Bài giảng giải tích 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC H P TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng U GIẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ) H HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập Lời giải Hà Nội- 2019 (bản cập nhật Ngày 13 tháng năm 2019) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin vui lịng gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos Use at your own risk! Hà Nội, Ngày 13 tháng năm 2019 H P H U MỤC Mục lục LỤC Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) 5 H P Sơ lược yếu tố Lôgic; tập số: N, Z, Q, R Trị tuyệt đối tính chất Hàm số 3.1 Định nghĩa hàm số 3.2 Hàm số đơn điệu 3.3 Hàm số bị chặn 3.4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 3.5 Hàm số tuần hoàn 3.6 Hàm hợp 3.7 Hàm ngược 3.8 Hàm số sơ cấp 3.9 Bài tập Dãy số 4.1 Dãy số giới hạn dãy số 4.2 Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 4.3 Bài tập Giới hạn hàm số 5.1 Định nghĩa 5.2 Các phép toán giới hạn 5.3 Giới hạn hàm hợp 5.4 Giới hạn vô 5.5 Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 5.6 Mối liên hệ giới hạn dãy số giới hạn hàm số 5.7 Bài tập Vô lớn, vô bé U H 5 6 6 7 8 13 19 19 20 22 27 27 27 28 28 28 29 29 30 MỤC LỤC 10 6.1 Vô bé (VCB) 30 6.2 Vô lớn (VCL) 32 6.3 Bài tập 33 Hàm số liên tục 37 7.1 Định nghĩa 37 7.2 Các phép toán số học hàm số liên tục 37 7.3 Sự liên tục hàm ngược 38 7.4 Sự liên tục hàm hợp 38 7.5 Các định lý hàm liên tục 38 7.6 Điểm gián đoạn phân loại điểm gián đoạn hàm số 39 7.7 Bài tập 40 Đạo hàm vi phân 42 H P 8.1 Định nghĩa 42 8.2 Các phép toán đạo hàm 43 8.3 Đạo hàm hàm hợp 43 8.4 Đạo hàm hàm ngược 44 8.5 Đạo hàm hàm số sơ cấp 44 8.6 Vi phân hàm số 44 8.7 Đạo hàm cấp cao 47 8.8 Vi phân cấp cao 50 8.9 Bài tập 50 8.10 Đọc thêm: Về khái niệm vi phân 54 56 9.1 Các định lý hàm khả vi 56 9.2 Các công thức khai triển Taylor, Maclaurin 61 9.3 Quy tắc L’Hospital 70 9.4 Về số dạng vô định 71 9.5 Thay tương đương có hiệu hai VCB? 73 9.6 Hiệu hai VCB tương đương 75 9.7 Ba phương pháp (mới) để tính giới hạn 76 9.8 Về VCL tiêu biểu 77 9.9 Bài tập ôn tập 78 Các lược đồ khảo sát hàm số 83 10.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) 83 10.2 Khảo sát vẽ đường cong cho dạng tham số 85 10.3 Khảo sát vẽ đường cong hệ toạ độ cực 86 10.4 Bài tập 89 H U Các định lý hàm khả vi ứng dụng MỤC LỤC Chương Phép tính tích phân biến số 93 Tích phân bất định 1.1 Nguyên hàm hàm số 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 1.4 Tích phân hàm lượng giác 1.5 Tích phân biểu thức vơ tỷ Tích phân xác định 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 2.3 Các tính chất tích phân xác định 2.4 Tích phân với cận thay đổi (hàm tích phân) 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 2.6 Hệ thống tập Tích phân suy rộng 3.