giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ôn thi lớp 9 okkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
ĐS9- CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH ( BUỔI ) A CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bài toán quan hệ số Phương pháp giải Cách viết số hệ thập phân số tự nhiên: - Số có hai chữ số: ab 10a b - Số có ba chữ số: abc 100a 10b c - Số có bốn chữ số: abcd 1000a 100b 10c d Quan hệ chia hết chia có dư: Số a chia cho b thương c có số dư r, viết lại là: a b.c r - Nếu a chia hết cho b số dư r 0 - Nếu a không chia hết cho b số dư r b Bài tập mẫu Ví dụ 1: Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn cho 63 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho Lời giải Gọi số phải tìm ab a; b 9; a 0; a, b Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 63 nên ba ab 63 Tổng số cho số tạo thành 99 nên ba ab 99 ba ab 63 Ta có hệ ba ab 99 10b a 10a b 63 10b a 10a b 99 9b 9a 63 11b 11a 99 a 1 (thỏa mãn điều kiện) b 8 Vậy số cần tìm 18 Ví dụ 2: Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục tích hai chữ số ln lớn tổng hai chữ số 34 Lời giải Gọi số phải tìm ab a; b 9; a 0; a, b Vì chữ số hàng đơn vị nhỏ chữ số hàng chục 2, ta có phương trình: a b 2 Vì tích hai chữ số ln lớn tổng hai chữ số 34, ta có phương trình: ab a b 34 a b 2 Theo ta có hệ phương trình: ab a b 34 a 8 Giải hệ phương trình ta được: (thỏa mãn điều kiện) b 6 Vậy số phải tìm 86 Ví dụ 3: Tìm số có hai chữ số biết phân số có tử số số đó, mẫu số tích hai chữ số có phân số tối giản 16 hiệu số cần tìm với số có chữ số với viết theo thứ tự ngược lại 27 Lời giải Gọi số phải tìm ab a; b 9; a 0; a, b Phân số có tử số số đó, mẫu số tích hai chữ số có phân số tối giản 16 nên ab 16 10a b 16 a.b ab Hiệu số cần tìm với số có chữ số với viết theo thứ tự ngược lại 27 ab ba 27 a b 3 10a b 16 90a 9b 16ab Ta có hệ ab a b a b 3 90 b 3 9b 16b b 3 b 6 (thỏa mãn điều kiện) a b a 9 Vậy số cần tìm 96 Dạng 2: Bài tốn chuyển động Phương pháp giải S S Dựa vào công thức S vt v t , S quãng đường, v vận tốc t thời gian t v Chuyển động ngược chiều gặp nhau: S v1 v2 t t S S v1 v2 v1 v2 t Chuyển động chiều đuổi kịp nhau: S v1 v2 t t S S v1 v2 v1 v2 t Một ca nơ chuyển động dịng nước với vận tốc thực v: + Vận tốc xi dịng v vận tốc dòng nước + Vận tốc ngược dòng v vận tốc dòng nước + Vận tốc dịng nước (vận tốc xi dịng – vận tốc ngược dịng) Bài tập mẫu Ví dụ 1: Hai ô tô khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B dài 240km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 12km/h nên đến điểm B trước ô tô thứ hai 100 phút Tính vận tốc tô Lời giải Gọi vận tốc ô tô thứ hai x (km/h) Điều kiện x vận tốc ô tô thứ x 12 (km/h) Thời gian ô tô thứ hai hết quãng đường AB 240 (giờ) x Thời gian ô tô thứ hết quãng đường AB 240 (giờ) x 12 Đổi 100 phút Vì tơ thứ đến địa điểm B trước tơ thứ hai 100 phút nên ta có phương trình: 240 240 x x 12 Giải phương trình ta được: x 36 (thỏa mãn điều kiện) Vậy vận tốc ô tô thứ 