Cđ9 bằng nhau của tam giác

Chuyên đề: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC A Các dấu hiệu nhận biết hai tam giác Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng góc tương ứng A' A B C B' C'  B  '; C  C  '  A  A '; B ABC A ' B ' C '    AB  A ' B '; BC B ' C '; AC  A ' C ' Trường hợp cạnh – cạnh – cạnh A A' - Nếu ABC A ' B ' C ' , có: AB  A ' B '   AC  A ' C '  ABC A ' B ' C ' BC B ' C '   ccc  B C B' C' Trường hợp cạnh – góc – cạnh - Nếu ABC A ' B ' C ' , có: AB  A ' B '    B  ' B   ABC A ' B ' C ' BC B ' C '  A A'  cgc  B C B' C' *) Hệ quả: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Trường hợp góc – cạnh - góc A A' - Nếu ABC A ' B ' C ' , có:  B  '  B  BC B ' C '  ABC A ' B ' C '   C  ' C   gcg  B Các trường hợp tam giác vuông C B' C' * Ngoài trường hợp biết hai tam giác, cịn có trường hợp theo cạnh huyền – góc nhọn; hai cạnh góc vng; trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vng * Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền góc vng tam giác vng hai tam giác vng B Bài tập Bài 1: Cho ABC Gọi M , N trung điểm A Q AC , AB Trên tia đối tia MB, MC lần P lượt lấy điểm P Q cho MP MB NQ NC M N a Chứng minh AP  AQ C B b Chứng minh P, A, Q thẳng hàng Lời giải a) Ta có AQ  AP BC  b Ta chứng minh QAP 180  ; AQN BCN  A  B   QAP  AMP CMP  A1 C 1800 Bài 2:  Cho ABC có A 90 BC 2 AB Đường B  phân giác B cắt cạnh AC D Gọi E trung điểm BC a Chứng minh DB phân giác ADE b Chứng minh DB DC A   c Tính góc B, C ABC D 0    b Theo câu a  E1  A 90  E2 90  BED CED (cgc )  DB DC  2 B  2C   B      B 60 ; C 30 B  C  900   2 Lời giải  B   B 2    C   B  c Ta có E C Bài 3: Cho ABC , D trung điểm cạnh AB , đường thẳng kẻ qua D song song với cạnh A BC cắt AC E , đường thẳng kẻ qua E song song với AB cắt BC F Chứng minh D G a AD EF E b AE EC ; BF FC 1 DE  BC ; EF  AB 2 c F B C Lời giải BDE EFB ( gcg )  a) BD FE    AD FE ma : AD BD  b Trên tia đối tia DE lấy điểm G cho DE DG  GDB EDA  GB  AE    AE EC BGE ECB ( gcg )  GB EC  Tương tự ta có: BF FC 1 DE  GE  BC ; FE  AB 2 c) Bài 4:  Cho ABC , A 90 , AB  AC Trên cạnh B AB AC tương ứng lấy hai điểm D E cho AD  AE Từ A D kẻ đường N D vng góc với BE cắt BC M N Tia E ND cắt tia CA I Chứng minh rằng: M a) A trung điểm CI I b) CM MN Lời giải ADI AEB ( gcg )  a AI  AB    AI  AC AB  AC  A E C AM / / NI    M trung điểm NC b AI  AC   AE NM AE / / NM   (2 )  NM MC AE  MC  Hoặc: Kẻ Bài 5: Cho ABC , qua A vẽ đường thẳng xy / / BC A E D Từ điểm M cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt theo thứ tự D E Chứng minh rằng: O a ABC MDE b AM , BD, CE đồng quy C M B Lời giải  ME / / AC  AEM  EAC 1800      C E   EAC  xy / / BC  C 1800  a)  D  Tương tự: B - ABD MDB( gcg )  AD BM (1) - AME MAC ( gcg )  MC EA(2)  ED BC  EMD ABC ( gcg )  AO OM AM  BD O  AOD MOB   OB OD b Gọi Vậy AM BD cắt trung điểm O AM Tương tự EC AM cắt trung điểm O AM Vậy AM , BD, CE đồng quy Bài 6: Cho ABC Trên cạnh