Toán t “kinh nghiệm dạy tư duy sáng tạo và kỹ năng chứng minh hình học thông qua việc khai thác bài toán gốc “

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNGTHCS “Kinh nghiệm dạy tư sáng tạo kỹ chứng minh hình học thơng qua việc khai thác tốn gốc “ Tác giả: GV: Mơn:Tốn Tổ mơn:KHTN Năm thực hiện: 2019 Số điện thoại cá nhân: Tháng năm 2019 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 “Kinh nghiệm dạy tư sáng tạo kỹ chứng minh hình học thơng qua việc khai thác tốn gốc “ Mơn: Tốn Tổ mơn: KHTN Năm thực hiện: 2019 Tháng năm 2019 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ : I/ Lý chọn đề tài: Hình học môn học rất quan trọng cần thiết cấu thành chương trình tốn học ở THCS cùng với mơn sớ học đại sớ Mơn hình học kích thích sáng tạo, phán đoán người bên cạnh rèn luyện tính kiên trì, nhẫn nại người học Bởi giải tốn hình học vấn đề trọng tâm người dạy người học Hiện sớ học sinh sợ mơn tốn đặc biệt mơn hình học nhiều Đới với học sinh lười học đành song với học sinh "chăm học" vậy, mặc dù thuộc lí thuyết vẩn khơng giải Thậm chí có tương tự giải khía cạnh giải, toán ngược lại giải mà học sinh không giải quyết Nguyên nhân dẫn đến tình trạng là: - Học sinh lười học, lười suy nghĩ, không nắm phương pháp - Học sinh học thụ động, thiếu sáng tạo - Không liên hệ " Bài tốn gớc" giải với tốn suy từ "bài tốn gớc" hay nói cách khác không biết nghiên cứu lời giải tốn Những tồn tại khơng người học mà người dạy Người dạy thường trọng hướng dẫn em giải, giải tốn độc lập mà khơng trọng hệ thớng, xâu chuổi, phát triển toán từ " tốn gớc" nhờ việc nghiên cứu kỹ lời giải tốn, thơng qua hình vẽ, nhận xét, thay đổi giả thiết toán Lật ngược vấn đề… Chính vậy, tơi chọn đề tài: “Kinh nghiệm dạy tư sáng tạo kỹ chứng minh hình học thơng qua việc khai thác tốn gốc “ làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm năm học II/ Muc đích- nhiệm vụ nghiên cứu: Đới với học sinh khơng có đáng nhớ tự thân em tìm kiếm phát vấn đề xung quanh toán cụ thể, em nhớ lâu gặp toán em biết liên hệ toán phải giải với toán cũ giải mà em biết giúp em biết bất kỳ toán xuất phát từ toán đơn giản Đề tài nghiên cứu tơi ngồi việc cung cấp phần kiến thức cho em học sinh điều quan trọng tơi ḿn đạt rèn luyện cho em tính tị mị, chịu khó tìm tịi kiến thức mới, tự giác học tập để chiếm lĩnh tri thức Nhằm rèn luyện cho học sinh cách giải quyết gặp vấn đề khó khăn Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 III/ Đối tượng nghiên cứu Một số tập nguồn cố kiến thức cho học sinh sau học Và sớ tập mang tính sưu tầm nhằm giới thiệu đến bạn đọc IV/ Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu chương trình, nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, qua thực tế dạy thân, đặc biệt cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi Tìm hiểu giải sớ tốn để nắm nội dung, liên hệ chúng với nhau.Đặc biệt nghiên cứu ứng dụng tính chất để giải toán cách rỏ ràng mạch lạc nhất PHẦN II NỘI DUNG: I/ Nhận thức cũ tình trạng cũ Đới với em học sinh, đặc biệt lứa tuổi học sinh cấp việc đến lớp vào tiết học phải tập trung 100% tư người việc em ý thức Ở lớp tiếp thu kiến thức nhà ôn tập lại làm tập vận dụng cho kiến thức em làm Song việc tự tìm tịi, tự học thêm kiến thức tương tự nâng cấp khơng phải việc đơn giản đới với đa số em, đặc biệt đối tượng học sinh vùng nơng thơn tài liệu em cịn hạn chế Đó chưa nói đến mơn học với u cầu mặt tư lơ gíc trí tưởng tượng phong phú phân mơn HÌNH HỌC Vì thế em rất ngại phát triển tập hình học, thường giải quyết tập