BT TINH SO DO GOC

D lµ trung ®iÓm cña AB.[r]

rèn luyện t sáng tạo cho HS qua toán tính số đo góc

I.Cơ sở lý thuyết:

Để giải tốt toán tính số đo góc học sinh tối thiểu phải nắm vững kiến thức sau:

* Trong tam gi¸c:

+ Tỉng sè ®o ba gãc b»ng 1800.

+ Biết hai góc ta xác định đợc góc cịn lại

* Trong tam giác cân: Biết góc ta xác định đợc hai góc cịn lại

* Trong tam giác vuông:

+ Bit mt gúc nhọn, xác định đợc góc nhọn cịn lại

+ Cạnh góc vng cạnh huyền góc đối diện với cạnh góc vng có số đo bng 300.

* Trong tam giác vuông cân: Mỗi gãc nhän cã sè ®o b»ng 450.

* Trong tam giác đều: Mỗi góc có số đo 600.

* Đờng phân giác góc chia góc hai góc có số đo * Hai đờng phân giác hai góc kề bù tạo thành góc có số đo 900. * Hai đờng phân giác hai góc kề phụ tạo thành góc có số đo 450. * Hai góc đối đỉnh

* Tính chất góc so le trong, so le ngồi, đồng vị, hai góc phía,

Trong thực tế, để giải tốn tính số đo góc ta thờng xét góc nằm mối liên hệ với góc hình đặc biệt đ nêu xét góc tã ơng ứng suy kết

Tuy nhiên, đứng trớc tốn khơng phải lúc gặp thuận lợi, đa trờng hợp mà có nhiều địi hỏi ngời đọc phải tạo đợc "điểm sáng bất ngờ" đờng kẻ phụ, hình vẽ phụ… từ mối quan hệ giả thiết, kết luận kiến thức, kỹ đ học trã ớc giải đợc Chúng ta xem “đờng kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” nh “chìa khố “ thực thụ để giải dạng toán

II.Một số dạng toán hớng giải quyết

Dạng 1: Tính số đo góc qua việc phát tam giác đều

Bài toán 1: Tam giác ABC Â =200 có AB = AC, lÊy M AB cho MA=BC

TÝnh gãc AMC ? Nhận xét:

Ta cần tìm góc AMC thuộc AMC có Â = 200 mà B = C= 800 = 200 + 600 (H.1) Ta thấy có liên hệ rõ nét góc 200 góc 600 mặt khác MA = BC

Từ đây, ta thấy yếu tố xuất liên quan đến tam giác Điều giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác

H ớng giải: Cách1:(H1) Vẽ BDC (D,A phía so với BC) Nối Avới D

Ta cã : ABD = ACD (c.c.c) => DAC = DAB =100 (H.2) L¹i cã: AMC = CDA(c.g.c) => MCA = DAC =100

=> AMC = 1800 - ( ACM + MAC ) = 1800 - (200 + 100) = 1500 Cách 2:(H.2) Vẽ ACD (M, D khác phía so với AC) Có: BAC = ADM (c.g.c) => AMD = 800 (1)

=> MDC cân D, MDC = 400 => DMC = 700 (2) - Từ hớng giải thử giải toán theo phơng ¸n sau:

* Vẽ ACD (C, D khác phía so với AB) * Vẽ ABD (B, D khác phía so với AC) * Vẽ AMD (D, C khác phía so với AB)

Bài toán 2: Cho ABC cân A; A = 400 Đờng cao AH, điểm E, F theo thứ tự thuộc đoạn thẳng AH, AC

cho EBA = FBC = 300 TÝnh gãc AEF =?

H íng gi¶i:

Vẽ ABD ( B, D khác phía so với AC ) (H.3)

Tam giác ABC cân A = 400 (gt) (H.3) => ABC = ACB = 700 mµ FBC = 300 (gt)

=> ABF = 400, BAF = 400 => AFB cân F. => AF = BF mặt khác AD = BD, FD chung => AFD = BFD(c.c.c) => ADF = BDF = 60

0 =30

0 Do AH đờng cao tam giác cân BAC => BAE = 200 = FAD = 600 - 400, AB = AD (vì ABD đều) ABE = 300 (gt)

=> ABE = ADF (g.c.g) => AE = AF => EAF c©n A mà EAF = 200 => AEF = 180

0 −200 =80

0 .