48km/h, vận tốc ô tô thứ hai 36km/h Ví dụ 2: Một người dạo chơi Lúc đầu người đoạn đường bằng, sau leo lên dốc cuối theo lối cũ trở Biết vận tốc đường 4km/h, vận tốc leo dốc 3km/ h, vận tốc xuống dốc 6km/h Hỏi quãng đường người dài kilômét? Lời giải Gọi quãng đường AC x (km), quãng đường BC y (km) Điều kiện x 0, y Suy quãng đường AB x y (km) Thời gian người quãng đường AC x (giờ) Thời gain người quãng đường CB leo dốc y (giờ) Thời gian người quãng đường CB xuống dốc y (giờ) Suy thời gian người quãng đường là: x y y x 5 (giờ) 3x y y 3x 5 12 x y 60 x y 10 Vậy quãng đường dài 20km Ví dụ 3: Một ca nơ chạy sơng tiếng, xi dịng 108km ngược dịng 63km Một lần khác, ca nơ chạy tiếng, xi dịng 81km ngược dịng 84km Tính vận tốc dịng nước chảy vận tốc riêng ca nô Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc riêng ca nô y (km/h) vận tốc dòng nước chảy Điều kiện x y Vận tốc ca nô xi dịng x y (km/h) Vận tốc ca nơ ngược dịng x y (km/h) Ta có thời gian ca nơ xi dịng là: 108 (giờ); x y thời gian ca nơ ngược dịng là: 63 (giờ) x y Chiếc ca nơ chạy sơng vịng tiếng nên ta có phương trình: 108 63 7 x y x y (1) Mặc khác: thời gian ca nơ lúc xi dịng là: 81 (giờ); x y thời gian ca nơ lúc ngược dịng là: 84 (giờ) x y Chiếc ca nơ chạy sơng vịng tiếng nên ta có phương trình: 81 84 7 x y x y (2) 63 108 x y x y 7 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 81 84 7 x y x y Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ, đối chiếu điều kiện toán ta x 24 nghiệm hệ phương trình là: (thỏa mãn) y 3 Vậy vận tốc riêng ca nô 24km/h, vận tốc dịng nước 3km/h Dạng 3: Bài tốn công việc (năng suất) Phương pháp giải Nếu x (hoặc ngày) làm xong cơng việc (hoặc ngày) làm Nếu (hoặc ngày) làm cơng việc x a cơng việc a làm cơng việc x x Khi giải toán liên quan đến suất liên hệ ba đại lượng là: Khối lượng công việc = Năng suất lao động Thời gian Bài tập mẫu Ví dụ 1: Có hai dây chuyền may áo Ngày thứ hai dây chuyền may 930 áo Ngày thứ hai dây chuyền thứ tăng công suất lên 18% dây chuyền thứ hai tăng suất lên 15% số áo hai dây chuyền may 1083 áo Hỏi ngày thứ dây chuyền may áo? Lời giải Gọi x, y số áo dây chuyền thứ dây chuyền thứ hai may ngày thứ Điều kiện x, y * Ta có: x y 930 (1) Ngày thứ hai, dây chuyền thứ may là: x Ngày thứ hai, dây chuyền thứ hai may là: y 18 118 x x (cái áo) 100 100 15 115 y y (cái áo) 100 100 Vậy ngày thứ hai, hai dây chuyền may là: Do đó: 118 115 x y 1083 100 100 118 115 x y (cái áo) 100 100 (2) x y 930 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 118 x 115 y 108300 x 450 Giải hệ ta y 480 Vậy ngày thứ dây chuyền thứ may 450 áo dây chuyền thứ hai may 480 áo Ví dụ 2: Để sản xuất máy điện loại A cần 3kg đồng 2kg chì, để sản xuất máy điện loại B cần 2kg đồng 1kg Sau sản xuất sử dụng hết 130kg đồng 80kg chì Hỏi sản xuất máy điện loại A, máy điện loại B? Lời giải Gọi x số máy điện loại A sản xuất x * ; y số máy điện loại B sản xuất y * Số ki-lô-gam đồng sử dụng là: 3x y (kg) Số ki-lơ-gam chì sử dụng là: 2x y (kg) 3 