ĐS9 cđ3 hệ PHƯƠNG TRÌNH 4

Phương pháp 3: Dùng hẳng đẳng thức Phương pháp dùng đẳng thức: 3.1 Phương pháp: Điểm mấu chốt giải hệ phương pháp biến đổi theo đẳng thức: 3.2 Một số ví dụ: Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau a) ( − x ) − x − y y − = 3  x + + y + = b) 2 x y + y = x + x  ( x + ) y + = ( x + 1) Lời giải x ≤ 2, y ≥ a) Điều kiện: ( − x) Đặt Phương trình (1) tương đương: − x + − x = ( y − 1) y − + y − a = − x , b = y −1 2 a + a = b3 + b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 1) = Ta có phương trình: Do b  3b  a + ab + b + =  a + ÷ + +1 > 2  y −1 = − x ⇔ x = − y suy phương trình cho ta thay vào ta có: a=b − 2y + y + = ⇔ Đặt có hệ phương trình sau:    a = 1; b = y =   a + 2b = −3 − 65 23 + 65 233 + 23 65  ⇔ a = ;b = ⇔  y =  32 a + 2b =   65 − 23 − 65 233 − 23 65   ;b = y=  a =  32  Vậy hệ có nghiệm  23 65 − 185 233 − 23 65   23 65 + 185 233 + 23 65  ; ; ÷ ÷ ÷,  − ÷ 16 32 16 32     ( x; y ) = ( −1; ) ,  b) Điều kiện: y ≥ −1 a = − y;b = y + ta Ta viết lại phương trình (1) thành: y3 − x6 + x2 ( y − x2 ) =  y = x2 ⇔ ( y − x ) ( y + yx + x + x ) = ⇔  x = y = Dễ thấy ( x + 2) x= y =0 nghiệm Khi x + = ( x + 1) ⇒ ( x + ) 2 (x 3;3 (thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau b) thay vào (2) ta được:  x = 3, y = + 1) = ( x + 1) ⇔   x = − 3, y = ( x; y ) = ( ± a) y = x2 )  x + xy = y10 + y   x + + y + = 2 x3 − x + 3x − = x3 ( − y ) − y    x + = 14 − x − y + Lời giải x≥− a) Điều kiện: Ta thấy y=0 không nghiệm hệ chia hai vế (1) cho x x  ÷ + =y +y  y y a= Đặt x y ta có y5 phương ta được: trình: ( a − y ) ( a + a3 y + a y + ay3 + 1) = ⇔ y = a ⇔ x = y x + + x + = ⇔ x = ⇒ y = ±1 Từ tính ( x; y ) = ( 1; ±1) y = ±1 Vậy hệ cho có nghiệm x ≥ −2; y ≤ x=0 b) Điều kiện: Ta thấy hệ khơng có nghiệm x2 ≠ Chia phương trình (1) cho : ( 1) ⇔ − + − = ( − y ) − y x x x a5 + a = y + y suy  1  1 ⇔  − ÷ + 1 − ÷ =  x  x Đặt ( 3− 2y a = 1− ,b = − y x Thay vào (2) ta được: ⇔ x=7⇒ y= ) + 3− 2y a +a = b +b ⇒ a = b Ta có 111  ÷  98  ( x; y ) =  7; 111 98 (17 − 3x) − x + (3 y − 14) − y =  2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 ( b) x x + − 15 − x = ⇔ x + = 15 − x ⇔ x + 3x + x − 14 = Vậy hệ có nghiệm Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau a) ⇔ − y = 1− (1) (2) )  x ( x + y ) + x + y = y y3 +    x y − x + ( x + y ) − = xy − x + Lời giải a) Điều kiện: x ≤ y ≤   2 x + y + ≥ 3 x + y + 11 ≥ Biến đổi phương trình (1) ta có: ta có” 3 ( − x ) +  − x = 3 ( − y ) +  − y 3a + 2a = 3b3 + 2b ⇔ ( a − b ) ( 3a + 3ab + 3b + ) = ⇔ a = b ⇔ − x = − y ⇔ y = x −1 Thay vào (2) ta có: x + x + 13 = x + + x + x≥− Điều kiện xác định phương trình (4) là: ( ) ( ) (4) ⇔ x + x + x + − 3x + + x + − x + = ⇔ x + x+ 2 ( x2 + x ) x + + 3x + + ( x2 + x ) x + + 5x + =0 (4) Đặt a = − x,b = − y   ⇔ ( x + x ) 1 + + ÷=  x + + 3x + x + + x +   x2 + x = ⇔ 1 + + =0  x + + x + x + + x +  x = ⇒ y = −1 ⇒ (*) x + x =  x = −1 ⇒ y = −2 1+ Ta có x + + 3x + + x + + 5x + >0 x≥− điều kiện ( x; y ) = ( 0; −1) , ( −1; −2 ) Kết luận: y ≥ 0, x + y ≥ b) Điều kiện: y=0 y>0 Nhận thấy hệ vơ nghiệm Ta xét Từ phương trình (1) ta sử dụng phương pháp liên hợp: ⇔ x + xy − y = y − x + y ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = PT(1) −1 0; Rõ ràng −( x − y) 2y + x + y , từ suy x3 − x + 14 x − = x − x + Thay vào (2) ta được: Biến đổi phương trình cho tương đương: x= y x3 + 3x + x + = x − x + + 3 x − x + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = x − x + + 3 x − x + Đặt a = x + 1, b = x − x + x + = x − x + ⇔ x = 1; y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) suy 2 a + 3a = b3 + 3b ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b + 3) = ⇔ a = b Dạng 4: Phương pháp phân tích thành nhân tử để giải hệ phương trình A Kiến thức Bài tốn: Giải hệ phương trình  f ( x, y ) =   g ( x, y ) = + Phân tích phương trình trên, tổ hợp phương trình thành nhân tử (kết hợp phương trình để tạo phương trình mới) Giả sử: f ( x, y ) = f1 ( x, y ) f ( x, y ) Thơng thường Ví dụ: f1 ( x, y ) f ( x, y ) hàm số bậc bậc hai f1 ( x, y ) = ax + by + c; f1 ( x, y ) = x + y; f1 ( x, y ) = x − y; f ( x, y ) = ax + bxy + cy + d + HPT cho  f1 ( x, y ) = ⇔  g ( x, y ) =  f ( x, y ) = ⇔  g ( x, y ) = *) Chú ý: Dạng tốn ta sử dụng Delta để phân tích đa thức thành nhân tử: Giải hệ phương trình:  x ( x − y ) = ( y + )  ( xy − ) ( x + y ) = Bài 1: Lời giải Ta có phương trình (1) Vậy ⇔ x − 3xy = y + ⇔ x − 3xy − y − = ⇔ ( x + y ) ( x − y ) = ( x + y ) ( x − y ) = ( xy − ) ( x + y ) ⇔ ( x + y ) ( x − y − xy + ) =  x = − y ( ktm )  ⇔ ( x + y ) ( − y ) ( x + ) = ⇔  y = ( tm )   x = −4 ( tm ) Xét trường hợp tìm nghiệm hệ phương trình Bài 1: Giải hệ phương trình:  x − x = y − y  2 y = x3 +  ( 1) ( 2) Lời giải Điều kiện x ≠ 0; y ≠ 1 1   − ÷ = ⇔ ( x − y ) 1 + ÷ = x y  xy  ( 1) ⇔ ( x − y ) −  Phương trình + TH1: x− y =0⇔ x = y , thay vào phương trình (2) ta được: x = x3 + ⇔ x3 − x + = x = ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = ⇔   x = −1 ±  2 1+ + TH2: −1 = ⇔ y = ( x, y ≠ ) xy x , thay vào phương trình (2) ta −2 1  1  = x3 + ( x ≠ ) ⇔ x + x + = ⇔  x − ÷ +  x + ÷ + = x 2  2  (vô nghiệm) Bài 2: Chuyên TPHN, năm học 2018 Giải hệ phương trình:  y − xy = x − x + ( 1)   y = x + x − x + ( ) Lời giải ⇔ x − xy + y = x − x + ⇔ ( x − y ) = ( 3x − 1) ⇔ ( −2 x − y + 1) ( x − y − 1) = Ta có (1) + TH1: −2 x − y + = ⇔ y = −2 x + , thay vào phương trình (2) ta x = y =1  ( −2 x + 1) = x + x − x + ⇔ x + x + x = ⇔ x ( x + x + 3) = ⇔  x = −1 ⇒  y =  x = −3  y = + TH2: y = 4x −1 2 , thay vào phương trình (2) ta  x =  y = −1 ( x − 1) = x + x − x + ⇔ x − x + x = ⇔  x = ⇒  y =  x =  y = 27 3 Bài 3: Chuyên Trần Phú Hải Phịng, năm học 2013 được: Giải hệ phương trình: 2 x + xy = y − y +  2  x − y = ( 1) ( 2) Lời giải Ta có ( 1) ⇔ y − ( x + 3) y + − x =  y = −x 2 ∆ y = ( x + 3) − ( − x ) = ( x + 1) ⇒   y = 2x + y = − x + ⇒ x − ( − x + 1) = ⇔ 3x + x + = + Cách khác: Ta có (phương trình vô nghiệm) ( 1) ⇔ ( y + x − 1) ( y − x − ) = ⇒ xét trường hợp Bài 4: Giải hệ phương trình: 1  ( 1)  x − x3 = y − y  ( x − y ) ( x − y + ) = −36 ( )  Lời giải x ≠ 0; y ≠ Điều kiện  x + xy + y  1  + = ⇔ x − y ( ) 1 + ÷ = ( *) 3 ÷ x3 y x y    ( 1) ⇔ ( x − y ) −  Ta có x = y, + TH1: + TH2: thay vào (2) ta x + xy + y 1+ =0 x3 y x = y = − x − x + 12 = ⇔  ⇒  x = −6  y = − y  x + xy + y =  x + ÷ + y > 0, ∀x, y ≠ 2  Ta có ⇒ x3 y < ⇒ xy < Phương trình (2): ( x − y ) ( x − y + ) = −36 ⇔ ( x + x ) + ( y − y ) + 36 − xy = ⇔ ( x + 1) + ( y − ) + 18 − 9{xy = ( **) ⇒ ( **) 123 14 43 ≥0 ≥0 >0 vô nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 2; ) ; ( −6; −6 ) } Vậy Bài 5: HSG TPHN, năm học 2011 Giải hệ phương trình: ( 1) ( 2)  x + xy + x − y − y =  2  x − y + x + y = Lời giải Phân tích: Ta có phương trình ( ( 1) : x + ( y + 1) x − ( y + y ) = ) ∆ = ( y + 1) + y + y = y + y + = ( y + 1) ⇒ ∆ = y + 2   − y − − ( y + 1) − y −1 − 3y +1 x = x =  x = −2 y − 2 ⇒ ⇔ ⇔ − y −1 + 3y +1  x = − y − + ( y + 1)  x = y  x =   Với hướng phân tích ta có lời giải: HPT ⇔ x + xy − y + ( x − y ) = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) + ( x − y ) = x = y  x = −2 y − ( x − y ) ( x + y + 1) = ⇔  +) TH1: +) TH2: x= y thay vào phương trình (2) ta được: x = −2 y − 2x = ⇔ x = ⇒ y = tương tự TH1 Bài 6: Đại học khối D, năm học 2012 Giải hệ phương trình: ( 1) ( 2)  xy + x − =  2 2 x − x y + x + y − xy − y = Lời giải ( ) ⇔ y − ( x + x + 1) y + x + x = Ta có ( ) ( ) ( ) 2 ∆ y =  x +  − x3 + x = x + x + − x − x + x = − x + x + ⇒ ∆ = − x + x +   ( ) − ( −x ( ) (  x2 + 2x + y = ⇒  x2 + 2x + y =  +) TH1: y = x2 ) + 2x +1  y = x2 ⇔ + −x2 + 2x +  y = 2x + ) thay vào phương trình (1) ta được: x3 + x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ x = ⇒ y = +) TH2: y = 2x +1 thay vào phương trình (1) ta được:  −1 − ⇒y x = 2x2 + x + x − = ⇔ x2 + x −1 = ⇔   −1 + ⇒ x =  Bài 7: Đại học khối A, năm học 2011 5 x y − xy + y − ( x + y ) = ( 1)  2 ( 2)  xy ( x + y ) + = ( x + y ) Giải hệ phương trình: Lời giải Ta có phương trình (2) ⇔ xy ( x + y ) + − ( x + y ) − xy = ⇔ ( xy − 1) ( x + y ) + ( − xy ) =  xy = ( − xy ) ( − x − y ) = ⇔  2 x + y = xy = ⇒ y = +) TH1: 5x − x Thay vào phương trình (1) ta được: x =1⇒ y = 1  + −  + ÷ ⇔ 3x − x + = ⇔ x − = ⇔  x x x   x = −1 ⇒ y = −1 +) TH2: ( x2 + y2 = ) Thay vào phương trình (1) ta được: ⇔ − x +4 x y − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( − x + 3xy − y ) = x y − xy + y − ( x + y ) ( x + y ) =  x = y ⇒ x = y = ±1 ⇔ ( x − y ) ( x − y ) ( − x + y ) = ⇔  x = y ⇒ y2 = ⇒ y = ±  Kiểm tra kết luận nghiệm hệ phương trình Bài 8: Giải hệ phương trình:  x ( x − ) + y ( y − ) =  2  x + y + xy − x − y + = Lời giải Hệ phương trình 2  x ( x − ) + y ( y − ) =  x + y − x − y = ⇔   2  x + y + xy − x − y + =  x + y + xy − x − y + = x + y + xy − ( x + y ) + = ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) + = Cộng vế tương ứng ta được: x = 1− y ⇔ ( x + y − 1) ( x + y − 1) = ⇔  x = − 2y  +) TH1: x = 1− y vào phương trình ⇔ 11 y − y − = x= +) TH2: (1) ta được: Giải phương trình tìm − 2y y ( 1− y ) + y2 − ( 1− y ) − y = sau tìm x làm tương tự Dạng 5: Phương