Cơ bản toán 8 chương 3

Website: tailieumontoan.com CHƯƠNG TỨ GIÁC Bài TỨ GIÁC I LÝ THUYẾT 1) Tứ giác lồi Ví dụ 1: Cho hình sau Ở Hình , Hình gọi tứ giác C B B A D A D Hình Kết luận: Hình C  Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC , CD, DA khơng có hai đoạn thẳng nằm đường thẳng  Tứ giác lồi tứ giác mà hai đỉnh thuộc cạnh ln nằm phía đường thẳng qua hai đỉnh lại Cụ thể: Hình tứ giác lồi, Hình khơng phải tứ giác lồi Chương trình học xét đến toán tứ giác lồi  Trong tứ giác ABCD điểm A, B, C , D đỉnh, đoạn thẳng AB, BC , CD, DA cạnh Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối gọi đường chéo, đường chéo AC , BD Hai đường chéo cắt điểm nằm đường      Trong tứ giác ABCD Hình ta có góc ABC , BCD, CDA, DAB viết gọn     A , B , C , D Ví dụ 2: Hình khơng phải tứ giác hai đoạn thẳng BC , CD nằm đường thẳng B C Ví dụ 3: Tứ giác ABCD Hình khơng phải tứ giác lồi hai đỉnh A, D nằm hai phía D A Hình đường thẳng BC B 2) Tổng góc tứ giác Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD Hình Kẻ đường chéo AC tổng số đo góc tứ giác ABCD C    BCD    A  B  C  C  D  A  BAD B D 1 2 D A 1800  1800 3600 Kết luận:  Tổng góc tứ giác 360 Hình C B Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 A D Hình Website: tailieumontoan.com II LUYỆN TẬP Bài 1: Tính số đo x hình sau C B G x F 1250 700 800 N 880 D A x x P x 1080 670 E H 1080 M Hình Hình Q Hình Giải     Hình Tứ giác ABCD có A  B  C  D 360  800  1250  x  700 3600  x 850 Vậy x 85  F  G  H  3600 E EFGH Hình Tứ giác có  900  x  880  670 3600  x 1150 Vậy x 1150     Hình Tứ giác MNPQ có M  N  P  Q 360  1080  x  x  1080 3600  x 1440  x 720 Vậy x 720 Bài 2: Cho Hình A  a) Tính ABC 750 B  b) Tính A1 Giải 0  a) Ta có ABC  75 180 ( kề bù)  ABC 1800  750 1050 D 750 C Hình     b) Tứ giác ABCD có BAD  ABC  C  D 360     BAD  1050  900  750 3600  BAD 900  AB  AD  A1 90   Bài 3: Cho tứ giác ABCD có hai tia phân giác D , C cắt A    I cho I 90 Tính C  D ( Hình 10) Giải    ΔIDCIDC có I  IDC  ICD 180      900  IDC  ICD 1800  IDC  ICD 900   Vì DI , CI tia phân giác D , C nên  2 IDC  ,C  2 ICD  D Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 B I C D Hình 10 Website: tailieumontoan.com    D  2 IDC     C  ICD 2 IDC  ICD 2.900 1800 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính số đo x hình sau B A D 1000 x x 500 B x A C 1100 2x 1200 D 2x B A C Hình Hình C x Hình D   Bài 2: Tứ giác ABCD có A C 90 BE tia đối tia BA ( Hình 4)   a) Tính D  ABC   b) So sánh D B1 Bài 3: Tứ giác ABCD có AC tia phân giác D C A E B Hình B C     BAD DAC 40 , B D 90 ( Hình 5)  Tính BCD 0   Bài 4: Cho tứ giác ABCD có A 72 , D 68   Hai tia phân giác B , C cắt M  Tính BMC ( Hình 6) A 400 Hình D  D  1800 B ABCD Bài 5: Cho tứ giác có CB CD Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DE  AB a) Chứng minh ΔIDCABC ΔIDCEDC ( Hình 7)  b) Chứng minh AC tia phân giác BAD  Bài 6: Cho Hình Biết B 80   a) Chứng minh D E C B B A M 720 680 A D Hình C E D Hình A b) Tính tổng số đo hai góc đối tứ giác ABCE E D Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 038.373.2038 800 C B Hình Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài HÌNH THANG CÂN I LÝ THUYẾT 1) Hình thang, hình thang cân Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có AB ∥ CD Hình Khi tứ giác ABCD gọi hình thang A Kết luận:  Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song  Hai cạnh song song AB, CD gọi hai cạnh đáy B D Hình  Hai cạnh lại AD, BC gọi hai cạnh bên  Đường vng góc từ B xuống CD BH gọi đường cao Ví dụ 2: Hình thang ABCD Hình có   Hai góc D C nên gọi hình thang cân Kết luận: D  Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy  Trong hình thang cân hai góc kề đáy  Trong hình thang cân, hai cạnh bên Cụ thể AD BC A a) Chứng minh ABCD hình thang b) Số đo x ABCD hình thang cân Giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 038.373.2038 B C Hình  Trong hình thang cân, hai đường chéo Cụ thể AC BD 2) Dấu hiệu nhận biết hình thang cân A  Nếu hình thang có hai đường chéo hình thang cân Cụ thể hình thang ABCD có AC BD hình thang ABCD hình thang cân Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD