Đs9 cđ3 hệ phương trình 3

B Một số phương pháp giải hệ phương trình Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Phương pháp biến đổi tương đương: 1.1 Phương pháp: Biến đổi tương đương phương pháp giải hệ dựa kỹ thuật như: Thế, biến đổi phương trình dạng tích,cộng trừ phương trình hệ để tạo phương trình hệ có dạng đặc biệt… 1.2 Một số ví dụ: Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x    y   y  ( x  1) 5 (1)  x  ( x  y ) 6 x y  y (2) a)   x  12 x  y  y  16  x  y  xy  x  y  0 b)   xy  x  y 3  3 c)  x  y 3 x  y   y  x   y ( x  6) 1   2( x  y)  x  y   y  x  d)  Lời giải:  x    y 2 5  y ( x  1)  a) Điều kiện Xuất phát từ phương trình (2) ta có: x  x y  ( x  y )  y 0  x 0  x ( x  y )  x( x  y ) 0  x( x  y )(3 x  1) 0    x 2 y Với x 0 thay vào (1) ta có:   y   y 5  Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có   2y  2y  2(4  y   y) 16   y   y 4  y   y 4 Dấu = xảy khi:  y 4  y  y 0 Hệ có nghiệm: (0; 0) Với: x 2 y Thay vào phương trình ta x    x   x  ( x  1) 5  x    x  ( x  1)(4  x) 5 (*) Đặt t t  x 1   x   t2  5  t  2t  15 0  t 3  Khi x   x  t2  Thay vào phương  t   t 3   x 0 x   x 2   x  3x 0    x 3  x; y   0;0  ,  3; 3  2  Tóm lại hệ có nghiệm Nhận xét: Điều kiện t  chưa phải điều kiện chặt biến t 2 Thật ta có: t  x    x  t 5  ( x  1)(4  x)  t 5 Mặt khác theo bất đẳng thức Cô si ta có ( x  1)(4  x) 5  t 10  t   5; 10   x  12 x ( y  2)3  12( y  2)  x  x( y  4)  ( y  3) 0 b) Hệ viết lại dạng  Đặt t  y  Ta có hệ :  x3  12 x t  12t ( x  t )( x  t  xt  12) 0 (*)    2  x  x (t  2)  (t  1) 0  x  t  xt  2( x  t )  0 (2*)  x  t  xt  12 0 (3*)  x t Từ (*) suy  - Với x t thay vào (2*) ta có phương trình 3x  x  0 7 ;   3  x; y   1;3 ,  Từ suy nghiệm hệ - Với (3*) kết hợp với (2*) ta có hệ 13  x t   ( x  t )  xt  12 0  (VN )   ( x  t )  xt  2( x  t )  0 0  xt 121 x  t   xt  Do  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm: 7 ;   3  x; y   1;3 ,  ( x  1)(2 y  1) 2   3  ( x  1)  (2 y  1) 3( x  1)  (2 y  1)  c) Đưa hệ phương trình dạng: Đặt: a x  1; b 2y  Khi ta thu hệ phương trình: trình ta có:  ab 2  ab 2   3  3 2  a  b 3a  b   2a  b 6a  3b  10 Từ hệ phương trình ban đầu ta nhẩm nghiệm x  y 1 nên ta có hệ có nghiệm khi: a 2; b 1 (a  2)b 2(1  b)  2 Do ta phân tích hệ dạng:  (a  2) (a  1) (b  1) (b  2) Vì ta ln có: b 0 nên từ phương trình ta rút Thế xuống phương trình ta được: a 2 2(1  b) b 4(b  1) (a  1) (b  1) (b  2)  (b  1)  4( a  1)  b (b  2)  0 b b 1    4(a  1) b (b  2) Với: b 1  a 2 , suy ra: x  y 1 Với 4(a  1) b (b  2) Ta lại có: Thế lên phương trình ta có: ab 2  b(a 1) b   a   b2 b  b   a   x  2; y  4(b  2) b (b  2)    b b 4 (Khơng TM)  Vậy hệ cho có nghiệm là:  x; y  (1;1),   2;   1  2  x   d) Điều kiện:  y 0 Ta viết lại hệ phương trình thành: 2( x  y )  x  y    y  x 1 2( x  y )  x  y   y  x  