Nhận xét: Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác xuất phát từ đâu?

Phải xuất phát từ giả thiết 400 = 600 - 200 mối liên hệ FA = FB đợc suy từ ABF cân F Với hớng suy nghĩ giải tốn theo cách sau:

* Vẽ AFD (H.4) (F, D khác phía so với AB)

A

M

B C

D

A

M

B C

D

Lập luận t ơng tự ta có kết

B

C

D F

E A

* Vẽ BFD (H.5) (F, D khác phía so với AB)

(H.4) (H.5)

Bài toán 3: (Trích toán nâng cao lớp - Vũ Hữu Bình - NXBGD 2003)

Cho ABC, B = C = 450 Điểm E nằm tam giác cho: EAC = ECA = 150 TÝnh gãc BEA ?

Nhận xét: Xuất phát từ 150 750 đ biết.Ta có: 60ã 0=750 -150 EA = EC AEC cân E Với yếu tố giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ tam giác

H íng gi¶i:

Hớng1: (H.6) Vẽ AEI (I, B phía so với AE) Ta có: AEC = AIB (c.g.c)

=> IB = CE mà EA = EC (AEI ) (H.6) =>IB = EI => EIB cân I

=> EIB = 3600 - (600 + 1500) = 1500 => IEB = 150.

=> BEA = BEI + IEA = 750

*Chóng ta cịng giải toán theo cách sau:

Vẽ ACD (D, E khác phía so với AC) (H.7) Bạn đọc thử trình bày lời giải

(H.7)

*Mét sè bµi toán tơng tự:

Bài toán 3.1: Cho ABC, Â = 1V, AB = 2AC Kẻ tia Cx // AB KỴ AD cho CAD = 150, D Cx (B, D cïng phÝa so víi AC). TÝnh gãc ADB = ?

Hớng dẫn: Lời giải đợc suy từ tốn

Bµi toán 3.2: Cho ABC; Â = 1V, B = 750, BH = 2AC, H  AB (B, H kh¸c phÝa so víi AC) TÝnh: HCA = ?

Hớng dẫn: Sử dụng kết toán 3.1

Bài toán ta phát biểu dới dạng tổng quát nh sau: Bài toán 3.3.1:

Cho ABC (AB = AC) A =  (600 <  < 1200)

§iĨm M n»m tam gi¸c cho MAC = MCA = α −60

2 TÝnh: BMC = ?

Bµi toán 3.3.2: Cho ABC, AB = AC, Â = (00 < < 600) Điểm M nằm tam gi¸c cho MAC = MCA = 60

0 −α

2 (M, B kh¸c phÝa so với AC) Tính: BMA = ?

Bài toán 3.3.3: Cho ABC, AB = AC, ¢ =  (1200 < < 1800) Điểm M nằm tam giác cho MAC = MCA = α −60

0

2 , (M, A kh¸c phÝa so víi BC) Tính BMA = ?

Bài toán 4:

Cho ABC, A = 800, AB = AC M lµ ®iĨm n»m tam gi¸c cho MBC = 100, MCB =300 TÝnh: AMB

NhËn xÐt:

Xuất phát từ giả thiết AB = AC liên hệ góc100 với 500 ta có 500 + 100 =600 Từ ta nghĩ đến giải pháp dựng tam giác H ớng giải:

Cách 1: (H.8) Vẽ BDC (A, D phía so với BC) Dễ thấy BAD = CAD (c.g.c) DAB = CMB (g.c.g) (H.8) => BA = BM => ABM cân B, ABM = 500 -100 = 400 => AMB = 700.

Cách 2: (H.9) Vẽ ABD (D, A khác phía so với BC) (H.9) => DAC cân A Từ có hớng giải tơng tự

Bài toán 5: Cho ABC, ( B = C = 700) KỴ tia Bx cho CBx = 100,

trên tia Bx lấy điểm D cho BD = BA (A, D kh¸c phÝa so víi BC) TÝnh: BCD = ?

