Cđ14 tính số đo góc

Chun đề 14 TÍNH SỐ ĐO GĨC A Kiến thức cần nhớ Để giải tốt tốn tính số đo góc phải nắm vững kiến thức sau: * Trong tam giác: + Tổng ba góc 180° + Biết hai góc xác định góc cịn lại * Trong tam giác cân: Biết góc xác định hai góc cịn lại * Trong tam giác vng: + Biết góc nhọn, xác định góc nhọn cịn lại + Cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo 30° * Trong tam giác vuông cân: Mỗi góc nhọn có số đo 45° * Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo 60° * Đường phân giác góc chia góc hai góc có số đo * Hai đường phân giác hai góc kề bù vng góc với * Hai góc đối đỉnh * Tính chất góc so le trong, đồng vị, phía, đường thẳng cắt hai đường thẳng song song Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc, ta thường xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt nêu xét góc tương ứng nhau, suy kết B Ví dụ minh họa µ = 30° Kẻ AH vng góc với BC H, biết AH =  BC Gọi D trung Ví dụ Cho D ABC , C điểm AB Tính số đo góc ACD? Giải µ = 30° AH =  BC Với hai yếu tố giúp * Tìm cách giải Xuất phát từ D AHC vng có C nghĩ tới tam giác vng có góc 30° Với lập luận đó, nghĩ tới việc chứng minh tam giác ABC cân Chúng ta giải theo hướng suy nghĩ * Trình bày lời giải µ = 30°, AHC · Xét D AHC có C = 90° Þ AH = AC Mà AH =  BC ( gt ) Þ AC = BC · Þ D ACB cân C Þ CD đường phân giác góc C Þ ACD = 15° Ví dụ Cho tam giác ABC có tia phân giác góc B góc C cắt I Gọi M trung điểm đoạn · µ thẳng BC Biết BI = 2.IM BIM = 90° Tính số đo A Giải µ A · * Tìm cách giải Dựa vào ví dụ 4, chuyên đề 7, biết BIC = 90°+ Do · · · cần tính BIC Mặt khác, theo giả thiết BIM Do MB = MC BI = = 90° nên cần tính MIC 2.IM nên dễ dàng suy luận tạo điểm D cho M trung điểm ID Từ có lời giải sau: * Trình bày lời giải · · Trên tia đối tia MI lấy MD = MI BMI = CMD ; IM = DM · IM = CDM · · Þ CDI = 90° Suy D BIM = D CDM ( c.g.c) Þ BI = CD; B Từ BI = 2.IM Þ BI = ID ( = 2.IM) Þ CD = ID Þ D CDI vuông cân D · · Þ CID = 45°Þ BIC = 135° · D BIC có BIC = 135° nên · + ICB · IBC = 45° µ nên µ C BI; CI tia phân giác B ( ) · · · + ICB · µ = 90° ABC + ACB = IBC = 90° , suy A · Ví dụ Cho tam giác ABC cân A với BAC < 90° kẻ BD, AH vng góc với AC; BC Trên tia BD lấy điểm K cho BK = BA Tính số đo góc HAK Giải - Cách Vì tam giác ABC cân A có AH vng góc với BC, dễ dàng chứng minh AH đường ¶ =A ¶ · phân giác góc BAC suy A · · Mặt khác BA = BK (giả thiết) nên D ABK cân B, suy BKA = BAK Ã +2A ả hay BKA =A (1) Trong tam giác vng ADK có: µ +A µ = 90° (2) K Thay (1) vo (2) ta c: +2 A ả = 90, 2A +A ả = 45 Suy A · Vậy HAK = 45° - Cách Gọi I giao điểm AK BC · · (góc ngồi tam giác) D BIK có AKB =$ I + CBD ( ) · ¶ = 90°- ACB · · ¶ (1) =A Mà CBD nên AKB =$ I +A 2 · · ¶ (2) Ta có KAB = IAH +A · · Mặt khác: AKB (3) = KAB Từ (1), (2), (3) suy ra: · ¶ =$ ¶ IAH +A I +A ¶ =A ¶ Þ IAH · Lại có A =$ I suy D AHI cân H · Þ HAK = 45° * Nhận xét:  Bài tốn có nhiều cách giải Ngồi hai cách tính đây, hạ KJ ^ AH ( J Ỵ AH ) chứng minh D AJK vuông cân J · ·  Nếu BAC > 90° ta có kết HAK = 135° (bạn đọc tự chứng minh theo ý tưởng trên) · Ví dụ Cho tam giác ABC vuông cân A Trên tia AC lấy hai điểm E F cho ABE = 15° CE = CF Tính số đo góc CBF Giải Trên nửa mặt phẳng bờ BE chứa điểm F, dựng tam giác BED Ta có · · · · EBC = ABC - ABE = 45°- 15°= 30°Þ CBD = 30° Khi BC tia phân giác góc EBD nên D BCD = D BCE (c.c.c) Þ CD = CE = CF, Suy tam giác DEF vng D Ta có: · · · DEF = 180°- AEB - BED = 180°- 75°- 60°= 45° Vậy DEF vng cân D Lại có · · · · , BC // DF DFE = 45°; ACB = 45°Þ DFE = ACB · · · Ta lại có tam giác DBF cân D (vì DB = DF = DE) BDF = BDE + EDF + 60°+ 90°= 150° nên · · · · · = DFB = 15° Vây CBF = 15° DFB = DBF = 15° , suy CBF * Nhận xét Dựa vào kỹ thuật trên, giải đươc tốn đảo: Cho tam giác ABC vuông cân · A Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CBF = 15° Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE = CF Tính số đo góc CBE µ = 20° Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Tính Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có A · ACD Giải µ =C µ = 80° B µ- A µ = 80°- 20°= 60° góc tam * Tìm cách giải Từ đề bài, ta tính B giác Do ta nghĩ đến phương pháp để vẽ đường phụ tam giác Khi vẽ đường phụ ý vẽ xuất phát điểm luôn xuất mối liên hệ 20°; 60°; 80° Sau vài cách: * Trình bày lời giải - Cách vẽ Dựng điểm I nằm tam giác cho tam giác BIC tam giác Ta có D ABI D ACI có AB = AC, IB = IC, AI cạnh chung Þ D ABI = D ACI (c.c.c) · · Þ BAI = CAI = 10° (1) Mặt khác D ADC D CIA có AD = CI (= BC), · · ( = 20°) , AC cạnh chung D ADC = D CIA (c.g.c) DAC = ICA · · (2) Þ ACD = CAI · Từ (1), (2) Þ ACD = 10° - Cách vẽ Dựng tam giác ADM (M C khác phía · so với AB) suy ra: CAM = 20°+ 60°= 80° · · D ABC D CAM có MA = BC, ABC = CAM ( = 80°) , AC cạnh chung Suy ra: · D ABC = D CMA ( c.g.c) Þ ACM = 20°và CM = AC D ADC D MDC có AD = MD, AC = MC, CD cạnh chung Suy ra: · CD = M · CD = 20° = 10° D ADC = D MDC ( c.c.c) Þ A · - Cách vẽ Dựng tam giác CAN (B; N khác phía so với AC) suy ra: DAN = 20°+ 60°= 80° D ABC D NAD có AD = BC, · · ABC = NAD ( = 80°) , AB = AN ( = AC) Suy D ABC = D NAD ( c.g.c) Þ AC = ND ·AND = 20° Xét D DNC ta có ND = NC (cùng AC) Þ D CND cân N mà · CND = 60°- ·AND = 60°- 20°= 40° 180°- 40° · · Þ NCD = = 70°Þ ACD = 70°- 60°= 10° - Cách vẽ Dựng tam giác ABK (K; C phía so với AB) Ta có D ACK cân A mà · CAK = 60°- 20°= 40° 180°- 40° Þ ·AKC = = 70° Mặt khác: ADC D BCK có AD = BC, · · DAC = CBK ( = 20°) , AC = AK ( = AB) Suy D ADC = D BCK ( c.g.c) · · Þ ACD = BKC = 70°- 60°= 10° · · · Ví dụ Cho D ABC , M trung điểm BC, BAM ? = 30°, MAC = 15° Tính số đo góc BCA Giải · * Tìm cách giải Do BAC = 45° nên nghĩ tới việc dựng tam giác vuông cân Do giải sau: * Trình bày lời giải Kẻ CK ^ AB Ta có D AKC vng cân K · (vì BAC = 45° ) Þ KA = KC Vẽ D ASC vuông cân S (K, S khác phía so với AC) Do D BKC vng K Þ KM = BC = MC · · · · Þ D KMC cân M MKC = MCK Þ AKM = SCM Dễ dàng chứng minh D KAC = D SAC Þ AK = CK = CS = SA · · D KAM D CSM có KM = CM, AKM = SCM , KA = CS · · Þ D KAM = D CSM ( c.g.c) Þ CSM = 30°Þ ASM = 60°và · SAM = 60°Þ D ASM Þ AS = SM = AK Þ D AKM cân A · · · Þ MKC = MCK = 90- 75= 15ị BCA = 45- 15= 30 = B µ Trên nửa mặt phẳng bờ BC, chứa điểm A, vẽ tia Cy Ví dụ Cho tam giác ABC cân A có A · cho BCy = 132° Tia Cy cắt tia phân giác Bx góc B D Tính số đo góc ADB Giải µ =C µ = 36° Trên tia BA lấy điểm E cho BE = BC µ = B µ , suy B Từ giả thiết D ABC cân A A · (E nằm ngồi đoạn AB), Bx tia phân giác ABC từ dễ dàng chứng minh BD vng góc với CE · · · Tam giác EBC cân B có; EAC = ABC + ACB = 72° 180°- 36° · · · AEC = = 72° Do AEC = CAE Þ D ACE cân C nên CA = CE (1) · Ta lại có D DEC cân D, ECD = 132° — 72°= 60° nên D DEC tam giác (2) · Từ (1) (2) suy  D CAD cân C, có ACD = 132° — 36°= 96° 180°- 96° Þ ·ADC = = 42° · Trong D BCD có BDC = 180°- 132°- 18°= 30° , suy ra: · · · · ADB = ADC - BDC = 42°- 30°= 12° Vậy ADB = 12° C Bài tập vận dụng µ = 80° Điểm D thuộc miền tam giác cho 14.1 Cho tam giác ABC cân A, A · · · DBC = 10°; DCB = 30° Tính số đo ADB 14.2 Cho tam giác vuông ABC vuông cân A Điểm D thuộc miền tam giác cho · · ADC = 150° tam giác DAC cân D Tính số đo ADB µ = 45°; A µ = 15° Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD = 2BC Vẽ 14.3 Cho D ABC, B DE ^ AC ( E Î AC) a) Chứng minh rằng: EB = ED · b) Tính số đo ADB · µ = 100° Qua B dựng tia Bx cho CBx 14.4 Cho tam giác ABC cân A có A = 30° Tia phân giác góc ACB cắt tia Bx D a) So sánh CD với CA b) Tính số đo góc BDA µ = 40° Trên tia phân giác AD góc A lấy điểm E cho 14.5 Cho tam giác ABC cân A có A · · = 30° ABE = 30° ; cạnh AC lấy điểm F cho CBF · b) Tính số đo BEF a) Chứng minh rằng: AE = AF · · 14.6 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) với BAC = 20° Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD = 50° , · · cạnh AB lấy điểm E cho BCE = 60° Tính số đo góc CED · · · 14.7 Cho tam giác ABC cân có BAC = 100° Điểm M nằm tam giác cho MAC = MCA = 20° Tính số đo góc AMB · · 14.8 Cho tam giác ABC với BAC = 55°, ABC = 115° Trên tia phân giác góc ACB lấy điểm M · cho MAC = 25° Tính số đo góc BMC · 14.9 Cho tam giác ABC cân A có BAC = 80° Điểm M nằm tam giác cho · · MAC = MCA = 10° Tính số