x y 130 Ta có hệ phương trình: x y 80 Giải hệ phương trình ta được: x 30, y 20 (thỏa mãn điều kiện) Vậy sản xuất 30 máy điện loại A 20 máy điện loại B Ví dụ 3: Ba công nhân làm công việc xong 10 ngày, người thứ làm ngày đầu Trong ngày làm chung, ba người làm 37% công việc Khối lượng công việc mà người làm ngày khối lượng công việc mà người làm ngày Hỏi người làm xong cơng việc ngày? Lời giải Gọi x (ngày) thời gian người làm xong cơng việc x 10 ; y (ngày) thời gian người làm xong cơng việc y 10 Trong ngày, người làm công việc x Trong ngày, người làm công việc y Trong ngày cuối, hai người công nhân làm 63 công việc 100 1 63 : x y 100 100 Từ giả thiết ta thiết lập hệ phương trình: 0 x y Giải hệ ta x 25, y 20 Người thứ làm ngày được: 37 3 (công việc) 100 x y 10 Vậy người làm xong cơng việc số thời gian là: người 1: 25 ngày; người 2: 20 ngày; người 3: 30 ngày Dạng 4: Bài toán chảy chung, chảy riêng vịi ngước Bài tập mẫu Ví dụ 1: Hai vịi chảy đầy bể khơng có nước 45 phút Nếu chảy riêng rẽ, vòi phải chảy đầy bể? Biết chảy riêng rẽ vịi thứ hai chảy lâu vòi thứ Lời giải Đổi giời 45 phút = 15 Gọi thời gian vịi thứ chảy đầy bể x (x tính giờ, x thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể y (y tính giờ, y Một vòi thứ chảy 15 ) 15 ) 1 bể, vòi thứ hai chảy bể y x 1 1 Suy hai vòi chảy được: bể x y Hai vòi chảy đầy bể 45 phút nên hai vòi chảy được: 1: 15 (bể) 15 Mà chảy riêng lẽ vịi thứ hai chảy lâu vịi thứ nên y x 4 1 Ta có hệ phương trình: x y 15 y x 4 Giải hệ phương trình ta có: x 6, y 10 thỏa mãn điều kiện đề Vậy chảy riêng rẽ vịi thứ chảy đầy bề giờ, vòi thứ hai chảy đầy bể 10 Ví dụ 2: Hai vịi nước chảy vào bể sau 50 phút đầy Nếu hai vịi chảy khóa vịi thứ lại vịi thứ hai chảy đầy bể Hỏi vịi chảy đầy bể? Lời giải Đổi 50 phút = 35 Gọi thời gian vòi thứ chảy đầy bể x (x tính giờ, x thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể y (y tính giờ, y 35 ) 35 ) Một vòi thứ chảy 1 bể, vòi thứ hai chảy bể y x 1 1 Suy hai vòi chảy được: bể x y Hai vòi chảy đầy bể 50 phút nên hai vòi chảy được: 1: 35 (bể) 35 Vì hai vịi chảy khóa vịi thứ lại vịi thứ hai chảy đầy 1 1 bể nên ta có 1 x y y 1 x y 35 Ta có hệ phương trình: 5 1 x y y Giải hệ phương trình ta có: x 10, y 14 thỏa mãn điều kiện đề Vậy vịi thứ chảy 10 đầy bể, vịi thứ hai chảy 14 đầy bể Ví dụ 3: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào bể chứa thời gian quy định phải bơm 10m3 Sau bơm dung tích bể chứa, người cơng nhân vận hành máy bơm công suất lớn nên bơm 15m3 , bể bơm đầy trước 48 phút so với thời gian quy định Tính dung tích bể chứa Lời giải Gọi dung tích bể chứa x ( x , x tính m3 ) Ta có thời gian dự định để bơm đầy bể x 10 Thời gian để bơm x bề với công suất 10m3 /s là: (giờ) 30 Thời gian để bơm 2x bể với công suất 15m3 /s là: (giờ) 45 Do cơng suất tăng bơm Do đó, ta có phương trình: bể cịn lại nên thời gian bơm đầy trước 48 phút so với quy định x x 2x 10 30 45 Giải phương trình ta được: x 36 (thỏa mãn điều kiện) Vậy dung tích bể chứa 36m3 