Bình phương vế ta thu được: x  xy  y  x  y  x  y 1  y ( x  1)   ( x  1)  y ( x  1)  y   ( x   y ) 2 y ( x  1)  2( x   y )  ( x    x   y y ) 0    x 1  y  x   y Thay vào phương trình (2) ta có: y  y 1  y ( y  7) 1  y  y   y ( y  7)  Đặt a  y ( y  7) ta có phương trình: a   a    a 0 a  a      a  a  2a 0   a    a 2   y 0  x  a 0    y 7  x 6 Với  7 5  x y 2 a   y  y  0    3 5 3  x y  2 Với (L)  y  a 2  y  y  0    y 8  x 7 Với Hệ phương trình cho có nghiệm :      3 3  ; ; ;  ,(7;8) , 2   2    x; y  ( 1;0), (6;7),  Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau a)  x  (2 y  2) x  y 0  2  x  xy  ( y  3) x  y  y  0  x  xy  y  y 0  x  x y  y  y  x 0 b)   xy  3x y  yx  y  3x 0  x y  y  xy  0 c)  Lời giải: a) Cách 1: Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ theo vế ta được: xy  ( y  3) x  y  y   (2 y  2) x  y 0  xy  xy  y  y   x 0  x  y  y  1  y  y  0  ( y  1)(2 y  1)( x  y  1) 0 + Nếu y  thay vào phương trình (1) ta có: x 3  x  3 2 x  12 x  0  x  thay vào phương trình (1) ta có: + Nếu + Nếu y  x  thay vào phương trình (1) ta có: y x  x  3( x  1)2 0   x  x  0 Vô nghiệm  x; y  ( Kêt luận:  3 2   3 2  3;1), ( 3;1),  ;  ,  ;  2  2  * Cách 2: Phương trình thứ hai phân tích được: (2 y  x)( x  y  3)  0 2 Phương trình thứ phân tích được: ( x  y )  2( x  y ) 0  a  2b 0  (a  3)b  0 a  x  y , b  x  y Đặt ta có hệ:  b) Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được: x  x  x y  xy  x 0, hay ( x  x  x)  y ( x  x) 0 2 Do x  x  x ( x  1)( x  x) nên từ trên, ta có ( x  x )( x 1  y ) 0  y 0 x 0    y  + Nếu  y 0 x 2    y 4  + Nếu + Nếu y  x  thay vào phương trình (1) ta thu được:  y  y 0 vô nghiệm Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm là: c) Hệ viết lại sau:  xy  y    x  x y  4 x y   2 x y  y  xy     x; y  (0;0), (0;  2),  2;0  ,  2;  4  3 2  xy  y   y  3x  4 x y  2 3 x  y  xy  0 Xét với y 0 thay vào ta thấy không nghiệm hệ Với y 0 ta biến đổi hệ thành:  1 2  x    y  x  4 x y    3 x  y  x  0  y   a x  y  b  y  x   1 2  x    y  x  4 x y    3 x  y   x  x  y  ab 4 x  a  b 4 x Khi hệ trở thành hệ :  Đặt : Theo Viets ta có số a b nghiệm phương trình :   y   x  x    x y  t  xt  x  (t  x) 0  t 2 x   2 x  y  x 2 x   3x   x    y  x  y   x    x   x 3x  x  0   x  x    y 1  x; y    1;1 Vậy hệ có nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau   x   y 2  x  y  y x   y  y  a)  b) 3 x  x  4 y   y  x  x y  xy   y  x  x c)   x  x y  15 x 6 y (2 x   y )  x 2x x3 x y      y 3 y   x y  y  x y   xy  y  y 2 d)  Lời giải: a) Từ phương trình (2) hệ ta có:  x y x  y  y  x   y  y    x  y   x  y   0    x  y  0 3 Vì y 1  x   y 2 nên  x   x  3 Do x  y     nên x  y  0 vô nghiệm Ta cần giải trường hợp x  y Thế vào phương trình ban đầu ta được:  x   x 2 Đặt a   x ; b   x  b  0  a  b 2  a    a  2  a  a  4a  0   a  1  a  2a   