ĐS9 cđ3 hệ PHƯƠNG TRÌNH 1

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A MỘT SỐ DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Hệ bậc hai ẩn A Kiến thức cần nhớ Bài tốn: Giải hệ phương trình Trong f ( x; y ) , g ( x; y )  f ( x; y ) = ( 1)   g ( x; y ) = ( ) biểu thức chứa x y a) Phương pháp thế: + Đặt điều kiện (nếu có) + Biểu diễn ẩn số theo ẩn số cịn lại từ phương trình + Thay vào phương trình cịn lại, ta phương trình ẩn số + Giải phương trình ẩn số ta tìm nghiệm + So sánh với điều kiện toán kết luận b) Phương pháp cộng đại số  f ( x; y ) =  f ( x; y ) ± g ( x; y ) = ⇔   g ( x; y ) =  g ( x ) = + Đặt điều kiện + Nhân chia phương trình với hệ số thích hợp + Cộng đại số phương trình trên, giải phương trình + Tìm nghiệm + So sánh với điều kiện kết luận Bài 1: Xác định hệ số a, b hàm số a Đồ thị qua hai điểm y = ax + b để: A ( 1; ) , B ( 2; ) b Đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ hồnh độ Lời giải: −4 cắt trục hồnh điểm có a Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình đường thẳng ta được: 3 = a + b b = 3− a a = ⇔ ⇔  4 = 2a + b 4 = 2a + 3− a b = 3− a = Vậy a = 1, b = b Tương tự phần (1) ta có hệ: Vậy a = 2, b = −4  −4 = a.0+ b b = −4 a = ⇔ ⇔   = 2a + b 2a = −b + b = −4 Bài 2: Giải hệ phương trình sau: a 1 x + y =    − = −1  x y b  x  x + 1−    x +  x + y =3 y −1 3y = −1 y −1 c   2x − + x − y =   2 2x − − =  x− y Lời giải: a Đặt 1 u = ,v = x y Theo đề ta có hệ phương trình:  v = 3− u u + v = 5u = u =  ⇔ ⇔ ⇔  3u − 2( 3− u ) = −1 v = 3− u 3u − 2v = −1  v = x= Từ suy ra: u= b Đặt 1 = 1; y = = u v x y ,v = x +1 y −1 Theo đề ta có hệ phương trình: u − v = u = 3+ v u = 3+ v u = ⇔ ⇔ ⇔  u + 3v = −1 3+ v + 3v = −1 4v = −4 v = −1 Từ suy ra: c Điều kiện  x  x = −2  x + =  x = 2x +  ⇔ ⇔  y y = 1− y y =    = −1   y − 1 x≥ ,x− y > Đặt a = 2x −   b = x − y  ta có hệ phương trình  2x − = a + b = a =  x = ⇔ ⇔ ⇔  =1 y = 2a − b = b =   x− y Vậy hệ có nghiệm x = 1; y = Bài 3: Giải hệ phương trình sau: a y  x  x − 5+ y − =    10 − = −1  x − y − b   2x − + 2y − =   3 2x − 1− = −2  2y − c   x−7−    +  x − = y+6 3 13 = y+6 Lời giải: a Điều kiện: x ≠ 5; y ≠ Ta viết lại hệ phương trình thành:  x − 5+ y − +   x − + y − =  x − 5+   ⇔   10 − = −1  10 −  x − y −  x − 21 = ⇒ y = 6− 3⇒ y = y−6 Từ nghiệm ( x ; y ) = ( 10; ) 1 ,y≠ 2  2 2x − + 2y − =   3 2x − 1− = −2  2y − ⇔x= x= Với 12 12  10 =6 + =6  y −6 x−5 y −6 ⇔ 21 = −1  =7  y − y −6 thay vào ta tìm x = 10 Vậy hệ phương trình có x≥ b Điều kiện  10 =3  x − 5+ y −6  ⇔ 10 = −1  −  x − y−6 Ta nhân