Dạng 5: Bài toán lãi suất ngân hàng Phương pháp giải a) Lãi đơn: số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh Ví dụ: Khi ta gửi tiết kiệm 100 (triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm sau năm ta nhận số tiền lãi là: 100.7% 7 (triệu đồng) + Số tiền lãi cộng vào hàng năm Kiểu tính lãi gọi lãi đơn + Sau hai năm số tiền gốc lẫn lãi là: 100 2.7 114 (triệu đồng) + Sau n năm số tiền gốc lẫn lãi là: 100 n.7 (triệu đồng) Vậy, cơng thức tính lãi đơn là: T A r.n Trong đó: T: Số tiền gốc lẫn lãi sau n kì hạn; A: Tiền gửi ban đầu; n: Số kì hạn tính lãi; r: Lãi suất định kì, tính theo % b) Lãi kép: số tiền lãi khơng tính số tiền gốc mà cịn tính số tiền lãi tiền gốc sinh ra, thay đổi theo định kì Ví dụ: Khi ta gửi tiết kiệm 100 (triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất 7%/năm sau năm, ta nhận số tiền gốc lẫn lãi là: 100 107 (triệu đồng) + Toàn số tiền 107 (triệu đồng) sau năm gọi tiền gốc + Tổng số tiền gốc lẫn lãi cuối năm thứ hai là: 107 107.7% 114, 49 (triệu đồng) Vậy, công thức tính lãi kép gửi lần là: T A r Trong đó: T: Số tiền gốc lẫn lãi sau n kì hạn; A: Tiền gửi ban đầu; n: Số kì hạn tính lãi; r: Lãi suất định kì, tính theo % n Bài tập mẫu Ví dụ 1: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi đơn với lãi suất 8%/năm Hỏi sau năm, tổng số tiền thu bao? Lời giải Vì hình thức lãi đơn nên ta có tổng số tiền sau năm là: 100 100.0,8 108 (triệu đồng) Tổng số tiền sau năm là: 108 100.0, 08 116 (triệu đồng) Tổng số tiền sau năm là: 116 100.0, 08 124 (triệu đồng) Vậy sau năm, người thu 124 triệu đồng Ví dụ 2: Ơng A dự định đầu tư khoản tiền 20 000 000 đồng vào dự án với lãi suất tăng dần 3,35% năm đầu; 3,75% năm 4,8% năm cuối Tính giá trị khoản tiền mà ông A nhận cuối năm thứ 10 Lời giải Số tiền ông A thu năm đầu là: T1 20000000 3,35% 22078087 (đồng) Số tiền ông A thu năm là: T2 T1 3, 75% 23764991 (đồng) Số tiền ông A thu sau năm cuối là: T3 T2 4,8% 30043053 (đồng) Vậy số tiền mà ông A thu cuối năm thứ 10 30 043053 đồng Ví dụ 3: Ơng An mua xe giá 105 triệu đồng Một công ty tài đề nghị ơng An trả 18 triệu đồng tiền mặt, 29 triệu đồng cuối năm 20 triệu đồng cuối năm thứ ba thứ tư Biết lãi suất áp dụng 5,85%, hỏi ông An sau năm nợ tiền? Lời giải Sau trả ngay, ơng An cịn nợ lại số tiền là: 105 18 87 (triệu đồng) Sau năm, ơng A cịn nợ lại số tiền là: 87 5,85% 29 63,1 (triệu đồng) Sau năm thứ ba, ơng An cịn nợ lại số tiền là: 63,1 5,85% 20 46,8 (triệu đồng) Sau năm thứ tư, ơng An cịn nợ lại số tiền là: 46,8 5,85% 20 29,5 (triệu đồng) Vậy sau bốn năm, ông An nợ tiền 29,5 triệu đồng Dạng 6: Bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm Phương pháp giải Bài toán dân số: Gọi a số dân biết trước Khi đó: + Nếu tăng dân số thêm b% ta có số dân sau tăng là: a ab% + Nếu giảm dân số b% ta có số dân sau giảm là: a ab% Bài toán tăng giá, giảm giá: Gọi x giá tiền ban đầu sản phầm + Nếu tăng giá thêm y% ta có giá sản phẩm sau tăng là: x xy % + Nếu giảm giá y% ta có giá sản phẩm sau