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 3.2 Tích phân suy rộng hàm số không bị chặn 3.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 3.4 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 3.5 Bài tập Các ứng dụng tích phân xác định 4.1 Tính diện tích hình phằng 4.2 Tính độ dài đường cong phẳng 4.3 Tính thể tích vật thể 4.4 Tính diện tích mặt trịn xoay Chương Hàm số nhiều biến số 93 93 95 100 102 104 109 109 109 110 111 112 113 124 124 126 127 129 130 136 136 138 139 141 145 145 145 146 146 148 148 148 149 150 150 152 H P U H Giới hạn hàm số nhiều biến số 1.1 Giới hạn hàm số nhiều biến số 1.2 Tính liên tục hàm số nhiều biến số 1.3 Bài tập Đạo hàm vi phân 2.1 Đạo hàm riêng 2.2 Vi phân toàn phần 2.3 Đạo hàm hàm số hợp 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn MỤC LỤC 2.7 Bài tập Cực trị hàm số nhiều biến số 3.1 Cực trị tự 3.2 Cực trị có điều kiện 3.3 Giá trị lớn - Giá trị nhỏ H P U H 152 159 159 161 163 CHƯƠNG HÀM §1 SƠ SỐ MỘT BIẾN SỐ (13LT+13BT) H P LƯỢC VỀ CÁC YẾU TỐ LÔGIC; CÁC TẬP SỐ : N, Z, Q, R Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần Đại số dạy) mà nhắc lại phép suy luận thông qua giảng nội dung khác thấy cần thiết U Giới thiệu tập số; cần nói rõ tập Q rộng Z chưa lấp đầy trục số tập R lấp đầy trục số chứa tất giới hạn dãy số hội tụ, ta có bao hàm thức H §2 TRỊ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT Nhắc lại định nghĩa nêu tính chất sau • | x | ≥ 0, | x | = ⇐⇒ x = 0, | x + y| ≤ | x | + |y|; • | x − y| ≥ || x | − |y|| , | x | ≥ A ⇐⇒ x ≥ A x ≤ − A • | x | ≤ B ⇐⇒ − B ≤ x ≤ B Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) §3 HÀM SỐ 3.1 Định nghĩa hàm số Định nghĩa 1.1 Một hàm số từ tập X vào tập Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y ∈ Y Một hàm số cho dạng biểu thức giải tích y = f ( x ), chẳng hạn hàm số y = x2 Khi đó, cần phải xác định rõ miền xác định (hay tập xác định), tập hợp tất phần tử x ∈ X cho biểu thức f ( x ) xác định, hàm số Tập giá trị hàm số: tập tất phần tử y ∈ Y cho tồn x ∈ X, f ( x ) = y Ví dụ 3.1 (Giữa kì, K61) Tìm tập xác định tập giá trị hàm số H P a) y = arcsin(cos 2x ) d) y = arccos(2 sin x ) b) y = arcsin(2 cos x ) e) y = sin(π cos 3x ) c) y = arccos(sin 2x ) f) y = cos(π sin 3x ) 3.2 Hàm số đơn điệu U • Một hàm số f ( x ) gọi đơn điệu tăng khoảng ( a, b) nếu: ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) H • Một hàm số f ( x ) gọi đơn điệu giảm khoảng ( a, b) ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b), x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Chú ý 1.1 Trong Bài giảng quan tâm đến tính đơn điệu hàm số khoảng mà hàm số xác định Chẳng hạn như, hàm số f ( x ) = 1x