Tong hop ly thuyet ung dung dao ham de khao sat va ve do thi ham so

Tổng hợp lý thuyết TÀI LIỆU DÀNH CHO KHỐI 12 Mục lục  Chủ đề 01 ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ  Dạng 1.1 Xét tính đơn điệu hàm số (biết đồ thị, bbt)  Dạng 1.2 Hàm số bậc ba đơn điệu khoảng k  Dạng 1.3 Hàm số phân thức đơn điệu khoảng k  Dạng 1.4 Hàm hợp y=f(u(x))  Dạng 1.5 Hàm hợp y=g(x)+h(x) 10  Dạng 1.6 Ứng dụng phương pháp hàm số 11  Chủ đề 02 CỰC TRỊ  Dạng 2.1 Tìm cực trị hàm số y=f(x) cho BBT Đồ Thị 17  Dạng 2.2 Tìm cực trị hàm số tường minh 18  Dạng 2.3 Tìm m để hàm số y=f(x) đạt cực trị x0 19  Dạng 2.4 Tìm m để hàm số y=f(x) có n cực trị 20  Dạng 2.5 Đường thẳng qua hai điểm cực trị 21  Dạng 2.6 Cực trị hàm bậc ba thỏa điều kiện với đường thẳng 22  Dạng 2.7 Cực trị hàm bậc ba thỏa điều kiện x1,x2 24  Dạng 2.8 Cực trị hàm trùng phương 25  Dạng 2.9 Cực trị hàm hợp y=f(u(x)) 26  Chủ đề 03 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT  Dạng 3.1 Max – Min hàm số cho trước đoạn [a;b] .30  Dạng 3.1 Max – Min hàm số cho trước đồ thị BBT 32  Dạng 3.3 Max – khoảng (a;b) 33  Dạng 3.4 Max – hàm vô tỷ 34  Dạng 3.5 Max – hàm lượng giác 35  Dạng 3.6 Max – hàm trị tuyệt đối 36  Chủ đề 04 TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Dạng 4.1 Lý thuyết đường tiệm cận 39  Dạng 4.2 Tìm đường tiệm cận từ đồ thị bbt 40  Dạng 4.3 Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số tường minh 41  Dạng 4.4 Biện luận tiệm cận chứa tham số m 43  Dạng 4.5 Tìm đường tiệm cận hàm ẩn 45 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Chủ đề 05 ĐỒ THỊ HÀM SỐ  Dạng 5.1 Từ đồ thị/bbt cho xác định hàm số 53  Dạng 5.2 Từ đồ thị/bbt cho xác định hệ số 54  Dạng 5.3 Đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối 55  Chủ đề 06 SỰ TƯƠNG GIAO  Dạng 6.1 Đếm số giao điểm (điểm chung) biết hàm tường minh 57  Dạng 6.2 Đếm số giao điểm (điểm chung) biết đồ thị/bbt 58  Dạng 6.3 Tìm m để đths giao với (c’) n nghiệm 59  Dạng 6.4 Tìm m để đths phân thức giao với (c’) thỏa điều kiện 62 y C  C  C  O  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 x Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN A LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa 01 Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y  f  x  hàm số xác định K , ta có hàm số f  x  gọi :  đồng biến (tăng) K  x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2   nghịch biến (giảm) K  x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  Định lý  Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K 01 02 Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:  Nếu hàm số đồng biến khoảng K f   x   0,  x  K  Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f   x   0,  x  K Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:  Nếu f   x   0,  x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f   x   0,  x  K hàm số f nghịch biến K  Nếu f   x   0,  x  K hàm số f khơng đổi K Ta có nhận xét sau: Nhận xét 01 – Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) đồng biến (nghịch biến) hàm số Tính chất khơng hiệu Nhận xét 02 – Nếu hàm số hàm số hàm số dương đồng biến (nghịch biến) đồng biến (nghịch biến) Tính chất khơng hàm số  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 không hàm số dương Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Nhận xét 03 Cho hàm số , xác định với Hàm số xác định với + Giả sử hàm số Ta có nhận xét sau: đồng biến với Khi đó, hàm số đồng biến với đồng biến với + Giả sử hàm số với nghịch biến với Khi đó, hàm số nghịch biến nghịch biến với Định lý Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó:  Nếu f   x   0,  x  K f   x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K  Nếu f   x   0,  x  K f   x   hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K B CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 1.1 Xét tính đơn điệu hàm số (biết đồ thị, bbt)  Đề cho đồ thị hàm số y  f  x  Bảng biến thiên  nhìn hướng đồ thị:  Khoảng mà đồ thị có hướng “đi lên”  hàm số đồng biến khoảng  Khoảng mà đồ thị có hướng “đi xuống”  hàm số nghịch biến khoảng  Đề cho đồ thị hàm số y  f   x   làm theo bước sau:  Bước 01 Tìm giao điểm đồ thị f   x  với Ox  Bước 02 Lập bảng xét dấu f   x  cách nhìn:  Phần Ox mang dấu   Phần Ox mang dấu   Bước 03 Từ bảng xét dấu ta tìm chiều “lên – xuống” f  x   Ví dụ 1.1.1 Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Hàm số đồng biến khoảng đây? A  ;1 B  1;   C  0; 1 D  ;  Lời giải Chọn D Ta thấy khoảng  ;  bảng biến thiên thể hàm số đồng biến  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 1.2 Hàm số bậc ba đơn điệu khoảng k  Tìm tham số m để hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d đơn điệu tập xác định  Bước 01 Tập xác định: D  Tính đạo hàm y  3ax2  2bx  c  Bước 02 Ghi điều kiện để hàm đơn điệu, chẳng hạn: Để f  x  đồng biến Để f  x  nghịch biến  y  0, x     ay  a     m?  b  ac    y    y  0, x     ay   a    m ?  b  ac     y    Lưu ý: Dấu tam thức bậc hai f  x   ax2  bx  c f  x   , x  a     0 f  x   , x  a     0  Ví dụ 1.2.1 Tìm giá trị m để hàm số y  x3  3x2   m   x  3m  đồng biến A m  B m  D m  1 C m  Lời giải Chọn D Hàm số y  x3  3x2   m   x  3m  có tập xác định D   y  3x2  6x  3( m  2)  0, x  Hàm số đồng biến a  3     m  1    9  9( m  2)  Vậy với m  1 hàm số đồng biến  Tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu miền D cho trước  Phương pháp (Khi f   x   nhẩm nghiệm)  Bước 01 Tính f   x   x  x1  Bước 02 Giải f   x     x  x   Bước 03 Lập bảng xét dấu, xác định khoảng đơn điệu hàm số  Bước 04 Từ bảng xét dấu, giả sử điều kiện để hàm số đơn điệu (đồng biến nghịch biến theo yêu cầu toán) D  Bước 05 Để hàm số đơn điệu K K  D  Ví dụ 1.2.2 Tìm m để hàm số y  x3  3x2  3mx  nghịch biến khoảng  0;   A m  1 m  B  m  C m  D m  1 Lời giải Chọn A  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Ta có y  3x2  6x  3m Hàm số y   x3  3x2  3mx  nghịch biến  0;    y  0, x   0;   Hay 3x2  6x  3m  0, x   0;    m  x2  2x , x   0;   (1) Xét f ( x)  x  2x  0;   có f ( x)  2x  ; f ( x)   2x    x  Từ bảng biến thiên ta có (1) m  1 Vậy với m  1 hàm số cho nghịch biến  0;    Phương pháp (Khi f '  x   không nhẩm nghiệm)  Bước 01 Ghi điều kiện để y  f  x; m đơn điệu D Chẳng hạn: Đề yêu cầu y  f  x; m đồng biến D  y  f   x; m  Đề yêu cầu y  f  x; m nghịch biến D  y  f   x; m  m  g  x    Bước 02 Cô lập m khỏi biến số đặt vế lại g( x) được:   m  g  x   Bước 03 Khảo sát tính đơn điệu hàm số g  x  D Khi m  g  x   m  max g  x  D   Bước 04 Dựa vào bảng biến thiên kết luận:  Khi m  g  x   m  g  x  D   Ví dụ 1.2.3   Tìm m để hàm số y  x3   2m  1 x  m  2m x  đồng biến khoảng  0;   A m   m  2 B  m   m  2 C  m  D m  1 Lời giải Chọn B Ta có y  3x2   2m  1 x  m2  2m ; Với m  , ta có y  0, x  ' y     2m  1  m2  2m   m  1  hàm số đồng biến khoảng  0;   Do m  thỏa mãn yêu cầu toán nên hàm số đồng biến  2m   m   x1  Với m  1, ta có y     2m   m   x2    Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Từ bảng biến thiên  hàm số đồng biến  0;    x2   2m   m    m   2m  Với m  1, ta có m   2m   m   2m   m  (loại) Với m  1, ta có m   2m   m   2m   m  2 (thỏa mãn) Vậy với m  2 m  , hàm số cho đồng biến khoảng  0;    Dạng 1.3 Hàm số phân thức đơn điệu khoảng k  Tìm tham số m để hàm số y   Bước 01 Tính f   x   ax  b đơn điệu khoảng xác định cx  d ad  cb  cx  d   Bước 02 Thực yêu cầu toán:  Hàm số đồng biến khoảng xác định  f   x    ad  cb  cx  d   Hàm số nghịch biến khoảng xác định  f   x      ad  cb  ad  cb  cx  d    ad  cb   Ví dụ 1.3.1 mx  m  đồng biến khoảng xác định 5x  m   3   B m    ; 1 C m   1;  D m  6;15 2    Lời giải Tìm giá trị m để hàm số y  A m  7; 5 Chọn A Tập xác định D  Ta có: y  m  3 \     m2  2m  35  5x  m  3 Hàm số đồng biến khoảng tập xác định y  0, x  m3  m2  2m  35   m   7; 5 Vậy m  7; 5 hàm số đồng biến khoảng xác định  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết  Tìm tham số m để hàm số y  Năm học: 2023-2024 ax  b đơn điệu khoảng xác định cx  d  Bước 01 Điều kiện xác định cx  d   x   d c ad  cb  Bước 02 Tính f   x    cx  d   Bước 03 Thực yêu cầu toán: ad  cb   Hàm số đồng biến  a ; b    d với  d chứa tham số m c   m ; n    c  ad  cb   Hàm số nghịch biến  a ; b    d với  d chứa tham số m c   m ; n     c  Ví dụ 1.3.2 mx  Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y  đồng biến  2;   xm   A m    ; 1 B m   2 ;  1  1 ;     C m   1 ;  D m  1;1 Lời giải Chọn B Tập xác định D  R \{m} y  m2   x  m Hàm số y  , x  m mx  đồng biến  2;    y  x   2;   xm m  2 m       m  1  m   2 ;  1  1 ;   m   m    Dạng 1.4 Hàm hợp y=f(u(x)) u   Bước 01 Tính y  u  f   u   y     f   u     Bước 02 Để giải  ta tìm f   x   (đồ thị cắt trục hoành) x  a u  a    f  u     nghiệm  Giả sử f   x      x  b u  b  Bước 03 Lập bảng xét dấu y  u  f   u  khoảng đơn điệu cần tìm  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 1.4.1   Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x2  x   x   Khi hàm số y  f x 2 nghịch biến khoảng đây? A  3;    B  3 ;  C   ; 3 D  2 ; 2 Lời giải Chọn C   Ta có y   f x   x x x  x     x  3   x  2 Cho y    x   x  x           2x5  x  3 x  3 x    x   2 Ta có bảng xét dấu y sau:   Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y  f x nghịch biến   ; 3  ; 3  Ví dụ 1.4.2 Hàm số y  f '  x  Cho hàm số y  f  x  liên tục có đồ thị hình vẽ bên Hàm số y  f   x  khoảng: A  2 ;1 C   ; 2  B  2 ; 2 D 1; 3 Lời giải Chọn A   Ta có f   x     x  f '   x    f '   x  ' Dựa vào đồ thị hàm số f '  x    x  1  x3  f   x    f '   x    1   x   2  x  '  f   x '    1   x  1  x    f ' 2  x      x  2   x  Vậy hàm số đồng biến khoảng  2 ;1  3;    Hàm số nghịch biến khoảng   ;   1; 3  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Đồ thị hàm số bậc bốn 2.1 Hình dạng bản: a0 Trường hợp a0 Phương trình y  có nghiệm phân biệt Phương trình y  có nghiệm phân biệt 2.2 Từ đồ thị xác định hàm số Xét hàm số y  ax4  bx2  c  a  0 Từ đồ thị cho để xác định dấu hệ số hàm ta thực bước sau:  Bước Xác định bậc  Bước Xác định nhánh cuối đồ thị  Bước Xác định giao điểm đồ thị với trục tung  Bước Xác định số cực trị  Bước Điểm thuộc đồ thị hàm số Trên bước tổng quát, giờ ta xét hệ số cụ thể sau: Xác định Nhìn vào Trường hợp xảy  Đi lên a   Dấu a Nhánh cuối đồ thị  Đi xuống a   Cắt gốc O  c   Dấu c Vị trí đồ thị cắt Oy  Cắt gốc O  c   Cắt gốc O  c  Đồ thị cho có ?  