giảm là: x xy % Bài tập mẫu Ví dụ 1: Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất 720 sản phẩm Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12% Do đó, cuối tháng hai tổ sản xuất 819 sản phẩm Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất sản phẩm? Lời giải Gọi số sản phẩm sản xuất tháng đầu tổ I x (0 x 720) số sản phẩm sản xuất tháng đầu tổ II y (0 y 720) Vì tháng đầu, hai tổ sản xuất 720 sản phẩm nên ta có: x y 720 (1) Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 12%, cuối tháng hai tổ sản xuất 819 sản phẩm nên ta có: x 15 12 115 112 x y y 819 x y 819 100 100 100 100 (2) x y 720 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 115 112 100 x 100 y 819 Giải hệ phương trình ta được: x 420, y 300 (thỏa mãn điều kiện) Vậy tháng đầu tổ I sản xuất 420 sản phẩm tổ II sản xuất 300 sản phẩm Ví dụ 2: Năm 2018, dân số hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A sang năm 2019 tăng 1,2% cịn tỉnh B tăng 1,1% Tính dân số tỉnh năm 2019 biết tổng dân số hai tỉnh năm 090 000 người Lời giải Gọi dân số tỉnh A năm 2018 x ( x , x tính triệu người) dân số tỉnh B năm 2018 y ( y , y tính triệu người) Vì dân số hai tỉnh A B năm 2018 triệu người nên ta có phương trình: x y 8 (1) Sang năm 2019, dân số tỉnh A tăng 1,2% tỉnh B tăng 1,1% 090 000 người nên ta có phương trình: 1, x 1,1 y 0, 09 100 100 (2) x y 8 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 1, x 1,1 y 100 100 0, 09 Giải hệ phương trình ta được: x 2, y 6 (thỏa mãn điều kiện) Vậy năm 2019, dân số tỉnh A năm 2019 triệu người, dân số tỉnh B năm 2019 triệu người Ví dụ 3: (Đề thi vào lớp 10 Sở Giáo dục Đào tạo Cần Thơ năm 2016 – 2017) Anh Bình đến siêu thị để mua bàn ủi quạt điện với tổng số tiền theo giá niêm yết 850 ngàn đồng Tuy nhiên, thực tế trả tiền, nhờ siêu thị khuyến để tri ân khách hàng nên giá bàn ủi quạt điện giảm bớt 10% 20% so với giá niêm yết Do đó, anh Bình trả 125 ngàn đồng mua hai sản phẩm Hỏi số tiền chênh lệch giá bán niêm yết với giá bán thực tế loại sản phẩm mà anh Bình mua bao nhiêu? Định hướng Để tìm số tiền chênh lệch giá bán niêm yết với giá bán thực tế loại sản phẩm mà anh Bình mua, ta cần tìm giá niêm yết giá tiền thực tế loại àm anh Bình mua Lập bảng: Giá niêm yết Giá khuyến Lời giải Bàn ủi Quạt điện Tổng số tiền phải trả (ngàn đồng) x 90%x (ngàn đồng) y 80%y (ngàn đồng) x y 850 90% x 80% y 850 125 725 Gọi số tiền mua ủi với giá niêm yết x (ngàn đồng); số tiền mua quạt điện với giá niêm yết y (ngàn đồng) Điều kiện: x, y 850 Tổng số tiền mua bàn ủi quạt điện theo giá niêm yết 850 ngàn đồng nên ta có phương trình: x y 850 (ngàn đồng) Số tiền thực tế để mua bàn ủi là: (1) 90 x x (ngàn đồng) 100 10 Số tiền thực tế để mua quạt điện là: Theo ta có phương trình: 80 y y (ngàn đồng) 100 10 x y 850 125 10 10 x y 850 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 10 x 10 y 725 Số tiền thực tế mua bàn ủi là: (2) x 450 (thỏa mãn điều kiện) y 400 450 405 (ngàn đồng) 10 Số tiền thực tế mua quạt điện là: 