Phương pháp điều kiện càn và đủ giải và biện luận phương trình và hệ phương trình

Phơng pháp điều kiện càn đủ giải biện luận phơng trình hệ phơng trình Lời nói đầu Trong trình giảng dạy, nhận thấy nhiều học sinh lúng túng gặp toán tìm điều kiện tham số để phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình thoả mÃn tính chất ®ã nh: nghiƯm nhÊt, nghiƯm ®óng trªn mét miỊn cho trớc, hai phơng trình tơng đơngDo đà hớng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp có hiệu lực để giải dạng toán : phơng pháp điều kiện cần đủ Nội dung phơng pháp thực theo hai bớc sau: Bớc 1(Điều kiện cần): Giả sử toán đà thỏa mÃn tính chất đÃn cho( Nghiệm nhất) Dựa vào đặc thù tính chất dạng phơng trình( hệ phơng trình ) đà cho mà ta tìm đợc điều kiện dàng buộc tham số Đó điều kiện cần để thoả mÃn tính chất toán Bớc 2( Điều kiện đủ): Ta xét xem giá trị tham số vừa tìm đợc giá trị thỏa mÃn tính chất toán Nói chung bớc ta thờng việc xét toán với giá trị tham số cụ thể ( không tham số) Kết hợp hai bớc ta tìm đợc điều kiện cần đủ tham số thoả mÃn toán Để minh hoạ cho phơng pháp trên, ta xét số ví dụ sau Tôi cố gắng phân chia số dạng (điều mang tính chất tơng đối), với dạmg da số nhận xét, nêu giải toán dạng tơng ứng Các toán minh hoạ Bài 1.Tìm m để phơng trình sau có nghiệm nhÊt x   x  x x m Giải Điều kiện cần: Giả sử phơng trình (1) có nghiệm x= x0 , dễ thấy (1) có nghiệm x= 1-x0, nên để phơng trình có nghiệm điều kiện cần x0= 1-x0 , suy Vị Do·n TiÕn- Trêng THPT Ng« Gia Tự - Lập Thạch Vĩnh Phúc Phơng pháp điều kiện càn đủ giải biện luận phơng trình hệ phơng trình x0 = 1 Thay x0= vµo (1) ta cã m =  2 Vậy điều kiện cần để phơng trình (1) có nghiệm m = Điều kiện đủ: Thay m = vào phơng trình (1) ta đợc: x   x  x   x   (2) ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski ta cã: x   x  ( dÊu b»ng x¶y x= ) x   x  2( x   x )  2( x   x )  2  ( dÊu b»ng cïng x¶y x= ) Do ®ã ta cã: x   x  x   x   dÊu b»ng x¶y x= 2 VËy (2) x= , suy phơng trình (1) có nghiệm x= Tóm lại phơng trình (1) có nghiƯm nhÊt vµ chØ m = Bài Tìm m để phơng tr×nh sau cã nghiƯm nhÊt : (1) x    x  ( x  1)(4 x ) m Giải Điều kiện cần: Ta thấy x0 nghiệm (1) 3- x0 nghiệm (1) Vì Vậy điều kiện cần để phơng trình (1) có nghiệm x0= 3- x0  x0= Thay vµo (1),ta cã m =  10 §iỊu kiƯn ®đ: Thay m =  10 vµo (1) ta cã phơng trình: x x  ( x  1)(4  x )   10 ¸p dơng Bunhiacospki ta cã: x    x   x 1   x  10 (2) ¸p dơng Cauchy ta cã : ( x  1)(4  x )  x 1   x  (3) 2 Vị Do·n TiÕn- Trêng THPT Ng« Gia Tù - Lập Thạch Vĩnh Phúc Phơng pháp điều kiện càn đủ giải biện luận phơng trình hệ phơng trình