic cục ngược lại, sử dụng phương pháp giải mã cho mã xyclic cục cho mã xyclic, nghiên cứu sinh tiến hành xây dựng, đánh giá hiệu thông qua hai mã tương đương với mã xyclic 15,5,7  sau: Mã xyclic 15,5,7  với ma trận sinh: g  x   1  x  x 1  x  x 1  x  x  x3  x    x  x  x  x5  x8  x10 22 Bộ mã xyclic mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức với  x  /  x  1 a  x    x  x3 Quá trình đánh giả hiệu giải mã mã xyclic thực theo sơ đồ hình 3.4 Tạo bit Mã hóa Điều chế BPSK Tính BER Giải mã Giải điều chế BPSK Kênh AWGN Noise Hình 3.4: Sơ đồ tạo trình tạo mã đánh giá hiệu sửa sai mã Với mã xyclic trên, sử dụng phương pháp giải mã theo syndom để giải mã cho mã xyclic Với mã xyclic cục bộ, sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng để tiến hành khảo sát đánh giá hiệu sửa sai hai mã Kết đánh giá, mơ trình bày hình 3.6 Từ kết nhận được, thấy khơng có khác biệt hiệu hai mã này, cho dù sử dụng hai phương pháp giải mã khác Về mặt cấu trúc, mã có d  sửa sai ngẫu nhiên Các mã mã 15,5,7  mã có độ dài ngắn Hình 3.6: Kết mô đánh giá tỷ lệ lỗi bit hai mã xyclic mã xyclic cục 23 Với kết mô thu trên, ta áp dụng sơ đồ truyền tin, mã hóa giải mã tín hiệu để nâng cao hiệu chúng theo sơ đồ truyền tin trình bày Hình 3.7 Hình 3.7: Các sơ đồ mã hóa tín hiệu dùng cho mã hóa giải mã mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic mã xyclic Với cách sử dụng sơ đồ turbo đơn giản trên, hiệu mã tăng lên tương đối sử dụng với mã có độ dài lớn với cỡ n  100bit KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong nội dung chương thực số công việc sau: Khảo sát chứng mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức  x  /  x n  1 mã xyclic với n cấp lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức Kết chứng minh chặt chẽ mặt tốn học Khảo sát chứng minh tính chất nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức vành Mersenne Từ tính chất chứng mih đề xuất thuật tốn tìm kiếm mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng theo nhóm nhân xyclic phân hoạch vành đa thức 24 KẾT LUẬN Những đóng góp luận án - Xây dựng số phương án kiến thiết nhằm xác định cấp lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức: o Chứng minh tính chất xây dựng thuật tốn tính cấp đa thức phân hoạch vành đa thức vành hữu hạn o Chứng minh tích nhóm nhân xyclic nhóm nhân xyclic với cấp xác định ước bội số chung nhỏ nhóm nhân xyclic thành phần o Chứng minh tính chất sử dụng để xác định cấp cấp số nhân xyclic trường hợp đặc biệt - Khảo sát chứng minh khẳng định mã xyclic cục xây dựng từ lớp kề xyclic phân hoạch vành đa thức mã xyclic Từ khẳng định xác định tính chất mã xyclic cục xây dựng từ nhóm nhân xyclic phân hoạch vành Mersenne, dựa vào đề xuất thuật toán xây dựng mã đối ngẫu mã xyclic cục xây dựng vành Mersenne vành đa thức tổng quát Các vấn đề mà luận án giải công tạp chí chuyên ngành hội nghị khoa học Hướng nghiên cứu Tiếp cận với cách xây dựng mã xyclic cục khác để đề xuất phương án xây dựng mã đối ngẫu mã xyclic cục cho phương án xây dựng mã xyclic Mở rộng phạm vi nghiên cứu mã xyclic cục trường hữu hạn CÁC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ĐÃ CƠNG BỐ [1] Nguyễn Bình, Nguyễn Trung Hiếu, Nguyễn Văn Trung (2013) “Về cấp đa thức vành” Tạp chí khoa học cơng nghệ, Học viện Bưu Viễn thông; Tập 51 số 1A/2013 [2] Nguyễn Văn Trung, Nguyễn Trung Hiếu, Phạm Việt Trung (2013), “Sự tương đương mã Xyclic cục xây dựng nhóm nhân Xyclic mã Xyclic truyền thống” Kỷ yếu hội nghị Quốc gia điện tử truyền thông, Hội Vô tuyến điện tử Việt nam Ngày 17-18/12/2013 [3] Nguyễn Văn Trung, Nguyễn Trung Hiếu (2014), “Tích nhóm nhân Xyclic phân hoạch vành đa thức” Tạp chí Nghiên cứu Khoa học công nghệ quân Số tháng 4/2014 ISSN 1859-1043 [4] Nguyen Binh, Nguyen Trung Hieu, Nguyen Van Trung (2014), “A Classification of Linear Codes Based on Algebraic Structures and Local Xyclic Codes”, International on ATC’14 15- 17/10/2014 http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?reload=true&arnumb er=7043410 [5] Nguyễn Văn Trung (2015) “Các mã xyclic vành Mersenne”, Tạp chí Nghiên cứu Khoa học cơng nghệ quân Số tháng 2/2015 ISSN1859- 1043 [6] Nguyễn Văn Trung, Nguyễn Trung Hiếu (2015), “Các mã xyclic xây dựng từ lớp kề xyclic”, Tạp chí Nghiên cứu Khoa học công nghệ quân Đặc san KHCNQS Số tháng 10.2015 ISSN 1859-1043