có f ′ ( x ) = − x12 < ∀ x ∈ TXĐ = R \ {0} nói f ( x ) đơn điệu giảm R \ {0} dẫn đến nghịch lý −1 < −1 = f (−1) < f (1) = Thay đó, ta nói hàm số f ( x ) đơn điệu giảm khoảng (−∞, 0) (0, +∞) 3.3 Hàm số bị chặn • Một hàm số f ( x ) gọi bị chặn tồn số M ∈ R cho f ( x ) ≤ M với x ∈ TXĐ Hàm số • Một hàm số f ( x ) gọi bị chặn tồn số m ∈ R cho f ( x ) ≥ M với x ∈ TXĐ • Một hàm số f ( x ) gọi bị chặn vừa bị chặn trên, vừa bị chặn 3.4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ   x ∈ TXĐ ⇒ − x ∈ TXĐ • Một hàm số f ( x ) gọi chẵn  f (− x ) = f ( x ) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng   x ∈ TXĐ ⇒ − x ∈ TXĐ • Một hàm số f ( x ) gọi lẻ  f (− x ) = − f ( x ) H P Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Ví dụ 3.2 Chứng minh hàm số f ( x ) xác định khoảng đối xứng (− a, a) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ [Gợi ý] Với f ( x ) ta ln có f (x) = U 1 [ f ( x ) + f (− x )] + [ f ( x ) − f (− x )] {z } |2 {z } |2 H g( x ) h( x ) g( x ) hàm số chẵn, h( x ) hàm số lẻ Các bạn độc giả khuyến khích tự chứng minh tính phân tích 3.5 Hàm số tuần hoàn Định nghĩa 1.2 Một hàm số f ( x ) gọi tuần hoàn tồn số thực T > cho f ( x ) = f ( x + T ) ∀ x ∈ TXĐ Ví dụ hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x học phổ thơng hàm số tuần hồn Trong phạm vi Bài giảng này, quan tâm chủ yếu xem có số T > thỏa mãn f ( x + T ) = f ( x ) mà khơng sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > bé nhất) Các câu hỏi sau phát biểu đơn giản (và tưởng chừng dễ trả lời) câu trả lời thú vị: Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) • Tổng (hiệu) hai hàm số tuần hồn có tuần hồn khơng? • Tích hai hàm số tuần hồn có tuần hồn khơng? • Thương hai hàm số tuần hồn có tuần hồn khơng? • Đạo hàm hàm số tuần hồn (nếu có) có tuần hồn khơng? • Nếu hàm số F ( x ) có đạo hàm R F ′ ( x ) hàm số tuần hồn F ( xZ) có tuần hồn khơng? Nói cách khác, f ( x ) hàm số tuần hồn F ( x ) = có tuần hồn không? x f (t)dt 3.6 Hàm hợp H P Cho hai hàm số f , g Hàm hợp f g, kí hiệu f ◦ g, hàm số định nghĩa ( f ◦ g)( x ) = f [ g( x )] 3.7 Hàm ngược Định nghĩa 1.3 Một hàm số f : X → Y gọi ánh xạ − (hay gọi đơn ánh) nếu: x1 = x2 ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 ) U Định nghĩa 1.4 Cho f đơn ánh với miền xác định A miền giá trị B Khi hàm ngược f −1 , có miền xác định B miền giá trị A, định nghĩa H f −1 (y) = x ⇔ f ( x ) = y Miền xác định f = Miền giá trị f −1 Miền giá trị f = Miền xác định f −1 Chú ý 1.2 Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm y = f ( x ) qua đường phân giác góc phần tư thứ Để tìm hàm số ngược hàm số y = f ( x ) ta làm sau: • Viết y = f ( x ), • Từ phương trình giải x theo y, giả sử x = g(y), • Đổi vai trị x y để hàm số ngược