phương trình thứ hệ với thu được: , cộng hai phương trình hệ ta có: thay vào phương trình ban đầu hệ ta có: 2x − = ⇔ 2x − = 2y − 1= y =1 = 1⇔ 2y − = 1⇔  ⇔ 2y − 2y − 1= −1  y = 1  1  x ; y ) =  ; ÷,  ; ÷ 2  2  ( Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: c Điều kiện x > 7, y > −6 , ta viết lại hệ thành: Cộng phương trình hệ ta thu được: Vào ta tìm được: − = ⇔ y+6 điều kiện Vậy hệ có nghiệm (       21 − x−7 12 =5 y+6 20 + x−7 12 26 = y+6 41 41 = ⇒ x − = ⇔ x − = ⇒ x = 16 x−7 = ⇒ y + = ⇔ y + = 36 ⇒ y = 30 y+6 x ; y ) = ( 16; 30 ) Bài 4: Giải hệ phương trình sau: a  2x  x + + y = −1   + 2y =  x + b 2y   x + 1+ y + =    4x + − =  y +1 c 1  x + x + y + y =    xy + =  xy  Lời giải: a Điều kiện y ≥ 0, x ≠ −1 Ta viết lại hệ phương trình thành:  2x + −   x + + y = −1 − x + 1+ y = −3 ⇔    + 4y = + 2y =  x +  x + y + 4y = ⇔ 4y + y − = ⇔ Suy y =1 ( , cộng phương trình hệ thu được:  y = ( TM ) y −1 y + = ⇔   y =−5 L ( )  )( ) x=− thay vào phương trình thứ ta tìm được: ( Vậy hệ có nghiệm   x ; y ) =  − ;1 ÷   thay thỏa mãn b Điều kiện: x ≥ −1; y ≠ −1 , ta viết hệ lại dạng: 2y + − 2     x + 1+ y + =  x + 1− y + = 2 x + −    ⇔ ⇔  2 x + − = 2 x + − = 2 x + −    y +1 y +1 Suy x =  y =1 thỏa mãn điều kiện Vậy hệ có nghiệm c Đặt  =0 =  y +1  y +1 ⇔ 2 x + − = =  y +1 y +1 ( x, y ) = ( 0;1) x + y = u ; xy = v (với v≠0 ) Hệ cho trở thành  u u + v = ( 1)  v + = ( 2)  v v = 2v − 5v + = ⇔  v =  2 Phương trình (2) có dạng + Với x, y v=2 thay vào PT (1) tìm nghiệm phương trình, tức v= + Với u =3 ( x, y ) = ( 1; 2) , ( 2;1) u= thay vào PT (1) tìm x, y u = Ta có hệ phương trình X2− Ta có hệ phương trình X + =0 2 nên nghiệm phương trình Từ suy hệ cho có tất bốn nghiệm x + y =   xy =   x + y =   xy =  ( x, y ) =  1; , tức  1   ÷,  ;1÷ 2   Bài 5: Giải hệ phương trình sau: a  x + 2y  x −1 + y + 1=    x − =3  x − y + b Lời giải:  x − − =1  2x − y    x − 1+ =  2x − y nên x ≠ 1; y ≠ −1 a Điều kiện: Ta biến đổi hệ phương trình cho thành:  x − 1+ 2y + −   x − + y + =  x − 1−   ⇔   x − 1+ − =  −  x −  x − y +1 2  =2  x − 1− y +1  ⇔ 1  = − y +  x − ( x, y ) = ( 2;1) Vậy hệ phương trình có nghiệm b Điều kiện: x ≥  2x − y ≠ =2  − =2  y +1 x =  x −1 y +1 ⇔ ⇔ y =1 =1  =1 y +1  x − , hệ phương trình viết lại thành: 1   2 x − − 2x − y = 2 x − − 2x − y = 2 x − =  x =    ⇔ ⇔ ⇔  y = 2x − y = 2 x − + 14 = 16  15 = 15   2x − y 2x − y Vậy hệ có nghiệm ( x, y ) = ( 2; 3) (TMĐK) Bài 6: Cho hệ phương trình:  x − 2y = ( 1)  mx − y = ( 2) a Giải hệ phương trình với b Tìm c Tìm m m m=2 để hệ phương trình có