Xử lý song song (parallel processing) là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực GIS (Hệ thống thông tin địa lý) để tăng hiệu suất xử lý các tác vụ địa lý phức tạp. Trong GIS, các tác vụ như xử lý hình ảnh, tính toán địa lý, phân tích không gian, và xây dựng bản đồ đều đòi hỏi một lượng lớn dữ liệu và tính toán. Sử dụng xử lý song song, ta có thể chia nhỏ các tác vụ lớn thành các phần nhỏ hơn và thực hiện chúng cùng lúc trên nhiều tài nguyên tính toán (như các lõi CPU, GPU hoặc máy tính có nhiều CPUGPU).
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TIỂU LUẬN TỐT NGHIỆP NGHIÊN CỨU VỀ XỬ LÝ SONG SONG TRONG GIS VÀ XÂY DỰNG ỨNG DỤNG SONG SONG HĨA THUẬT TỐN ĐỊNH DÕNG CHẢY TRÊN BỀ MẶT Sinh viên thực hiện: TRẦN CÔNG HUẤN Ngành: HỆ THỐNG THÔNG TIN MÔI TRƢỜNG Niên khóa: 2010 – 2014 Thành phố Hồ Chí Minh, Tháng năm 2014 NGHIÊN CỨU VỀ XỬ LÝ SONG SONG TRONG GIS VÀ XÂY DỰNG ỨNG DỤNG SONG SONG HĨA THUẬT TỐN ĐỊNH DÕNG CHẢY TRÊN BỀ MẶT Tác giả TRẦN CÔNG HUẤN Giáo viên hƣớng dẫn: ThS KHƢU MINH CẢNH Tháng năm 2014 [I] LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực đề tài này, tơi nhận đƣợc hƣớng dẫn giúp đỡ thầy hƣớng dẫn, quý thầy cô thuộc khoa môi trƣờng tài ngun nói chung mơn thơng tin địa lý ứng dụng nói riêng thuộc trƣờng đại học Nơng Lâm Thành phố Hồ Chí Minh Qua tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới: - ThS.Khƣu Minh Cảnh, công tác Trung tâm Ứng dụng Hệ thống Thông tin Địa lý – Sở Khoa học Công nghệ TP.HCM, ngƣời hƣớng dẫn trực tiếp trình làm đề tài - Thầy Phó giáo sƣ, tiến sĩ Nguyễn Kim Lợi, chủ nhiệm Bộ môn Thông tin địa lý ứng dụng - Trƣờng Đại học Nông lâm Tp HCM - KS Lê Hoàng Tú Kĩ sƣ GIS - Nghiên cứu viên, Trung tâm Nghiên cứu Biến đổi Khí hậu, Trƣờng Đại học Nơng Lâm TP.HCM - KS Nguyễn Duy Liêm Kĩ sƣ GIS - Giảng viên Khoa Môi trƣờng – Tài nguyên, Trƣờng Đại học Nông Lâm TP.HCM - Đặc biệt xin cảm ơn đến ba mẹ sinh thành, nuôi nấng giáo dục đến ngày hơm Gia đình bạn bè động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập nhƣ thời gian thực đề tài, đồng thời cho gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Sở Khoa Học Cơng Nghệ Thành Phố Hồ Chí tạo điều kiện cho thực tập, giúp đỡ, cung cấp số liệu giúp thực tốt đề tài TP.HCM, ngày tháng năm 2014 Trần Công Huấn Bộ môn Tài nguyên GIS Khoa Môi trƣờng & Tài ngun Trƣờng Đại học Nơng Lâm Tp.Hồ Chí Minh [II] TÓM TẮT Đề tài nghiên cứu “Nghiên cứu xử lý song song GIS xây dựng ứng dụng song song hóa thuật tốn định dịng chảy bề mặt” đƣợc thực hoàn thành Phòng kỹ thuật – Trung tâm ứng dụng Hệ Thống Thông Tin Địa Lý – Sở Khoa học Công nghệ Thành phố Hồ Chí Minh Thời gian thực từ 2/3/2014 đến 31/5/2014 Gồm nội dung nhƣ sau: - Tìm hiểu mơ hình, cơng nghệ, họ máy tính song song - Tìm hiểu thuật toán song song, cấu