Có điểm cực trị  ab  kết hợp dấu a  b  Dấu b điểm cực trị  Có điểm cực trị  ab  kết hợp dấu a  b  Lưu ý:  Đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương) có TRỤC ĐỐI XỨNG trục tung (Oy)  Đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương) khơng có tâm đối xứng  Đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương) hàm số chẵn  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 49 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Đồ thị hàm số hữu tỉ 3.1 Hình dạng bản: y  Trường hợp y  3.2 Từ đồ thị xác định hàm số ax  b Xét hàm số y   ad  cb  0 cx  d Từ đồ thị cho để xác định dấu hệ số hàm ta thực bước sau:  Bước Xác định hai đường tiệm cận  Bước Xác định giao điểm đồ thị với trục tung  Bước Chiều biến thiên Trên bước tổng quát, giờ ta xét hệ số cụ thể sau: Nhìn vào Trường hợp xảy  TCĐ nằm bên phải Oy  d  c d  TCĐ nằm bên trái Oy  0 c  Tiệm cận đứng c    TCĐ Oy d  Một điều ta kết luận d & c trái dấu  TCN nằm Ox a  TCN nằm Ox  a 0 c c   a   Tiệm cận ngang  TCĐ Ox c 0 Một điều ta kết luận a & c trái dấu  b 0 d  Điểm nằm Ox  b 0 d d    Điểm O b   Một điều ta kết luận a & c trái dấu  Điểm nằm Ox  Điểm giao với trục Oy  Lưu ý: ax  b có TÂM ĐỐI XỨNG giao điểm hai đường tiệm cận cx  d ax  b  Đồ thị hàm số bậc bốn y  ln có TCĐ TCN cx  d  Đồ thị hàm số hữu tỉ y   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 50 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Các phép biến đổi đồ thị Cho hàm số y  f  x  có đồ thị C  với số a  ta có: Hàm số  y  f  x   a có đồ thị  C   Cách biến đổi Tịnh tiến C  theo phương Oy lên a đơn vị  y  f  x   a có đồ thị  C   Tịnh tiến C  theo phương Oy xuống a đơn vị  y  f  x  a  có đồ thị  C   Tịnh tiến C  theo phương Ox qua trái a đơn vị  y  f  x  a  có đồ thị  C   Tịnh tiến C  theo phương Ox qua phải a đơn vị  y   f  x  có đồ thị  C   Đối xứng C  qua trục Ox  y  f  x  có đồ thị  C   Đối xứng C  qua trục Oy  Biến đổi đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối Từ đồ thị C  : y  f  x  suy ra:  Đồ thị   C  y f x Nhận xét:  f  x  x  Ta có: y  f x    f   x  x      hàm chẵn nên đồ thị C nhận Oy làm trục đối xứng Và y  f x  Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị C  : y  f  x  Cách vẽ:  Bỏ phần đồ thị bên trái Oy C  , lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy Ví dụ Từ đồ thị C  : y  f  x   x3  3x suy đồ thị  C  : y  x  x Ta có đồ thị C  : y  f  x   x3  3x : Khảo sát vẽ C   Bỏ phần đồ thị C  bên trái Oy , giữ Biến đổi C  :  Đồ thị y  f  x Nhận xét: nguyên C  bên phải Oy  Lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy C  f  x  f  x   Ta có: y  f  x     f  x  f  x    Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị (C): y  f  x  Cách vẽ: Ví dụ  Bỏ phần đồ thị phía Ox (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Từ đồ thị C  : y  f  x   x3  3x suy đồ thị y  x3  3x  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 51 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Ta có đồ thị C  : y  f  x   x3  3x : Khảo sát vẽ C   Bỏ phần đồ thị C  Ox , giữ nguyên Biến đổi C  :  Đồ thị  Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox y  u  x  v  x   C   Nhận xét: Cách vẽ: Ví dụ C  phía Ox u  x  v  x   f  x  u  x   Ta có: y  u  x  v  x    u  x  v  x   f  x  u  x    Giữ nguyên phần miền u  x   đồ thị C  : y  f  x   Bỏ phần miền u  x   C  , lấy đối xứng phần bị bỏ qua Ox  Nhận xét  f  x  x  y  x  2x  x      f  x  x     Giữ nguyên C  với x   Bỏ C  với x  Lấy đối xứng phần đồ thị bị Biến đổi C  : Ví dụ  Từ đồ thị C  : y  f  x   2x3  3x2  suy đồ thị  C   : y  x  x  x  bỏ qua Ox