400 320 (ngàn đồng) 10 Số tiền chênh lệch giá bán niêm yết giá bán thực tế bàn ủi là: 450 405 45 (ngàn đồng) Số tiền chênh lệch giá bán niêm yết giá bán thực tế quạt điện là: 400 320 80 (ngàn đồng) Dạng 7: Bài tốn có nội dung hình học Phương pháp giải Hình vng (cạnh a) Hình chữ nhật (chiều dài: a, chiều rộng: b) Hình tam giác (a, b, c độ dài cạnh) Chu vi Diện tích C 4a S a C a b S ab Chu vi: C a b c Nửa chu vi: P a b c S a.ha với : chiều cao ứng với cạnh a Bài tập mẫu Ví dụ 1: Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dài 45m Tính diện tích ruộng, biết giảm chiều dài lần chiều rộng tăng thêm lần chu vi ruộng khơng thay đổi Lời giải Gọi chiều dài ruộng x chiều rộng ruộng y (x, y tính theo đơn vị m) Điều kiện x y x y 45 Theo ta có hệ phương trình: x y x y Giải hệ phương trình ta được: x 60, y 15 (thỏa mãn điều kiện) Vậy diện tích ruộng là: 60.15 900 m Đáp số: 900m Ví dụ 2: Một tam giác vng có số đo cạnh số tự nhiên mà số đo diện tích gấp 1,5 số đo chu vi (khơng kể đơn vị) Tính độ dài cạnh tam giác Lời giải Gọi hai cạnh góc vng a b (đơn vị độ dài); cạnh huyền tam giác vng c (đơn vị độ dài) Điều kiện c a; c b; a,b,c * Trong tam giác vng ta có: a b c Theo ta có: ab 1,5 a b c ab 3 a b c (1) (Định lí Py-ta-go) (2) 2 Từ (1) (2) ta có: a 2ab b c a b c a b c 6 a b c a b c a b c 6 a b c * Mà a b c nên a b c 6 a b c a b a b Ta có: (2) ab 3 2a 2b a b 18 Phân tích 18 thành tích hai số nguyên ta có: 18 1.18 1 18 2.9 3.6 3 Ta loại trường hợp 1 18 ; ; a, b * Xét ba trường hợp lại ta ba cặp số thỏa mãn là: 7; 24 , 8;15 , 9;12 Vậy độ dài ba cạnh tam giác 7; 24; 25 , 8;15;17 , 9;12;15 Ví dụ 3: Một tam giác cân có cạnh bên nhỏ cạnh đáy 10cm, có diện tích bình phương số đo cạnh đáy Tính độ dài cạnh tam giác Lời giải Gọi số đo cạnh đáy a, cạnh bên b, chiều cao ứng với cạnh đáy h (tính theo đơn vị cm) Điều kiện a 10 a b 10 b a 10 Theo đề ta có: 1 2 ah a h a (1) (2) a Trong tam giác vng AHB ta có: h b (*) 2 2 (Định lí Py-ta-go) 2 2a a Từ (1) (2) thay vào (*) ta có: a 10 2 a 60 Giải phương trình ta được: a 60 loai vi a 10 11 Vậy độ dài cạnh tam giác 60cm, 50cm 50cm Dạng 8: Bài toán sử dụng kiến thức vật lí hóa học Phương pháp giải Nồng độ dung dịch: Biết mct gam chất tan M dd gam dung dịch nồng độ phần trăm mct 100% M dd Nhiệt lượng: + m kg nước giảm t C tỏa nhiệt lượng Q m.t (Kcal) + m kg nước tăng t C thu vào nhiệt lượng Q m.t (Kcal) m Khối lượng riêng đặc biệt: D V Trong D, m, V khối lượng riêng, khối lượng thể tích vật Bài tập mẫu Ví dụ 1: Vào kỉ thứ III trước Công nguyên, vua xứ Xi-ra-cut giao cho Ac-si-met kiểm tra xem mũ vàng nhà vua có bị pha thêm bạc hay khơng Chiếc mũ có trọng lượng Niu-tơn (theo đơn vị nay), nhúng nước trọng lượng giảm 0,3 Niu-tơn Biết cân nước vàng giảm 1 trọng lượng, bạc giảm trọng lượng Hỏi mũ chứa gam vàng? Bao nhiêu 20 10 gam bạc? Biết vật có khối lượng 100 gam có trọng lượng Niu-tơn Định hướng Đề hỏi gam vàng, gam bạc nên ta nghĩ tới việc đặt ẩn để đưa hệ phương trình Lời giải Gọi trọng lượng