nghiệm để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) ( x, y ) thỏa mãn x y trái dấu x= y Lời giải: a Với m=2 ta có hệ phương trình: b Từ phương trình (1) ta có  x = 2y +  x − 2y =   x = 2y +  x = ⇔ ⇔ ⇔  2( 2y + 5) − y = 3y = −6 2x − y =   y = −2 x = 2y + Thay x = 2y + vào phương trình (2) ta được: m ( 2y + 5) − y = ⇔ ( 2m − 1) y = 4− 5m ( 3) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm Điều tương đương với: 2m − 1≠ ⇔ m ≠ y= Từ ta được: 4− 5m ; x = 5+ 2y = 2m − 2m − x y = Ta có: 3( − 5m ) ( 2m − 1) x= y ⇔ c Ta có: x y < ⇔ − 5m < ⇔ m > Do − 5m = 2m − 2m − 2m − 1> ⇔ m > Từ (4) suy (thỏa mãn điều kiện) ( 4) m> Với điều kiện  m = ( L )  − 5m = ⇔ ( 4) ⇔ 4− 5m = ⇔   − 5m = −3  m =  m= Vậy ta có: Bài 7: Chuyên Tốn Quảng Nam, năm học 2012 Giải hệ phương trình sau  x + xy − x = −6 ( 1)  ( 2)  y + xy = −1 Lời giải + Nếu y = 0⇒ khơng thỏa mãn phương trình (2) (loại) y ≠ ⇒ ( 2) : x = − + Nếu y2 + y Thay vào phương trình (1) ta được: 2  y2 +1   y2 +1   y2 +1  2 2 − + − y −  ÷  ÷ − ÷ = −6 ⇔ ( y + 1) − ( y + 1) y + ( y + 1) y = −6 y y   y  y    ⇔ y + y + y + = ⇔ ( y + 1) ( y + y + 1) = +) TH1: +) TH2: y = −1 ⇒ x = ±2 y + y + = ( ∆ = 32 − 4.4 < ) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm nên phương trình vơ nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 2; −1) , ( −2; −1) } Bài 8: Chuyên Toán Bắc Ninh, năm học 2011 Giải hệ phương trình sau ( 1) ( 2)  x − y =  9 y − x = Lời giải Ta có hệ phương trình  x − y =  9 y − x = 4 x − 12 y = ⇔ 2 4 x − 12 y − y + x =  x − y = ( 1) ⇔ 2 4 x − y + x − 12 y = ( ) Giải phương trình (2): +) TH1: +) TH2: ( 2) ⇔ ( 2x − y ) ( 2x + y ) + ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y + 4) = ) ( ) x + y + = ⇒ y = −4 − x ⇒ ( 1) ⇔ x + x + = ( ptvn ) ( Vậy HPT có hai nghiệm ) ( Bài 9: Giải hệ phương trình sau  x + x y + x y = x +   x + xy = x + 2 ( 1) ( 2) Lời giải  x + x 2 xy + ( xy ) = x + 36 ⇔  xy = x + − x ( 3) ( 4) x + x ( x + − x ) + ( x + − x ) = x + 36 Thế (4) vào (3) ta )  1+   −    ÷, 1 − 3; ÷ ( x; y ) ∈ 1 + 3; ÷  ÷ 3     HPT (  1+ y =  x = 1+  x − y = ⇔ y = x ⇒ ( 1) : x − x − = ⇔  ⇒  x = −  1− y =  x = ⇔ x ( x + 12 x + 48 x + 64 ) = ⇔ x ( x + ) = ⇔   x = −4 +) TH1: x = ⇒ ( 4) vô lý x = −4 ⇒ ( −4 ) y = ( −4 ) + − ( −4 ) ⇔ y = +) TH2: ( x; y ) =  −4;  Vậy PHT có nghiệm 17 17  ÷ 4 Bài 10: Chuyên KHTN, năm học 2018 Giải hệ phương trình sau  xy + y = y +  2  x + y + xy = x + ( 1) ( 2) Lời giải Ta có HPT  xy + y = y + ( 3)  xy + y = y +  ⇔ ⇔ + x − x2  x + ( y + 1) = x +  y = ( 4)  2 + x − x2 x 2  + x − x2  + x − x2 + = + ⇔ x − x3 + x2 + x − = ÷ 2   Thế (4) vào (3) ta được: ⇔ ( x − 1) ( x − x − x + ) = ⇔ ( x − 1) (x x =1 − 2x − 4) = ⇔   x = −1 ± x = ⇒ ( 4) ⇔ y = +) TH1: x = −1 ± ⇒ y = +) TH2: −3 m     ( x; y ) ∈ ( 1;1) ,  −1 + Vậy hệ phương trình có nghiệm 5; −3 −   −3 +   , − − 5; ÷  ÷ ÷ ÷     Bài 11: Thế ẩn Giải hệ phương trình sau 1  x − y + = −2 ( 1)    − = ( 2)  x + y Lời giải Điều kiện: ( 1) ⇒ Từ ( 2) ⇔ x ≠ 0; x ≠ −2; y ≠ 0; y ≠ −2 1 1− y − y+2 = −2= ⇔x=− x y+2 y+2 2y + y − ( x + 2) = ⇔ y − 3x − = y ( x + ) ( x + 2) y y + Thay vào (3) ta được: = ( 3) y ( y + 3) + y + − ( y + 3)  y+2 y+2  − = 4y  − ÷⇔ 2y + 2y +  2y +  −4 y ( y + ) + y ( y + 3) ⇔ y − y − 12 = 12 y − 16 y ⇔ y + 11 y + = 2y +  y = −1 ⇒ x = −1 ⇔  y = −6 ⇒ x = −  −4 −6  ; ÷  5  ( x; y ) = ( −1;1) ; ( x; y ) =  Vậy hệ phương trình có nghiệm Bài 12: HSG TPHN Giải hệ phương trình sau  x + y = 12 ( x, y ∈ R )   x + xy + 12 y = Lời giải Thế 12 = x + y vào phương trình (2) ta có: x3 + xy + y ( x + y ) = ⇔ x + xy + x y + y = +) Xét y = 0⇒ x = (không thỏa mãn) 10 (*) (thế hệ số) 2−S   P =  S + P = ⇔   S ( S − 3P ) =  S  S − − 3S  = ÷    Hệ phương trình cho trở thành: ⇒ S + 3S − S − 16 = ⇔ ( S − ) ( S + S + ) = ⇔ S = ⇒ P = Suy x, y hai nghiệm phương trình: X − X = ⇔ X = 0, X = x = x = ∨  y = y = b) Đặt S = x + y   P = x y điều kiện S ≥ 4P hệ phương trình cho trở thành:  S ( S − 3P ) = 19  SP = −8S  SP = −8S S = ⇔ ⇔ ⇔   S − ( − 8S ) = 19  P = −6  S + 24 S − 25 =  S ( + P ) = Suy x, y hai nghiệm phương trình: Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm c) Đặt Đặt a = x,b = y S = a + b   P = ab điều kiện S ≥ 4P 2 ( a + b3 ) = ( a 2b + b a )  a + b = hệ cho trở thành 2 ( S − 3SP ) = 3SP 2 ( 36 − 3P ) = 3P S = ⇔ ⇔  P =  S =  S = Suy a, b X − X − = ⇔ X = 3; X = −2 ( x; y ) = ( −2;3) , ( 3; −2 ) hệ cho trở thành: nghiệm phương trình: a = ⇒ x = a = ⇒ x = 64 X − X + = ⇔ X = 2; X = ⇒  ∨ b = ⇒ y = 64 b = ⇒ y = Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm d) Điều kiện:  xy ≥   x, y ≥ −1 Đặt ( x; y ) = ( 8; 64 ) , ( 64;8) S = x + y   P = x y điều kiện 27 S ≥ 4P Hệ phương trình cho trở thành:   S − P =  S ≥ 3; P = ( S − ) ⇔  2 S + ( S − 3) + = 14 − S  S + + S + P + = 16 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) 3 ≤ S ≤ 14; P = ( S − 3) S = ⇔ ⇔  ⇔ 2 S + 30 S − 52 = S + S + 10 = 196 − 28 S + S )  (  P = ⇒ x = y = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) Bài 2: Giải hệ phương trình sau a) c)  x + y + xy =   x + y = b)    ( x + y )  + ÷ =   xy    x + y 1 +  = )  x2 y ÷ (    d) xy  2 x + y + x + y =   x + y = x2 − y   x y ( + y ) + x y ( + y ) + xy − 30 =  2  x y + x ( + y + y ) + y − 11 = Lời giải a) Đặt x = a, y = b điều kiện Hệ phương trình trở thành: a, b ≥   a + b + 2ab =   a + b = Ta viết lại hệ phương trình thành: Đặt S = a + b   P = ab điều kiện S ≥ 4P  S , P ≥  (a + b) − 4ab(a + b) + 2a 2b + 2ab =   a + b = hệ cho trở thành   256 − 64 P − P + P = ⇔ S =P=4⇔a=b=2⇔ x= y =4  S =   Ngoài ta giải ngắn gọn sau:  ( x + y ) + xy = 16    x + y + xy = 16 ⇔ ( x2 + y ) = x + y ⇔ ( x − y)2 = ⇔ x = y ⇔ x = ⇔ x = 28 Vậy hệ có cặp nghiệm ( x; y ) = ( 4; ) x+ y >0 b) Điều kiện: Biến đổi phương trình (1): x2 + y + Đặt xy xy = ⇔ ( x + y ) −1+ − xy = x+ y x+ y x + y = S , xy = P S2 + ta có phương trình: 2P − 2P − = S ⇔ S + P − SP − S = ⇔ S ( S − 1) − P ( S − 1) = ⇔ ( S − 1)( S + S − P ) = Vì S > P, S > Với x + y =1 suy S + S − 2P > S =1 = ( − y ) − y ⇔ y = 0, y = thay vào (2) ta được: x + y +1 = Xét xy ⇔ x + y + = 1− x2 − y2 ⇔ x2 + y + x + y = x+ y ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( −2;3) Vậy hệ cho có nghiệm c) Điều kiện: xy ≠ (không thỏa mãn điều kiện) Hệ cho tương đương: Đặt Do  1  1 1  x + ÷+  y + ÷ = x + y + + =    x  y x y   ⇔  2 1  1  x2 + y + + =  + y+ ÷ =   x + x ÷ x2 y y     1  1  x + ÷+  y + ÷ = S x  y    x +   y +  = P ÷ ÷  x  y  Hệ trở thành: 1   3±  x + x = 2; y + y =  x = 1; y = ⇔ ⇔ S − 2P = 1   3± ⇔ S = 5, P = x + = 3; y + =  x= ; y =1   x y S =    3±   3±  ;1÷ ÷,  ÷ ÷     ( x; y ) = 1; Vậy hệ cho có nghiệm: 29 d) Hệ tương đương với : Đặt  xy ( x + y ) ( x + y + xy ) = 30   xy ( x + y ) + x + y + xy = 11 xy ( x + y ) = a; xy + x + y = b Ta thu hệ:   xy ( x + y ) =  ab = 30  a = 5; b =  xy + x + y = ⇔ ⇔  a + b = 11  a = 6; b =   xy ( x + y ) =   xy + x + y =  TH1: TH2:   xy =   xy ( x + y ) =  x = 2; y = x + y = ⇔ ⇔    xy =  xy + x + y =  x = 1; y =  ( L)   x + y =   xy =  − 21 + 21 ( L)  ;y = x = x + y =  xy ( x + y ) =  2 ⇔ ⇔     xy =  xy + x + y = + 21 − 21  ;y = x =  2   x + y =  ± 21 m 21  ; ÷ ÷   ( x; y ) = ( 1; ) , ( 2;1) ,  Vậy hệ có nghiệm: 30 Dạng 3: Hệ đối xứng loại A Kiến thức *) Định nghĩa: Hệ đối xứng loại hệ gồm phương trình mà ta thay x y y x phương trình trở thành phương trình phương trình trở thành phương trình Bài tốn: Giải hệ phương trình đối xứng loại Ví dụ:  f ( x, y ) = ( 1)   f ( y, x ) = ( ) 2  x − y + =  x = y −  x − y = −3 ⇔ ⇔   y − x + =  y = x −  y − x = −3 Giải toán: + Tìm điều kiện (Đối với biểu thức chứa căn, chứa phân thức, ) + Lấy phương trình (1) trừ theo vế cho phương