Chú ý: Trong trình thực phép suy đồ thị nên lấy đối xứng điểm đặc biệt C  : giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… Từ đồ thị C  : y  f  x   Nhận xét y (C') O x (C) x x suy đồ thị C  : y  x 1 x 1  x x  1;    x y   x 1 x 1  x  x   ; 1  x   Bỏ phần đồ thị C  với x  1, giữ y nguyên C  với x  Biến đổi C  :  Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Chú ý: Đối với hàm phân thức nên lấy đối xứng đường tiệm cận để thực phép suy đồ thị cách tương đối xác   Chú ý: với dạng: y  f x  Biên soạn: Gv Lê O x   y  f  x  ta biến đổi đồ thị y  f x Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 52 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 5.1 Từ đồ thị/bbt cho xác định hàm số  Bước 01 Xác định bậc  Bước 02 Xác định nhánh cuối đồ thị  Bước 03 Xác định giao điểm đồ thị với trục tung  Bước 04 Xác định số cực trị  Bước 05 Điểm thuộc đồ thị hàm số  Ví dụ 5.1.1 Hình vẽ sau đồ thị bốn hàm số cho đáp án A, B, C , D Hỏi hàm số nào? A y  x3  2x  B y  x3  2x2  C y  x3  2x  D y  x3  2x  Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị, ta có lim y   , loại phương án D x  Xét phương án A có y  3x2   0, x  , hàm số khơng có cực tri, loại A Xét phương án B có y  3x2  6x y đổi dấu qua điểm x  0, x  nên hàm số đạt cực tri x  x  , loại phương án B  Ví dụ 5.1.2 Hình vẽ bên đồ thị hàm số x 1 2x  A y  B y  x 1 x 1 2x  2x  C y  D y  x 1 x 1 Lời giải Chọn B Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm có tọa độ  0; 1 nên chọn phương án B  Ví dụ 5.1.3 Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số sau đây? A y   x3  3x  B y  x4  x2  C y   x2  x  D y  x3  3x  Lời giải Chọn D Đồ thị cho có hình dạng đồ thị hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d nên loại phương án B C Dựa vào đồ thị, ta có lim y    a  nên loại phương án A x   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 53 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 5.2 Từ đồ thị/bbt cho xác định hệ số  Xem lại mục “Từ đồ thị xác định hàm số.”  Ví dụ 5.2.1 Cho hàm số y  ax4  bx2  c có đồ thị hình bên.Mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Lời giải Chọn A Do đồ thị cắt Oy M  0; c  nằm trục Ox nên c  Vì lim y   nên a  x  Hàm số có ba điểm cực trị nên ab   b   Ví dụ 5.2.2 ax  b Cho hàm số y  có đồ thị hình bên Khẳng x 1 định đúng? A b   a B  b  a C b  a  D  a  b y x O 1 2 Lời giải Chọn C Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  a tiệm cận đứng x  Đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x  b  a  a 1  Ta có :  1  b  a  1   ba 1   Ví dụ 5.2.3 Cho hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d có đồ thị hình vẽ Có số dương số a, b, c , d ? A B C D Lời giải Chọn B Dựa vào hình dạng đồ thị ta có a  Đồ thị hàm số qua gốc tọa độ nên d   2b x1  x2    0b0   a Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 với x1  x2 nên  x x   c   c   3a   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 54 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 5.3 Đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối Cách vẽ ĐTHS y  f  x   Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị C  : y  f  x   Bỏ phần đồ thị bên trái Oy C  , lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy Cách vẽ ĐTHS y  f  x   Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị (C): y  f  x   Bỏ phần đồ thị phía Ox (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox Cách vẽ ĐTHS y  u  x  v  x   Giữ nguyên phần đồ thị miền u  x   đồ thị