Cơ bản toán 8 chương 4

CHƯƠNG ĐỊNH LÍ THALÈS Bài ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC I LÝ THUYẾT 1) Đoạn thẳng tỉ lệ Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng Hình A B AB C  CD Nếu chọn độ dài đoạn Thì tỉ số Hình Kết luận:  Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo Ví dụ 2: Cho bốn đoạn thẳng AB 2cm, CD 4cm, EF 5cm, MN 10cm D AB EF     Khi ta có hai tỉ số CD MN 10 Thấy hai tỉ số AB EF  Nên tạo thành tỉ lệ thức CD MN Kết luận:  Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A ' B ' C ' D ' có tỉ lệ AB A ' B ' AB CD   thức CD C ' D ' hay A ' B ' C ' D ' 2) Định lí Talès tam giác Ví dụ 3: Cho ΔABCABC , từ điểm M  AB vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC N Như Hình Khi tính tỉ số sau AM a) AB AM b) MB AN AC A AN NC MB NC c) AB AC Giải AM AN AM AN     AB AC a) Ta AB AC AM AN AM AN 2 2   MB NC MB NC b) Ta MB NC MB NC     AB AC c) Ta AB AC M N B C Hình Kết luận:  Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ ( Định lí Talès thuận)  Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại ( Định lí Talès đảo) Ví dụ 4: Cho ΔABCABC DE ∥ AC Hình Lập tỉ số theo định lí Talès Giải BD BE DA EC BD BE  ;  ;  ΔABCABC có DE ∥ AC nên BA BC AB BC DA EC A D B C E Hình Ví dụ 5: Cho Hình Chứng minh MN ∥ AB Giải AM BN AM MC  1 BN NC  1 MC NC Ta có A M AM BN  1  MN ∥ AB ΔABCABC có MC NC II LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm x hình sau B C N Hình B A B x E EF // BC C x M C A Hình N M B H F 1 x A Hình C Hình Giải AE AF x EF ∥ BC      x 2 EB FC 1 Hình ΔABCABC có  HM  AB BH BM  HM ∥ AC      x 4  AC  AB HA MC x Hình Vì      Hình Vì NMA MAC mà NMA, MAC so le  MN ∥ AC BN BM x     x 4 Khi NA MC Bài 2: Cho ΔABCABC có trung tuyến AM Qua trọng tâm G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D, E ( Hình 8) AD  a) Chứng minh AB b) Chứng minh AE 2 EC A Giải a) ΔABCABM có b) ΔABCAMC có DG ∥ BM  GE ∥ MC  B AD AG   AB AM AE AG  2  AE 2 EC EC GM G D B E C M Hình I A K 12 Hình C Bài 3: Cho Hình Biết AB 9, AC 12, IB 6, KC 8 Chứng minh IK ∥ BC Giải IB KC     ΔABCABC có AB AC 12 IB KC   IK ∥ BC AB AC Nên III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Viết hệ thức theo Định lí Talès hình sau: B A B E Q N A C D B Hình C M C A H Hình Hình Bài 2: Cho Hình Chứng minh DE ∥ AC C A A B M 10 D I 3,5 B E C Hình A O B N C Hình Hình Bài 3: Cho Hình Chứng minh BC ∥ MN Bài 4: Cho Hình Chứng minh AB ∥ IO Bài 5: Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Lấy điểm I cạnh AB , từ I kẻ đường thẳng song song với CD cắt AC , BC O K ( Hình 7) AI AO A B  a) Chứng minh ID OC AO BK  OC KC b) Chứng minh c) Chứng minh AI KC ID BK Bài 6: Cho Hình I O K C D Hình M a) Trên tia AC lấy D cho AD 2 Trên tia AB lấy E cho AE 3 Chứng minh MN ∥ DE b) Chứng minh MN ∥ BC N A B C Hình Bài 7: Cho ΔABCABC , AD đường trung tuyến, M điểm nằm đoạn AD BM cắt AC E , CM cắt AB F Lấy điểm N A E F tia đối tia DM cho DN DM Chứng minh EF ∥ BC ( Hình 9) M Bài 8: Cho ΔABCABC Điểm O nằm tam giác Lấy điểm D OA, từ D kẻ DE ∥ AB  E  OB  DF ∥ AC  F  OC  OE OD A  10) a) Chứng minh OB OA ( Hình B C D N Hình D OF OD  b) Chứng minh OC OA c) Chứng minh EF ∥ BC E O F C B Hình 10 Bài 9: Cho ΔABCABC có AD trung tuyến Trọng tâm điểm G, đường thẳng qua G cắt AB, AC E , F Từ B C kẻ đường thẳng song song với EF cắt AD M , N ( Hình 11) BE MG  a) Chứng minh AE AG BE CF  1 b) Chứng minh AE AF A A F G E B M M D N G C B H C O N K Hình 11 Hình 12 Bài 10: Cho ΔABCABC có trung tuyến AO , trọng tâm G, đường thẳng qua G cắt AB, AC M , N Từ B, C kẻ đường thẳng song song với MN cắt AO H, K AB AC  3 Chứng minh AM AN ( Hình 12) Bài ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC I LÝ THUYẾT 1) Định nghĩa đường trung bình tam giác Ví dụ 1: Cho ΔABCABC , Lấy M trung điểm AB, N trung điểm AC ( Hình 1) A Khi đoạn thẳng MN gọi đường trung bình ΔABCABC Kết luận:  Đường trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm Hai cạnh tam giác Ví dụ 2: Hãy đường trung bình tam giác hình sau Giải A Hình IK đường trung bình ΔABCABC I KH đường trung bình ΔABCABC K Hình MD đường trung bình ΔABCABC B H M N C B Hình B M E C A C D Hình Hình DE đường trung bình ΔABCABC 2) Tính chất đường trung bình tam giác Kết luận:  Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh BC MN  ( Hình 1) Cụ thể: ΔABCABC có MN đường trung bình MN ∥ BC  Trong tam giác, đường thẳng qua điểm cạnh song song với cạnh thứ hai qua điểm cạnh thứ ba A  DA DB  AE CE  DE ∥ BC Cụ thể: ΔABCABC có  ( Hình 4) E D Lúc DE đường trung bình ΔABCABC Ví dụ 3: Cho ΔABCABC , M , N trung điểm AB, AC Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC D ( Hình 5) a) Chứng minh MD  AN b) Chứng minh MDCN hình bình hành Giải  MA MB  BD DC  MD ∥ AC  ΔABCABC a) có hay D trung điểm BC AC ΔABCABC  MD   AN Nên DM đường trung bình B C Hình A M B b) Tứ giác MDCN có MD ∥ NC , MD NC nên hình bình hành II LUYỆN TẬP N D Hình C Bài 1: Tìm số đo x hình sau: A M N A A I 12 D x x B x Hình B C E C B C K Hình Hình Giải  MA MB  MN  NA NC  ΔABCABC Hình có đường trung bình  BC 2MN  x 2.3 6  DA DB AC 12  DE   DE   6 EB  EC ΔABCABC có  2 Hình đường trung bình     Hình Ta có A I mà A , I đồng vị nên IK ∥ AC  IB IA  KB KC  ΔABCABC có  IK ∥ AC hay IK đường trung bình AC  IK   2 Bài 2: Cho ΔABCABC cân A, đường cao AM , N trung điểm AC Từ A kẻ tia Ax A song song với BC cắt MN E ( Hình 9) E a) Chứng minh MB MC b) Chứng minh ME ∥ AB x N c) Chứng minh AE MC C B Giải M Hình a) ΔABCABC cân A nên AM vừa đường cao trung tuyến  BM CM  MB MC  MN  NA  NC  b) ΔABCABC có đường trung bình  MN ∥ AB hay ME ∥ AB c) Tứ giác ABME có AE ∥ BM , AB ∥ ME nên ABME hình bình hành  AE BM MC A Bài 3: Cho ΔABCABC có trung tuyến AM Trên AC lấy điểm E , F cho AE EF FC , BE cắt AM O ( Hình 10) a) Chứng minh OEFM hình thang b) Chứng minh BO 3 OE Giải E O B F M Hình 10 C  EF FC  MF  BM  MC a) ΔABCBCE có  đường trung bình  MF ∥ BE Nên tứ giác OEFM hình