Đang tải... (xem toàn văn)
Slide 1 1 Giáo viên Lâm Thị Ngọc Châu 1 Phương pháp lặp đơn 2 Phương pháp dây cung 3 Phương pháp tiếp tuyến Tên SV Tống Minh Hải – MSSV LT11733 Mã học phần CT124 Lớp 01 2 1 Phương pháp lặp đơn 1 1 Ngu[.]
Giáo viên: Lâm Thị Ngọc Châu Phương pháp lặp đơn Phương pháp dây cung Phương pháp tiếp tuyến Tên SV: Tống Minh Hải – MSSV: LT11733 Mã học phần: CT124 Lớp: 01 1.Phương pháp lặp đơn: 1.1 Nguồn gốc: Đầu tiên, phương pháp lặp lặp lại có lẽ để giải hệ thống tuyến tính xuất thư Gauss đến sinh viên mình. Ơng đề xuất giải chương trình hệ thống 4-by-4 cách giải lặp lặp lại nhiều lần thành phần thặng dư lớn 1.2 Giải thuật: Xét phương trình f(x) = Giả sử phương trình có nghiệm đoạn [a, b] * Ta đưa phương trình dạng sau: x = φ(x); 1.2 Giải thuật (tt): * Bước lặp: - Chọn giá trị ban đầu xo ∈ [ a, b ] ; - Xây dựng dãy {xn} sau: x1 = φ(xo); x2 = φ(x1); …………… xn = φ(xn-1); (với n = 1,2,3,….) * Nếu dãy {xn} hội tụ đến nghiệm phương trình người ta nói giải gần phương trình xn nghiệm gần phương trình * Định lý: Nếu phép biến đổi x = φ(x) thỏa điều kiện: +∀x ∈ a,b , +∀x ∈ a,b , ϕ '( x) ≤ q cho trước, ta phải thực thi bước lặp sai số nhỏ độ xác 1.3 Ví dụ: Tìm nghiệm phương trình sau −7 phương pháp lặp đơn đoạn [9, 10] với ε = 2.10 x3 + x – 1000 = Giải: Đặt f (x) = x3 + x – 1000 Ta có: f (9) = 93 + – 1000 = -262 f (10) = 103 + 10 – 1000 = 10 Vì f(9).f(10) < nên phương trình có nghiệm đoạn [9, 10] * Có nhiều cách đưa phương trình dạng x = φ(x) sau: x = 1000 - x3 1000− x x= x x =3 1000− x Xét trường hợp ta được: với φ(x) = 1000 - x3 ta có: ' ' ϕ ( x ) = − x = ϕ (10) = − 3.10 = 300 max max X∈[ 9,10] X∈[ 9,10] ' Vậy ϕ ' (10) = 300 khơng thỏa điều kiện ϕ ( x) < với ϕ (x) = 1000− x ta có: x m[ax] ϕ ( x) = m[ax] ' X∈ 9,10 X∈ 9,10 −1.x − x (1000 − x ) x4 = max −1.x − 2000 x + x x − 2000 x = max x x4 X∈[ 9,10] = max x − 2000 − 2000 ' = ϕ (9) = = 2.731139 3 x X∈[ 9,10] X∈[ 9,10] ' Vậy ϕ ' (9) = 2.731139 không thỏa điều kiện ϕ ( x) < với ϕ ( x)=3 1000− x =(1000− x) ' ϕ max ( x) = max X∈[ 9,10] X∈[ 9,10] ta có: −2 −1 1 (1000 − x) − = max − (1000 − x) 3 X∈[ 9,10] −2 = ϕ ' (9) = − (1000 − 9) = 0.00335 < * Như với ϕ ( x)=3 1000− x =(1000− x) ' ϕ ( x) < với q = 0.00335 thỏa điều kiện * Áp dụng công thức lặp: + Với n=0 x0 = 10 1000−10 = 9.96655493 x = ϕ (x ) = + Với n=1 Với sai số tính: q x1 − x ≤ x1 − x0 1− q Ta có : 0.00335 VP = 9.96655493−10 = 1,12.10−4 1−0.00335 * −7 ε = 2.10 Do sai số > nên qua bước lặp 10 * Định lý: Giả sử f’(x) không đổi dấu đoạn [a, b] xác định được: < m ≤ |f’(x)| ≤ M < +∞ Thì sai số phương pháp dây cung ước lượng sau: M −m xn − x* ≤ xn − xn −1 m Để tìm nghiệm gần phương trình xác đến ε > cho trước, ta phải thực thi bước lặp sai số nhỏ độ xác 18 2.2 Ví dụ: Giải phương trình x3 + x2 + x − = phương pháp dây cung đoạn [0;1] với ε = 0.001 Giải: Ta đặt: f(x) = x3 +x2 +x −1 Tính: f(0) = 03 +12 +0 −1 = -1 f(1) = 13 +12 +1 −1 = Do f(0).f(1) < nên phương trình có nghiệm đoạn [0;1] 19 Ta có: f’(x) = 3x2 +2x +1 Với f’(0) = f’(1) = nên thỏa điều kiện f’(x) không đổi dấu đoạn [0;1] xác đinh được: m=1 ≤ |f’(x)| ≤ M=6 0≤x≤1 Mặt khác: f”(x) = 6x +2 > 0, ∀x ∈ [0;1] f”(0) = f”(1) = 20 Do f(0) = -1 < nên ta áp dụng cơng thức lặp (2) ta có dãy {xn} sau: xn +1 = xn − f ( xn ) f ( xn ) ( xn − b) = xn − ( xn − 1) f ( xn ) − f (b) f ( xn ) − f (1) xn + xn + xn − xn3 + xn + xn − xn +1 = xn − ( xn − 1) = xn − ( xn − 1) 2 xn + xn + xn − − xn + xn + xn − xn3 + xn + xn − xn + xn + xn − = xn − ( xn − 1) = xn − ( xn − 1)( xn + xn + 3) xn + xn + xn + xn + xn − xn − xn − xn + xn + xn + = = 2 xn + xn + xn + xn + 21 - Lặp với n=0, chọn x0=a=0 - Lặp với n=1, ta có kết quả: x0 + x0 + 02 + 2.0 + 1 x1 = = = = 0.333333 x0 + x0 + + 2.0 + 3 Với sai số x1 là: M −m −1 x1 − x* ≤ x1 − x0 = 0.333333 − = 1.666667 > ε m = 0.001 - Lặp với n=2, ta có kết quả: x2 = 0.470588 Với sai số x2 là: −1 0.470588 − 0.333333 = 0.686275 > ε = 0.001 - Lặp với n=3, ta có kết quả: x3 = 0.519534 > ε = 0.001 22 - Lặp với n=4, ta có kết quả: x4 = 0.535853 Với sai số x = 0.081597 > ε = 0.001 - Lặp với n=5, ta có kết quả: x5 = 0.541163 > ε = 0.001 Với sai số x5 = 0.026549 - Lặp với n=6, ta có kết quả: x6 ε= =0.542876 0.001 > Với sai số x6 = 8,56.10-3 - Lặp với n=7, ta có kết quả: x>7 ε= =0.543428 0.001 Với sai số x7 = 2,79.10-3 ε 0.543605 = 0.001 - Lặp với n=8, ta có kết quả: x8 = Với sai số x8 = 8,86.10-4 < Vậy nghiệm gần phương trình là: 23 Ta có bảng kết sau: 24 Phương pháp tiếp tuyến: 3.1 Giải thuật: Xét phương trình f(x) = có nghiệm đoạn [a, b] Giả sử phương trình f’(x) f”(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a, b] Với x0 ∈ [a;b] chọn trước, phương trình tiếp tuyến điểm (x0,f(x0)) có dạng: y = f’(x0)(x- x0) + f(x0) Tọa độ giao điểm tiếp tuyến với trục hoành là: f ( x0 ) x = x0 − f '( x0 ) y = 25
