Cđ4 1 phương trình vô tỉ

TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NHĨM TỐN (Sưu tầm) Chun đề: PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LŨY THỪA HAI VẾ ĐỂ KHỬ CĂN  f ( x) 0  f ( x )  g ( x)   g ( x) 0  f ( x) g ( x)  1)  g ( x) 0 f ( x ) g ( x)    f ( x )  g ( x) 2) f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) 4) 3) f ( x )  g ( x )  f ( x)  g ( x )  f ( x) 0  f ( x)  g ( x )  h( x )   g ( x) 0   f ( x)  g ( x )  f ( x).g ( x ) h( x) 3/ Bài 1: Giải phương trình x   3x  2 (1)   x    x x 5  2 x  0  Điều kiện: 3x  0 PT (1)  x   3x    2x + = 3x – + 3x    x  6  x 16(3x – 5) = 36 + x2 – 12x  x2 – 60x + 116 =  x = hay x = 58  x  x    x  x    x  x  3 Bài 2: Giải phương trình: Điều kiện:   x  hay  x  (1) x  x    x  x  5  x  x    x  5 x  x  3 PT (1)   x  x    x   10 x  x  x  x    x    10 x  x   x  x  60 x 0 10 10 x   x  3x  x  60  0  x  3 ) ; x = 0; x = (Loại Bài 3: Giải phương trình x    x   x Điều kiện:  x  PT (1)  x    x   x Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NHĨM TỐN (Sưu tầm)  x  1  x   x  (1  x)(1  x) 1  x   x  x  Điều kiện:  x 0  x  x 0    x 0 2  (2 x  1) 2 x  3x   x  x  x x Bài 4: Giải phương trình : Điều kiện:  x  3 PT  x  3x  x  0  x Bài 5: Giải phương trình sau :  3 3x  10   3 x  x   2 x  3 x  x   5/ x  5  x   x x  x  4/ 7/ x  x   x   x  0 10/ x  5  13/ 3x   0  x 1 PT Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 2/ x  34  x  1 1/  x   x 3  x2  3x 11/ x   x   2x  2x 1  x  14/ 2x   x  2 6/ x   x   12  x x   x  3 8/ 3/ x    x 3 9/ 3x   x   x  12/ x x  3 x  15/ 20   x  x  II PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 2 Bài 1: Giải phương trình x  3x   x   x   x  x  Điều kiện: x 2 PT  x  x   x   x   x  x  x     x    x  x x   x   x   0   x  0 x  x  0 hay x   0  x 2 3 Bài 2: Giải phương trình : x   x  1  x  3x  pt   x 1    x 0 x   0    x   3 2 3 Bài 3: Giải phương trình : x   x  x  x  x + x = 0, nghiệm Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI + x ≠ 0, ta chia hai vế cho x: pt  x   2x   x 1  x 1  x 1  x     1   x x     x  0  x 1 x   x x  2 x  x  x  Bài Giải phương trình: Điều kiện: x   NHĨM TỐN (Sưu tầm)  x 1 x   0    x 0  Bài Giải phương trình : Điều kiện: x 0 x 3  4x 4 x x 3  4x 4x 1 2  1  x 3 x 3 x 3 :  Chia hai vế cho Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 2) x x  4 x  x x   15 3 x   10 x x  x 1 4) x x   x  x 5 3) x  x 1  5) x   x3  x  x  1  x  7) 3x x   x 4 4x   0  x 1 x 3  6) x   x  x  3  x  2 8) x  33x  28  x  5 x   12 x  19 x  21 III PHƯƠNG PHÁP 3: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài 1: Giải phương trình: x   x   x   x  7 Điều kiện: x PT  x   2 x    x   x   14  2x  1  x   14  x  5  x 15 (thỏa mãn) Bài 2: Giải phương trình: x  x   x  x  2 Điều kiện: x 1 P T  x   x    x   x   2  x  1 x   2   x   0   x 2 x   1  x Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NHĨM TỐN (Sưu tầm) Bài 3: Giải phương trình: x   x   x  10  x  2 x   x  (1) Điều kiện: x  PT (1)     x 1 1  x 1 1   x 1  x   2 x    2   x 1  (*) Đặt y = x  (y ≥ 0) y   y  2 y   PT (*) trở thành: Nếu ≤ y < y + + – y = – 2y  y = –1 (loại) Nếu ≤ y ≤ y + + – y = 2y –  y = Nếu y > y + + y – = 2y – (vô nghiệm) Với y =  x + =  x = (thỏa mãn) Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 2 1/ x  x   x  x  4 2/ x   x   x  x  1 3/ x   x   x  11  x  1 2 4/ x  x  x  x   0 6/ 5/ x   x   x   x  7 1 x  x   x  2 7/ √ 2x+4+6 √ 2x−5+ √2 x−4−2 √2 x−5=4 8/ ( x  1)   x   x   x   1 9/ x  x   x  x  2 10/ x2 x  x x  x 3 IV PHƯƠNG PHÁP 4: ĐẶT ẨN PHỤ Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường Bài 1: Giải phương trình: x  x   x  Điều kiện: x  t2  Đặt t  x  (t 0) Thay vào ta có phương trình sau: t  22t  8t  27 0 x  (t  2t  7)(t  2t  11) 0 t1,2  2 2; t3,4 1 2 Ta tìm bốn nghiệm là: Từ tìm x 1  vaø x 2  Bài 2: Giải phương trình sau: x   x  6 Điều kiện:  x 6 Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NHĨM TỐN (Sưu tầm) y  x  ( y 0) phương trình trở thành: y  y  5 (với y  5) Đặt  y  10 y  y  20 0  ( y  y  4)( y  y  5) 0  21   17  y (loại), y  2 Bài 3: Giải phương trình sau : Điều kiện:  x 1 Đặt y   21  y  y   x  2004  x   x  x (với y 0) phương trình trở thành:  y  1002  0  y 1  x 0 Bài 4: Giải phương trình sau : Điều kiện:  x  x2  2x x  Chia hai vế cho x ta nhận được: 3x  x x2 x 1 3  t x  x x Đặt x , ta giải 2 Bài Giải phương trình : x  x  x 2 x  + x 0 nghiệm 1   x    x  2 x x + x ≠ 0: Chia hai vế cho x ta được:  1 x t 1  x  x , Ta có t  t  0  Đặt t = 2 Bài : Giải phương trình: 3x  21x  18  x  x  2 Đặt y = x  x  ; y 0 5  y     y 1  y 1 Phương trình có dạng: 3y2 + 2y – =  x    x   Với y =  x  x  1 Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 2 a) 15 x  x   x  15 x  11 c) (1  x)(2  x ) 1  x  x e) x   x  4 x   x  x  2 b) ( x  5)(2  x) 3 x  x 2 d) x  17  x  x 17  x 9 2 f) x  x  11 31 Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI n NHĨM TỐN (Sưu tầm) 2 n n g) (1  x)   x  (1  x) 0 h) x (2004  x )(1   m) ( x  x  2)( x  x  18) 168 x 2 n)  x   x 3 x )2 Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc biến :  x   5 x  Bài Giải phương trình : Đặt u  x  (u 0) ; v  x  x  (v  2 u  v phương trình trở thành: Tìm được: x  )  u 2v 5uv    u 1 v   37 Bài : Giải phương trình : x3  3x   x  2  x 0  x y x  3x  y  x 0  x  3xy  y 0    x  y Đặt y  x  ta có phương trình: Phương trình có nghiệm: x 2, x 2  Bài 3: Giải phương trình: Điều kiện: x  10 x3  3  x   2 PT  10 x  x  x  3( x  2) Đặt u  x  (u, v 0)  v  x  x   u 3v   3u  v   u  3v  0  v 3u Phương trình trở thành: 10uv = 3(u2 + v2)   2 Nếu u = 3v  x  3 x  x   x  10 x  0 (vô nghiệm)  Nếu v = 3u  x 5  33 x  x  3 x   x  10 x  0    x 5  33 nghiệm 2 Bài 4: Giải phương trình : x  x   x  x  Đặt : u  x  u, v 0; u v   v  x  2 phương trình trở thành : u  3v  u  v u  v  u  v hay: 2(u + v) - (u – v) =  Bài 5: Giải phương trình sau : x  x  x   3x  x  Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI x Điều kiện: PT  x NHĨM TỐN (Sưu tầm)  x   x  1  x   x  x   x  1  x  x    x  1  1 v u   uv u  v   1 v u   u  x  x  Đặt v 2 x  ta có PT 1 1 u v  x2  2x   x  1 u , v  2 Do Đặt ẩn phụ đưa hệ: Bài Giải phương trình:   x 35  x3 x  35  x 30 3 3 Đặt y  35  x  x  y 35  xy ( x  y ) 30   3 x  y  35  Khi phương trình chuyển hệ phương trình sau:   x 2   y 3 