trình (2), ta kết quả: ( x − y ) g ( x, y ) = + Xét trường hợp: - Nếu + Nếu x= y⇒ thay vào phương trình (1) phương trình (2) g ( x; y ) = Kết hợp với (1) (2) ta tìm điều kiện + So sánh với điều kiện kết luận B Bài tập áp dụng Bài 1: Giải hệ phương trình sau  x + y =   y + x = Lời giải Trừ vế tương ứng phương trình trên, ta có: (x − y2 ) + ( y − x) = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) − ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y − 2) = x = y ( 1) x − y = ⇔ ⇔ x + y =  y = − x ( ) 31 +) TH1: +) TH2: x = x = y ⇒ x2 + x − = ⇔   x = −3 y = − x ⇒ x2 + ( − x ) − = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) ( x; y ) = ( −3;3) Bài 2: Giải hệ phương trình sau  x + + y − =   x − + y + = Lời giải Điều kiện: x ≥ 7; y ≥ Trừ vế hai phương trình cho ta được: x +9 + y −7 − x−7 − y +9 = ⇔ +) Nếu +) Nếu Với ( ) ( x+9 − y+9 − x + + y + = ⇔ x = y = −9 x−7 + y −7 = ⇔ x = y = x−7 + y−7 ≠ ) x−7 − y−7 = (không thỏa mãn) (thỏa mãn) ( x + 9) − ( y + 9) − ( x − 9) − ( y − 9) , liên hợp ta có: x+9 + y+9 x−7 + y−7 =0   1 ⇔ ( x − y)  − =0 x − + y −   x + + y + x = y ⇔  x + + y + = x − + y − +) TH1: Với x= y , thay vào phương trình (*) ta được: x+9 + x−7 = ⇔ x+9+ x−7+ Vì ( x + 9) ( x − ) ( 1) ( 2) ( x + 9) ( x − ) ≥0⇒ 7− x ≥ 0⇔ x ≤7 , mà = 16 ⇔ x≥7⇒ x=7 32 ( x + 9) ( x − 7) = 7− x Thử lại ta thấy thỏa mãn x + > x −   ⇒ VT ( ) > VP ( ) ⇒ y + > y −  +) TH2: Ta có Vậy phương trình (2) vơ nghiệm x = y = Bài 3: Giải hệ phương trình sau  2 x = y + y  2 y = x +  x Lời giải Điều kiện xy ≠ 2( x − y) ( x + y) = y − x + Trừ vế hai phương trình ta được: 1 − y x x = y   ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = ( x − y )  −1 + ÷ ⇔   x + y = −1 + xy   xy  x = y ⇒ 2x2 − x − +) TH1: = ⇔ x3 − x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ x = 1( x + x + > ) x ⇒ y =1 2x + y +1− +) TH2: y+ Có =0 xy = 2x2 > ( x ≠ 0) ⇒ y > y Tương tự ta có x>0 2x2 = y + y ≥1⇒ Tương tự ta có 1 ≥ y = ⇒ x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x ≥ 1( x > ) y y  1  ≤ ⇒ x + y + 1 − ÷ > 14 43  xy  xy >0 14 43 ≥0 33 2x + y + 1− Vậy Vậy xy vô nghiệm x = y = Bài 4: Chuyên Bình Phước, năm học 2018 Giải hệ phương trình sau  x + y =   y + =  x ( 1) x ( 2) y Lời giải x ≠ 0; y ≠ Điều kiện Lấy (1) – (2) theo vế ta được:  2 3   2 −3 5 − ÷ = − ⇔ ( x − y ) 1 + ÷ = ( x − y ) ⇔ ( x − y ) 1 + ÷ = xy  y x x y  xy   xy  ( x − y) +  x − y = ⇔ x = y ⇒ ( 1) ⇔ x + + Nếu 1+ + Nếu = ⇔ x = ⇔ x = ±1 x x x −5 2x = ⇔ xy = −5 ⇒ y = ⇒ ( 1) ⇔ x − = ⇔ x= ⇔ x=± 5⇒ y=m5 xy x x x Vậy HPT có