trúc thuật toán song song - Tìm hiểu thuật tốn Floyd – Warshall thuật tốn tìm tích lũy dịng chảy - Tìm hiểu cơng cụ tìm dịng ArcGis - Tìm hiểu thuật tốn xác định hƣớng dịng chảy theo D8 cài đặt ngôn ngữ C sharp - Tìm hiểu dạng mơ hình liệu DEM - Tìm hiểu gói phát triển ArcEngine ArcGis Visual studio Trên xây dựng cơng cụ hỗ trợ hiển thị, cập nhật, phân tích liệu chuyển dạng liệu Các kết thu đƣợc: - Xây dựng đƣợc công cụ xác định hƣớng dịng chảy (theo D8) tính tích lũy dòng chảy bề mặt - Ứng dụng khai thác tốc độ tối đa máy tính cho kết nhanh nhằm tiết kiệm thời gian cho ngƣời sử dụng - Xây dựng công cụ chuyển liệu dạng file text sang dạng raster hiển thị liệu raster lên form ứng dụng [III] MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN II TÓM TẮT III MỤC LỤC IV DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT VII DANH MỤC BẢNG BIỂU VIII DANH MỤC HÌNH ẢNH IX PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Tính cấp thiết đề tài 1.2 Mục tiêu nghiên cứu đề tài 1.3 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 1.3.1 Đối tƣợng nghiên cứu 1.3.2 Phạm vi nghiên cứu PHẦN TỔNG QUAN VỀ THUẬT TỐN VÀ TÍNH TỐN SONG SONG 2.1 Đại cƣơng tính tốn song song 2.1.1 Một số khái niệm thuật ngữ 2.1.2 Các mức độ song song (Level of parallelism) .4 2.1.3 Phân loại kiến trúc song song .6 2.1.4 Mơ hình SIMD (PRAM) .8 2.1.5 Dùng công nghệ EREW mô kiến trúc CRCW, CREW 2.1.6 Họ máy MIND .10 2.1.6.1 Hệ đa xử lý với nhớ phân tán (Multi processor system with Distributed Memory) 11 [IV] 2.1.6.2 Hệ đa xử lý dùng chung nhớ (Multi processor system with Shared Memory) 12 2.1.6.3 Hệ đa xử lý với nhớ dùng chung phân tán (Multi processor system with distributed shared memory) 13 2.1.7 2.2 Ngôn ngữ mơ tả thuật tốn song song 13 Các mơ hình tính tốn song song minh họa .15 2.2.1 Mơ hình nhị phân (Bimary Tree Model) 15 2.2.2 Mơ hình mạng .19 2.2.3 Thuật toán k-cube-Min 23 2.2.4 Thuật tốn song song tính tích ma trận 24 2.2.5 Đánh giá hiệu thuật toán song song 26 2.3 Tính tốn song song NET minh họa 34 2.3.1 Task 36 2.3.2 Vòng lặp song song (Parallel Loops) 37 2.3.3 Parallel LINQ 38 2.4 Thuật tốn Floyd – Warshall tốn tìm đƣờng ngắn cặp đỉnh đồ thị .38 PHẦN DỮ LIỆU, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .41 3.1 Dữ liệu .41 3.1.1 Mơ hình liệu DEM 41 3.1.2 File text độ cao 43 3.2 Thuật toán định dịng chảy bề mặt địa hình 44 3.2.1 Giới thiệu thuật toán phân tích dịng chảy D8 44 3.2.1.1 Xác định hƣớng dòng chảy 44 3.2.1.2 Tính tốn tích lũy dòng chảy 45 3.2.2 Giới thiệu cơng cụ tìm dịng ArcGIS .46 [V] 3.3 3.2.2.1 ArcSWAT .46 3.2.2.2 Bộ cơng cụ tìm dịng chảy tích lũy ArcGIS .49 Cài đặt thuật toán D8 (tuần tự) 52 3.3.1 Đọc liệu (đọc file text độ cao) .52 3.3.2 Xác định hƣớng dòng chảy theo D8 53 3.3.3 Tính tốn tích lũy