đo góc AMB · 14.10 Cho tam giác ABC cân A có BAC = 80° Gọi M điểm nằm tam giác cho · · · · ; AMC MBC = 10°, MCB = 30° Tính số đo góc AMB 14.11 Cho tam giác ABC, điểm D nằm A B Đường thẳng vẽ từ D vng góc với AC cắt đường thẳng vẽ từ B vng góc với BC điểm M Gọi N trung điểm AD Tính số đo góc MCN? HƯỚNG DẪN GIẢI 14.1 Tìm cách giải Đây tốn khó khó nhận mối quan hệ giả thiết kết luận · · để tìm cách giải tốn Ta có: ABC + DBC = 60° góc tam giác Từ vẽ để tạo tam giác theo hướng sau: - Cách Dựng tam giác BCM (A; M phía so với BC) D ABM D ACM có AB = AC, MB = MC, MA cạnh chung Suy D ABM = D ACM (c.c.c) · · Þ AMB = AMC = 30° Xét D ABM D DBC có BM = BC, · · · · AMB = DCB = 30°; ABM = DBC = 10° Þ D ABM = D DBC ( g.c.g ) Þ AB = DB Þ D ABD cân B 180°- 40° · Þ ADB = = 70° - Cách Dựng tam giác ABE (C E phía so với AB) 180°- 20° · · = 20°Þ ACE = = 80° Ta có: D ACE cân A, mà CAE · Þ BCE = 80°- 50°= 30°Þ D BDC = D BEC ( g.c.g ) Þ BD = BE = BA Þ D BAD cân B 180°- 40° · Þ ADB = = 70° - Cách Dựng tam giác ACK (B; K phía so với AC) Ta có D ABK cân lại K, mà · · BAK = 20°Þ ABK = 80° · Þ CBK = 80°- 50°= 30° Þ D BDC = D CKB (g.c.g) Þ BD = CK Þ D ABD cân B · Mà ABD = 40° 180°- 40° · Þ ADB = = 70° - Cách · Kẻ tia phân giác góc ABD cắt CD kéo dài M · · · Ta có: MBC = MCB = 30°Þ D BMC cân M Þ BMC = 120° Mặt khác D AMB = D AMC ( c.c.c) 360°- 120° · · Þ AMB = AMC = = 120° Þ D ABM = D DBM(c.g.c) Þ AB = DB Þ D ABD cân B, · Mà ABD = 40° 180°- 40° · Þ ADB = = 70° 14.2 Nhận xét Để tính góc ADB ta cần chứng minh tam giác ABD cân B Ta có 150°- 90°= 60° góc tam giác Do tốn ta phải tìm cách vẽ kẻ để tạo tam giác từ tìm cách tính góc ADB Có thể vẽ đường phụ theo cách sau: - Cách Dựng ∆ ADF (B; F phía so với AC) · Ta có: D ADC cân D mà ADC = 150° 180°- 150° · Þ CAD = = 15° · Þ BAF = 90°- ( 15°+ 60°) = 15° · Þ D ADC = D AFB ( c.g.c) Þ AFB = 150° · · = 15°Þ DFB = 360°- ( 60°+150°) = 150° Và ABF Þ D AFB = D DFB ( c.g.c) Þ AB = DB Þ D ABD cân B · mà ABD = 30° 180°- 30° · Þ ADB = = 75° - Cách Dựng tam giác ACE (E; B khác phía so với AC) D ADE D CDE có AD = CD, AB = CE, DE cạnh chung, suy · · D ADE = D CDE ( c.c.c) Þ ADE = CDE = 75° D ADE D ADB có AB = AE, · · BAD = EAD ( = 75°) , AD cạnh chung, suy D ADE = D ADB (c.g.c) · · Þ ADE = ADB = 75° · Vậy ADB = 75° - Cách Dựng tam giác CDK (K; B phía so với AC) suy · · DCB = KCB = 30° D DCB D KCB có CD = CK, · · DCB = KBC = 30° , BC cạnh chung, suy D DCB = D KCB (c.g.c) Þ DB = KB (*) D ADK  D ADC có DK = DC, ·ADK = ADC · = 150° , AD cạnh chung, suy D ADC = D ADK ( c.g.c) Þ AC = AK ; AC = AB Þ AK = AB ( 1) · · · = KAD = 15°Þ KAB = 90° — 30°= 60°( 2) Mặt khác: CAD Từ (1), (2) Þ D ABK tam giác Þ BK = BA(**) Từ (*) (**) Þ DB = BA Þ D ABD cân B · · Þ BAD = BDA = 90° — 15°= 75° · Vậy ADB = 75° · - Cách Dựng tia Bx cho ABx = 15° (Bx C phía so với AB) Tia Bx cắt tia CD I · · Ta có D BIC cân I ( IBC = ICB = 30° ) Þ BI = CI Þ D ABI = D ACI ( c.c.c) · · Þ BAI = CAI = 45° D BIC cân I · Þ BIC = 150° — ( 30°+ 30°) = 120° Mặt khác, D ACI có: · · · ACI = 15°; CAI = 45°Þ AIC = 180° — ( 15°+ 45°) = 120° · = 360° — ( 120°+120°) = 120° Từ ta có: AIB · = DIB · Vậy AIB = 120° (*) · · · Xét tam giác: AID có ADI = ACD + CAD = 30° (Góc ngồi tam giác) · DAI = 45°- 15°= 30°Þ D AID cân I Þ IA = ID (**) · · Từ (*) (**) Þ D AIB = D DIB ( c.g.c) Þ AB = DB ABI = DBI = 15° Þ D ABD cân B 180°- 30° · Þ ABI = = 75° 14.3 · · · a) Ta có ACD = ABC + BAC = 45°+15°= 60° · Từ tam giác ECD vng E, có CDE = 30° nên CD = 2CE (theo ví dụ 8, chuyên đề 9), ta lại có CD= 2BC nên CE = BC, suy · · CBE = 30°= CDE D EBD cân E suy EB = ED · · · · b) Ta có ABE = ABC - CBE = 45° — 30°= 15°= EAB Þ D EAB cân E, · ta lại có EA = EB = ED Þ D EAD vng cân E Þ EDA = 45° · · · Vậy ADB = ADE + EDB = 45°+ 30°= 75° 14.4 a) Dựng tam giác BEC cho E A nằm nửa mặt phẳng bờ BC Ta có BA = CA, BE = CE, AE cạnh chung Þ D ABE = D ACE (c.c.c) · · suy AEB = AEC = 30° µ = 100° nên suy D ABC cân A có A · · · · · ACB = ABC = 40°Þ ECA = ACD = DCB = 20° Suy D DBC = D AEC ( g - c - g ) Þ CD = CA ( · · · = 180°- ABD + BAD b) Ta có BDA ) (1) · · · = ABC - DBC = 10°( 2) Mà ABD ỉ Ã 180- ACD ữ Ã Ã Ã Ã ữ ỗ BAD = BAC - DAC = BAC - ỗ = 100ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ổ 180- 20ử ữ ỗ ữ ỗ ữ= 20 (3) ỗ ố ø Từ (l), (2) (3) suy ra: ( ) · · · BDA = 180°- ABD + BAD = 180° — ( 10°+ 20°) = 150° * Mở rộng tốn: Có thể thay kết luận u cầu: Tính số đo góc ADC; BAD 14.5 · · a) Ta có FBA = 40°= BAC Þ D BFA cân F Þ FA = FB (1) · · AH phân giác BAC nên BAE = 20° Dựng tam giác ABD cho D nằm nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B DA = DB, · FAD = 20° (2) Từ (1 ) (2) suy D ADF = D BDF · · (c.c.c) Þ ADF = BDF = 30° Từ dễ dàng suy D FAD = D EAB ( g — c - g ) Þ AE = AF · · · b) Ta có DFA = 180° — ADF - DAF = 180°- 30° — 20°= 130° · · · · · Ta có DFA = DFB = 130°; EFA = 80° nên suy EFB = 20°, EBF = 10° ( ) · · · = 180° — EBF + EFB = 150° Trong D BFE BEF 14.6 - Cách Vẽ tam giác ACF cho F nằm nửa mặt bờ AB không chứa điểm C Gọi giao điểm CF AB K   Ta có BCK 20 ; ECK 40 ;      BKC 180  CBK  BCK 80  CBK cân C  CK BC  (1)     BDC 180  CBD  BCD 50  CBD cân C  CD BC (2) Từ (1) (2) suy CD = CK   KCD cân C DCK 60  KCD tam giác  CK DK (3)   CKE có KCE KEC 40 nên CKE cân K  CK EK (4) Từ (3) (4) suy EK DK  EKD cân K có        EKD 180  CKD  BKC 40 nên KED 70 mà BEC 40   CED 30 - Cách Vẽ EF // BC (F thuộc AC) Gọi P giao điểm BF CE,  BCE 60 nên BPC  CP CB (1)   Do CBD