vàng bạc mũ thứ tự x (Niu-tơn) y (Niu-tơn) Điều kiện x, y Do mũ có trọng lượng Niu-tơn nên x y 5 Mặt khác, cân nước vàng giảm (1) 1 trọng lượng, bạc giảm trọng lượng 20 10 Và nhúng mũ vào nước trọng lượng giảm 0,3 (Niu-tơn) Do ta có phương trình: x y 0,3 20 10 (2) x y 5 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x y 20 10 0,3 Giải hệ phương trình ta được: x 4, y 1 Vậy mũ chứa 400 (g) vàng, 100 (g) bạc Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/ cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/ cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng Lời giải Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/ cm3 ) Điều kiện: x 0, Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai x 0, (g/ cm3 ) Thể tích chất lỏng thứ Thể tích chất lỏng thứ hai Thể tích hỗn hợp cm3 x cm3 x 0, cm3 x x 0, Theo ta có phương trình: 14 14 x 12, x 1,12 0 x x 0, 0, Giải phương trình ta kết quả: x1 0,1 (loại), x2 0,8 (thỏa mãn điều kiện) Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/ cm3 ) Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/ cm3 ) B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Bà Giang gửi 100 triệu vào tài khoản định kì tính lãi kép với lãi suất 8%/năm Sau năm bà rút toàn tiền dùng nửa để đầu tư, số tiền lại bà tiếp tục đêm gửi ngân hàng năm với lãi suất Tính số tiền lãi thu sau 10 năm Câu 2: Anh Nam xe đạp từ A đến C Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm A C) anh Nam với vận tốc không đổi a (km/h) thời gian từ A đến B 1,5 Trên quãng đường BC lại, anh Nam chậm dần với vận tốc thời điểm t (tính giờ) kể từ B v 8t a (km/h), quãng đường từ B đến thời điểm t S 4t at Tính quãng đường AB biết đến C xe dừng hẳn quãng đường BC dài 16km Câu 3: Trong phịng có 80 người họp xếp ngồi dãy ghế có chỗ ngồi Nếu ta bớt dãy ghế dãy ghế cịn lại phải xếp thêm người vừa đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp chỗ ngồi? Câu 4: Cho hai vòi nước lúc chảy vào bể cạn Nếu chảy riêng vịi vịi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Khi nước đầy bể, người ta khóa vịi thứ vịi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy sau bể cạn nước Khi nước bể cạn, mở ba vòi sau 24 bể lại đầy nước Hỏi dùng vòi thứ sau bể đầy nước? Câu 5: (Đề thi vào lớp 10 THPT, TP Hà Nội năm học 2015 – 2016) Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước n lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng Câu 6: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 70m, giảm chiều rộng 3m tăng chiều dài 5m diện tích ruộng khơng thay đổi Tìm chiều dài chiều rộng ruộng Câu 7: (Đề thi vào lớp 10 Chuyên Thái Bình năm học 2018 – 2019 )Hai nến chiều dài làm chất liệu khác nhau, nến thứ cháy hết với vận tốc giờ, nến thứ hai cháy hết với vận tốc Hỏi phải bắt đầu đốt lúc chiều để đến lúc chiều phần lại thứ hai dài gấp đơi phần cịn lại nến thứ nhất? Câu 8: Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước 48 phút đầy bể Nếu ban đầu mở vòi thứ chảy giờ, sau tắt mở vịi