C  : y  f  x   Bỏ phần đồ thị miền u  x   C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox  Ví dụ 5.3.1 Bảng biến thiên sau hàm số A y  x3  3x  B y  2x4  4x  3 C y  x  x  D y  x  x2  Lời giải Chọn A x  Xét f  x   2x3  3x2  ; f   x   6x2  6x ; f   x     x   Từ suy bảng biến thiên hàm số y  x3  3x  là:  Ví dụ 5.3.2 Hình vẽ bên phần đồ thị hàm số nào? x  x 1 A y  B y  x 1 x 1 C y  x 1 x 1 D y  x x 1 Lời giải Chọn B Từ đồ thị, ta có tập xác định hàm số D  nên loại phương án B Đồ thị hàm số qua điểm 1;  nên loại phương án C, D  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 55 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 5.3.3 Cho hàm số y  f  x  xác định, liên tục có đồ thị đường cong hình vẽ bên Đồ thị hàm số y  f  x  có điểm cực trị? A C B D Lời giải Chọn A y -2 -1 O x -1 y  f x Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta có hàm số   có điểm cực trị  Ví dụ 5.3.4 -2 Cho hàm số y   x  1 x  x  có đồ thị hình Đồ thị hình hàm  số đây?  B y   x   x  y y   x  3 A y   x  1 x  x  O O x C y   x  1 x  x  x   D y  x  x  x  Hình Hình Lời giải Chọn B Nhận thấy đồ thị hàm số hình giữ nguyên phần đồ thị khoảng  ;1 lấy đối xứng phần đồ thị khoảng 1;       x  1 x  2x  , x  1;    Xét dáp án B : Ta có y    x  1 x  2x    x  1 x  2x  , x   ;1    Đồ thị y    x  1 x  x  giữ nguyên khoảng  ;1 lấy đối xứng       phần đồ thị khoảng 1;    Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 56 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ SỰ TƯƠNG GIAO A LÝ THUYẾT CHUNG Phương pháp tổng quát  Cho hai hàm số f  x  g  x  có đồ thị C1  ; C2  Khi số giao điểm (điểm chung) hai đồ thị C1  ; C2  số nghiệm f  x   g  x   Với g  x   phương trình f  x   g  x  phương trình hồnh độ giao điểm với trục hồnh B CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 6.1 Đếm số giao điểm (điểm chung) biết hàm tường minh  Cho hai hàm số f  x  g  x  có đồ thị C  ; C  Khi số giao điểm (điểm chung) hai đồ thị C  ; C  số nghiệm f  x   g  x  1 2  Ví dụ 6.1.1 Đồ thị hàm số y  15x4  3x2  2018 cắt trục hoành điểm? A B C D Lời giải Chọn A 15x4  3x2  2018   *   3 t  Đặt x2  t , t  Phương trình tương đương 15t  3t  2018     3 t   121089 0 30 121089 0 30  121089 nên  *  có nghiệm phân biệt 30 Vậy đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm  Ví dụ 6.1.2 t  Đường thẳng y  2x  có điểm chung với đồ thị hàm số y  A B C x2  x  x 1 D Lời giải Chọn B Tập xác định: D  \1  x  1 x2  x    2x    x 1   x  x    2x  1 x  1 (2) x  Ta có    x  x    Suy d C  có hai điểm chung  x  2  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 57 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 6.2 Đếm số giao điểm (điểm chung) biết đồ thị/bbt  Giải phương trình f  x   a với a số ta kẻ đường thẳng y  a song song với Ox cắt đồ thị f  x  điểm có nhiêu điểm chung  Áp dụng phép biến đổi đồ thị “Chủ đề 05 Đồ thị hàm số”  Ví dụ 6.2.1 Cho hàm số f  x   ax3  bx2  cx  d có đồ thị hình vẽ Số nghiệm phương trình f  x    A C B D Lời giải Chọn A Ta có f  x     f  x   1 Kẻ đường thẳng y  1 cắt đồ thị hàm số f  x  điểm phân biệt nên phương trình cho có nghiệm  Ví dụ 6.2.2 Cho hàm số y  f  x  xác định \1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m cho phương trình f  x   m có ba nghiệm thực phân biệt A  4; 2 B  C  4; 2  4;  Lời giải Chọn A D  ; 2 Số nghiệm phương trình f  x   m số giao điểm hai đường y  f  x  y  m : đường thẳng song song với trục Ox cắt Oy điểm có tung độ m Phương trình có nghiệm thực phân