0   a  b 2 Từ suy nghiệm phương trình ban đầu x 0; x  11  3; x  11  Vậy hệ cho có nghiệm x  y 0; x  y  11  3; x  y  11   y x (2 y  x )  x  12 y  15  0    y  x  15  12 b) Phương trình thứ hệ  TH 1: y x  15 12 thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: 3x 2x x3 x x  15     x  15 24  x  15   36 x x2  12 x  16 x  15    x  16 x  15  0  2 x  15 x  15  x  16 x  15 0  x  16 x  15 0     x2 x2  x  16 x  15   x  16 x  15  6 36  x  15  x  15  x  16 x  15 0  2 36 x  x  15   x  16 x  15  (*) Xét phương trình (*) 36 x  x  15   x  16 x  15  Vì x = khơng phải nghiệm Ta chia hai vế phương trình cho x ta có: 15 15   15   x t  t  16t  36 0  36  x    x  16   x x  x  Đặt  t 2  x  + Nếu + Nếu t = 18  x 15 2  x  x  15 0  x 15  18  x  18 x  15 0  x  x; y   5;  Nghiệm hệ cho là: x 2 y TH 2: Thay   t 2  t  18   x 5  x   x 5   x    x     x   5  27  12    ,    6; 6   vào phương trình thứ hai x2 2x x3 x x 11x      x  x 0 4x 3x 4 12 (loại) (do điều kiện y 0 )  x; y   5; KL: Nghiệm hệ cho là:  5  27  12  ,   6;        x 2  c) Điều kiện  y 3 Phương trình (2) hệ tương đương với:  y 2 x  (2 x   y )(3x  y  2) 0    y 2  3x + Với y 2 x  vào phương trình (1) ta được: (1)  x  x   x  15  0 (3) Đến sử dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: 6 x  3.2 2( x  2) 3x  x   x  15 7 x    x  15 2.2 3(2 x  5) 2(2 x  2) Dấu '' '' xảy khi x 4 Từ (3) suy x 4 nghiệm Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (4;6) - Với y 2  x 2 hệ vô nghiệm điều kiện y 3 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) (4;6) d) Thế phương trình vào phương trình hệ ta phương trình : x y  y  x y  2(2 xy  y  y )   x3  y  x  y   x   y  y hệ ta có: y 0 Vì khơng nghiệm hệ Chia hai vế cho y ta phương trình x  y  3x  x   y  x  3x  x 8 y  y  Đặt : z x   x z  Khi ta có phương trình : z  z 8 y  y   z  y   z  y  zy  0   z  y  zy     z 2 y  x  2 y  x 2 y  Thế vào phương trình hệ ta phương trình:  x 1  y 1  y  y  0   y   x  3   7 2 ( x; y ) (1;1);  ;   3  Hệ phương trình cho có hai nghiệm Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau 3 y   y  x  1 4 y x  y   y  y  x  3  y a)   x    xy  y 3  2 x  x3 y 2 x y  xy  b)  c)  x  xy  y    y  x    yx  x 10 Lời giải: a) Điều kiện: x  y  0 Phương trình (1) tương đương: y  y x  y   x  y   x  xy  y   2y  TH1: x2  y 1   x  y  3 y  x  x  y     x  y  x  y  x  y  3 y  x Bình phương hai vế phương trình ta được: 3 y  x 3 y  x    6 xy 9 y  y   2  x  y  9 y  xy  x  xy  y  y   TH2:  x 1; y 1(TM )   x  415 ; y 17 (TM ) 51  x  y   x  y Bình phương hai vế phương trình:  x  y 0  x  y 0    xy  y  y    2  x  y   x  xy  y  xy  y  y    x 1; y 1   x  41 ; y  ( L) 21  Vậy hệ có nghiệm 415 17  ;   51   x; y   1;1 ,  b) Từ phương trình (1) ta thấy: x   y  3   y  TH1: y 1 thay vào (2) ta có: x  x  0  x 1; x 3; x   x  xy  xy 3  y (*)  2 