BC lấy điêm E F A cho BE CF Qua E F kẻ đường G thẳng song song với AB AC G H Chứng minh EG  FH  AB H I B E F C Lời giải Qua E kẻ Ex / / AC cắt AB I - AIG EIG ( gcg )  AI EG (1) - BIE FHC ( gcg )  BI FH (2)  đpcm Bài 7: Cho góc xOy khác góc bẹt Trên Ox lấy ba điểm A, B, C cho OA  AB BC Qua A, B, C kẻ ba đường thẳng song song với cắt Oy G C B D, E , F Chứng minh H E OD DE EF A D O Lời giải - Qua E kẻ Ez / / Ox, Ez  CF G - Qua D kẻ đường thẳng Dt / / Ox cắt BE H      Có G1 C1 B1 H1  A1    - Tương tự: E1 D1 O - CGB EBG ( gcg )  BC EG - Tương tự: HD BA mà OA  AB BC  EG HD  AO - Xét tam giác suy đpcm F Bài 8: Cho ABC , AB  AC Từ trung điểm M F BC vẽ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia phân giác C H , cắt AB, AC E , F Chứng minh rằng: P H BE CF a B M E Q AB  AC AB  AC AE  ; BE  2 b   B  C  BME  c) A Lời giải Kẻ CP  EF P; BQ  FE Q - Tam giác - có AH đường cao, phân giác nên cân  E  E  A  F  Q  ;F  E   C  B  (1) CPE : P 1 CPM BQM  CP BQ (2)  CFP BEQ ( gcg )  BE CF b) AC  AF  CF  AC  AB ; AB  AC  AE  EB  AF  CF 2 BE   AC  AB 2 AF  AE  AB  AE  EB   BE  c AEF AB  AC   BME    B   F C  F   CMF   B   BME   C   C  BME  (dpcm)  2     F  E  B  BME  2 Bài 9: Cho AB ABC , A  900 không chứa Ax  AB, D  Ax : AD  AB phẳng bờ AC E Trên nửa mặt phẳng bờ C điểm kẻ Trên nửa mặt B điểm , kẻ lấy Ay  AC , E  Ay : AE  AC N J a b Chứng minh BE CD A BE  CD M,N c Gọi CD, BE d Gọi D trung điểm Chứng minh S I O AM  AN trung điểm BC M B Lời giải    BE CD  ABE ACD ( AD  AB; AE  AC; DAC BAE 90  BAC ) b) Gọi O giao điểm BE CD I ; S C P Chứng minh AS  DE ; AS  DE a) giao điểm AC BE  E   A O  900     AEI IOC : I I ; C BE  CD  IOC 900  IOC IAE 1 c) AM  AN  AEN ACM  NE MC 1 NE  BE ; MC  DC ; BE CD 2 Từ d Để tạo  NE MC  dpcm AS  DE ta tạo đoạn thẳng +) Trên tia đối tia - SA lấy điểm P DE cho   DAJ  BAP 900   0     D1  DAJ 90  J 90  BAP  ma : D  S AS nửa đoạn thẳng vừa trung điểm ABP  BAC  1800     DAE  BAC 1800   AC BD ASC BSP (cgc)    AC / / BP    P  SAC     ABP DAE  ABP DAE  BAP D - chứng minh  AS  AD AP C BÀI TẬP TUYỂN CHỌN TRONG CÁC ĐỀ THI HSG Bài 1: ABC Cho tam giác BC 15cm Cắt AB Tia phân giác D Kẻ a) Chứng minh Kẻ tia với A D  C DE  BC  E  BC  E F AC CE M y AB Fx  FA lấy điểm cắt tia F DE cho M AF FC Tính  DCM Lời giải a) Chứng minh  AC CE C B AC b) Tính độ dài c) Trên tia vuông A AB  AC ACD ECD (cạnh huyền – góc nhọn) (hai cạnh tương ứng) K x b) AB AB AC AB AC AB  AC BC 152  ( gt )        9 AC 4 16  16 25 25 AB 9.9 81  AB 9cm A AC 9.16 144  AC 12cm D c) Kẻ Cy  Fx Ta thấy cắt AC  AF FK CK CE Chứng minh    ECM KCM Mà K CEM CKM C B ACK 900 E F M (cạnh huyền – cạnh góc vng) y (hai góc tương ứng) K x 1    DCM DCE  ECM  ACK  900 450 2 Bài 2: Cho tam giác ABC M Vẽ phía AD ngồi tam giác hai đoạn thẳng vng góc AB, AE có A  900 vng góc E P AC N D A DC BE ; DC  BE a) Chứng minh DE trung điểm Trên tia đối NA NA NM M tia lấy điểm cho b) Gọi N B AB ME ; ABC EMA Chứng minh 10 H C