biệt đường thẳng y  m cắt đồ thị y  f  x  ba điểm phân biệt Dựa vào bảng biến thiên có m  4;   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 58 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 6.3 Tìm m để đths giao với (c’) n nghiệm  Với đồ thị hàm số bậc ba:  Nhẩm  có nghiệm nghiệm x  x0 , đó: 01 x  x ax3  bx2  cx  d    x  x0  a1x  b1x  c1     a1x  b1x  c1  Để tách ta chia hookne  Tùy theo u cầu tốn mà có điều kiện cho a1x2  b1x  c1     Cô lập m vế (vế phải) biến số vế lại (vế trái) có dạng: h  x  k  m 02 Khi thực bước sau:  Bước Tính h  x   lập BBT hàm số h  x   Bước Từ BBT hàm số h  x  ta thực yêu cầu toán  Hàm số f  x   ax3  bx2  cx  d có điểm cực trị “số đẹp”, đó: 03   có nghiệm  f  x  khơng có cực trị có cực trị thỏa fCD fCT    có hai nghiệm pb  f  x  có cực trị thỏa fCD fCT    có ba nghiệm pb  f  x  có cực trị thỏa fCD fCT  04  Hàm số f  x   ax3  bx2  cx  d có điểm cực trị “số khơng đẹp”, ta dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị kết hợp định lý Vi-ét để tính fCD fCT  Với đồ thị hàm số bậc bốn (trùng phương): Phương pháp nhẩm nghiệm:  Giả sử x  x0 nghiệm phương trình 01  x   x0  Khi ta phân tích: f  x , m   x2  x02 g  x      g  x      Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc g  x   Phương pháp đặt ẩn phụ:  Đặt t  x2 ,  t   Phương trình: at  bt  c  (2) 02 t   t  Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 , t thỏa mãn:  t1  t2  t   t2  Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 , t thỏa mãn:  0  t1  t2  Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 , t thỏa mãn:  t1  t2  Để (1) có nghiệm (2) có nghiệm t1 , t thỏa mãn:  t1  t2  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 59 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Với đồ thị hàm số phân thức: ax  b  Cho hàm số y  C  đường thẳng d : y  px  q Phương trình hoành độ giao điểm cx  d ax  b C  d :  px  q  F  x , m   (phương trình bậc ẩn x tham số m) cx  d  Một số câu hỏi thường gặp: 01 d Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt  1 có nghiệm phân biệt khác  c Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc nhánh phải C   1 có 02 d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn :   x1  x2 c Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc nhánh trái C   1 có 03 d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2   c Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc nhánh C   1 có nghiệm 04 d phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1    x2 c Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:  Đoạn thẳng AB  k  Tam giác ABC vuông  Tam giác ABC có diện tích S0 05  Ví dụ 6.3.1 Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  2x3    m x  m cắt trục hoành điểm phân biệt A m  B m  C m   ; m  D m   Lời giải Chọn C     x3    m  x  m   x x   m  x  1    x  1 x  x  m  Vậy phương trình ln có nghiệm x  Để đồ thị hàm số cắt trục hồnh ba điểm phân biệt phương trình:       2m  2x2  2x  m  có hai nghiệm phân biệt khác      m    2.1  2.1  m   Ví dụ 6.3.2 Tất giá trị tham số m để hàm số y  x4  2x2  m cắt trục hoành điểm A 1  m  B  m  C 1  m  Lời giải D  m  Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm x4  2x2  m   x4  2x2  m  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 60 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024 Vẽ đồ thị hàm số y  x4  2x2 , ta thấy để phương trình có điểm phân biệt 1  m  Suy  m   Ví dụ 6.3.3 Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để