nghiệm Bài 5:  x = x + y   y = y + x Giải hệ phương trình sau ( 1) ( 2) Lời giải Lấy (1) – (2) ta được: x3 − y = ( x + y ) − ( y + x ) ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y ) = −2 ( x − y ) ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y + ) = ( *) y  x + xy + y + =  x + ÷ + y + > 2  Nhận thấy 34 Từ ( *) ⇔ x = y , thay vào (1) ta Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( x = x3 = x ⇔  x = ± )( 8; ; − 8; − )} Bài 6: Giải hệ phương trình sau  x + y − = ( 1)   y + x − = ( ) Lời giải Điều kiện Từ (1) Vậy x ≥ 1; y ≥ ⇒ x + y − ≥ + = x = x = ⇒ ⇔ ⇒  y −1 = y =1 thỏa mãn phương trình (2) ( x; y ) = ( 1;1) Cách 2: Đặt Ta u + v = ⇒ u = v = ⇒ x, y  v + u = Cách 3: Đặt Ta u = x −  x = u + ⇒ ( u ≥ 0, v ≥ )  v = y −  y = v + u = x −  x = u + u + v = ⇒ ⇒  v = y −  y = v + v + u = ( 3) ( 4) u + v = ⇒ u = v = ⇒ x, y  v + u = ( 3) + ( ) :u + v3 + ( u + v ) = ⇔ ( u + v ) ( u − uv + v + 1) = ⇒ u = v 42 43 >0 Lấy u = v = ⇒ u = ±1  v = m1 ( 3) : u − u = ⇔  35 *) Ứng dụng hệ đối xứng loại Đặt ẩn phụ đưa phương trình hệ phương trình đối xứng loại Xét phương trình dạng: Cách giải: Đặt x n + b = a n ax − b y = n ax − b ⇒ ta có hệ phương trình Bài 1: Giải phương trình sau: 36  x n + b = ay  n  y + b = ax 1) 2) x3 + = x − 2x2 − 6x −1 = 4x + Lời giải 1) Đặt t = 2x −1 Từ giải thiết Có ⇒ x + = 2t ( 1) t = 2x −1 ⇒ t +1 = 2x Từ (1) (2) ta có HPT Lấy (3) – (4) ta được: Thay x=t ( 2) ( 3) ( 4)  x + = 2t 3 t + = x   x − t = 2t − x ⇔ ( x − t )  x 44 + xt2+4t 4+32 ÷ = ⇔ x = t >0   vàp phương trình (1) ta x = x + = x ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = ⇔   x = −1 ±  3 2) Ta phải đưa dạng: x≥ Điều kiện: ( mx + n ) + b = a a ( mx + n ) + b −5 Ta có phương trình x − x − = x + ⇔ x − 12 x − = x + ⇔ ( x ) − 2.2 x.3 +  − 11 = x + ⇔ ( x − ) − 11 = 2 ( x − ) + 11 ( 1)   2 y = ( x − 3) + 11 ( y ≥ ) ⇒ y − 11 = ( x − 3) ( ) 37 Thay vào (1) ta được: ( x − 3) − 11 = y ( 3) y − ( x − 3) = ( x − − y ) ⇔ ( y − x + ) ( y + x − 1) = Trừ (2) cho (3) ta được: Xét trường hợp thử lại ta nghiệm phương trình Hệ gần đối xứng (trong hệ phương trình có phương trình đối xứng, phương trình cịn lại khơng đối xứng) Bài 2: Giải hệ phương trình sau:  x − = y − x  x 2 y = x3 +  ( 1) ( 2) Lời giải Điều kiện xy ≠ ( 1) : x − y − Phương trình x = y ⇔  xy =  1 x− y  + = ⇔ ( x − y) + = ⇔ ( x − y ) 1 + ÷ = x y xy  xy  ( 3) ( 4) +) Thay (3) vào (2) ta được: ( 4) ⇒ y = +) Từ −1 x x = x = x + ⇔ x − x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = ⇔   x + x −1 = thay vào (2): −2 = x + ⇔ x + x + = ⇔ ( x − 1) + x + x + = x 2 1 1   ⇔ ( x − 1) +  x + x + ÷+ = ⇔ ( x − 1) +  x + ÷ + = 16  4   (vô nghiệm) Bài 3: Giải hệ phương trình sau: a)  x + x = y   y + y = x b) 38 ( x − 1) ( y + ) = y ( x + 1)   2 ( y − 1) ( x + ) = x ( y + 1)  x + x − + x + = y   y + y − + y + = x c) Lời giải: x, y ≥ a) Điều kiện: ( Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ) x2 + x − y + y = ( y − x ) ⇔ Vì ( x− y   )( ( x+ y x+ y ) ( x + y ) +1+ ( ) ( x + y ) +1+ 2( ) x+ y =0  ) x+ y >0 x= y nên phương trình cho tương đương với: x2 − x + x = ⇔ x2 + x = 2x ⇔ x  x =  x −1 x + x −1 = ⇔ x =  x = −  ( )( Hay )  3− 3−  ; ÷ ÷   ( x; y ) = ( 0; ) , ( 1;1) ,  Vậy hệ có cặp nghiệm:  xy + x − y − = yx + y ⇔ 2  yx + y − x − = xy + x b) Hệ cho Trừ vế theo vế hai phương trình hệ ta được: xy ( y − x ) + ( x − y ) + ( x − y ) ( x + y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y − xy + ) = x = y ⇔  x + y − xy + = + Nếu x= y thay vào hệ ta có: x = y = x2 − 5x + = ⇔  x = y = x + y − xy + = ⇔ ( − x ) ( − y ) = 15 + Nếu Mặt khác cộng hai phương trình hệ cho ta được: x + y − x − x + 12 = ⇔ ( x − ) + ( y − ) = 2 Đặt 39 a = x − 5, b = y −  a + b =  a + b = ( a + b ) − 2ab =  ab = −1 ⇔ ⇔   ( a + ) ( b + ) = 15 ab + ( a + b ) = −1  a + b = −8  ab = 31 Ta có: Trường hợp 1: Trường hợp 2: a + b = ⇔ ( x; y ) = ( 3; ) , ( 2;3)   ab = −1  a + b = −8   ab = 31 vô nghiệm Vậy nghiệm hệ cho là: c) Điều kiện: 1 x≥− ;y≥− 2 x= y=− Để ý ( x; y ) = ( 2; ) , ( 3;3) , ( 2;3) , ( 3; ) nghiệm x + y ≠ −1 Ta xét trường hợp Trừ hai phương trình hệ cho ta thu được: ( ) x3 + x − + x + − y + y − + y + = y − x ⇔ ( x − y )  x + xy + y  + 4( x − y ) + 2( x − y) 2x + + y + =0   ⇔ ( x − y )  x + xy + y + + =0⇔ x= y x + + y +   Khi x= y x( x + 1) + xét phương trình: 2x =0⇔ 2x +1 +1 x3 + x − + x + = ⇔ x3 + x + x + − =   x  x2 + + =0⇔ x=0 x + + 1  Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm nhất: 40 x= y=0 41 ... nhân phương trình thứ hệ với thu được: , cộng hai phương trình hệ ta có: thay vào phương trình ban đầu hệ ta có: 2x − = ⇔ 2x − = 2y − 1= y =1 = 1? ?? 2y − = 1? ??  ⇔ 2y − 2y − 1= ? ?1  y = ? ?1  ? ?1. .. hệ  x + my = m + ( 1)  mx + y = 3m − ( 2) 2 = 1? ?? = ⇔ m + 1= 1? ?? m = m +1 m +1 x− y =2 có nghiệm theo cách khác: Khi hệ phương trình ( m ≠ ? ?1) lấy phương trình (2) trừ phương trình ( m − 1) ... −2 y Với thay vào phương trình (1) Vậy hệ phương trình có nghiệm ⇒ y + y = 12 ⇔ y = ? ?1 ( x; y ) = ( −2 ;1) ; ( x; y ) = ( 2; ? ?1) Bài 13 : HSG TPHCM, năm học 2 015 Giải hệ phương trình sau  y =