Cđ9 bằng nhau của tam giác 1

Chuyên đề: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC A Các dấu hiệu nhận biết hai tam giác Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng góc tương ứng A' A B C B' C'  B  '; C  C  '   A  A '; B ABC A ' B ' C '     AB  A ' B '; BC B ' C '; AC  A ' C ' Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh A A' - Nếu ABC A ' B ' C ' , có: AB  A ' B '   AC  A ' C '  ABC A ' B ' C ' BC B ' C '   ccc  B C B' C' Trường hợp cạnh – góc – cạnh - Nếu ABC A ' B ' C ' , có: AB  A ' B '    B  ' B   ABC A ' B ' C ' BC B ' C '  A A'  cgc  B C B' C' *) Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Trường hợp góc – cạnh - góc A A' - Nếu ABC A ' B ' C ' , có:  B  '  B  BC B ' C '  ABC A ' B ' C '   C  ' C   gcg  B C B' C' Các trường hợp tam giác vng * Ngồi trường hợp biết hai tam giác, cịn có trường hợp theo cạnh huyền – góc nhọn; hai cạnh góc vng; trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vng * Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền góc vng tam giác vng hai tam giác vng B Bài tập Bài 1: Cho ABC Gọi M , N trung A Q điểm AC , AB Trên tia đối tia MB, MC lấy điểm P Q P M N cho MP MB NQ NC a Chứng minh AP  AQ C B b Chứng minh P, A, Q thẳng hàng Lời giải a) Ta có AQ  AP BC  b Ta chứng minh QAP 180  ; AQN BCN  A  B   QAP  AMP CMP  A1 C 1800 Bài 2: Cho ABC có A 90 BC 2 AB B  Đường phân giác B cắt cạnh AC D Gọi E trung điểm BC a Chứng minh DB phân giác ADE b Chứng minh DB DC A   c Tính góc B, C ABC Lời giải E 2 D C 0    b Theo câu a  E1  A 90  E2 90  BED CED(cgc)  DB DC  B   B 2   B C    c Ta có  2 B  2C   B      B 60 ; C 30  C  90  B  Bài 3: Cho ABC , D trung điểm cạnh AB , A đường thẳng kẻ qua D song song với cạnh BC cắt AC E , đường thẳng kẻ qua E song song với AB cắt BC F Chứng D G E minh a AD EF F B b AE EC ; BF FC C 1 DE  BC ; EF  AB 2 c Lời giải a) BDE EFB ( gcg )  BD FE    AD FE ma : AD BD  b Trên tia đối tia DE lấy điểm G cho DE DG  GDB EDA  GB  AE    AE EC BGE ECB ( gcg )  GB EC  Tương tự ta có: BF FC 1 DE  GE  BC ; FE  AB 2 c) Bài 4: Cho ABC , A 900 , AB  AC B Trên cạnh AB AC tương ứng lấy hai điểm D N D E cho AD  AE Từ A D kẻ E đường vng góc với BE cắt BC M N M Tia ND cắt tia CA I Chứng minh I rằng: A E C a) A trung điểm CI b) CM MN Lời giải a ADI AEB ( gcg )  AI  AB    AI  AC AB  AC  AM / / NI    M trung điểm NC b AI  AC   AE  NM AE / / NM   (2 )  NM MC AE  MC  Hoặc: Kẻ Bài 5: Cho ABC , qua A vẽ đường thẳng xy / / BC A E Từ điểm M cạnh BC vẽ đường D thẳng song song với AB, AC chúng cắt O theo thứ tự D E Chứng minh rằng: a ABC MDE b AM , BD, CE đồng quy B Lời giải  ME / / AC  AEM  EAC 180      C E   EAC  xy / / BC  C 1800  a)  Tương tự: B D - ABD MDB( gcg )  AD BM (1) - AME MAC ( gcg )  MC EA(2)  ED BC  EMD ABC ( gcg )  AO OM AM  BD O  AOD MOB   OB OD b Gọi Vậy AM BD cắt trung điểm O AM Tương tự EC AM cắt trung điểm O AM Vậy AM , BD, CE đồng quy M C Bài 6: Cho ABC Trên cạnh BC lấy điêm E A F cho BE CF Qua E F kẻ G đường thẳng song song với AB AC G H Chứng minh EG  FH  AB H I Lời giải E B C F Qua E kẻ Ex / / AC cắt AB I - AIG EIG ( gcg )  AI EG (1) - BIE FHC ( gcg )  BI FH (2)  đpcm Bài 7: Cho góc xOy khác góc bẹt Trên Ox lấy ba G C điểm A, B, C