f −1 ( x ) = g( x ) 98 Chương Phép tính tích phân biến số Xét tích phân I = Z f ( x )dx Ta cần biểu diễn f ( x )dx = [ g( x ) h( x )] dx = g( x ) [h( x )dx ] = udv áp dụng cơng thức tích phân phần với hàm số u = g( x ), v = Z h( x )dx Ta thường sử dụng phương pháp biểu thức dấu tích phân chứa hàm số sau đây: ln x, a x , hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược Cụ thể: • Trong tích phân Z x n ekx dx; • Trong tích phân Z x α lnn xdx, α 6= −1 n nguyên dương, ta thường chọn thường chọn u = x n u = lnn x • Trong tích phân Z Z x n sin kxdx; x n arctan kxdx; Z Z x n cos kxdx , n nguyên dương, ta x n arcsin kxdx, n nguyên dương, ta thường H P chọn u = arctan kx u = arcsin kx; dv = x n dx Ví dụ 1.5 Tính tích phân bất định (a) I1 = (b) I2 = Z Z ln xdx = x ln x − Z dx = x ln x − x + C x2 sin xdx U Đặt u = x2 , dv = sin xdx ⇒ v = − cos x, ta I2 = − x cos x + Z x cos xdx Đặt u = x, dv = cos xdx ⇒ v = sin x, ta   Z I2 = − x cos x + x sin x − sin xdx = − x2 cos x + 2x sin x + cos x + C H xe x dx ( x + 1)2 Đặt u = xe x ; dv = (c) I3 = Z dx ( x +1)2 ⇒ v = − x+1 ; du = ( x + 1)e x dx, ta xe x I3 = − + x+1 xe x dx √ + ex √ Đặt + e x = t ⇒ (d) I4 = Z x √e dx 1+ e x Z e x dx = − xe x ex + ex + C = +C x+1 x+1 = 2dt, ta có I4 = Z [ln(t − 1) + ln(t + 1)] dt = 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C Đổi lại biến x ta có Z   √ √ xe x dx √ = 2( x − 2) + e x + ln + + e x − 2x + C + ex 98 Tích phân bất định 99 Z x arcsin x √ dx − x2 Đặt u = arcsin x; dv = (e) I5 = I5 = − (f) I6 = Z p √xdx 1− x 1− ⇒ du = √ dx ; v 1− x Z dx = − x2 arcsin x + √ = − − x2 , ta p − x2 arcsin x + x + C e x cos 2xdx Đặt u = cos 2x; dv = e x dx ⇒ v = e x ; du = −2 sin 2xdx, ta I6 = e x cos 2x + Z e x sin 2xdx Đặt u = sin 2x; dv = e x dx ⇒ v = e x ; du = cos 2xdx, ta   Z x x x I6 = e cos 2x + e sin 2x − e cos 2xdx = e x cos 2x + 2e x sin 2x − 4I6 + 5C Vậy I6 = ex H P (cos 2x + sin 2x ) + C Ví dụ 1.6 (Giữa kì, K61) Tính tích phân a) b) Z Z x3 arctan xdx c) U x3 arccot xdx d) Z Z x2 sin 2xdx x2 cos 2xdx Ví dụ 1.7 (Ngụy biện toán học) Chứng minh = H Chứng minh Xét tích phân I= Z dx = x ln x Z d ln x ln x = ln x − ln x = 1− = 1− Z Z ln x Z ln xd  −1 dx ln2 x x ln x  (tích phân phần) dx x ln x = + I Phương trình I = + I dẫn đến = Sai lầm đâu? Trong mục sau xét tích phân bất định số dạng hàm bản: hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm chứa thức; trình bày số phương pháp giải chung tích phân hàm 99 100 Chương Phép tính tích phân biến số 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Định nghĩa 2.28 Một hàm phân thức hữu tỷ hàm số có dạng f ( x ) = P( x ) , Q( x ) P( x ), Q( x ) đa thức x Một phân thức hữu tỷ có bậc đa thức tử số nhỏ bậc đa thức mẫu số phân thức hữu tỷ thực Bằng