hình học tư tưởng em rất thỏa mãn II/ Nhận thức giải pháp Qua thực tế giảng dạy nhận thấy sớ học sinh phụ trách có sớ em có tớ chất tư nhanh nhạy nên tơi tiếp cận riêng đặt vấn đề với em Kết em rất tò mò hào hứng Tơi bắt đầu nhen nhóm tinh thần động viên em Ban đầu đưa vài ví dụ đơn giản để em làm quen tiếp cận, sau tơi mạnh dạn tập giao nhiệm vụ cho em tìm hiểu, phát triển tốn theo khía cạnh khác tổng hợp lại Sau thời gian nhất định thật bất ngờ trước kết nhận Không em tự giác học hơn, tư nhanh nhạy mà em biết đặt câu hỏi thêm cho như: + Lấy kết luận làm giả thiết, lấy giả thiết làm kết luận toán có khơng ? + Thay đường cao cho đường trung tuyến toán ? + Thay tam giác cân tam giác thường toán thế ? Kết thu thế rất đáng mừng phải không ạ Tơi thầm nghỉ giải pháp mà hướng Vì thế tơi qút định phát triển thành đề tài nghiên cứu để chia sẽ, trao đổi với đồng nghiệp người quan tâm Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 III/ Một số ví dụ cụ thể Ví dụ 1: Bài tốn 1.1: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) Gọi M trung điểm đường cao AH Gọi D giao điểm cạnh AB với đường thẳng CM Chứng minh rằng: AD = AB Giải:  ABC cân nên đường cao AH đồng thời đường trung tuyến  H trung điểm BC A Gọi E trung điềm BD ta có: HE đường trung bình  BDC  HE//DC BE= ED (1) D  AEH có DM// EH; AM = MH (gt) M  DM đường trung bình E  D trung điểm AE hay DE = DA (2) Từ (1) (2) ta có : BE= DE = AD B Vậy: AD = AB C H Nhận xét: Dữ kiện đường cao AH cho tam giác ABC sử dụng để có HB = HC, ta thay đường cao AH trung tún AH Khi khơng cần tam giác ABC cân ta có tốn tổng qt sau: Bài tốn 1.2: Cho tam giác ABC có M trung điểm trung tuyến AH Gọi D giao điểm AB CM Chứng minh rằng: AD = AB Giải Ta có: HB = HC ( gt ) A Gọi E trung điểm BD  DE = EB(1) D Khi  BDC có EH đường trung bình M  EH // DC  EH // DM (*) E  AEH có AM = MH ( gt ); DM // EH ( theo (*)) B H Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 C  DM đường trung bình  AEH  DE = DA (2) Từ (1) (2) ta có : BE= DE = AD Vậy AD = AB Nhận xét: Xét lời giải tốn 1.2 ta thấy rằng: Khi có AD = AB Gọi giao điểm trung tuyến AH CD M ta chứng minh M trung điểm AH ta có tốn mới sau: Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC có AH đường trung tuyến D điểm thuộc cạnh AB cho AD = AB, CD cắt AH tại M Chứng minh M trung A điểm AH Giải: D M E Ta có :AD = AB ( gt ) (1)  BD= AB(*) B H C Gọi E trung điểm BD  BE = ED = BD = AB= AB (theo (*)) (2) Từ (1) (2) ta có: BE = ED = DA (3) HB = HC ( gt ) Vậy EH đường trung bình tam giác BDC  HE // DM (4) Từ (3) (4)  MD đường trung bình  AEH  M trung điểm AH Nhận xét : Qua lời giải toán 1.3 ta thấy CD qua trung điểm AH Nếu lấy K thuộc AC cho AK = AC ta có điều tương tự, ta có tốn mới sau: Bài toán 1.4: Cho tam giác ABC có trung tuyến AH Các điểm D K theo thứ tự AB AC cho AD = 1 AB; AK = AC Chứng minh đường thẳng AH, CD, 3 BK đồng quy Giải: Ta có M trung điểm AH ( Chứng minh tập 1.3 ) (1) Gọi F trung điểm KC  KF = FC Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 AK = AC ( gt ) A Vậy AK = KF = FC D Mặt khác: HF đường trung bình tam giác KBC M E  HF // KB Giả sử KB cắt AH tại M’  KM’ đường trung bình K M F B C H tam giác AHF  M’ trung điểm AH (2) Từ (1) (2)  M  M’ Vậy đường thẳng AH, CD, BK đồng quy Nhận xét: Nối DK, EF ta có DK // EF Giả sử EF cắt AH ở P  P trung điểm EF Ta lấy tia đối tia FE điểm I cho FI = FP Gọi N giao điểm DI AC ta chứng minh N trung điểm DI từ ta có tốn mới sau: Bài tốn 1.5: Cho tam giác AEF, D P theo thứ tự trung điểm cạnh AE