dịng chảy (D8) 56 3.4 Tại phải cài đặt thuật toán song song .59 3.5 Cài đặt thuật toán song song D8 63 3.5.1 Đọc liệu 64 3.5.2 Xác định song song hƣớng dòng chảy theo D8 65 3.5.3 Tính tốn song song tích lũy dịng chảy theo D8 .67 PHẦN CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 74 4.1 Giới thiệu liệu thử nghiệm 74 4.2 Nhóm cơng cụ xây dựng chƣơng trình 75 4.3 Các kết thực đƣợc ứng dụng phân tích hƣớng dịng chảy76 PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .87 5.1 Kết luận 87 5.2 Kiến nghị 87 PHẦN TÀI LIỆU THAM KHẢO .88 PHỤ LỤC .90 [VI] DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT GIS: Geographic Information System (Hệ thống thông tin địa lý) ESRI: Economic and Social Research Institute (Viện nghiên cứu hệ thống mơi trƣờng) TP.HCM: Thành phố Hồ Chí Minh DEM: Digital Elevation Models (Mơ hình độ cao số) CPU: Central Processing Uint (Bộ xử lý trung tâm) Thuật toán D8 (Thuật tốn xác định hƣớng dịng chảy đơn) [VII] DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 2.2.2: so sánh số đặc trƣng k- cute với đồ thị đầy đủ .21 Bảng 2.2.5: So sánh thời gian thuật toán Boolean-AND, Boolean-AND – 1, Boolean-AND - 26 Bảng 3.2.1.1: Hƣớng dịng chảy tính lƣu vực 45 Bảng 3.2.1.2: Sự tích lũy dịng chảy lƣu vực 46 Bảng 3.4: Thống kê thời gian phép toán song song 62 [VIII] DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1: DEM raster Hình 1.2: Cấp độ xám DEM .1 Hình 2.1.2 Các mức độ song song Hình 2.1.3 Phân loại kiến trúc song song .7 Hình 2.1.6.1: Hệ đa xử lý với nhớ phân tán .11 Hình 2.1.6.2: Hệ đa xử lý dùng chung nhớ 12 Hình 2.1.6.3: Hệ đa xử lý với nhớ dùng chung phân tích 13 Hình 2.2.1.1: Mơ hình nhị phân cộng số 16 Hình 2.2.1.2: Cây nhị phân thực tính tốn 18 Hình 2.2.3: Tính tổng với xử lý .18 Hình 2.2.2.1: Mạng 3-cube 20 Hình 2.2.2.2: Phân bổ đầu vào 22 Hình 2.3: Mơ tả thuật tốn song song NET Framework 4.0 .35 Hình 3.1.1.1 Quy trình chuyển đổi DEM .41 Hình 3.1.1.2: Những điểm lỗi có DEM 42 Hình 3.1.1.3: Hàm fill ArcToolbox 42 Hình 3.1.2.1: Cơng cụ Raster to Ascii ArcToolbox .43 Hình 3.1.2.2: Text file dùng để xử lý 44 Hình 3.2.2.2.1: Sơ đồ tạo DEM từ đồ địa hình ArcGis 49 Hình 3.2.2.2.2: Sơ đồ tính hƣớng, tích lũy tìm dịng ArcGis 50 Hình 3.2.2.2.3 Sơ đồ tìm liên kết dịng cửa xả ArcGis 51 Hình 3.4.1: Hiệu suất CPU thực phép tốn 62 Hình 3.4.2: Hiệu suất CPU thực phép toán song 63 Hình 3.5.1: Chia liệu thành mảng 64 Hình 3.5.1: Form chuyển liệu sang dạng raster 72 Hình 4.1: Bộ liệu thử nghiệm phần mềm phân tích dịng chảy 74 Hình 4.2 :Form phần mềm phân tích song song dịng chảy theo D8 75 Hình 4.3.1 Mở file text độ cao .76 [IX] Lúc phần mềm chuyển sang form ConvertToRaster để ta dễ dàng thực Trong Form ta làm theo bƣớc đƣợc dẫn Các bƣớc nhƣ sau: Nhấn vào chọn file text cần chuyển