thang  EA EF  OA OM   OE  MF OE ∥ MF  OE ΔABCAMF b) có nên đường trung bình mà 1 1 MF  BE  OE  BE  BE  OB  BE  BO 3OE 2 4 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình thang ABCD Lấy M , N , P, Q trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA ( Hình 1) a) Chứng minh MN ∥ AC N D Hình A D G I K B C Hình A B K M N giao điểm MN với BD AC Biết AB 6cm ( Hình 3) a) Tính MI b) Chứng minh MI KN I C P a) Chứng minh MN IK b) Tứ giác MNIK hình gì? Bài 3: Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi M , N trung điểm AD BC MN ∥ AB Gọi I , K M B Q b) Tứ giác MNPQ hình gì? Bài 2: Cho ΔABCABC có hai đường trung tuyến BM , CN cắt G Gọi I , K trung điểm GB, GC ( Hình 2) A M A B O N K D C E C F Hình Hình Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC , BD cắt O Trên cạnh DC ED  CD lấy điểm E cho , AE cắt BD K Từ O kẻ đường thẳng song song với AE cắt CD F ( Hình 4) a) Chứng minh OF đường trung bình ΔABCACE b) Chứng minh DE EF FC c) Chứng minh KO KD Bài 5: Cho ΔABCABC nhọn, đường cao AH Kẻ HE , HF vng góc với AB, AC Lấy điểm M cho E trung điểm HM , điểm N cho F trung A N I M F E B H Hình C điểm HN I điểm điểm MN ( Hình 5) a) Chứng minh ΔABCAMN cân b) Chứng minh MN ∥ EF c) Chứng minh AI  EF   Bài 6: Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD , A D 90 CD 2 AB Gọi H hình B chiếu D AC M , N trung điểm HC , HD A H a) Chứng minh MN  AB ( Hình 6) b) Chứng minh ABMN hình bình hành  c) Chứng minh BMD 90 N M C D Hình Bài 7: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BK  AC Lấy M , N CI  BM  I  BM  trung điểm AK , DC Kẻ A B I CI cắt BK E ( Hình 7) a) Chứng minh EB EK E M K b) Chứng minh MNCE hình bình hành c) Chứng minh MN  BM D C N Hình Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2 AD Vẽ BH  AC A Gọi M , N , P trung điểm AH , BH , CD B a) Chứng minh MNCP hình bình hành ( Hình 8) b) Chứng minh MP  BM c) Gọi I trung điểm BP , J giao điểm MC NP Chứng minh IJ ∥ HN J D c) Gọi E giao điểm AN DM , F giao điểm MC với BN Chứng minh EF ∥ DC H C P Hình Bài 9: Cho hình bình hành ABCD có AB 2 AD Gọi M , N trung điểm AB, CD ( Hình 9) a) Chứng minh AMND hình thoi b) Chứng minh AN ∥ MC N I M M A B E F D C N Hình d) Tìm điều kiện hình bình hành ABCD để MENF hình vng Bài 10: Cho ΔABCABC Lấy điểm D, E AB, AC cho BD CE Gọi M , N , I , K trung điểm BE , CD, DE BC ( Hình 10) a) Chứng minh MK IN A I D E N M b) Chứng minh MN  IK B K Hình 10 C Bài 11: Cho ΔABCABC cân A , đường cao AH Gọi D hình chiếu H AC Lấy I , J trung điểm HD, DC ( Hình 11) A a) Chứng minh IJ  AH b) Chứng minh AI  BD D J I B C H M  A, B  Hình 11 Bài 12: Cho đoạn thẳng AB điểm M thay đổi đoạn AB  Vẽ hình vng AMCD BMEF phía AB ( Hình 12) E a) Chứng minh AE BC , AE  BC b) Gọi G, I , N , K trung điểm AB, AC , CE , EB Chứng minh GINK hình vng F N D C K I A M G Hình 12 B Bài TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC I LÝ THUYẾT 1) Tính chất đường phân giác tam giác  Ví dụ 1: Cho ΔABCABC , tia phân giác BAC cắt BC D BD BA BD DC   Khi ta có tỉ số sau DC CA BA CA A C B D Kết luận: Hình  Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng BD BA   Trong ΔABCABC D  BC thỏa mãn DC CA AD đường phân giác A  Ví dụ 2: Cho ΔABCABC có BE tia phân giác ABC AE Tìm tỉ số với tỉ số AB Giải AE CE  BE phân giác ΔABCABC nên AB CB Ví dụ 3: Cho Hình Tìm số đo x A E B C Hình A Giải x ΔABCABC có BD đường phân giác ABC AD CD x     x 5 Nên AB BC  Đường phân giác góc ngồi tam giác có tính chất tương tự Cụ thể: ( Hình 4) ΔABCABC có AD tia phân giác góc ngồi DB BA DB DC    DC CA BA CA B C Hình A D II LUYỆN TẬP Bài 1: Cho ΔABCABC cân C có AB 3cm, AC 5cm Đường phân giác AD cắt đường trung tuyến CM I ( Hình 5) IC a) Tính tỉ số IM CD b) Tính tỉ số CB D C B Hình A M D I B Giải AB MA MB   2 ΔABCABC cân C nên AC BC 5cm a) Ta có C Hình IC IM IC BC 10    5 :  ΔABCBMC có BI đường phân giác nên BC BM IM BM DC AD DC AD DC  AD      53 b) ΔABCABC có BD đường phân giác nên BC AB Bài 2: Cho ΔABCABC , trung tuyến AD Vẽ tia phân giác ADB A  cắt AB M , tia phân giác ADC cắt AC N ( Hình 6) MB BD  MA AD a) Chứng minh MB NC  b) Chứng minh MA NA c) Chứng minh MN ∥ BC Giải B MB BD  MA AD  1 NC CD  NA AD  2 MB NC   MN ∥ BC c) ΔABCABC có MA NA Bài 3: Tìm x, y Hình Giải ΔABCABC có AM đường phân giác nên BM CM x y x  y 30 36       x ; y AB AC  11 11 11 II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm x hình sau B N x D Hình A B y x Hình A A Hình M B 3,5 C B D C Hình Bài 2: Cho ΔABCABC , phân giác AD Trên tia đối tia CA lấy E cho CE CA ED cắt AB M ( Hình 3) BD a) Tính tỉ số CD AM b) Tính tỉ số AE C M A C C D Hình MB MA   a) ΔABCABD có DM đường phân giác nên BD AD NC NA   b) ΔABCADC có DN đường phân giác nên CD AD MB NC 1 ,   ,  3    MA NA Mà BD CD   Từ x N M E Bài 3: Cho ΔABCABC vng A có AH đường cao, BD đường phân giác ABC với D  AC AH cắt BD I AI AD a) Tính tỉ số AB AB ( Hình 4) b) Chứng minh ΔABCAID cân A A D I B C H Hình IH DC  BH BC c) Chứng minh Bài 4: Cho ΔABCABC vuông A , đường cao AH Tia phân giác ABC cắt AC D ( Hình 5) A D AD a) Tính tỉ số DC B C E H Hình AB HE  DE  BC  E  BC  b) Từ D hạ Chứng minh BC EC C  Bài 5: Cho ΔABCABC vuông A , phân giác ABC cắt AC D Từ D vẽ đường thẳng vng góc với AC , đường thẳng cắt BC E ( Hình 6) E D a) Chứng minh DC AB DA.CB CB CE  AB BE b) Chứng minh B A Hình Bài 6: Cho ΔABCABC có đường trung tuyến AM MD  đường phân giác AMB Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC E ( Hình 7) A E D EA AM  a) Chứng minh EC BM B  b) Chứng minh ME đường phân giác AMC C M Hình Bài 7: Cho ΔABCABC Trên tia đối tia BA lấy điểm M Trên tia đối tia CA lấy điểm N cho CN BM A BH tia phân giác ΔABCMBC CK tia phân giác ΔABCBCN MH NK  HC KB Chứng minh ( Hình 8) B C M  Bài 8: Cho ΔABCABC có B góc tù Tia phân giác góc ngồi A cắt BC kéo dài M Từ B kẻ đường thẳng song song với C K H N Hình A N B Hình M AM cắt AC N ( Hình 9) a) Chứng minh AC.MB  AB.MC MB NA  b) Chứng minh MC AC