Bai toan tinh so do goc

Vì vậy tôi muốn trao đổi cùng các đồng chí, đồng nghiệp về việc định hớng giải c¸c bµi to¸n "tÝnh sè ®o gãc" th«ng qua viÖc ph¸t hiÖn vµ sö dông tÝnh chÊt cña c¸c cặp tam giác bằng nhau,[r]

Th viÖn SKKN cña Quang HiÖu http://quanghieu030778.violet.vn/ Phần I: Đặt vấn đề I C¬ së lý luËn Đổi phơng pháp giảng dạy trờng THCS là vấn đề cấp thiết hàng đầu, từ năm học 2002 - 2003 Bộ GD & ĐT đã chỉnh lý và biên soạn SGK nhằm phù hợp với đối tợng học và phơng pháp dạy học Về tâm sinh lý học sinh THCS chủ yếu lứa tuổi thiếu niên, các em đã có thói quen suy nghĩ độc lập Tuy nhiên, khả t các em cha phát triển hoàn chỉnh để nhận thức khẳng định vấn đề nào đó, chủ yếu còn dựa vào ph¬ng ph¸p trùc quan Do đó, yêu cầu môn hình học 7, kiến thức đợc trình bày theo đờng trực quan suy diễn tăng cờng tính thực tiễn, tăng cờng luện tập thực hành, rèn luyÖn kü n¨ng tÝnh to¸n, gióp häc sinh ph¸t triÓn kh¶ n¨ng t l«gic, kh¶ n¨ng diễn đạt ý tởng mình và khả tởng tợng Tuy nhiên, Hình học là môn học tơng đối khó với lứa tuổi 12, 13 chập chững bớc ban đầu quá trình học Hình học Khi đớng trớc bài toán học sinh lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh: Không biết đâu, làm gì, hớng nào? Không biết liên hệ giả thiết bài toán với các kiến thức đã học, với vấn đề cần chứng minh Do đó, việc định hớng tìm lời giải là công việc quan trọng, đặc biệt là học sinh lớp II C¬ së thùc tiÔn Trong quá trình giảng dạy lớp trờng THCS, tôi đã nhận thấy bài toán "tính số đo góc" giúp các em vận dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn, đòi hỏi häc sinh cã kü n¨ng tÝnh to¸n sè ®o gãc, kü n¨ng chøng minh tam gi¸c b»ng sử dụng tính chất các hình đặc biệt vào giải toán giúp các em phát triển khả t lôgic, diễn đạt ý tởng mình và khả tởng tợng Vì bài toán "tÝnh sè ®o gãc" cßn gióp häc sinh thªm gÇn gòi víi kiÕn thøc thùc tÕ, rÌn luyÖn nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn công việc đạt đợc hiệu cao nhất, tốt Trong mÊy n¨m gÇn ®©y, c¸c bµi to¸n "tÝnh sè ®o gãc" lu«n xuÊt hiÖn c¸c kỳ thi Học sinh giỏi, điều đó cho thấy ý nghĩa nó việc nâng cao kiến thức h×nh häc cho häc sinh, ph¸t triÓn n¨ng lùc t h×nh häc cho häc sinh Tãm l¹i c¸c bµi tËp vÒ "tÝnh sè ®o gãc" lµ c¸c bµi to¸n tæng hîp kiÕn thøc vµ kü n¨ng tÝnh to¸n vµ kü n¨ng t duy, nã rÊt cÊp thiÕt cho viÖc «n tËp vµ båi dìng cho học sinh lớp và là tài liệu cần thiết cho việc tự bồi dỡng đội ngũ giáo viªn Vì tôi muốn trao đổi cùng các đồng chí, đồng nghiệp việc định hớng giải c¸c bµi to¸n "tÝnh sè ®o gãc" th«ng qua viÖc ph¸t hiÖn vµ sö dông tÝnh chÊt cña c¸c cặp tam giác nhau, tam giác chứa góc có