Nhận xét: Ta thấy xuất góc 700 100 mà 600 = 700 - 100 đồng thời với BA = BD Điều làm nảy sinh suy nghĩ vẽ hình phụ

tam giác

H ớng giải: (H.10) Cách 1: (H.10) Vẽ BCI (I, A phía so với BC )

Ta thÊy BIA = CIA (c.g.c) vµ BIA = BCD(c.g.c)

H ớng giải t ơng tự

C

A B

E I

C

A

B

E

D

B

C

F E

A D

H B C

F E

A

D

H

D A

M

C B

A

M

C B

D

=>BCD = BIA = 1800 - (100 + BAC

2 ) =1500

Cách 2: (H.11) Vẽ ABE (E, B khác phía với so AC) (H.11) Từ ta có cách giải quyt tng t

Dạng 2: Tính số đo góc qua việc phát tam giác vuông có góc 300.

Bài toán 6: Cho ABC, C = 300 §êng cao AH, AH =

2 BC D trung điểm AB Tính ACD = ?

H íng gi¶i: (H.12)

XÐt AHC cã C = 300, AHC = 1V => AH =

2 AC (H.12) mµ AH =

2 BC (gt) => AC = BC

=> ACB cân C => CD phân giác => ACD = 150

NhËn xÐt: Suy nghÜ chøng minh ACB c©n xuÊt phát từ đâu? Phải xuất phát từ AHC vuông cã C = 300 vµ AH =

2 BC Thực hai yếu tố đ giúp ta nghĩ đến tam giácã vng có góc 300.

Với ý tởng cách nghĩ này, cã thĨ vÏ h×nh phơ theo phương án sau:

Vẽ tam giác vuông BCI, BIC = 1V, C = 300 (I, A khác phía so với BC) Bài toán đợc giảI tơng tự.

Bài toán 7: Cho ABC, AH BC, BD = DC (H,D thuộc đoạn BC)

cho BAH = HAD = DAC (*) TÝnh: ABH =?

H íng gi¶i:

VÏ DI  AC I  AC (H.13) DÔ thÊy ABH = ADH (g.c.g) => BH = HD (1)

AHD = AID (C¹nh hun - gãc nhän) => HD = ID (2) (H.13) Tõ (1) vµ (2) suy ID= HD =

2 BD =

2 DC => DIC cã ID=

2 DC mà DIC=1v => C=300 => HAC=600 kết hợp víi (*) => ABH = 600

NhËn xÐt: XuÊt ph¸t tõ BAH = HAD => BH = HD =

2 BD = DC

Đến ta thấy phần yếu tố tam giác vng có góc 300 xuất Từ dự đốn C = 300 Nảy sinh suy nghĩ vẽ DI  AC Nếu chứng minh đợc DI =

2 DC tốn đợc giải Với suy nghĩ tơng tự ta có cách vẽ hình phụ nh sau: * Lấy E đối xứng với A qua H (H.14) Ta chứng minh đợc

AEC => AHC nửa tam giác từ tốn (H.14) đợc giải quyt

Bài toán 8:

Cho ABC Vẽ ABD, ACE (E, D nằm tam giác ABC). H trung điểm BC, I trọng tâm ABD Tính: IEH = ? H ớng giải:

Lấy F đối xứng với E qua H (H.15)

Ta cã: BHF = CHE (c.g.c) => BF = CE

Ta có IA = IB AIB = 1200 (vì ABD đều)

IAE = 300 + BAC + 600 = 900 + BAC mµ IBF = 3600 - (IBA + ABC + HBF) = 3600 - (300 + ABC + ECH ) (H.15)

= 3600 - (300 + ABC + ACB + 600)

= 3600 - (900 + 1800 - BAC) = 900 + BAC => IBF = IAE (c.g.c) =>IF = IE

=> FIE cân I mà AIB = 1200

=>FIE = 1200 => IEH = 300 F Với cách giải này, nhiều em đ phát đề xuất cách vẽ đã ờng phụ nh sau:

* Lấy K đối xứng với I qua H (H.17) * Lấy M đối xứng với B qua I (H.18)

C

A

D

B I

H

B C

I

D

D

A

B C

E

A

B

D

C

H

A

B

D

C

H

I

A

B

D

H

I

E

C

(H.17) (H.18) *Bài tập dạng:

Cho ABC vẽ ABD, ACE (E, D nằm tam giác) I, P lần lợt trung điểm AD CE Điểm F nằm BC cho BF = 3.FC Tính: FPI = ?