thứ hai bể nước Hỏi vịi chảy đầy bể? Câu 9: Với phát triển khoa học kỹ thuật nay, người ta tạo nhiều mẫu xe lăn đẹp tiện dụng cho người khuyết tật Công ty A sản xuất xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu 500 triệu đồng Chi phí để sản xuất xe lăn 2,5 triệu đồng Giá bán triệu đồng a) Viết hàm số biểu diễn tổng số tiền đầu đến sản xuất x xe lăn (Gồm vốn ban đầu chi phí sản xuất) hàm số biểu diễn số tiền thu bán x xe lăn b) Công ty A phải bán xe thu hồi vốn ban đầu? Câu 10: (Đề thi vào lớp 10 Phổ thông khiếu ĐHQG TP Hồ Chí Minh năm học 2017 – 2018) Lớp 9T có 30 bạn, bạn dự định đóng góp tháng 70000 đồng sau tháng đủ tiền mua tặng cho em “Mái ấm tình thương X” ba gói q (giá tiền quà nhau) Khi bạn đóng góp đủ số tiền dự trù “Mái ấm tình thương X” nhận chăm sóc thêm em giá tiền quà tăng thêm 5% nên tặng em hai gói quà Hỏi có em “Mái ấm tình thương X” nhận quà? Câu 11: Tính ba cạnh tam giác vuông ABC vuông A biết chu vi tam giác 12m tổng bình phương ba cạnh 50m Câu 12: Quãng đường từ A đến B dài 90km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc 9km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B Câu 13: Hai người thợ quét sơn ngơi nhà Nếu họ làm ngày xong việc Nếu họ làm riêng người thứ hồn thành cơng việc chậm người thứ hai ngày Hỏi làm riêng người thợ phải làm ngày để xong cơng việc? Câu 14: Có hai loại dung dịch chứa thứ axit, loại I chứa 30% axit, loại II chứa 5% axit Muốn có 50 lít dung dịch chứa 10% axit cần phải trộn lẫn lít dung dịch loại? Câu 15: Tổng chữ số hàng đơn vị hàng trăm số tự nhiên có ba chữ số 16 Nếu chữ số cho theo thứ tự ngược lại số nhỏ số 198 đơn vị Biết số cho chia hết cho Tìm số Câu 16: Một người dự định từ A đến B cách 120km xe máy với vận tốc không đổi để đến B vào thời điểm định trước Sau người nghỉ 10 phút, để đến B thời điểm định, người phải tăng tốc thêm 6km/h so với vận tốc ban đầu qng đường cịn lại Tính vận tốc ban đầu người HƯỚNG DẪN Câu 1: Sau năm, bà Giang rút tổng số tiền là: 100 8% 146,932 (triệu đồng) Suy số tiền lãi là: 100 100 L1 Bà Giang dùng nửa số tiền để đầu tư, nửa lại gửi vào ngân hàng Suy số tiền bà gửi tiếp vào ngân hàng là: 73, 466 8% 107,946 (triệu đồng) Suy số tiền lãi là: 107,946 73, 466 L2 Vậy số tiền lãi bà Giang thu sau 10 năm là: L1 L2 81, 412 (triệu đồng) Câu 2: a Vì C xe dừng hẳn nên thời gian t xe từ B đến C thỏa mãn 8t a 0 t a2 a2 Do đó, quãng đường BC là: 16 4t at a 256 a 16 a 64 Vậy quãng đường AB S vt a.1,5 24 (km) Câu 3: Gọi số dãy ghế lúc đầu x (dãy ghế) ( x * , x ) Mỗi dãy ghế xếp số chỗ ngồi 80 (chỗ ngồi) x Nếu bớt dãy ghế cịn x (dãy ghế), dãy xếp chỗ ngồi Theo giả thiết, ta có phương trình: 80 80 2 x x Ta có: 40 x 40 x x x 40 x 40 x 80 x x x x 80 0 1 80 81; 81 9 1 1 10 (nhận), x2 (loại) Suy x1 1 Vậy số dãy ghế lúc đầu 10 dãy Mỗi dãy ghế xếp số chỗ ngồi 80 8 chỗ ngồi 10 Câu 4: Gọi thời gian mà vòi thứ chảy riêng đầy bể x (giờ) Điều kiện: x Khi thời gian vịi thứ hai chảy riêng đầy bể x (giờ) Trong giờ: 80 (chỗ ngồi) x