Dấu đồng thời xảy (2) (3) x= Vậy phơng trình (1) cã nghiÖm nhÊt x= Tóm lại: điều kiện cần đủ để phơng trình có nghiệm m = 10 Nhận xét: Điểm mấu chốt để tìm điều kiện cần ví dụ nêu đợc nhận xét đặc trng phơng trình xét Các nhận xét cần ý đến tính chẵn lẻ, tính đối xứng biểu thức có mặt phơng trình Nh ví dụ vừa xÐt ta thÊy biĨu thøc f(x) d¹ng : x  a  b  x a  b , ( x  a)(b  x ) ®ã f(x) = f(b-a-x).Do phơng trình có nghiệm nghiệm thoả mÃn x=b-a-x x b a Từ tìm đ2 ợc điều kiện cần Bài Định m để phơng trình sau có nghiệm nhÊt: x   x  m x (1  x )  x (1  x ) m (1) Giải Điều kiện cần: Ta thấy x0 nghiệm phơng trình (1) 1-x0 nghiệm (1) Do đó, (1) có nghiệm ta phải có: x0 = 1- x0 suy x0 = Víi x0 = , (1) trở thành: 1  m  m3  m m3  m 0  m 1  m 2 Điều kiện đủ: +với m = 0, (1)  x   x  24 x(1  x ) 0  ( x   x )2 0  x  nghiƯm nhÊt + Víi m= 1, (1)  lµ x   x  x (1  x )  24 x(1  x ) phơng trình có hai nghiệm x= vµ x =1 + Víi m = -1, ®ã: Vị Do·n TiÕn- Trêng THPT Ng« Gia Tù - Lập Thạch Vĩnh Phúc Phơng pháp điều kiện càn đủ giải biện luận phơng trình hệ phơng trình x x 0  x 1 2 4 (1)  ( x   x )  ( x   x ) 0     x  x   x 0  x 1  VËy m= 0, m=1 phơng trình có nghiệm Bai Tìm m ®Ĩ hƯ sau cã nghiƯm nhÊt:   x   y m (1) (I )    y   x m (2) Giải Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm (x0,y0) nghiệm hệ cặp số sau cịng lµ nghiƯm cđa hƯ :(y0,x0),(4-x0,4-y0), (4-y0,4-x0) Bëi thÕ (x0,y0) nghiệm y0=x0= 4-x0 y0=x0=2 Thay y0=x0=2 vào hệ ta đợc m= x y Điều kiện đủ: Với m = hƯ trë thµnh:  ( II )  y   x   Tõ hÖ suy ra:  x   x   y   y 8 (3)   x   x    x   x 4 (4) Theo Bunhiacopski, ta cã:    y   y    y   y 4 (5) VËy:  x   x   y   y 8 (6) Suy (3) t¬ng đơng với dấu (6) xảy (4) (5) xảy dấu x=y=2 Ta thấy x= y=2 thoả mÃn hệ (II) Do (II) có nghiƯm nhÊt Tãm l¹i: m=4 hƯ cã nghiƯm nhÊt  a  x  b  y m Lu ý: Hệ đối xứng kép dạng: a  y  b  x m cã nghiÖm Điều kiện cần: Thấy (x0,y0) nghiệm hệ cặp số sau nghiệm hƯ (y0,x0) (b-a-x0,b-a-y0), (b-a-y0,b-a-x0) Bëi thÕ (x0,y0) lµ nghiƯm nhÊt th× y0=x0= b-a-x0  y0=x0= b a Thay vào hệ ta tìm đợc m 2(a b) Vị Do·n TiÕn- Trêng THPT Ng« Gia Tù - LËp Thạch Vĩnh Phúc Phơng pháp điều kiện càn đủ giải biện luận phơng trình hệ phơng trình Điều kiện đủ: Thay m 2(a b) vào hệ Giải hệ ( thờng áp dụng bất đẳng thøc Bunhiacopski ®Ĩ chøng minh hƯ cã nghiƯm nhÊt) Bài Tìm a để hệ sau có nghiệm nhÊt   x  11  y  a      y  11  x  a   10  3a (I )  10  3a Giải Điều kiện cần: Thấy (x0,y0) nghiệm hệ cặp số sau nghiệm cđa hƯ: (y0,x0) (4-x0,4-y0), (4-y0,4-x0) Bëi thÕ (x0,y0) lµ nghiƯm y0=x0= 4-x0 y0=x0=2 10 Thay vào hệ ta đợc: a 10 3a với điều kiện: 2