số đo xác định (1) Tam giác cân có góc có số đo xác định (2) Tam gi¸c vu«ng c©n (3) Tam giác (4) Nửa tam giác Vì thế, gặp bài toán "tính số đo góc" ta chú ý đến quan hệ các góc tam gi¸c liªn hÖ gi÷a c¸c c¹nh vµ gãc cña tam gi¸c, ph¸t hiÖn c¸c cÆp tam gi¸c và nghĩ đến việc tính số đo góc đó thông qua mối liên hệ với các góc tam giác chứa góc có số đo xác định nêu trên Nhng bài to¸n cho viÖc tÝnh sè ®o gãc phøc t¹p h¬n nhiÒu, nã kh«ng cã h×nh nµo lµ tam gi¸c cân, tam giác vuông cân, tam giác đều, nửa tam giác thì sao? Chính điều đó đòi hỏi sáng tạo, từ đó ta có thể đặt câu hỏi: Bạn hãy tạo hình đó đợc không? Với suy nghĩ nh giúp chúng ta vẽ đợc hình phụ thích hợp làm xuất góc đặc biệt, tam giác có chứa góc có số đo xác định để có thể t×m lêi gi¶i cña bµi to¸n Qua kinh nghiệm thân, từ đầu năm học tôi đã su tầm, tuyển chọn số phơng pháp giải toán tính số đo góc thông dụng lớp 7, với cách làm đó năm học qua tôi đã thu đợc nhũng kết định Tuy là vấn đề và khó song học sinh tiếp thu cách tích cực và có hiệu Phần II Giải vấn đề I NhËn xÐt ban ®Çu Bài tập phần "tính số đo góc" đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng nhanh và linh hoạt các định lý đã học, giả thiết bài toán, có lực t lôgic, kỹ ph©n tÝch, tæng hîp, suy tÝnh, dù ®o¸n kÕt qu¶ tèt Những học sinh trung bình trở xuống thờng không tự lực làm đợc loại bài tập này, học sinh khá, giỏi không phải lúc nào vợt qua Bëi v×:  Cha thµnh th¹o viÖc t×m mèi liªn hÖ gi÷a c¸c gãc ph¶i t×m víi c¸c góc đã biết  kỹ biến đổi còn lúng túng  Kh«ng biÕt ph¸t hiÖn mèi liªn hÖ gi÷a gi¶ thiÕt vµ kÕt luËn Thêng kh«ng biÕt b¾t ®Çu tõ ®©u  Không biết dự đoán góc cần tính để có định hớng chứng minh gỡ đầu mèi cÇn gi¶i quyÕt  Không biết phân tích các góc cần tính để vẽ thêm đờng phụ hợp lý nhằm xuất các tam giác nhau, các tam giác đặc biệt để vận dụng vào chøng minh Tãm l¹i, häc sinh yÕu vÒ mÆt: KiÕn thøc, kü n¨ng, ph¬ng ph¸p Để giúp học sinh khỏi bỡ ngỡ và tiến tới có định hớng giải bài toán Tôi đã phân loại các kiến thức đã học theo đặc điểm phơng pháp (1) Vẽ hình đúng, chính xác (2) Dù ®o¸n kÕt qu¶ (3) Ph¸t hiÖn tam gi¸c b¨ng nhau, tam gi¸c c©n, tam gi¸c vu«ng c©n, nöa tam giác đều, tam giác (4) Xem xét, phân tích giả thiết, kết luận để dựng hình hợp lý (5) Xét đủ các khả xảy Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y t¹o mäi ®iÒu kiÖn cho häc sinh lu«n gi÷ vai trß chñ động, sáng tạo, đề các vấn đề giải và bớc thực II Néi dung cô thÓ TÝnh sè ®o gãc th«ng qua viÖc ph¸t hiÖn cÆp tam gi¸c b»ng VÝ dô Cho tam gi¸c MNP cã ^ M < 120 Δ MNP dựng các tam giác MPQ, MNR, PR c¾t NQ t¹i I TÝnh gãc NIP? Ph©n tÝch:  Dùa vµo