x  x y 2 x y  xy  (3) TH2: Kết hợp với (2) ta có hệ mới:  xy    xy  x  3 0  Phương trình (3) tương đương với: + Nếu: xy 2 thay vào (*) ta có: x   y 3  y  x   1 y  y   y   Phương trình vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm + Nếu xy 3  x thay vào (*) ta có: 2  2 x   x  y   x  3  y  y    x   1 3  x  x 1; y 1 x   x  x; y   1;1 ,  3;1 ,   2;1 Vậy hệ có nghiệm c) Phương trình (1) tương đương: x  x   y  x  x  3 0   x  x    x  x    y  x  x   0   13 79  13  y x 36 x  x  0     13 79  13  y x 36  TH1: 2 TH2: y x  x  thay vào (2) ta có:   x   y 1   x  x  3 x2  x3 10    x   y 1   Vậy hệ có nghiệm   13 79  13    13 79  13   5  5 ; ;  ,   ,  5;1   ,   5;1   36   36        x; y   Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau  xy  x  y 1  x  12 x  x  y  y  a)   xy  x  y 4  x  24 x  45 x  y  y  20 b)    x  3    xy   y  x     xy    x 2 y  x c)  x  y  x 3  xy  2  x  y  x  y   d)  Lời giải: 3 xy  x  y 3  x  12 x  x  y  y  a) Hệ tương đương:  Trừ hai phương trình cho ta được:  x  1  y  xy  y   x  1  y 3 y  3xy  y   x  y  1   x  1   x  1 y  y  3 y  y  x  1     x  y  1   x  1   x  1 y  y  3 y  y  xy  y   1     x  y  1   x  1   x  1 y  y  3 y  x  y  1     x  y  1  x   y  0 Với y 1  x thay vào (1) ta được: x  x  0 (vô nghiệm)   17 x x  x  0     17 x   Với y 2 x  thay vào (1) ta được: Vậy hệ có nghiệm   17  17    17  17  ; ;  ,       x; y   6 y  x  3xy  12 0  x  24 x  45 x  y  y  20 b) Hệ tương đương:  Trừ hai phương trình cho ta được: x  24 x  48 x  32  y  xy  12 y   x    y 3 y  3xy  12 y   x  y     x     x   y  y  3 y  y  x     Thế x  xy  y  vào VP ta được:  x  y     x     x   y  y  3 y  y  y  xy    3 y  x  y         x  y    x     x   y  y 0 Với y  x  thay vào (1) ta được: x  x  0 (vô nghiệm) 10 3   x  y   x  y    x  y   x  y  1  13  x  y  1  x  y  x  y   x 1  x 1   y  y  3 4   Vậy hệ phương trình cho tương đương với:  x 1  x 1     y 1  y  Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ A Kiến thức Đề bài: Giải hệ phương trình có ẩn số ẩn số Cách giải: - Tìm điều kiện ẩn số để phương trình có nghĩa - Thực số phép biến đổi HPT đơn giản a  f  x  , b g  x  - Đặt ẩn phụ: Ví dụ - Đặt (hoặc tìm) điều kiện a b a, b - Chuyển thành PHT với ẩn a, b - Giải HPT tìm x, y - Tìm Bài 1: Chuyên Bình Định, năm học 2018 4   x  y  x  y 3    x  y    xy Giải hệ phương trình sau  Lời giải x 0; y 0; x  y 0 Điều kiện 15  4 x  y 3  x  y   xy    x  y     xy HPT Đặt a x  y; b  xy  a 0; a 4b   2  a   a  5a  0  a  a   a   Từ a 4a 3 b Phương trình (1): +) TH1: a   b  Do a  4b  loại +) TH2: a   b 2 Ta có   x    x  y    y      x   xy 2    y  (thỏa mãn) Bài 2:  x   y  x  y  4 y  1   x 1  x  y    y   Giải hệ phương trình sau  Lời giải  x  0   x 1  x  2 0 - Nếu y 0 , HPT trở thành  (vô nghiệm) - Nếu y 0 , chia hai vế phương trình (1) (2) cho y ta