phương trình x  x   m có nghiệm phân biệt Tìm S ? A S  1;  C S   0;1 B S   0;  D S   1;1 Lời giải Chọn C x  Xét hàm số: y  2x  4x  y  8x  8x , y   8x  8x    x   x  1 3 y Suy đồ thị hàm số y  x  x  4 x -4 -3 -2 -1 -1 Nghiệm phương trình x  x   m chính số giao điểm đường -2 thẳng y  m ĐTHS y  x  x  -3 Dựa vào đồ thị ta có  m  phương trình cho có nghiệm phân biệt -4  Ví dụ 6.3.4 Cho hàm số f  x   x3  3x2  có đồ thị đường cong hình bên Tìm tất giá trị thực tham số m đề phương trình x  3x2   m có nhiều nghiệm thực A 2  m  C  m  B 2  m  D  m  Lời giải Chọn B Ta có hàm số g  x   x  3x2  hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng Khi x  , g  x   x3  3x2   Đồ thị hàm số g  x   x  3x2  có dạng hình 3 Dựa vào đồ thị suy phương trình x  3x2   m có nhiều nghiệm thực 2  m   Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 61 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Dạng 6.4 Tìm m để đths phân thức giao với (c’) thỏa điều kiện  Với đồ thị hàm số phân thức:  Cho hàm số y  ax  b C  đường thẳng d : y  px  q Phương trình hồnh độ giao cx  d ax  b  px  q  F  x , m   (phương trình bậc ẩn x tham số m) cx  d điểm C  d :  Một số câu hỏi thường gặp: 01 02 Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt  1 có nghiệm phân biệt khác  d c Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc nhánh phải C   1 d c có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn :   x1  x2 Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc nhánh trái C   1 03 d c có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2   Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt thuộc nhánh C   1 có 04 d c nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1    x2 Tìm m để d cắt C  điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học 05 cho trước:  Đoạn thẳng AB  k  Tam giác ABC vng  Tam giác ABC có diện tích S0  Ví dụ 6.4.1 x2 Đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị C  hai x 1 điểm A, B phân biệt AB  2 m nhận giá trị giá trị sau Cho hàm số C  : y  đây? A m  2 B m  C m  D m  Lời giải Chọn A x2  x  m  x   x2   m  1 x  m  x2  mx  m   0, x  1 x 1  x  x  m Ta có  mà AB  x1  x2  x1x2  m  m   AB2  S2  4P  m2   m     m2  4m  12    (nhận hết) m    Do điều kiện  m  4m     Biên soạn: Gv Lê  Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 62 Tổng Hợp Lý Thuyết Năm học: 2023-2024  Ví dụ 6.4.2 2x  C  Tìm giá trị m để đường thẳng d : y  x  m cắt C  x 1 hai điểm phân biệt cho tam giác OAB vuông A B Cho hàm số y  A m   B m   C m   Lời giải D m   Chọn A 2x   x  m  x   m  3 x   m   *  x 1    m  2m   Ta có d cắt C  điểm phân biệt   (luôn m )  m    m        x  x   m Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình  *  , ta có  C  cắt d  x1x2   m Phương trình hồnh độ giao điểm A  x1 ; x1  m  , B  x2 ; x2  m  Vectơ AB   x2  x1 ; x2  x1  phương với vectơ u  1;1 Tam giác OAB vuông A khi OA.u   2x1  m  2x1  m  x1  x2   m m     Ta có hệ phương trình  x1x2   m  2x2   m   m   2 x  m   m  m   4m       Ví dụ 6.4.3 x 1 Tìm m để đường thẳng y  mx  cắt đồ thị hàm số y  hai điểm thuộc x 1 hai nhánh đồ thị   A m    ;   B m  0;   C m  ;  D m    Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm mx   x   x 1 x     x 1  mx  1 x  1  x   mx  mx    1 YCBT  1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x khác thỏa mãn  x1  1 x2  1  m   m  m  m      m  8   m  8m   m  8       m0 m.1  m.1   m  2 x x   x  x      m        m  Biên soạn: Gv Lê Minh Tâm - 093.337.6281 Trang 63