phép chia đa thức, chia P( x ) cho Q( x ) ta đưa hàm phân thức hữu tỷ dạng r(x) f (x) = H (x) + Q( x ) H ( x ) đa thức thương, r ( x ) phần dư phép chia Khi Q( x) phân thức hữu tỷ thực Nguyên hàm đa thức tìm cơng thức tích phân r(x) Ta xét việc tìm nguyên hàm phân thức hữu tỷ lại Q( x) hai trường hợp đặc r(x) H P biệt: mẫu số phân thức đa thức bậc đa thức bậc hai Trong trường hợp mẫu số phức tạp hơn, sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa hai trường hợp Phương pháp hệ số bất định P( x ) Giả sử muốn phân tích phân thức hữu tỷ thực Q( x) thành tổng (hiệu) phân thức hữu tỷ thực có mẫu số đa thức bậc bậc hai Trước hết ta phân tích đa thức mẫu số Q( x ) thành tích đa thức bậc bậc hai vô nghiệm Q( x ) = ( x − α1 ) a1 ( x − αm ) am ( x2 + p1 x + q1 )b1 ( x2 + pn x + qn )bn U αi , p j , q j số, , b j số nguyên dương, ≤ i ≤ m; ≤ j ≤ n H • Nếu phân tích Q( x ) xuất đơn thức ( x − α) a , a số nguyên dương P( x ) Ai , Ai phân tích phân thức Q( x) xuất hạng tử dạng ( x− α )i số ≤ i ≤ a • Nếu phân tích Q( x ) xuất biểu thức ( x2 + px + q)b , b số nguyên B x +C P( x ) dương phân tích phân thức Q( x) xuất hạng tử dạng ( x2 +j px+jq) j , Bj , Cj số ≤ j ≤ b Sau viết phân tích P( x ) , Q( x ) ta tìm số Ai , Bj , Cj cách quy đồng mẫu số hai vế, đồng hệ số x n , n ∈ R hai vế Như việc dùng phương pháp hệ số bất định dẫn tới việc tính bốn loại tích phân hữu tỷ sau: Z Adx I x−a Z ( Mx + N )dx III x2 + px + q Z Adx ( k ≥ 2) ( x − a)k Z ( Mx + N )dx IV ( m ≥ 2) ( x2 + px + q)m II 100 Tích phân bất định Z Adx x−a Z Adx ( x − a)k Z = A ln | x − a| + C = Z A( x − a)−k dx = −A (k−1)( x − a)k−1 +C Z q Mt + ( N − Mp/2) dt ( a = q − p2 /4, đổi biến t = x + p/2) t2 + a2 Z Z Mtdt ( N − Mp/2)dt = + 2 t +a t2 + a2 t M ln(t2 + a2 ) + ( N − Mp/2) arctan + C = a a M 2x + p 2N − Mp = arctan p + C ln( x2 + px + q) + p 2 4q − p 4q − p2 ( Mx + N )dx = x2 + px + q Z 101 H P Z q Mt + ( N − Mp/2) dt ( a = q − p2 /4, đổi biến t = x + p/2) ( t2 + a2 ) m Z Z ( N − Mp/2)dt Mtdt + = 2 m (t + a ) ( t2 + a2 ) m ( Mx + N )dx = ( x2 + px + q)m • Tích phân thứ Z U Mtdt ( t2 + a2 ) m + C = − 2(m−1)(M t2 + a2 ) m −1 • Muốn xử  lý tích phân thứ hai ta thực phép đổi biến số lượng giác t = a tan z,  t + a = a2 , cos2 z dt = a dz cos2 z Ta có H Z dt = a2m−1 2 m (t + a ) Z cos2m−2 zdz Tích phân hàm lượng giác nghiên cứu kĩ phần sau Ví dụ 1.8 Tính tích phân bất định a I1 = Z Ta có x4 − x3 + 2x2 − 2x + dx ( x2 + 2)( x − 1) A x4 − x3 + 2x2 − 2x + Bx + C = x+ = x+ + 2 x−1 ( x + 2)( x − 1) ( x + 2)( x − 1) x +2 Quy đồng mẫu số hai vế = ( A + B ) x + ( C − B + 2) x − C 101 102 Chương Phép tính tích phân biến số     A + B =   A=1 Đồng hệ số x , x hệ số tự do, ta C−B+2 = ⇒ B = −1     −C = C = −1 Suy 2x 1 x4 − x3 + 2x2 − 