CDB 50 nên BCD cân C, dẫn đễn CD = CB (2) Từ (1) (2) suy DCP cân C nên    CPD 80 ; DPF 40 Mà DFP 40 nên DPF cân DP = DF Từ DPF DFE (c.c.c)    Suy PED FED 30 Hay CED 30 - Cách Trên tia CA; CB lấy V U cho CV = CU = CE  Ta có CE = CU BCE 60 nên CEU đều, EU = EC    CEU 60 Vì CEB 40 nên BEU 20 Lại có ACE cân nên AE = CE, AE = EU   UEB Có AEV EUB  AE EU  , EAV 20 , AV  AC  CV  AB  EC  AC  AE EB  Nên EV = BU AVE EBU 180  ABC 180  80 100 Mặt khác, BU CU  BC CV  CD DV Nên EV = DV Do EVD cân V, suy  DEV  AVE 50  Ta có CVE cân C có ECV 20 , suy      CEV CVE 80 Từ CED CEV  DEV 80  50 30  - Cách Lấy F AB cho DCF 60       FCB 20  BCF cân CFB CBF 80 ,    CDB 50 Nên CF = CB Ta có BCD cân CBD  Suy CB = CD  Từ CF = CD mà DCF 60 nên CDF đều,   nên FE = FC, suy FE = FD FCE 40 FEC   Vậy FED cân F Vì EFD 40 , suy FED 70    Ta có CED FED  FEC 70  40 30 14.7 Giả sử CM cắt AB E, tia phân giác góc BEC cắt BM, BC H K Ta có tam giác MAC cân M, nên AME 20  20 40    Lại có CEA CEK BEK 60 , suy CEA CEK (g.c.g)  MEA MEK (c.g.c) Suy AME KME  40 EKB EKM  EBK 40 nên Vì (g.c.g), suy EHB EHM  (c.g.c), EHM 90   Xét tam giác HEM có EHM 90 , HEM 60 ,  nên EMH 30 Do AMB BME    EMA 30  40 70 µ = 180°- (55°+115°) = 10° 14.8 Ta có C Kẻ DE ^ AM ( E Ỵ AC) · · Ta có DAM = DMA = 30°Þ D DAM cân D từ suy ·ADM = 120° , DE đường phân giác · · góc ADM nên EDM = BDM = 60° Do D EDC = D BDC ( g.c.g ) Þ BC = EC · · Xét D BMC D EMC có BC = EC; MCB = MCE = 5°, MC chung Do D BMC = D EMC (c.g.c) · · · · Þ BMC = EMC = 180°- DME = 180°- DAE = 180°- 55°= 125° 14.9 Vẽ tam giác AEM với E B nằm nửa mặt phẳng bờ AM · Ta có BAE = 80°- 10°- 60°= 10° D BAE D CAM có AB = AC, · · BAE = MAC ( = 10°) , AE = AM Suy D BAE = D CAM (c.g.c) · · ABE = ACM = 10° Do · · · EAB = EBA = 10°Þ AEB = 160° · Þ BEM = 360°- 60°- 160°= 140° Xét tam giác BEM có BE = AE = EM nên   EBM = EMB (1800  1400) : 200 Do AMB 200  600 800 · · 14.10 Dựng tam giác BCD với A, D nằm nửa mặt phẳng bờ BC Ta có ABC = ACB = 50° · , suy ABD = 10° Từ D ADB = D ADC (c.c.c) · · Þ ADB = ADC = 30° Từ D BAD = D BMC (g.c.g), suy BA = BM, dẫn · đến tam giác BAM đều, suy AMB = 60° ·AMC = ( 180°- 10°- 30°) - 60°= 80° 14.11 Vẽ tam giác MCE (N E thuộc nửa mặt phẳng bờ CM) · · · Ta có ACE (cùng + MCA = BCM = 60° ) D ACE D BCM có BC = AC, · · ACE = BCM , MC = EC Þ D ACE = D BCM (c.g.c) · · Þ CAE = CBM = 90° Þ AE / / DM (cùng ^ AC ) · · (so le trong) Þ EAN = MDN · · Ta có MBD = MDB = 30°Þ D MBD cân M Þ MB = MD Mà MB = AE (vì D ACE = D BCM ) Þ MD = AE · · D AEN D DMN có MD = AE, MDN = EAN = 150° Þ D AEN = D DMN ( c.g.c) Þ MN = NE D MCN D ECN có MC = EC, MN = EN , CN cạnh chung · · Þ D MCN = D ECN ( c.c.c) Þ MCN = NCE 1· · · · · + NCE = MCE = 60°Þ MCN = MCE = 30° Mà MCN