Bài Giải phương trình sau: x   x  6 Điều kiện: x 1 Đặt  a  x  1, b   x  a 0, b   ta đưa hệ phương trình sau: a  b 5  (a  b)(a  b  1) 0  a  b  0  a b   b  a 5 11  17 x     x   x  5  x  x  Vậy  2x  2x    x  x Bài 3: Giải phương trình: Điều kiện:   x  Đặt  u   x , v   y  u , v  10  u  v 10   4 8    2( u  v )   Khi ta hệ phương trình:  u v (u  v) 10  2uv   2   (u  v)    uv   3 Bài : Giải phương trình: x  x   x  x  3 (1) 3 Điều kiện: x  x  0  x  x   Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NHĨM TỐN (Sưu tầm)  u  x  x   Đặt v  x  x  Với v > u ≥ Phương trình (1) trở thành u + v =  u  v 3  2 Ta có hệ phương trình v  u 3 √ 1−x = 23 −√ x Bài 5: Giải phương trình: ( 2 ) 1  x 0   x 1     x 1  x 0 x    Điều kiện: (*) 2 v = −√x v≤ 3 Đặt u= √ x ; , với u ≥ 0, Ta có: 1− x =1−u 2 −√ x =v {( )    u  v 3  u v      u v u  v 1 Do dó ta có hệ  V PHƯƠNG PHÁP 5: VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC, ĐÁNH GIÁ 2  x  x 9 x  Bài Giải phương trình : Điều kiện: x 0  2   x   2    x 1    Ta có : Dấu   2     x  x  1     x    x  x      2 1   x x 1 x 1 4 Bài Giải phương trình : 13 x  x  x  x 16 Điều kiện:   x 1  x 13  x   x Biến đổi pt ta có : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:  13 13  x  3  x   256  13  27   13  13 x   x  40  16  10 x  Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NHĨM TỐN (Sưu tầm)  16  10 x  16  10 x    64  2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi:   x  x2   1 x     10 x 16  10 x x    Dấu Bài 3: Giải phương trình:  x  x   x  12 x  38 Ta có: VT2 = (  x  x  )2 (1 + 1).(7 – x + x – 5) = Nên < VT  Mặt khác: VP = x2 – 12x + 38 = + (x – 6)2  Theo giả thiết dấu ''='' xảy khi: x = Vậy x = nghiệm phương trình cho x 4x   2 x Bài 4: Giải phương trình : 4x  1 x Điều kiện Áp dụng bất đẳng thức si ta có: x 4x  2 x 4x  4x  x 4x   x  x 2  4x  Dấu “=” xảy khi:  4x  2 x x  Bài 5: Giải phương trình : x   5x   3x  Điều kiện x ≥ Pt  x  8x   (5x  1)(3x  2)   7x 2 (5x  1)(3x  2) Vế trái một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥  phương trình vơ nghiệm 2 Bài 6: Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14 4  2x  x (1) Ta có (1)  4 9    x  2x      x  2x     (x  2x  1)  3 5   2  3(x  1)   5(x  1)  5  (x  1) Ta có: Vế trái ≥  2  5 Dấu “=” xảy  x = –1 Vế phải ≤ Dấu “=” xảy  x = –1 Vậy: phương trình cho có một nghiệm x = –1 Trang TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI NHĨM TỐN (Sưu tầm) x 7  2x  2x  Bài 7: Giải phương trình : x  1 Điều kiện x ≥ Dễ thấy x = một nghiệm phương trình x  + Nếu : VT = 1 + Nếu x > 2: VP = 2x2 + 8   x 1 Mà: VP >  2x  > 2.22 + =  VT <  x   x 1  1 6 1 1 3 x 1 1 Vậy: phương trình cho có mợt nghiệm x =  6 2 x Bài 8: Giải phương trình :  x Điều kiện x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh nghiệm 2 3 x Thật vậy: Với x < : Tương tự với < x < 2: 8 4  6 2 x 2 x  3 x  6 3 x 2 x Bài 9:Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1 1 4 x 4      1.2 2.3 3.4 x  x  1 4 x 5 Điều kiện x 4 (1) Ta có: 1 1  x 1 4 x 5  x  x  (*) Ta có: VP(*) = x  0  x 4 (2)  Từ (1) (2) ta có:x = nghiệm Bài tập áp dụng: Bài 1: Giải phương trình sau:  