EF Trên tia đối tia EA lấy điểm B cho EB = ED, tia đối tia FE lấy điểm I cho FI = FP Gọi N giao điểm DI AF Chứng minh ba điểm B,P,N A thẳng hàng Giải: Kẻ Dx // EF, Dx cắt AF ở K Ta có : DK = E EF = EP = PF = FI x K D N P F I B  DKN =  IFN ( g.c.g) ( = , = (so le trong), DK = FI)  DN = NI (cạnh tương ứng) Xét  DBI có IE trung tuyến có EP = FP = FI (gt)  P trọng tâm  DBI  BN đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B  BN qua P, hay ba điểm B, P, N thẳng hàng Ví dụ 2: Bài toán 2.1 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 Cho tam giác ABC, gọi G trọng tâm tam giác Trên tia AG lấy điểm D cho G trung điểm AD Chứng minh tam giác BGD tam giác Giải: Cách 1: Ta có : AI = BK = CH AG = GD = (các đường trung tuyến tam giác ) (1) 2 AI, BG = BK 3 ( gt ) (2) A Mặt khác: AI  BC GI = ID   GBD có trung tuyến BI vừa đường cao H   GBD cân tại B K G  GB = BD (3) B Từ (1), (2), (3)   GBD I C D Cách 2: Ta có GD = GB ( cùng độ dài trung tuyến tam giác ABC ) BK đường trung tuyến  ABC  BK đường cao  BK  AC  AKG có = 90o;  BGD = 30o  = 60o  = 60o cân có góc 60o   BGD Cách 3: ( Ta chứng minh góc  BGD 60o   BGD ) Nhận xét: - Bài tốn cho khơng khó việc khún khích em trình bày lời giải khác giúp em có nhìn linh hoạt với khái niệm tam giác - Khi thay  ABC cân tại A ta chứng minh tam giác BGD cân tại B - Để toán phong phú hỏi thêm : Hãy so sánh diện tích  BGD với diện tích  ABC? ( Diện tích  BGD diện tích  ABC ) - Trong toán 2.1 kiện tam giác cho mục đích để có trung tuyến Ta chứng minh  BGD có độ dài cạnh độ dài trung tuyến tương ứng Vậy ta có toán tổng quát sau: Bài toán 2.2: Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Trên tia AG lấy điểm D cho AG = GD Chứng minh  BGD có độ dài cạnh tương ứng  ABC độ dài trung tuyến A Giải: H Ta có: GD = AG = 2 AI; BG = BK 3 ( gt ) (1) K G Giả sử trung tuyến xuất phát từ A cắt BC tại M B M Xét  BMD  CIG có: GM = MD; BM = MC ( gt ) = C D ( Đối đỉnh )   BMD =  CMG ( c.g.c)  BD = GC ( cạnh tương ứng) Mà GC = CH (2) (3) Từ (1), (2) (3)   BGD có độ dài cạnh độ dài trung tuyến tương ứng tam giác ABC Nhận xét: - Để toán phong phú ta hỏi thêm: Chứng tỏ trung tuyến tam giác GBD có độ dài độ dài cạnh tương ứng tam giác ABC ? diện tích tam giác - Ta chứng minh diện tích tam giác BGD ABC - Từ lời giải toán 2.2 ta thấy tam giác BGD mới tạo nên có độ dài cạnh độ dài trung tuyến tương ứng tam giác ABC cho Vậy ta có tốn mới sau: Bài tốn 2.3: Cho tam giác ABC, chứng minh độ dài trung tuyến tam giác nhỏ tổng độ dài hai trung tuyến lại Giải: A Giả sử ba đường trung tuyến tam giác cắt tại G Lấy Q trung điểm GC Ta có GQ = QC mà GC = H G CD ( gt )  GQ = DC 3 1  GCB có QM = GB = BK K Q GM = AM ( gt ) B Sáng kiến kinh nghiệm Nguyên Anh Văn, 0833703100 M C  Tam giác GMQ có độ dài cạnh độ dài trung tuyến tương ứng Mặt khác tam giác GQM độ dài cạnh ln nhỏ tổng độ dài hai cạnh cịn lại  Trong tam giác ABC độ dài trung tuyến nhỏ tổng độ dài hai trung tuyến lại Nhận xét: Ta biết GK = BK Nếu tia đối tia KB lấy KE = KB KE trung tuyến  EAC, lấy điểm H thuộc KE cho KH = KG H trọng tâm tam giác AEC Vậy ta có tốn mới sau Bài toán 2.4 : Cho tam giác ABC, trung tuyến AM BN cắt tại G Trên tia đối tia NB lần lượt lấy điểm E điểm H cho NE = NB; NH = NG Gọi K trung điểm EC Chứng minh ba điểm A,H,K thẳng hàng Giải: NH = NG; EN = BN; NG = BN ( gt ) A  NH = EN  H trọng tâm  AEC; E H N K  EC ; EK = KC  AK trung tuyến  AEC K G  AK qua trọng tâm H tam giác AEC Vậy ba điểm A, H, K thẳng hàng B M C Ví dụ 3: Bài tốn 3.1 Cho tam giác ABC có