ĐS9 cđ2 PHƯƠNG TRÌNH 1

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ ax + b = ( 1) Giải phương trình: a = ⇒ ( 1) - Nếu + Nếu + Nếu b = ⇒ ( 1) b ≠ ⇒ ( 1) trở thành b=0 có vơ số nghiệm vô nghiệm −b a a ≠ ⇒ ( 1) ⇔ ax = −b ⇔ x = - Nếu - Nếu - Nếu Tính a ≠ ⇒ ( 2) ∆ = b − 4ac b=0 ax + bx + c = ( ) Giải phương trình: a = ⇒ ( 2) trở thành trở thành bx + c = ⇒ quay trở dạng phương trình bậc hai ∆ = b '2 − ac tìm nghiệm tốn Định lí Vi-ét Giả sử phương trình ax + bx + c = ( ) có nghiệm x1 , x2 −b   x1 + x2 = a  x x = c  a Vi-ét đảo Nếu x1 , x2 thỏa mãn:  x1 + x2 = S   x1 x2 = P x1 , x2 nghiệm phương trình: x − Sx + P = Bài 1: Giải biện luận phương trình: (m + 2m − 3) x + m − = ( 1) Lời giải , với m tham số Phương trình - Nếu m =1 ( 1) ⇔ ( m − 1) ( m + 3) x + m − = , phương trình (1) trở thành 0x = 1−1 = ⇔ 0x = ⇒ phương trình (1) có vơ số nghiệm m = −3 - Nếu , phương trình (1) trở thành m ≠ 1, m ≠ −3 ⇒ - Nếu 0x + = (vô lý) ⇒ phương trình vơ nghiệm x= phương trình (1) có nghiệm 1− m −1 = ( m − 1) ( m + 3) m + Bài 2: Cho số thực dương a thỏa mãn: a = ( a + 1) Chứng minh phương trình sau vô nghiệm x + ax + a − = ( 1) Lời giải Ta có: ∆ = a − ( a − ) = 24 − 3a = ( − a ) Theo giả thiết: Giả sử a = ( a + 1) ⇔ a − 6a − = ⇔ a ( a − ) = ( ) ∆ ≥ ⇔ − a2 ≥ ⇔ a2 ≤ ⇒ < a ≤ 2 a − ≤ − =  ⇒  ⇒ a ( a − 6) ≤ < ⇒ 0 t − ( m + 3) t + m + = ( 1) Ta có với m Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Viét ta có: t1 t2 t1 + t2 = ( m2 + 3) > t1 > ⇒  t2 > t t = m + >  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt b) Giả sử x1 = t1 ; x2 = − t1 ; x3 = t2 ; x4 = − t2 ⇒ x1 x2 x3 x4 = t1t2 = m + x12 + x22 + x32 + x42 = ( t1 + t2 ) = ( m + ) Thay vào biểu thức Q ta giá trị m cần tìm Bài 6: Chuyên Vũng Tàu, năm học 2018 Giải phương trình x − x − x x + = ( 1) Lời giải Điều kiện: ∀x ∈ R 5t − 2t − ≥  t = x ( t ≥ ) ⇒ 5t − 2t − 3t t + = ⇔ 5t − 2t − = 3t t + ⇔  2 ( 5t − 2t − ) = 3t t + 2 Đặt Phương trình (3) 2 ( ( 2) ) ( 3) ⇔ 25t + 4t + 16 − 20t − 40t + 16t = 9t ( t + ) ⇔ 25t − 29t − 54t + 16t + 16 = ⇔ ( t + 1) ( 25t − 54t + 16 ) = ⇔ ( t + 1) ( t − ) ( 25t − 4t − ) = ( ) Do t ≥ ⇒ t +1 > 27 2 25t − 4t − = 15 { t + ( 5t − 2t − ) > 44 43 ≥0 ≥0 Ta có Từ ( 4) ⇒ t = Vậy (2) (thỏa mãn điều kiện (2)) x = ⇔ x = ± 28 BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN DẠNG ĐỖI XỨNG VÀ HỒI QUY A Kiến thức cần nhớ Phương trình bậc bốn dạng đối xứng ax + bx + cx + bx + a = ( a ≠ ) (*) Cách giải: - Nếu - Nếu x = ⇒ ( *) x ≠ 0, trở thành: Đặt (vô lý a≠0 ) chia hai vế phương trình (*) cho ( *) ⇔ ax + bx + c + t = x+ a −0 x2 , ta được: b a 1  1  + = ⇔ a  x + ÷+ b  x + ÷+ c = x x x   x  1 ⇒ t = x + + ≥ ⇒ t ≥ ⇒ a ( t − ) + bt + c = ⇔ at bt +2c4− 24a 4=30 ⇒ 4+44 x x ptb t so sánh với điều kiện t ≥2 Phương trình bậc bốn dạng hồi quy ax + bx + cx + mx + n = ( a, b ≠ ) (**) n m =  ÷ = q2 a b Cách giải: - Nếu x = ⇒ ( **) + Có nghiệm trở thành: n=0 x=0 + Vơ nghiệm - Nếu Đặt x ≠ 0, x ta được: 1 ax + bx + c + m + n = x x  q2   m n bq aq q 2 = q ⇒ = q ⇒ ax + bx + c + + = ⇔ a  x + ÷+ b  x + ÷+ c = ( 1) b a x x x   x  x+ Đặt chia hai vế (**) cho q q2 = t ⇒ x + = t − 2q x x 29 tìm + bt + c − 2aq = ( 1) ⇒ a ( t − 2q ) + bt + c = ⇔ at 14 42 43 ptb Từ *) Chú ý: - Nếu - Nếu a = n q =1⇒  ⇒ ( **) b = m a = − n q = −1 ⇒  ⇒ ( **) b = − m phương trình dạng đối xứng phương trình dạng phản đối xứng Bài 1: Giải phương trình sau: x − x3 − x + x + = ( 1) Lời giải Nhận xét: Cách 1: Dùng máy tính tính nghiệm phương trình x = 1; x = −2 sau phân tích đa thức thành nhân tử tìm nghiệm phương trình, ta được: x − x − x + x + = ⇔ ( x − 1) ( x + ) ( ax + bx + x ) = Cách 2: Nhận thấy tổng hệ số phương trình 0, nên phương trình có nghiệm x =1⇒ có nhận tử x −1 Cách 3: Nhận thấy - Nếu - Nếu x = ⇒ ( 1) x ≠ 0,   = ÷ ⇒  −4  trở thành: 4=0 phương trình dạng hồi quy (vơ lý) chia hai vế phương trình (1) cho x ta được: x2 − x − + + = x x 4  2  ⇔  x + ÷−  x − ÷− = ( ) x   x  t = x− Đặt ( *) ⇒ t = x + − x x , phương trình (2) trở thành: 30 t + − 4t − = ⇔ t − 4t − =  t = −1 ⇔ t = t = −1 ⇒ x − - Nếu t =5⇒ x− - Nếu = −1 ⇔ x − = − x ⇔ x + x − = ⇔ x ∈ { −2;1} x  ± 33  = ⇔ x2 − 5x − = ⇔ x ∈   x   Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt ± 33   x ∈ −2;1;    Bài 2: SPĐN, năm học 2006 Giải phương trình sau: x − x3 − x + x + = ( 1) Lời giải Cách 1: x − x − x + x + = ⇔ ( x − x + 1) − x ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) =  x2 −1 = ⇔ ⇔ x ∈ ±1; ± x − x − =  { } Cách 2: Nhận thấy phương trình (1) có dạng phản đối xứng - Nếu - Nếu Đặt x = ⇒ ( 1) x = 0, trở thành 1= chia vế cho t = x− ⇒ x ta được: x (vô lý) ta được: 1   1  x − x − + + = ⇔  x + ÷−  x − ÷− = x x x   x   x − x =  x = ±1 t = 2 t + − 4t − = ⇔ t − 4t = ⇔  ⇔ ⇔ t =  x − =  x = ±  x { x ∈ ±1; ± Vậy phương trình có nghiệm phân biệt } Bài 3: Giải phương trình sau: a) 10 x − 27 x − 110 x − 27 x + 10 = ( 1) b) 31 x + x3 − x + 3x + = ( ) Lời giải a) Nhận thấy Với x≠0 x=0 khơng nghiệm phương trình (1) , chia hai vế phương trình cho x2 ta  1   10  x + ÷− 27  x + ÷− 110 = x  x   t = x+ Đặt t1 = −5 −1 ⇒ x1 = −2; x2 = 2 t2 = 26 ⇒ x3 = 5; x4 = 5 - Với - Với