Nhấn vào chọn nơi lƣu raster sau chuyển Nhấn vào để chƣơng trình bắt đầu chuyển Nhấn vào để trở fom Hình 4.3.10: Sử dụng chức chuyển sang dạng raster Thực theo bƣớc, chƣơng trình tự chuyển liệu sang dạng raster, chuyển xong phần mềm báo “OK” ta cần vào đƣờng dẫn mà ta chọn trƣớc để xem kết Sau convert xong, để xem kết dạng raster form ta làm nhƣ sau Trên form khung công cụ ta chọn nút hiển thị kết Để hiển thị kết ta chọn nút hiển thị kết Hình 4.3.11: Chọn nút hiển thị raster lên Form [82] Sau ta chọn nút hiển thị kết quả, phần mềm tự động chuyển sang Form Trong form ta làm nhƣ sau Trong form ta chọn nút để add DEM vào form Xuất hộp thoại ta chọn DEM hộp thoại Chọn nút để add DEM Chọn DEM convert trƣớc để hiển thị Chọn nơi lƣu DEM mục Nhấn nút Open để mở DEM Chọn hiển thị file raster Hình 4.3.12: Chọn file raster hiển thị lên form Nhấn nút Open, phần mềm thơng báo nhấn OK Kết thuật tốn tính hƣớng D8 liệu độ cao trƣờng đại học Nông Lâm Tp.HCM dƣới dạng raster hiển thị Form nhƣ sau: [83] Hình 4.3.13: Kết thuật toán D8 dạng raster Kết hiển thị hƣớng theo D8, nhìn rõ form này, có hƣớng hiển thị cấp độ xám, theo hƣớng đƣợc xếp theo thứ tự lớn dần từ đến 128, hƣớng lớn có cấp độ xám nhỏ Ngƣợc lại ô nhỏ có cấp độ xám lớn (màu đen) Cịn kết thuật tốn tìm tích lũy dịng chảy liệu DEM trƣờng đại học Nơng Lâm Tp.HCM [84] Hình 4.3.14: Kết tích lũy dạng raster hiển thị form Kết cho ta thấy rõ dịng tích lũy Màu tối thể cho nơi khơng có chảy Màu sáng thể điểm tập trung nhiều chảy góc dƣới bên trái có tọa độ thể rõ vị trí điểm ta muốn xét cách rê chuột lên vị trí muốn xét, điều đặc biệt Dựa ứng dụng ta nhận thấy rõ dòng chảy lƣu vực lớn mà ta muốn xét, từ ta áp dụng cho cơng trình nhƣ xây dựng đƣờng xá, cống rãnh hay vùng thƣờng xuyên có lũ lụt xảy ra, từ ta ý đặc biệt cảnh báo cho vùng vị trí Bảng so sánh kết thởi gian thực thuật toán đƣợc thực core i5 – 3230M (4 Cpu – 2.6 Ghz) [85] Thuật toán Thuật toán Thuật tốn song song Tính hƣớng D8 giây 626 giây 260 Tính tích lũy phút 53 giây 243 phút 20 giây 854 Tổng thời gian phút 55 giây 869 phút 22 giây 124 Phép toán Bảng 4.3: So sánh thời gian thực thuật toán song song Bảng 4.3 so sánh thời gian thực thuật toán song song kết cho ta thấy khác biệt, thời gian tiết kiệm đƣợc thuật toán song song lớn so với thuật toán Đặc biệt, liệu lớn máy đƣợc trang bị lõi cpu đời cho ta kết tốt hơn, khả quan hơn, thời gian tiết kiệm đƣợc lên đến hàng đồng hồ, chí với liệu lớn siêu lớn kết tăng lên gấp bội, lên đến hàng ngày, hàng tuần [86] PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 5.1 Kết luận Kết quả, nghiên cứu xây dựng đƣợc ứng dụng phân tích song song thuật tốn định hƣớng dịng chảy bề mặt với tính ƣu điểm sau: - Ứng dụng có khả đọc mở file text ArcGis, lƣu liệu kết tính đƣợc vào file