Dạng 3: Tính số đo góc qua việc phát tam giác vuông cân

Bài toán 9:Cho ABC, M trung điểm BC, BAM = 300, MAC = 150 TÝnh: BCA = ?

Nhận xét: Khi đọc kỹ bàI toán ta thấy BAM = 300, MAC = 150, BM = MC quan sát hình vẽ nhận dạng tốn ta biết đ ợc nó có nguồn gốc từ tốn mặt khác BAC = 450

điều giúp ta nghĩ đến dựng tam vuông giác cân

H íng gi¶i:

Cách 1: (H.19) Hạ CK  AB (Dễ chứng minh đợc tia CB nằm

hai tia CA vµ CK) Ta cã AKC vuông cân K (vì BAC = 450)

=> KA = KC Vẽ ASC vuông cân S (K, S khác phía so với AC) Do BKC vuông K => KM =

2 BC = MC=> KMC cân M (H.19) DÔ thÊy KAM = CSM (c.g.c) =>CSM = 300 => ASM = 600 vµ

SAM = 600 => ASM => AS = SM = AK => AKM cân A => MKC = MCK = 900 - 750 = 150 => BCA = 450 - 150 = 300.

Cách 2:(H.20) Lấy D đối xứng với B qua AM => BAD cân A mà BAM = 300 (gt) => BAD = 600 => ABD Ta có DC // MI

(V× MB = MC, IB = ID),(BD  AM = I) mµ MI  BD => CDBD (H.20) Mặt khác xét: ADC có CAD = 150(gt), ADC = 600 + 900 = 1500

=> DCA = 150 => ADC cân D => AD = CD mà AD = BD (ADB đều).

VËy BDC vuông cân D => DCB = 450=>BCA = 450 - DCA = 450 - 150 = 300. Bài toán 10:

Cho ABC, A = 1V, AC = 3AB D điểm thuộc đoạn AC cho AD = 2DC TÝnh: ADB + ACB = ? H íng gi¶i: (H.21)

Kẻ EF  AC cho EA = ED, E AD với EF = AD, (B, F khác phía so với AC ) Ta có BAD = DEF (c g.c) (* ) => BD = FD , BDF = 1v => BDF vuông cân D => DFB = 45 0 (1) Trên tia đối tia AB lấy I cho

AI = 2AB DÔ thÊy IBF = ACB ( c.g.c) => ACB = IBF (H.21) = EFB (2)

Tõ (*), (1) vµ (2) ta cã ADB + ACB = BFD = 450

Nhận xét: Sau vẽ hình ta dự đốn ADB + ACB = 450 lúc ta nghĩ đến việc tạo tam giác vuông cân

để tổng số đo hai góc cần tìm số đo góc 450 ý nghĩ dự đoán ADB + ACB = 450 xuất phát từ đâu? Phải xuất phát từ BAE vuông cân ( E trung điểm AD ) Khi phát tổng hai góc 450 chúng ta giải tốn theo nhiều cách giải khác Đây toán hay, mà đến theo tơi đợc biết có khơng dới 20 cách giải khác Bởi giải này, cần tổ chức cho học sinh tìm tịi, sáng tạo nhiều đ ờng kẻ phụ mới, độc đáo nhằm tạo hứng thú học tập nghiên cứu khoa học em

Bµi toán 11: Cho ABC vuông cân A, M điểm đoạn AC (M khác A, C) Kẻ AF BM, F BC E là điểm thuộc đoạn BF cho EF = FC kẻ EI // BM, I  BA TÝnh gãc AIM = ?

H íng gi¶i:

Gäi K giao điểm IE AC (H.22) Xét KEC cã FA // EK, EF = FC ( gt )

=> KA = AC vµ K = FAC Ta cã ABM = AKI (g.c.g)

( v× FAC = ABM ) => AM = AI => AIM vuông cân A (H.22) => AIM = 450

NhËn xÐt:

Đờng kẻ phụ KI KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai nguyên nhân làm nảy sinh đờng kẻ phụ + Một IE // AF

+ Hai lµ EF = FC

Từ làm xuất ý nghĩ chứng minh ABM = AKI

toán đợc giải Căn vào yếu tố giả thiết đ cho toán ta (H.23) ó

có cách vẽ hình phụ kh¸c nh sau: M

* Trên tia đối tia AB lấy điểm H cho AH = AM (H.23)