b) Dễ thấy Với 1 ⇒ t = x2 + + ⇒ x x x≠0 x=0 không nghiệm phương trình (2) , chia hai vế phương trình cho x + 3x − + t = x+ Đặt phương trình cho trở thành: x2 ta được: 3   1  + = ⇔  x + ÷+  x + ÷− = x x x   x  1 ⇒ x2 + = t − ⇒ x x phương trình cho trở thành: t = −3 ⇔ 2t + 3t − = ⇔  t =  2 - Với  −3 + x=  t1 = −3 ⇒ x + = −3 ⇔ x + x + = ⇔  x  −3 − x =  t1 = - Với  −5 t = 2 10t − 27t − 130 = ⇔  t = 26  3 ⇒ x + = ⇔ x − 3x + = x (vô nghiệm) 32 ( t − ) + 3t − = Vậy phương trình cho có tập nghiệm  −3 ±  S =    Bài 4: Giải phương trình sau: x + x − 38 x − x + = Lời giải Dễ thấy Với x=0 x≠0 không nghiệm phương trình , chia hai vế phương trình cho   1  ⇔  x + ÷+  x + ÷− 38 = x   x  t = x+ , đặt - Với ta được: 1 ⇒ x2 + = t − x x  t = 2 ( t − ) + 5t − 38 = ⇔ 6t + 5t − 60 = ⇔  t =  t= x 6 x + x − 38 + + = x x , ta phương trình: −10 5  1 ⇒ x + = ⇔ x − x + = ⇔ x ∈ 2;  x  2 t=− - Với 10 10  −1  ⇒ x + = − ⇔ x + 10 x + = ⇔ x ∈ −3;  x 3  Bài 5: Giải phương trình sau: x 16 10  x  + =  − ÷( 1) x2  x  Lời giải Điều kiện t= Đặt x≠0 x x 16 − ⇒ t2 = + − x x t = 10 t + = t ⇔ 3t − 10t + = ⇔  t = 3  Phương trình (1) trở thành: 33 t =2⇒ - Với t= - Với x − = ⇔ x − x − 12 = ⇔ x1,2 = ± 21 x x 4 ⇒ − = ⇔ x − x − 12 = ⇔ x3,4 = 6; −2 3 x { } S = ± 21; −2;6 Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 6: Giải phương trình sau: x4 − x3 − 2 x − = Lời giải Nhận xét: Phương trình khơng phải dạng đối xứng hay hồi quy Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, ta được: x − x3 − 2 x − = ⇔ x − x3 − x − = ⇔ ( x − x + x ) − x − x − = ( ⇔ ( 2x2 − x ) − 2x + 2 ) ( )( ) = ⇔ x2 + 2x2 − x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = Bài 7: Chuyên Vũng Tàu, năm học 2018 Giải phương trình sau: x − x − x x + 12 = (1) Lời giải Điều kiện: Đặt ∀x ∈ R t = x ( t ≥ ) ⇒ ( 1) : 5t − 2t − 3t t + = ⇔ 5t − 2t − = 3t t + 5t − 2t − ( )  ⇔ 2 ( 5t − 2t − ) = 3t t + ( ) ( 3) ( 3) ⇔ 25t + 4t + 16 − 20t − 40t + 16t = 9t ( t + ) ⇔ 25t − 29t − 54t + 16t + 16 = (tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ) ⇔ ( t + 1) ( 25t − 54t + 16 ) = ⇔ ( t + 1) ( t − ) ( 25t − 4t − ) = ( ) 34 2± 4+2 2 t ≥ ⇒ t +1 > Do ( 4) ⇒ t = Từ   25t − 4t − = 15 − ÷> { t +  51t 4−22t43 ≥0 ≥0   (thỏa mãn điều kiện 2) (do 2) ⇒ x = ⇒ x = ± BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Giải phương trình sau: a) 10 x − 27 x − 110 x − 27 x + 10 = b) x + 3x − x + x + = Lời giải a) 10 x − 27 x − 110 x − 27 x + 10 = Dễ thấy Với x=0 x≠0 khơng phải nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho cho x2 ta được: 1 1   10  x + ÷− 