2x + − = x+ − 2 x−1 2x +2 x +2 ( x + 2)( x − 1) Vậy tích phân x2 x ln( x2 + 2) + ln | x − 1| − − √ arctan √ + C 2 2 I= b I2 = Z Ta viết 2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + dx ( x + 1)2 ( x2 + 2x + 3) H P 2x4 + 10x3 + 17x2 + 16x + − = + − x + ( x + 1)2 x2 + 2x + ( x + 1)2 ( x2 + 2x + 3) Suy I = 2x + ln | x + 1| + √ x+1 − 2 arctan √ + C x+1 Ví dụ 1.9 (Giữa kì, K61) Tính tích phân sau a) b) Z Z U dx x2 +2016x dx x2 −2016x H c) Z xdx ( x2 +1)( x2 +2) d) Z xdx ( x2 +2)( x2 +3) b) Z x ln( x2 − x + 1)dx Ví dụ 1.10 (Giữa kì, K61) Tính tích phân a) Z x ln( x2 + x + 1)dx 1.4 Tích phân hàm lượng giác Phương phápZ chung Xét tích phân R(sin x, cos x )dx, hàm dấu tích phân biểu thức hữu tỷ sin x, cos x Ta sử dụng phép đổi biến tổng quát t = tan 2t , sin x = 2t − t2 2t 2dt ; cos x = ; tan x = ; dx = 2 1+t 1+t 1−t + t2 tích phân xét đưa tích phân phân thức hữu tỉ biến t 102 Tích phân bất định 103 Ví dụ 1.11 Tính tích phân Ta viết Z Z sin x − cos x + dx + sin x + cos x sin x − cos x + dx = − + sin x + cos x Đặt t = tan 2x , suy Z Z d(1 + sin x + cos x ) +2 + sin x + cos x dx = + sin x + cos x Z Z dx + sin x + cos x dt = ln |1 + t| + C 1+t Thay lại biến cũ, ta Z x sin x − cos x + dx = − ln |1 + sin x + cos x | + ln + tan + C + sin x + cos x 2 Tích phân dạng Z H P sinm x cosn xdx, m, n số nguyên • Nếu m số nguyên dương lẻ, ta đặt t = cos x • Nếu n số nguyên dương lẻ, ta đặt t = sin x • Nếu m, n số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: sin2 x = đưa tích phân dạng − cos 2x + cos 2x ; cos2 x = 2 U Z sink 2x cosl 2xdx Ví dụ 1.12 Tính tích phân bất định • I1 = Z H sin3 x cos2 xdx Đặt cos x = t ⇒ − sin xdx = dt ta có Z • I2 = sin x cos xdx = Z Z (1 − t2 )t2 (−dt) = cos5 x cos3 x t5 t3 − +C = − +C 5 sin4 x cos2 xdx Sử dụng công thức hạ bậc ta có Z  (1 − cos 2x )2 + cos 2x  dx = − cos 2x − cos2 2x + cos3 2x dx   Z Z sin 2x 1+cos 4x dx + (1 − sin 2x )d(sin 2x ) ⇒ I2 = x − − I2 = Z Vậy ⇒ I2 = x sin 2x sin 4x sin 2x sin3 2x − − + − 2 103 ! +C 104 Chương Phép tính tích phân biến số Đối với tích phân I2 sau sử dụng cơng thức hạ bậc lần thứ ta tiếp tục hạ bậc biểu thức lượng giác dấu tích phân cơng thức sin3 x = cos x + cos 3x sin x − sin 3x ; cos3 x = 4 Áp dụng vào tích phân I2 , ta có:  Z  1 + cos 4x cos 2x + cos 6x I2 = + − cos 2x − dx   x sin 2x sin 4x sin 6x = − − + +C 8 24 Tích phân Z R(sin x, cos x )dx có dạng đặc biệt • Đặt t = cos x R(− sin x, cos x ) = − R(sin x, cos x ) H P • Đặt t = sin x R(sin x, − cos x ) = − R(sin x, cos x ) • Đặt t = tan x R(− sin x, − cos x ) = R(sin x, cos x ) Z dx sin x cos4 x Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx, ta có Ví dụ 1.13 Tính tích phân Z nên dx = sin x cos4 x Z Z Z   1 1 + + − dt t4 t2 2( t − 1) 2( t + 1) 1