D A

B

I

M

C

B

A

E

D

C

F

I

A

K

B

E F

C M

I Ta có h ớng giải t ơng tự

C E

A

D

B I

H M

D

M

A

C

E

A

D

B

I

H

K

A B

E

I F

C

A S

B

C K

Từ ta có cách giải tơng tự

II.D¹ng 4: Tính số đo góc qua việc phát tam giác cân biết góc. Bài toán 12:

Cho ABC, A = 800, AC > AB D điểm thuộc đoạn AC cho DC = AB; M, N theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa AD

vµ BC TÝnh gãc CMN ? H íng gi¶i :

Trên tia đối tia AC lấy điểm K cho AK = DC Nối K với B ta có KAB cân A.( AB = DC) (H.24) => BKA =

2 BAC =

2 800 = 400 ( tÝnh chÊt gãc ) Mặt khác ta có MA=MD => MK =MC, BN =NC => MN lµ

đờng trung bình KBC => NMC = BKC = 400 (H.24)

Nhận xét: Vì đâu ta có đờng kẻ phụ AK ?

Thứ nhất: Ta có KAB cân góc BAC biết Nh góc KAB ta tìm đợc Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC Thứ ba: Do NB = NC

Với lý thứ hai ba ta có đợc góc cần tìm góc BKA Vậy tốn đợc giải Sau nêu lý đó, ta có đờng kẻ phụ khác nh sau:

* Lấy K đối xứng với A qua N * Lấy K trung điểm BD * Lấy K đối xứng với M qua B * Lấy K đối xứng với D qua N

Bµi toán ta dới dạng tổng quát nh sau:

Giữ nguyên gi thiết thay à ¢ =  ( 00 <  < 1800 )

Từ toán 13 vấn đề đặt ta “bẽ gãy” đoạn thẳng AC thành hai đoạn thẳng AD DC tốn lúc có giải đợc hay khơng ? Thật vây, ta nghiên cứu tốn

Bµi toán 13:

Cho ABC ADC chung cạnh AC (B, D nằm khác phía so với AC) M,N theo thứ tự trung điểm AD BC AB cắt DC E BEC = , ( 00 <  < 180 0 ) MN cắt DC I Tính: NIC =?

H íng gi¶i:

Lấy K đối xứng với A qua N (H.25) Dễ thấy BAN = CKN ( c.g.c) => CK = AB = DC =

DCK cân C mà MA = MD vµ NA = NK =>MN // DK => NI // DK => NIC = KDC =

2 (1800- DCK) =

2  (H.25) (v× DCK = DCB + NCK = DCB + CBA = 1800 -  )

VËy NIC =

2 

NhËn xÐt: Nh vËy gi¶i toán ta biết xuất phát từ đâu, bắt nguồn từ toán việc giải dễ dàng Ta thấy 13 trờng hợp riêng 14 Thật A E M I ta trở toán 13

Quan sát, nhận xét kỹ mối quan hệ yếu tố toán 13 ta có cách vẽ hình phụ để giải toán

cách khác nh sau:

* Lấy F đối xứng với B qua M * Lấy P đối xứng với D qua N * Lấy Q đối xứng với C qua M * Lấy R trung điểm BD * Lấy S trung điểm AC

*Mét sè toán tham khảo.

Ta cú th ỏp dng cách giải tốn từ ví dụ để giải tốn sau

Bµi 1: Cho ABC, A = 600 Các phân giác AD, CE cắt t¹i F, E  AB, D AC TÝnh: EDB = ?

Bµi 2: Cho ABC, C = 1000, CA = CB, điểm M nằm tam giác cho CAM = 100, CBM = 200 Tính: AMC = ?

Bài 3: Cho ABC cân C, C = 800, M nằm tam giác cho MAB = 100, MBA = 200 TÝnh: AMC =?

Bµi 4:

Cho ABC, AB = AC, A = , trung tuyến CM Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BA biết BCM =  Tính: BDC = ?

Đều có h ớng giải t ¬ng tù

C N

B

K

A

M D

B

K

N

C

D

I

E

A

M

B

K

N

C

D

I

E

A

M

B

K

N C

D I

E

A M

H