pháp đánh giá giải hệ phương trình I Kiến thức  f ( x, y ) =   g ( x, y ) = ( 1) ( 2) Giải hệ phương trình Sử dụng phương pháp đánh giá Từ (1)(2) ta rút Từ tính nghiệm h ( x, y ) = , đồng thời x, y 10 h ( x, y ) ≥ 0, ∀x, y ∈ TXÐ Từ ( *) ⇒ xy ≥ ( x − 1) 2 xy +8 ≥ = ⇒ Ta có xy Tương tự ta có ( y − 1) +8 ( x − 1) + ≤ xy ≤ xy ( 3) ( 4) VT ( *) ≤ xy ⇒ x + y ≤ xy ⇔ ( x − y ) ≤ ⇔ x = y Cộng vế với vế (3) (4) ta được: Vậy phương trình (*) tương đương bất đẳng thức (3)(4)(5) xảy dấu “=” ( 5) ⇔ x = y =1 Thử lại vế HPT cho thấy thỏa mãn Vậy PHT có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau a) b) 2  xy + x + y = x − y   x y − y x − = x − y (1) (2) 2 x + y − xy + x − y + =  2 4 x − y + x + = x + y + x + y Lời giải Xét phương trình (1) hệ ta có: xy + x + y = x − y ⇔ x − x( y + 1) − y − y = ∆ = ( y + 1) + y + y = (3 y + 1) Ta coi phương trình bậc x ta có: Từ suy y + − (3 y + 1)  = −y x =   x = y + + (3 y + 1) = y +  Trường hợp 1: nghiệm x = −y Từ phương trình (2) hệ ta có điều kiện: 14 x ≥  y ≥ suy phương trình vơ Trường hợp 2: x = y +1 thay vào phương trình thứ hai ta có: (2 y + 1) y − y y = y + ⇔ y y + y = 2( y + 1) ⇔ ( y + 1) ( ) 2y − = ⇔ y = ⇒ x = ( x; y ) = (5; 2) Vậy hệ có cặp nghiệm: b) Xét phương trình (1) hệ ta có: x + y − xy + 3x − y + = ⇔ x + x(3 − y ) + y − y + = Coi phương trình bậc x ta có: ∆ = (3 − y ) − ( y − y + 1) = y − y + = ( y − 1) Suy y − − ( y − 1) y −  = x =   x = y − + ( y − 1) = y −  Trường hợp 1: y = x +1 thay vào phương trình (2) ta thu được: 3x − x + = 3x + + x + ⇔ x − x + ( x + − 3x + 1) + ( x + − x + 4) = 1   ⇔ ( x − x ) 3 + +  =0  x + + 3x + x + + x +  x≥− Do 3+ nên Trường hợp 2: x + + 3x + y = 2x +1 + x = >0⇒ x −x=0⇔ x + + 5x + x =1 thay vào phương trình (2) ta thu được: − 3x = x + + x + ⇔ x + + x + + 3x − = Giải tương tự ta x=0 ( x; y ) = (0;1), (1; 2) Kết luận: Hệ phương trình có cặp nghiệm: Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau a)  x + = ( y − x ) ( y + 1)   x+5 = xy − y −  3y − −  ( 1) ( 2) 15 b) c)  y − y + 10 − x ( y + ) + y + = x +   = x + 2y  y +1 + x +1   x − y − y − x =  2 y − x + y (5 x − y ) = x(4 x + y ) − Lời giải Điều kiện: y ≥ ; x ≥ −3;3 y ≥ x Phương trình (1) tương đương ( x + 3) = 4( y + 1)(3 y − x) ⇔ x + x + = 12 y + 12 y − xy − x ⇔ x + x(5 + y) − 12 y − 12 y + = Coi phương trình bậc x ta có: ∆ ' = (2 y + 5) + 12 y + 12 y − = ( y + ) suy  x = −5 − y − (4 y + 4) = −6 y −  x = −5 − y + (4 y + 4) = y −  x = −6 y − Trường hợp 1: x ≥ −3 ⇒ −6 y − ≥ −3 ⇔ y ≤ −1 Do suy phương trình vơ nghiệm x = y −1 Trường hợp 2: thay vào phương trình hệ ta có: 3y − − y + = y2 − 3y − ⇔ Ta có: Nghĩa ( y − 2) 3y − + y + 2 ≤ ; y +1 ≥ 3y − + y + 2 VP > VT Vậy hệ có nghiệm b) Điều kiện: , suy y = ⇒ x =1 ( x; y ) = ( 1; ) = ( y + 1) ( y − ) x +1 ≠   y +1 ≥  y − y + 10 − x y + ≥ ( )  Từ phương trình dễ thấy để phương trình có nghiệm thì: 16 x + ≥ ⇔ x ≥ −1 Ta viết phương trình thứ dạng: y − y + 10 − x ( y + 3) = x + − y + Để bình phương ta cần điều kiện: Ta bình phương hai vế được: x + ≥ y + ⇔ x2 + x ≥ y y − y + − x ( y + 3) = x + x − ( x + 1) Ta đưa phương trình (2) dạng: Thế (2) vào (1) ta được: ( x + 1) y +1 (1) y + = x + x + xy + y − (2) y − y + − x ( y + 3) = x + x − ( x + x + xy + y − 3) ⇔ y − y + + xy + x − x =  x + y −1 = ⇔ x + x ( y − 1) + ( y − 1) = ⇔ ( x + y − 1) ( x + y − ) = ⇔  x + 2y − = * Với ( x + 1) Vì x + y −1 = ⇔ y = 1− x , ta có x≤2 thêm − x = −1 + x − x ⇔ x − x + + ( x + 1) − x = −1 ≤ x ≤ , ta dễ thấy: x + 2y − = ⇔ y = VT > thay vào trình (2) ta có: , nên suy phương trình vơ nghiệm * Với , thay vào phương trình (2) ta được: ta thu phương trình: u + 3u − 24u + 18 = 5−u  = 2− ⇔  ⇔ u =3⇔ x = 2⇒ y = u u ≥  4− x + =2 x +1 Đặt u = x +1 x = 2; y = Ta viết phương trình (1) thành: 3y − 4x = 8x − y −1 phương 2− x Hệ có cặp nghiệm nhất: y 3y ≤x≤ 4 c) Điều kiện 4x − y = 1+ 3y − 4x Thay vào phương trình (2) Bình phương vế ta thu được: hệ ta có: 17 x − x( y + 2) + y + y = ∆ ' = ( y + ) − 4( y + y ) = 16 Ta suy coi phương trình bậc 2( y + 2) − y  = x =  2( y + 2) + y+4 x = =  y = 2x x = −12 thay vào phương trình (1) ta có: vơ nghiệm y = 2x − Trường hợp 2: thay vào phương trình (1) ta thu được: 273 257 2 x − 12 = 15 ⇔ x = ,y= Trường hợp 1: ( x; y ) =  Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm: 273 257  ; ÷   Bài 10: LUYỆN TẬP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 18 x Bài 1: ĐHKHTN Hà Nội, năm học 2014 Giải hệ phương trình 2 x − y + xy = 12 ( 1)  2 6 x + x y = 12 + y + y x ( ) Lời giải Ta có 2 2 x − y + xy = 12 2 x − y + xy = 12 ⇔  2 2 6 x + x y = 12 + y + y x 6 x − y + x y − xy = 12 ( 3) ( 4) ⇒ x − y + xy = ( x − y ) + xy ( x − y ) ⇔ ( x − y ) ( x + y ) − y ( y − x ) = ( x − y ) + xy ( x − y ) ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = ( x − y ) ( xy + ) ⇔ ( x − y ) ( − y ) ( x − ) = + TH1: + TH2: + TH3: x = y = 0, x=3 y=2 thay vào (3) vô nghiệm thay vào (3) ta được: thay vào (2) ta được: Vậy HPT có nghiệm  y = −1 −3 y + y + 18 = 12 ⇔ y − y − = ⇔  y = x =  x = −4  ( x; y ) ∈ { ( 3; −1) , ( 3; ) , ( −4; −1) , ( −4; ) } Bài 2: Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2018 Giải hệ phương trình  x + y = xy + x ( 1)   x + y = xy − ( ) Lời giải Điều kiện x+ y≥0 x = x = y ( 1) ⇔ x − x + y − xy = ⇔ ( x − ) ( x − y ) = ⇔  Ta có + TH1:  y ≥ y ≥1 x = ⇒ ( 2) : y + = y − ⇔  ⇔ y=2 ⇔  4 y − y + =  y + = ( y − ) 19 + TH2:  y ≥ ( y ≥ ) x = y ⇒ ( 2) : y + y = y − ⇔ y = y2 − ⇔   y = y − y + ( 3) ( 3) ⇔ y − y − y + = ⇔ ( y − )  y ( y + ) − 2 = ⇔ y = 4 43 >0 Ta có Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Bài 3: Chuyên LHP Nam Định, năm học 2018 Giải hệ phương trình ( x + y − 1) x − y − = ( x − y − 3) x + y  2  x + x + − ( y + ) x − y = 2 x + x + ( 1) ( 2) Lời giải Điều kiện Đặt 2 x − y − ≥ x + y ≥  ( *)  4 x − y ≥ 2 x + x + ≥ a = x − y − ( a ≥ ) ⇒ x − y − = 2a − b = x + y ( b ≥ ) ⇒ x + y − = 2b − Phương trình (1) trở thành ( 2b − 1) a = ( 2a − 1) b ⇔ 2b a − a − 2a 2b + b = ⇔ ( b − a ) ( 2ab + 1) = ⇔ a = b ( a, b > ⇒ 2ab + > ) ⇔ x − y −1 = x + y ⇔ x − y −1 = x + y ⇔ x − y = ⇔ y = x −1 Thay vào phương trình (2) ta x≥ Với điều kiện x + x + − ( x + 1) x + = ( x + 1) ( x + ) ( 3) −1 ⇒ x + > 0; x + > ( 3) ⇔ ( x + x + 1) − ( x + 1) x + + ( x + 1) + ( x + 1) − ( x + 1) ( x + ) + ( x + ) = 2  x + = x + ⇔ ( x + 1) − x +  +  x + − x +  = ⇔  ⇔ x =1⇒ y = x + = x +  20 Thay vào điều kiện ban đầu, thảo mãn điều kiện (*) Bài 4: Chuyên Bến Tre, năm học 2018 Giải hệ phương trình  x + y =  ( x − y ) ( − xy ) = ( 1) ( 2) Lời giải Cách 1: Ta có Cách 2: Từ Cách 3: Từ Thay ( x − y ) + xy = ( x − y ) = ( − xy ) ⇔ ⇔ ( x − y ) ( − xy ) = ( x − y ) ( − xy ) =  x + y =  ( x − y ) ( − xy ) = ( ) ⇒ ( − xy ) ( − xy ) = 16 ⇔ ( − xy ) = ( ) ⇒ ( x − y ) ( − xy ) = ( *) = x2 + y2 vào (*) ta ( x − y ) ( x − y ) = ⇔ x − 2y = ⇒ x = 2y + Thay vào phương trình (1) ta được: ( + 2y) + y2 = ⇔ y2 + y + + y2 = ⇔ y2 + y + = ⇔ y2 + y + = ⇔ ( y + 1) = ⇔ y = −1 ⇒ x = −1  ÷   ( x; y ) = 1; Vậy HPT có nghiệm 1)  x + y = x  3 ( x − 1) + y = (Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chun ĐHQG Hà Nội 2008)  2 x y − y x =  3  8 x − y = 2) (Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2008)  x − y + xy =  3x + y = y + 3) (Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2009) 2 3 x + y + 12 xy = 23  2  x + y = 4) (Trích đề tuyển sinh vòng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2010) 2 21 5 x + y + xy = 26  3x + ( x − y ) ( x − y ) = 11 5)  x + y = x y  2 ( x + y ) ( + xy ) = x y 6) 2 x + y + y =  2 x + y + xy = 7) (Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2010) (Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2011) (Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2012)  x + y − xy =   2   x + xy + y = 8) (Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2014)  x − y + xy = 12  2 6 x + x y = 12 + y + y x 9) (Trích đề tuyển sinh vòng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2014) 2 x + y = xy  2 4 x + y = xy 10) (Trích đề tuyển sinh vịng 1- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2015)  2 x + y + xy =  3  27 ( x + y ) + y + = 26 x + 27 x + x 11) (Trích đề tuyển sinh vịng 2- lớp 10 THPT Chuyên ĐHQG Hà Nội 2 2015)  x ( y + 1) − y = −3  2  x x − 12 y + y = 12) ( ) 2014)  x2 y2 + =  2 ( x + 1)  ( y + 1)  3xy = x + y + 13) 14) 16) 17) (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)  x + y = − x − y 3  x + + y = (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2014) 2 x + xy − y − ( x − y ) =  2  x − xy − y + 15 = (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Thái Bình 2014)  xy ( x + y ) =  7 x + 11 = ( x + y ) ( x + y + 1) 15) (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Amsterdam Chu Văn An năm 2 2   x + y = 2x y  2   y + x y + 3x = x + xy 22 18) 19) 20) 2  x − xy + y =  2 y = x + y ( x + y ) ( x + y ) = 15   y + y = x ( x + y ) ( x + y ) =   4 2 ( x + y ) ( x + y + x y − ) = x I HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP: 1) Ta viết lại hệ phương trình thành: Đặt 2  ( x − 1) + y =  3  ( x − 1) + y = a + y =  3 a + y = a = x −1 ta có hệ −1 ≤ a, y ≤ Suy a3 = − y3 = ( − y ) ( + y + y ) ≥ ⇒ ≤ a ≤ Mặt khác ta có: a ≥ a  ≤ y ≤1⇒  ⇒ a + y ≥ a3 + y =  y ≥ y Tương tự ta có a = 1, y = a = 0, y = Dấu xảy ( x; y ) = ( 1;1) , ( 2;0 ) Từ suy nghiệm hệ là: 2) Hệ phương trình có dạng gần đối xứng từ hệ ta suy ra: y = x ⇔  y = x x3 − y = x y − y x ⇔ x − 14 x y + xy − y = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) ( x − y ) =  y = x ( )  ; −2 ÷   thay ( x; y ) = ( 1;1) ,  − vào phương trình ta tìm nghiêm là: Ta giải nhanh sau: Lấy phương trình (2) trừ lần phương trình (1) thu được: ( 2x − y ) = ⇒ 2x − y = ⇔ y = 2x −1 23 3) Từ hệ phương trình suy phương trình bậc  x − + xy = y  ⇒ x − + xy = x + y − ⇔ x + ( y − 3) x − y + =  x + y − = y   ∆ = y − y + − ( − y + ) = ( y − 1) x Đây có x = 2− y x =1 Từ tính thay vào ta tìm nghiệm Chú ý ta giải cách khác: ( x; y ) = ( 1; ) , ( 1;1) , ( 5; −3) x − + xy = 3x + y − ⇔ y ( x − 1) + x − 3x + = ⇔ ( x − 1) ( y + x − ) = 4) Nhận xét: Có thể đưa hệ dạng đẳng cấp: Từ hệ ta suy ( 3x + y + 12 xy ) = 23 ( x + y ) x = y ⇔ x = y 2 ⇔ 17 x − 24 xy + y = ⇔ ( x − y ) ( 17 x − y ) =  17 17   17  ; ÷,  − ; − ÷  13 13   13 13  Giải ( x; y ) = ( 1;1) , ( −1; −1) ,  hệ với trường hợp ta suy ( 2x + 3y ) Cách khác: Cộng hai phương trình hệ ta thu được: giải 5) Ta viết lại hệ cho thành: 2x + y = = 25 ⇒   x + y = −5 thay vào để 2  5 x + y + xy = 26  2  3x + x − xy − y = 11 Nhân hai vế phương trình: (2) với cộng với phương trình (1) ta được: x = x + x = 48 ⇔ ( x + 1) = 48 ⇔  x = −  2 Cách khác: Ta viết lại hệ thành: xứng loại 6) Nhận xét x= y=0 thay vào ta tìm y =1 y = −3 ( x + y ) + ( x − y ) = 26 a + b = 26 ⇔   ( x + y ) + ( x − y ) + ( x + y ) ( x − y ) = 11 a + b + ab = 11 nghiệm hệ Xét x, y ≠  1  2 1 + = =2  + ÷ −  x2 y2   x y  xy ⇔     1 2   +  1  + ÷= + +  ÷  ÷ ÷=  x y   x y xy  xy     Ta chia phương trình cho 24 x2 y2 hệ đối Đặt 1 1    + ÷ = a;  + ÷ = b xy  x y  Từ tìm nghiệm ab = ⇒ a = ⇒ a = 2; b =  a − b = thu ( x; y ) = ( 1;1) 7) Ta viết lại hệ phương trình thành:  x + ( y + 1) = a + b = ⇔    x + x ( y + 1) + y + = a + b + ab = hệ đối a = 2, b = a = 1, b = Xứng loại 1, ta dễ tìm x = y =1 x = 2; y = Từ giải Cách khác: Ta viết lại hệ thành:  x2 + y + y = ⇒ x + y + xy + ( x + y ) = 12 ⇔ ( x + y ) + ( x + y ) − 12 =  4 x + y + xy = 8) Từ hệ ta suy x + xy + y = ( x + y − xy ) ⇔ 3x − xy + y = ⇔ ( x − y ) ( x − y ) = Giải hệ ứng với trường hợp ta có: 9) Ta viết hệ cho thành: x = y = 1; x = y = −1 x= , 7 7 ;y= ;x = − ;y =− 7 7 ( x − y ) ( x + y ) = 12 ⇒ ( x − y ) ( x + y ) = ( x − y ) ( xy + )  ( x − y ) ( xy + ) = 12 ( x − y ) ( x + y − − xy ) = ⇔ ( x − y ) ( x − 3) ( y − ) = ( x; y ) = ( 3; −1) , ( 3; ) , ( −4; ) Giải trường hợp ta thu được: 10) Từ hệ ta suy ra: 2  xy + y = xy ⇔ xy + y = x + y ⇔ x − xy − y = ⇔ ( x − y ) ( x + y ) =  2  x + y = xy ( x; y ) = ( 0; ) , ( 1;1) ,  4 ;− ÷ 5 5 Giải trường hợp ta thu ( x + ) ( y + ) =  3 27 ( x + y ) + y + x + = ( 3x + 1) 11)Ta viết lại hệ cho thành: 27 ( x + y ) = ( x + ) ( y + ) Chú ý rằng: 25 27 ( x + y ) + y + x3 + = ( 3x + 1) ⇔ x + y + ( x + ) ( y + ) ( x + y ) + = ( 3x + 1) suy ra: ⇔ ( x + y + ) = ( x + 1) ⇔ x + y + = x + ⇔ y = x − 3 ( x; y ) = ( 1;1) ,  −  ; −8 ÷   thay vào ta tìm được: 12) Hệ cho tương đương với:  x ( y + 1) = y −  x ( y + 1) ( y + 3) = y − ⇔ 2  2 2 x x − 12 y = − y ( )   x ( x − 12 y ) = − y Cộng theo vế hai phương trình ta được: x ( x + y + y + 3) = ⇔ x  x + y + ( y + 1) +  = ⇔ x = ⇒ y =   ( x; y ) =  0; Vậy hệ có nghiệm x ≠ −1; y ≠ −1 Điều kiện:  3 ÷ 2 13) Hệ phương tình cho tương đương: u= Đặt x y ;v = y +1 x +1 u =v= Suy u=v= (tm) , hệ thành: u=v=−  x2 y2 + =  2  ( y + 1) ( x + 1)   x y =1  y + x +  2 u + v = 2 ( u + v ) =  u + v + 2uv = ⇔ 2 ⇔ uv = u + v − uv =   ( u − v ) =  x = y =1 (tm) 1 u=v=− x= y=− Nếu (tm) Nếu 14) Điều kiện x + y ≥  y ≥ Đặt t = x + 2y ≥ 26 Từ phương trình ( 1) t + 3t − = ⇒ t = ⇒ x + y = suy (2) Thay vào phương trình ta có: Thay vào phương trình ta có: 8− 4y + 2y = Đặt y = a ≥ ⇒ y = a2 a = − 2a = − a ⇔ a3 − 8a + 12a = ⇔  a =  a = Từ tìm nghiệm hệ ( x; y ) = ( 1;0 ) , ( −3; ) , ( −35;18)  y = 2x x = − 2y ( x − y ) ( x + y − 5) = ⇒  15) Phương trình (1) hệ viết lại sau: Thay vào phương trình (2) hệ ta tìm nghiệm 16) Từ phương trình ( 2) ta có: Hay Hay Hay x + xy ( x + y ) = + ( x + y ) ( x + y + 1) x3 + y + xy ( x + y ) = x3 + y + xy ( x + y ) + ( x + y + 1) ( x + y ) + ( 2x + y ) = ( x + y + 1) ⇒ x + y = x + y + ⇒ x = ( x; y ) = ( 1;1) , ( 1; −4 ) 17) Dễ thấy hệ có nghiệm Đặt x3 + xy ( x + y − x − y ) = + ( x + y ) ( x + y + 1) hệ là: Nếu ( x; y ) = ( 1; ) , ( −1; −2 ) , ( −3; ) x, y ≠ ( 0; ) 1 = u; = v x y Thay vào phương trình đầu tìm nghiệm ( 0; ) hệ phương trình tương đương với: 1  x2 + y2 =    + − − = −8  x xy x y cộng hai phương trình hệ ta thu được: ⇒ 2u + v + 3uv − 7u + 5v + = ⇔ ( u + v − ) ( 2u + v − ) = 18) Ta có: u + v =  u + 3uv − 7u + 5v = −8 Ta được:  u + v =  2  u + v =   2u + v =   u + v = 2 y = ( x + y ) = ( x + y ) ( x − xy + y ) = x + y ⇒ y = x ⇔ x = y 27 Hệ tương đương với 19) Hệ tương đương: x = y x = y = ⇔    x − xy + y =  x = y = −1 ( x + y ) ( x + y ) = 15 ( x + y ) ( x + y ) = 15 ⇔  2 4 15 x − y = 15 y ( )  ( x + y ) ( x + y ) ( x − y ) = 15 y ( x + y ) ( x + y ) = 15 ( x + y ) ( x + y ) = 15 ⇔ ⇔ 4  x = ±2  x − y = 15 y +) +)  x = y ⇒ 15 y = 15 ⇔ y = 1; x =  2 x + y x + y = 15 ( ) ( )   x = −2 y ⇒ −5 y = 15 ⇔ y = − 3; x = 3  2 x + y x + y = 15 )( ) ( Vậy nghiệm hệ: x = 2; y = , x = 3; y = − 3 28 ... viết phương trình (1) thành: 3y − 4x = 8x − y −1 phương 2− x Hệ có cặp nghiệm nhất: y 3y ≤x≤ 4 c) Điều kiện 4x − y = 1+ 3y − 4x Thay vào phương trình (2) Bình phương vế ta thu được: hệ ta... Kiến thức Bài tốn: Giải hệ phương trình  f ( x, y ) =   g ( x, y ) = + Phân tích phương trình trên, tổ hợp phương trình thành nhân tử (kết hợp phương trình để tạo phương trình mới) Giả sử: f... − vào phương trình ta tìm nghiêm là: Ta giải nhanh sau: Lấy phương trình (2) trừ lần phương trình (1) thu được: ( 2x − y ) = ⇒ 2x − y = ⇔ y = 2x −1 23 3) Từ hệ phương trình suy phương trình