gi¶ thiÕt cña bµi to¸n ph¸t hiÖn  RMP =  NMQ (c.g.c) (1)  ^ ^1 Từ đó có ngay: R 1= N  ^ Gäi giao ®iÓm cña MN vµ RP lµ K (2) ⇒ K 1= ^ K2  NhËn thÊy: NIP tính đợc biết số đo RIN   Tõ (1) vµ (2) RIN = RMN = 600 Vậy tính đợc: NIP = 1200 Chøng minh XÐt  RMP vµ  NMQ cã: RM = MN (tính chất  đều) MP = MQ (tính chất  đều) RMP = NMQ (2 gãc b»ng cïng céng víi mét gãc) ^ (2 gãc t¬ng øng)   RMP =  NMQ  ^R1= N (c.g.c) K 1= ^ K (đối đỉnh)  RIN = RMN Mµ ^  RIN = 600  NIP = 1200 Mµ PMN = 600 (gt) Ví dụ Cho  ABC có  < 900, các đờng cao BD, CE Trên tia đối BD lấy điểm M cho BM = AC Trên tia đối tia CE lấy điểm N cho CN = AB TÝnh MAN Ph©n tÝch Dùa vµo gi¶ thiÕt cña bµi to¸n ph¸t hiÖn  ABM =  NCA (c.g.c)  ^ ^ ; ^ A 2= M Từ đó  ^A 1= N  Dùa vµo  AEN vu«ng  ¢1 + ¢2 + ¢3 = 900 hay MAN = 900 Chøng minh  ABM vµ  NCA cã: AB = CN XÐt (gt) BM = CA (gt) ABM = ACN (tích chất góc ngoài  , góc góc 900+Â3) ^   ABM =  NCA (c.g.c)  ^ A 1= N (1) ^ Ta cã: MAN = ¢1 + ¢2 + ¢3 = N + ¢2 + ¢3 =90 ^ ) ( v×  AEN vu«ng cã £ = 900 (v× ^A 1= N VËy MAN = 900 VÝ dô Cho  ABC có  = 900 trên BC lấy điểm D cho BD = AB, đờng thẳng qua D vuông góc với BC cắt AC E Đờng thẳng BE cắt đờng thẳng PG góc ngoài đỉnh C  ABC K Tính BAK Ph©n tÝch:  Ph¸t hiÖn  ABE =  BDE (2  vu«ng cã mét cÆp c¹nh b»ng vµ mét c¹nh chung)  B^ =B^  K tia ph©n gi¸c cña gãc ABC   K tia phân giác góc ngoài đỉnh C KÕt hîp GT:  Từ đó nghĩ đến việc sử dụng tính chất đờng phân giác   Dự đoán: CAK = 450 , AK là phân giác góc ngoài đỉnh A  ABC  Do đó: Kẻ KM AB; KN AC; KP AC Chøng minh:  KNC =  KPC ()  KN = KP (1)  KPB =  KMB ()  KP = KM (2)  Tõ (1) vµ (2) KM = KN  ANK =  AMK ()  ¢1 = ¢2 = 450  BAK = 900 + 450 = 1350 (®pcm)  Tính số đo góc thông qua việc dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữua các gãc VÝ dô Cho  ABC cân A, đờng cao CH Biết BAC - BCH = 250 Tính BAC Ph©n tÝch:  Góc BAC tính đợc biết BHC  Do đó: Ta có thể đặt góc BHC = x để tính góc BAC Chøng minh: §Æt BHC = x ^ = 900 - x B XÐt  BHC vu«ng cã: (tÝnh chÊt  ) XÐt  ABC c©n ë A cã: BAC = 1800 - B^  BAC = 1800 - 2(900 - x) = 2x Theo GT: BAC - BHC = 250 ⇔ 2x - x = 250 ⇔ x = 250  BAC = 500 (®pcm) (tÝnh chÊt  c©n) VÝ dô Trªn hai c¹nh AC vµ BC cña  ABC lÊy ®iÓm M, N cho AN = BM = AB Gäi O lµ giao ®iÓm cña BM vµ An biÕt AOM = 600 TÝnh ACB? Ph©n tÝch:  Góc C tính đợc biết CAB = CBA Do đó: để tính số đo góc C  Ta có thể đặt: CAB = x; CBA = y vµ dùa vµo gi¶ thiÕt ¢1 + B^ 1=600 Chøng minh: §Æt CAB = x; CBA = y  ^ = 1800 - (x + y) (1) C ^  x = (1800 - B^ 1) :2= 900 − B XÐt  ABM c©n ë B  XÐt  ABN c©n ë A  Mµ  y= ^ A 900 − x + y = 1800 −( ^A 1+ B^ ):2 ^ ^ 1=600 A +B  Tõ (1) vµ (2) x + y = 