text riêng để ta dễ dàng theo dõi tiếp tục tính tốn sau - Ứng dụng có khả sử dụng file text ArcGis nhập vào để xác định hƣớng dòng chảy (theo D8) - Ứng dụng có khả dùng kết hƣớng dịng chảy xác định trƣớc để tính tốn tích lũy dịng chảy - Ứng dụng có khả chuyển liệu dạng file text ArcGis sang liệu dạng raster hiển thị khác kiểu liệu nhƣ liệu đồ (shapefile), geodatabases, đặc biệt raster lên form ứng dụng - Ứng dụng đƣợc sử dụng điều chỉnh thuật tốn song song cho ứng dụng khai thác tối đa khả máy tính, ln ln đạt tốc độ lớn nhất, tiết kiệm thời gian ngắn cho ngƣời sử dụng 5.2 Kiến nghị Kết tính tích lũy ứng dụng cho ta tranh tổng qt tích lũy dịng chảy lƣu vực lớn, kết hình thành đƣờng tích lũy mà dịng chảy qua Dựa vào ta áp dụng xây dựng cho cơng trình giao thơng, cầu cống cho hiệu cao cảnh báo vùng có nguy lũ lụt tránh rủi ro ngƣời Ứng dụng cịn đƣợc phát triển lên thành phiên với cơng cụ lấy kết từ tính hƣớng D8 tích lũy để xây dựng thêm nhƣ cơng cụ tìm dịng (Stream line), cơng cụ tìm liên kết dịng (Stream link), tìm cửa xả (watershed) để ứng dụng thêm đa dạng phục vụ đƣợc nhiều ngành, nhiều lĩnh vực từ đời sống ngi ngày đƣợc nâng cao [87] PHẦN TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt: - [1] Pgs Ts Nguyễn Kim Lợi, ThS Lê Cảnh Định, Ths Trần Thống Nhất, 2009, Hệ thống thông tin địa lý nâng cao, NXB Nông Nhiệp - [2] Ks Nguyễn Duy Liêm, 2013,Chuyên đề Swat, biên soạn - [3] Ks Lê Minh Hoàng, 2012, Giải thuật lập trình, giảng chuyên đề, Đại học Sƣ phạm Hà Nội - [4] Pgs Ts Nguyễn Đức Nghĩa, 2008, Tính tốn song song, giảng mơn học, NXB Bác Khoa Hà Nội Tiếng Anh - [5] Ole Mark,Terry van Kalken,K Rabbi, Jesper Kjelds, A mouse GIS study of the drainage in Dhake city - [6] Peter Van Capelleveen, Urban drainage network modeling better analyzed using ArcView 3D analyst - [7] Jurgen Garbrecht and Lawrence W Martz, June 1997 The assignment of drainage direction over flat surfaces in raster digital elevation models Journal of Hydrology, 193:204–213 - [8] D.M Mark, 1988, Modelling in Geomorphological Systems, chapter Network models in geomorphology - [9] John O’Callaghan and David Mark, December 1984, The extraction of drainage networks from digital elevation data Computer Vision, Graphics, and Image Processing - [10] Chase Wallis, Dan Watson, David Tarboton, and Robert Wallace, 2009, Parallel Flow-Direction and Contributing Area Calculation for Hydrology Analysis in Digital Elevation Models In International Conference on Parallel and Distributed Processing Techniques and Applications Website - [11] www.esri.com [88] - [12] www.msdn.microsoft.com - [13] www.hcmuaf.edu.vn - [14] www.hochiminhcity.gov.vn - [15] www.stackoverflow.com - [16] www.swat.tamu.edu - [17] www.proceedings.esri.com - [18] www.help.arcgis.com [89] PHỤ LỤC Phụ lục 1: Lý thuyết tìm đƣờng ngắn Hiện tại, nhiều thuật tốn song song tìm đƣờng ngắn đồ thị Chúng ta nêu thuật toán, cụ thể thuật toán tiến sĩ Lyudmil Aleksandrov đề xuất Giả sử, có đồ thị G, n đỉnh Khi đó, thuật toán là: Giai đoạn tiền xử lý: - Bƣớc 0: chia đồ thị n đỉnh thành r đồ thị Mỗi đồ thị có n/r đỉnh đồ thị có - n đỉnh biên ngồi đồ thị r Bƣớc 1: Tải đồ thị vào p xử lý Hình PL1: Hình minh họa việc phân bố r=5 đồ thị vào p=3 xử lý - Bƣớc 1: (tiếp theo) Sau đó, xử lý chuyển toàn đỉnh biên đến tất xử lý khác để hình thành đồ thị G* có cạnh nhƣ G (nhƣng có đỉnh biên ngồi) - Bƣớc 2: Tính tốn xử lý Mỗi xử lý tính tốn đƣờng ngắn [90] - Bƣớc 3: Mỗi xử lý trau đổi thơng tin biên ngồi Khi giá trị nhỏ đƣợc cập nhật đồ thị G* - Bƣớc 4: Mỗi xử lý tính tốn giá trị ngắn từ đỉnh cịn lại đến đỉnh đồ thị G* Giai đoạn xử lý: Khi có u cầu tìm đƣờng ngắn nhất: - Bƣớc 1: Bộ xử lý trung tâm xác định xác vị trí đỉnh xử lý chứa đỉnh nguồn đích Hình PL2: Nhập điểm nguồn điểm đích - Bƣớc 2: Tính giá trị trọng số ngắn đỉnh đồ thị chứa điểm nguồn đến đồ thị chứa điểm đích Hình PL3 : Tìm khoảng cách ngắn tập điểm biên đồ thị chứa điểm nguồn đến đồ thị chứa điểm đích [91] - Bƣớc 3: Đƣờng đƣợc hình thành cách kết hợp đƣờng ngắn từ điểm nguồn đến đỉnh đồ thị chứa điểm nguồn với đƣờng tìm đƣợc bƣớc đƣờng ngắn từ điểm đích đến đỉnh ngồi đồ thị chứa điểm đích Kết thúc thuật tốn Hình PL4 : Xác định đƣợc đƣờng ngắn kết thúc thuật toán Để cài đặt đƣợc thuật toán trên, phải xây dựng đối tƣợng phƣơng thức nhƣ sau: - Đối tƣợng đồ thị G, - Xác định đối tƣợng đỉnh trong, đỉnh đồ thị - Đồ thị G* (bao gồm tập đỉnh đồ thị cạnh đồ thị G), - Các node liên kết Thuật toán đƣợc chứng minh vấn đề sau: - Thuật toán giải đƣợc vấn đề tìm đƣờng ngắn - Việc truyền thơng node (bộ xử lý) cực tiểu - Từ đây, với đồ, xây dựng thành đồ thị với đỉnh giao đƣờng cạnh đƣờng Đối với liệu raster, phân chia theo khơng gian [92] Phụ lục 2: Thuật tốn Fox nhân ma trận Phép toán nhân ma trận phép tốn có số lƣợng tính tốn lớn Với hai ma trận A=(aij) B = (bij) với kích thƣớc giả định nxn Tích ma trận A.B = C = (cij) ma trận kích thƣớc nxn với phần tử ma trận C đƣợc xác định nhƣ sau: cij = ∑aikbkj, với k=0,n-1 i=0,1,…,n-1 j = 0,1,…,n-1 Với thuật toán nhân ma trận đƣợc cài đặt theo định nghĩa, ta có độ phức tap thuật toán O(n3) Để thực thuật tốn Floyd, ta thực cơng việc sau: - Ma trận a b ma trận kề đồ thị - Thay Phép nhân Phép cộng - Thay Phép cộng phép lấy giá trị cực tiểu (min) Vì phép nhân ma trận cần tính tốn cho n2 phần tử, đó, ta cố gắng thực thuật toán giảm mức độ phức tạp thành O(n2) Thuật toán Fox nhân ma trận với ý tƣởng thực n bƣớc (từ bƣớc đến bƣớc n-1) Trong bƣớc, giá trị cij đƣợc cập nhật Cụ thể nhƣ sau: - Bƣớc 0: cij aii x bij, - Bƣớc k: (1≤k