được:  x2 1  y   x  y  4   *  x   x  y   1  y  Đặt a x 1 y b x  y  16  a  b 2  a 1   b 1 Phương trình (*) ab 1   x 1   x   y  y x   x 1  y  y 2       x   x  y 3  x  x  3  x  x  0    y 5 2 Từ ta có: Vậy HPT có hai nghiệm  x; y     1;  ,   2;5   Bài 3: Giải hệ phương trình sau   1  x  y  x  y 2  4 x 12 y 7  x  y   x  y     Lời giải 2 x  y 0  Điều kiện 3x  y 0 Phương trình (2)   x  y    3x  y  7  x  y   3x  y     x  y  3x  y 2      7  HPT  x  y 3x  y 2 x  y 4   Vậy 3 x  y 1  a   b 1  x 1  tm    y 2 Vậy HPT có nghiệm  x; y   1;  Bài 4:  x  x  y  y 3    x   x 3  Giải hệ phương trình sau  y y Lời giải Điều kiện y 0 17  7 3x  y x  y PHT  x  x  y  y 3     x   x 3  y y  1 x  x    3  y y    x   x 3  y y  a  b 3  a  b 3  b 3   a 2  a    a  3  a  a  0     a   x 1  a 2   1   b 1  y 1  Với  b 1 tm    b 6  ktm   x 1   y 1 Vậy HPT có nghiệm  x; y   1;1 Bài 5:  2 7 4 xy   x  y    x  y   2 x  3  x y Giải hệ phương trình sau  Lời giải Điều kiện x  y 0 2  7 3  x  y    x  y   x  y     x  y    x  y   3  x y HPT  Đặt a  x  y; b  x  y  a 0    1  2 3  a    b 13 3a  b  a 7 a     a  b  3  a    b 3    a a HPT Đặt 3t  b 13 t a   t 2     a t  b 3  t 2  tm    t   ktm   18   x  a  x  ; b  ; a 4b  y y a  Với t 2  b 1  a   x  y 1  x 1 2  a 1    a  x  y 1  y 0 Vậy HPT có nghiệm  x; y   1;  Bài 6: 3 x  y 4  x  y 1  Giải hệ phương trình sau  x  y 1 Lời giải  x  y  0  Điều kiện:  x  y 0  x  y  a  a 0  2 x  y  a   x  y a  b   x  y b  b 0   x  y b Đặt  a  b  4  1  a  b 1  2 Ta có hệ phương trình  2 Từ phương trình (2)  a b  , thay vào phương trình (1) ta có:  b  1 b  4  b 1  a 2  tm   2b  2b  0     b   a  1 ktm   x  y  4    x  y 1  x 2   y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   2;  1 4 x  y 5  *) Chú ý: Nếu gặp dạng khó hơn, ví dụ:  x  y   x  y 1  a  x  y  2 x  y  a    b  x  y  x  y b   Ta đặt Dùng phương pháp hệ số bất định để liên hệ x  y với a b 2 2 Ta có: x  y  p ma  nb  x  y ma  nb  p  x  y m  x  y 1  n  x  y   p 4 2m  n   m  n 3  m  p 0  m 1  2 n 2  x  y  a  2b  p 1  Bài 7: 19 Giải hệ phương trình sau  x y  x  y  15 0  2  x  y  x  y  0 Lời giải   *) Phân tích: Ta tìm cách biến đổi hệ phương trình dạng           x   y   21   2  x    y   10 HPT     2 Đặt a  x  1; b  y   x  a  4; y  b  Ta có HPT  a    b   21   2  a  b 10 ab   a  b  5  1   a  b   2ab 10   2  a  b   10   a  b  10 Thế ab 5  4a  a  b  vào     a  b 2   a  b    a  b   20 0    a  b  10  a   b 3 a  b 2  ab     a 3  b  +) TH1:  a   x       b 3 y     +) Với  x 0  tm    y 5  x  3  a 3     b   y    +) Với  x 4    y 1  x 2   y 1 +) TH2: a  b 10 làm tương tự TH1 Bài 8: Giải hệ phương trình sau  x  y 1  xy   x   y      1  y    x    1  2 Lời giải a Phân tích: Đặt x y x2  y2  x  y x2  y  x  y ,b  a b   1 y 1 x 1  x  1  y  1 xy  x  y  2 Giải: Ta có phương trình (1)  x  y  x  y  x  1  y  1 20