27  x + ÷− 110 = x  x   Đặt 1 t = x + ⇒ t = x2 + + ⇒ x x t1 = −5 ⇒ x1 = −2; x2 = − 2 t2 = 26 ⇒ x3 = 5; x4 = 5 - Với - Với b) phương trình cho trở thành:  t = 10t − 27t − 130 = ⇔  t =  x + 3x − x + x + = Dễ thấy Với x=0 x≠0 nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho cho 1  1  x + x − + + = ⇔  x + ÷+  x + ÷− = x x x   x  35 x2 ta được: −5 26 Đặt 1 t = x + ⇒ t − = x2 + ⇒ x x phương trình cho trở thành: ( t − ) + 3t − = t = −3 ⇔ 2t + 3t − = ⇔  t =  2 t1 = −3 ⇒ x + - Với t2 = - Với −3 ± = −3 ⇔ x + x + = ⇔ x = x 3 ⇒ x + = ⇔ x − 3x + = x x= Vậy phương trình có hai nghiệm là: (phương trình vơ nghiệm) −3 ± Bài 2: Giải phương trình sau: x + x3 − 38 x + x + = Lời giải Dễ thấy Với x=0 x≠0 khơng phải nghiệm phương trình chia hai vế phương trình cho cho x2 ta được: 1  1  x + x − 38 + + = ⇔  x + ÷+  x + ÷− 38 = x x x   x  Đặt 1 t = x + ⇒ x2 + = t + ⇒ x x phương trình cho trở thành:   1  t =  x ∈ 2;     ⇔ 6t + 5t − 50 = ⇔  ⇒ t = −10  x ∈ −3; −1      3   Bài 3: Giải phương trình sau: x − x − x + 58 x + = Lời giải 36 ( t − ) + 5t − 38 = Dễ thấy Với x=0 x≠0 khơng phải nghiệm phương trình x2 chia hai vế phương trình cho cho ta được: 4  2  x − x − + + = ⇔  x + ÷−  x − ÷− = x x x   x  4 t = x − ⇒ t = x2 + − ⇒ x2 + = t + ⇒ x x x Đặt phương trình cho trở thành:  ± 33  t + − 4t − = ⇔ t − 4t − = ⇔ t ∈ { −1;5} ⇒ x ∈ 1; −2;    Bài 4: Giải phương trình sau: x + x3 + x + x + 25 = Lời giải Dễ thấy Với x=0 x≠0 khơng phải nghiệm phương trình x2 chia hai vế phương trình cho cho ta được: 25 25   5  x + x + + + = ⇔  x + ÷+  x + ÷+ = x x x   x  Đặt 25 t = x + ⇒ x + = t − 10 ⇒ x x phương trình cho trở thành: t − 10 + t + = ⇔ t + t − = ⇔ t ∈ { −3; 2} ⇒ x ∈∅ Bài 5: Giải phương trình sau: x − x3 − 2 x − = Lời giải Ta có ( ( ) x4 − x3 − 2 x −1 = ⇔ x − 8x3 − x − = ⇔ x − 8x3 + x − x − x − = ) ( ⇔ x2 − x − x + ) ( )( ) ( = ⇔ 2x2 + 2x2 − x − = ⇔ 2x2 − x − = 2x2 + > 37 ) ⇔x= 2± 4+2 Vậy phương trình có nghiệm  ± + 2  x∈    38 ... biết 10 a + ab − 11 b = b=0⇒a =0 Với Đặt b≠0 , chia hai vế cho b2 ta được: a a 10  ÷ + − 11 = b b a t = a = b b =1 a  t = ⇒ 10 t + t − 11 = ⇔ ⇔ ? ?11 ⇒    a = ? ?11 b a − 11 b t=  = 10 10 .. .Phương trình - Nếu m =1 ( 1) ⇔ ( m − 1) ( m + 3) x + m − = , phương trình (1) trở thành 0x = 1? ? ?1 = ⇔ 0x = ⇒ phương trình (1) có vơ số nghiệm m = −3 - Nếu , phương trình (1) trở thành m ≠ 1, ... b 10 Bài 1: Giải phương trình sau 2 x2 −  x−2  x+2 10  + − 11 =0 ÷  ÷ x2 ? ?1  x +   x ? ?1  19 Lời giải Điều kiện: Đặt x ≠ ? ?1 x−2 x+2 x2 − = a; =b⇒ = ab x +1 x ? ?1 x ? ?1 Phương trình ⇒ 10 a