1800 - 300 = 1500  ACB = 300 (2) cã: BAC = 1800 - B^  BAC = 1800 - 2(900 - x) = 2x Theo GT: BAC - BHC = 250 ⇔ 2x - x = 250 ⇔ x = 250  BAC = 500 (®pcm) (tÝnh chÊt  c©n) Tính số đo góc phải xét đủ các tập hợp số đo góc có thể xảy VÝ dô Tính góc A  ABC cân A Biết có đờng thẳng qua A chia tam giác đó thành hai tam giác cân Ph©n tÝch: Gọi D là giao điểm đờng thẳng qua A với BC chia  ABC thành tam gi¸c c©n  Do ADB, ADC bï  Tån t¹i mét gãc lín h¬n hoÆc b»ng 900  Chẳng hạn ADC > 900, đó ADB phải là đỉnh  ADB cân  Xét trờng hợp  ACD  Chøng minh: a) Trêng hîp 1:  ACD c©n ë A ^ B ^ Khi đó ADC = C= (v« lý) V× gãc ADC > B^ (tÝnh chÊt gãc ngoµi  )  ACD c©n ë C b) Trêng hîp 2: (h×nh 1) ^ §Æt = BAD = x B  ADC = 2x; DAC = 2x; C ^ =x Ta cã 2x + 2x + x = 1800 (tÝnh chÊt tæng gãc cña  )  x = 36  BAC = 3x = 1080 (1)  ACD c©n ë D c) Trêng hîp 3: (h×nh 2) Khi đó: DA = DB = DC  ^ = CAD = x ^ §Æt C B = BAD = x XÐt  ABC cã: Ĉ  B̂ + BAC = 1800  x + x + 2x = 1800  BAC = 2x = 900 ⇔ x = 450 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: BAC = 1800 hoÆc BAC = 900 VÝ dô Cho  ABC, trùc t©m H, AH = BC TÝnh BAC Ph©n tÝch:  Do bài toán liên quan đến trực tâm tam giác nên ta xét trờng hợp x¶y ra:  Trùc t©m n»m bªn   Trùc t©m n»m bªn ngoµi   Trực tâm trùng với đỉnh   Do đó ta xét  Trêng hîp ¢ < 900  Trêng hîp ¢ > 900  Trờng hợp  = 900 Không xảy vì đó H A Chøng minh: a) Trêng hîp 1: ¢ < 900 Ta cã  vu«ng  AEH =  BEC (c¹nh huyÒn, gãc nhän)  AE = BE   ABE vu«ng c©n t¹i E  BAE = 450 Hay BAC = 450 b) Trêng hîp 2: ¢ > 90 Ta cã:  vu«ng  BEC =  HEA (c¹nh huyÒn, gãc nhän)  HE = BE   BEH vu«ng c©n t¹i E   BHE = 450 BAC = 1350 Tính số đo góc thông qua việc phát tam giác vuông nhờ định lý Pi-tago VÝ dô Cho  ABC vu«ng c©n ë B vµ mét ®iÓm M nµm tam gi¸c BiÕt MA = 1cm; MB = 2cm; MC = 3cm TÝnh gãc AMB Ph©n tÝch:  Dù ®o¸n AMB kho¶ng 1350  AMB = 450 + 900  Mµ 450 lµ gãc cña  vu«ng c©n  Do đó nghĩ đến việc dựng  vuông cân MBK ngoài  BMC Chøng minh: Dùng  MBK vu«ng c©n t¹i B, ë phÝa ngoµi  BMC  BK = BM XÐt  ABK vµ  BMC cã: BM = BK (Gt) AB = BC (Gt) ABK = MBC (cïng phô víi B^ )   ABK =  CBM (c.g.c)  AK = MC = 3cm 2 2 Ta cã: KM = BK = + = (cm) AK2 = 32 = (cm) AM2 = 12 = (cm)  AK2 = KM2 + AM2   AMK vu«ng ë M  AMK = 900 Mµ KMB = 450 (c¸ch dùng) 0  AMB = 45 + 90 = 1350 VÝ dô Cho  ABC c©n ë A, ¢ = 300; BC = 2cm Trªn AC lÊy ®iÓm D cho AD = √ cm TÝnh gãc ADB vµ mét ®iÓm M nµm tam gi¸c BiÕt MA = 1cm; MB = 2cm; MC = 3cm TÝnh gãc AMB Ph©n tÝch:  Dù ®o¸n AMB kho¶ng 1350  AMB = 450 + 900  Mµ 450 lµ gãc cña  vu«ng c©n  Do đó nghĩ đến việc dựng  vuông cân MBK ngoài  BMC Chøng minh: Dùng  MBK vu«ng c©n t¹i B, ë phÝa ngoµi  BMC