cho OA  AB BC Qua B A, B, C kẻ ba đường thẳng song song với H E cắt Oy D, E , F Chứng minh A OD DE EF D O Lời giải - Qua E kẻ Ez / /Ox, Ez  CF G - Qua D kẻ đường thẳng Dt / /Ox cắt BE H      Có G1 C1 B1 H1  A1    - Tương tự: E1 D1 O - CGB EBG ( gcg )  BC EG - Tương tự: HD BA mà OA  AB BC  EG HD  AO - Xét tam giác suy đpcm F Bài 8: Cho ABC , AB  AC Từ trung điểm M F BC vẽ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia phân P C giác H , cắt AB, AC E , F H B M 2 Chứng minh rằng: E Q a BE CF b AE  AB  AC AB  AC ; BE  2 A   B  C  BME  c) Lời giải Kẻ CP  EF P; BQ  FE Q    - Tam giác AEF có AH đường cao, phân giác nên cân A  F E2 E1       - CPE : P Q; F E1  C1 B1 (1) - CPM BQM  CP BQ(2)  CFP BEQ ( gcg )  BE CF AC  AF  CF  AC  AB ; AB  AC  AE  EB  AF  CF 2 BE   AC  AB 2 AF  AE  AB  AE  EB  b)  BE  c AB  AC   BME    B   F C  F   CMF   B   BME   C   C  BME  (dpcm)  2      F1 E2 B2  BME E N J A Bài 9:D  Cho ABC , A  90 Trên nửa mặt phẳng bờ AB I Ax  AB, D  Ax : AD  AB C O B M S C P AB không chứa điểm C kẻ Ax  AB, D  Ax : AD  AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC lấy B, điểm kẻ Ay  AC , E  Ay : AE  AC a Chứng minh BE CD b BE  CD c Gọi M , N trung điểm CD, BE Chứng minh AM  AN d Gọi S trung điểm BC Chứng AS  DE ; AS  DE minh Lời giải    a) BE CD  ABE ACD ( AD  AB; AE  AC ; DAC BAE 90  BAC ) b) Gọi O giao điểm BE CD ; I giao điểm AC BE  E   A O  900     AEI IOC : I I ; C BE  CD  IOC 900  IOC IAE 1 c) AM  AN  AEN ACM  NE MC 1 NE  BE; MC  DC ; BE CD 2 Từ  NE MC  dpcm AS  DE d Để ta tạo đoạn thẳng DE chứng minh AS nửa đoạn thẳng vừa tạo  AS  AD +) Trên tia đối tia SA lấy điểm P cho S trung điểm AP -  AC BD ASC BSP (cgc)    AC / / BP     SAC P ABP  BAC  1800     DAE  BAC 1800      ABP DAE  ABP DAE  BAP D   DAJ  BAP 900    0     D1  DAJ 90  J 90   - ma : D1 BAP  C BÀI TẬP TUYỂN CHỌN TRONG CÁC ĐỀ THI HSG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A với A AB   AC BC 15cm Tia phân giác C D DE  BC  E  BC  Cắt AB D Kẻ B a) Chứng minh AC CE F C E M b) Tính độ dài AC c) Trên tia AB lấy điểm F cho AF FC y K x Kẻ tia Fx  FA cắt tia DE M  Tính DCM Lời giải a) Chứng minh ACD ECD (cạnh huyền – góc nhọn)  AC CE (hai cạnh tương ứng) AB AB AC AB AC AB  AC BC 152  ( gt )        9 AC 4 16  16 25 25 b) AB 9.9 81  AB 9cm AC 9.16 144  AC 12cm c)Kẻ Cy  Fx cắt K  Ta thấy AC  AF FK CK CE ACK 90 Chứng minh CEM CKM (cạnh huyền – cạnh góc vng)’    ECM KCM (hai góc tương ứng) 1    DCM DCE  ECM  ACK  900 450 2 Mà Bài 2:  Cho tam giác ABC có A  90 Vẽ phía M ngồi tam giác hai đoạn thẳng AD P vng góc AB, AE vng góc N D AC E A a) Chứng minh DC BE; DC  BE b) Gọi N trung điểm DE Trên tia B đối tia NA lấy điểm M cho NA NM H C Chứng minh AB ME ; ABC EMA c) Chứng minh MA  BC Lời giải a) Xét ADC BAF ta có:     DA BC ( gt ); AE  AC ( gt ); DAC BAE 900  BAC   DAC BAE (c.g.c )  DC BE     Xét AIE TIC có: I1 I (đối đỉnh); E1 C1  DAC BAE     CTI  900  DC  BE  EAI CTI b) Ta có:  MEN  MNE AND (c.g c)  D , AD ME mà AD  AB ( gt )  AB ME (dpcm)(1)     Vì D1 MEN  DA / / ME  DAE  AEM 180 (trong phía)     Mà BAC  DAE 180  BAC  AEM (2) Ta lại có: AC  AE ( gt )(3) Từ  1 ,   ,  3  ABC EMA(dfcm) c) Kéo dài MA cắt BC H Từ E hạ EP  MH Xét AHC EPA có: 10