2x   2x   2x  2x   2x  2x x  4  x  x   x2   1    x    x2 x  16 x  6 x3  x Trang 10 TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI x 3`  x  x  40  4 x  0 NHĨM TỐN (Sưu tầm)  x  64  x3 x  x  28 x    x  x  x  18 x  1 x  x  1 x   Bài 2: Giải phương trình sau : 1/ x    x  x  x  24 2/ x    x x  10 x  27 3/  x  x   x  x  13 4/  x   x 3 5/ x    x 3 x  12 x 14 6/ x   10  x x  12 x  40 VI PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC x  x    x  x  1 2 x Bài Giải phương trình: Điều kiện x  2; x 1  1   x2  x  x2  2x x  x  1  x  x  1  2 x x  x  2  3x x  x  2 (1) 2 x  2 3  3  x  x  1  x  x     x  x  1 2 x    x  x  1  x  x   2 x + Nếu x 1 ta có   3 Giải (3) ta tìm x   x  x  1  x  x     x  x  1  x    x  x  1  x  x    x  + Nếu x -2 ta có  4 Giải (4) ta tìm x x    x  x  1  3x  x   x  3x  Bài 2: Giải phương trình sau : x  x   x  3x    x   x   x  x  3  x   Nhận thấy :  2x  3x   x   x  3x  3x  x   x  x  Ta trục thức vế : Dể dàng nhận thấy x = nghiệm phương trình       Bài 3: Giải phương trình sau:     x  12  3 x  x  5 Để phương trình có nghiệm : Ta nhận thấy : x = nghiệm phương trình , phương trình phân tích dạng  x   A  x  0 , để thực điều ta phải nhóm , tách sau : x  12  x  3 x  0  x  Trang 11 TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI x 4 x  12  3x   x     x2   x  2   x  12   NHĨM TỐN (Sưu tầm) x 4 3  x    x  12  x2   x 1    0  x 2 x2    x2 x2    0, x  x2   Dễ dàng chứng minh : x  12  3 Bài Giải phương trình : x   x  x  Điều kiện x 1 Nhận thấy x = nghiệm phương trình, nên ta biến đổi phương trình   x     x  3 x  x  3 x    x   x     x  3 1   3 x2  x3    x   4     x 3 1   2  1  x  2 x  14 Ta chứng minh : Vậy pt có nghiệm x = 3 x2  Bài 5: Giải phương trình sau: x  x  x 3  x2    2  x  1  3 x  x  x  3x  x3   x Điều kiện x  Nhân với lượng liên hợp mẫu số phương trình cho ta được: x   x  x2      x2  x  x2    3.x x     3 2  x   x  3 3.x  x   x    x   x  ; x   x  0     4 4 2 ( x  3)  x   x  4( x  3)  x   x  Giải hệ ta tìm x       x2 Bài 6: Giải phương trình:  3  2x     2 x  3 27 x x  9   x    x 0 Điều kiện Trang 12 TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRÃI  2x   2x   3  2x   NHĨM TỐN (Sưu tầm)   2x  x   x 18  x   x  4x  x  Pt   x 0  x  nghiệm Bài tập vận dụng: Giải phương trình: x  x    x  x   2 x 1) x  3  x     x  3  x  1 2)  2  x  3 3x 3x  10  3x   3) BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Giải phương trình sau: 3 x   x  2 3( x  x  1) ( x  x  1) √ x−2−√ x −2=−1 x  x  5 x+4 √ x−2+√ x +1=3 ( x+2 )( x+4 )+5( x +2) =6 x +2  x  48 4 x   x  35 2( x  2) 5 x3   √ 5−x 6−√ x 4−2=1 x 9  x x  17  x  x 17  x 9 x  x 1  √ √3−x=x √ √ 3+x  10  x  x   x  4 √ 27 x 10−5 x +√ 864=0 x  x   x  x   x  x  3   x   x  5 x  7 x  x  x  3 2 x    x  20   x   x 2 x  3x  x  12 48  x 2x 2x   1 5 3 1   4 x    0 x  x  20  2 x  2 x x 1  0 x x  x  2 x  3 x2 +3 x−2 √ x +x=1 1  x  x   x  3  x 1   x  3 x  x  20 2 x  10 10  x x  x  12 x  x √ x2 +24+1=3 x + √ x 2+8 Bài 2: Giải phương trình sau:   x x  x 1  x2  x   x  x2  x2  x  3x  x 2 x  x   x √ 25−x 2−√10−x 2=3 √ x  x  45 4  2 2 x 2 x  x x 5   x  x  x2  4  x   x  5 x  7 x  x 2 Trang 13