có AD ∥ BC hai đường chéo D AC , BD cắt O Biết OC OB Chứng minh hình thang ABCD hình thang cân ( Hình 4) Giải Vì OB OC  ΔIDCOBC tam giác cân    OBC OCB   Lại có BC ∥ AD  OBC ODA ( so le trong)     OCB OAD ( so le trong) nên OAD ODA  ΔIDCOAD cân nên OA OD Khi BD BO  OD OC  OA  AC Vậy hình thang ABCD hình thang cân II LUYỆN TẬP Bài 1: Cho Hình C H B C Hình B C O A D Hình A B 750 x 750 D C Hình Website: tailieumontoan.com     a) Ta có B C 75 mà B , C hai góc so le nên AB ∥ CD  ABCD hình thang  C  750  x 750 D ABCD b) Để hình thang cân Bài 2: Cho Hình a) Cho biết hình thang ABCD hình thang gì?   b) Tính A , B Giải A D B 650 650 C   a) Hình thang ABCD có C D 65 nên hình thang cân b) ABCD hình thang nên AB ∥ CD 0  1800     A  D ( phía)  A  65 180  A 115 B Bài 3: Cho hình thang ABCD Hình biết AC BD a) Hình thang ABCD hình thang gì?   b) Chứng minh ADB DAC Giải a) Hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD nên hình thang cân b) ABCD hình thang cân nên AB CD Xét ΔIDCBAD ΔIDCCDA có AD cạnh chung AB CD ( chứng minh trên) BD  AC ( giả thiết)   ΔIDCBAD  ΔIDCCDA  c  c  c   ADB DAC B D Hình ( hai góc tương ứng) A M B Giải a) Tứ giác BCOM có OM ∥ BC nên hình thang Tứ giác BCNO có ON ∥ BC nên hình thang   b) Vì MO ∥ BC  MOB OBC ( so le trong)     Mà OBC OBM nên MOB OBM  ΔIDCMBO cân M  MO MB Chứng minh tương tự ΔIDCNOC cân N  NO NC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 C A   Bài 4: Cho ΔIDCABC , hai đường phân giác góc B , C cắt O Qua O kẻ đường thẳng song song với BC , đường thẳng cắt AB, AC M N ( Hình 8) a) Tứ giác BCOM , BCNO hình gì? b) Chứng minh MN MB  NC Hình O N C Hình Khi MN MO  NO BM  NC III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình thang cân ABCD có AB ∥ CD AB  CD , biết AD BC ( Hình 1) a) Chứng minh AB BC Website: tailieumontoan.com A B C D Hình  b) Chứng minh DB phân giác ADC Bài 2: Cho hình thang cân ABCD có AB ∥ CD Lấy M , N trung điểm CD, AB a) Chứng minh AM BM ( Hình 2) b) Chứng minh MN đường cao hình thang A A N B E D M B H K D D C Hình A B C Hình C Hình Bài 3: Cho ΔIDCABC cân A, hai đường trung tuyến BD, CE a) Chứng minh ΔIDCAED tam giác cân ( Hình 3) b) Chứng minh tứ giác BCDE hình thang cân Bài 4: Cho hình thang cân ABCD có AB ∥ CD AB  CD , hai đường cao AH , BK a) Chứng minh ΔIDCAHD ΔIDCBKC ( Hình 4) b) Chứng minh AB HK DC  AB KC  c) Chỉ O Bài 5: Cho hình thang cân ABCD có AB ∥ CD AB  CD Gọi O giao điểm AD BC , E giao điểm AC BD ( Hình 5) a) Chứng minh ΔIDCOAB cân O b) Chứng minh ΔIDCABD ΔIDCBAC c) Chứng minh EC ED d) O, E trung điểm DC thẳng hàng Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 A B E C D Hình Website: tailieumontoan.com Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 Website: tailieumontoan.com Bài HÌNH BÌNH HÀNH I LÝ THUYẾT 1) Hình bình hành tính chất Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có AB ∥ CD AD ∥ BC Như hình nên tứ giác ABCD gọi hình bình hành A Kết luận:  Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song  Trong hình bình hành thì: + Các cạnh đối AB CD AD BC    B D C Hình A B  + Các góc đối A C , B D + Hai đường chéo cắt trung điểm đường: D OA OC , OB OD O C Hình 2) Dấu hiệu nhận biết:  Tứ giác có cạnh đối hình bình hành  Tứ giác có cặp cạnh đối song song hình bình hành  Tứ giác có góc đối hình bình hành  Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Từ A, C hạ AH , AK vng góc với BD Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành Giải Vì ABCD hình bình hành nên AD BC   AD ∥ BC  ADH CBK ( so le trong) Xét ΔIDCAHD ΔIDCCKB có:  K  900 H A B K H D C AD BC ( giả thiết) ADH BCK  ( chứng minh trên)  ΔIDCAHD ΔIDCCKB ( cạnh huyền – góc nhọn) Hình  AH CK ( hai cạnh tương ứng) AH ∥ CK vng góc với BD Vậy tứ giác AHCK hình hình hành II LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hình hình hành ABCD Hình  Biết BAD 120 O trung điểm BD a) Tính số đo góc cịn lại hình bình hành b) Chứng minh A, O, C thằng hàng Giải   a) ABCD hình bình hành nên BAD BCD 120 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 C B O D A Hình Website: tailieumontoan.com   BC ∥ AD  ABC  BAD 180 ( hai góc phía)    ABC  1200 1800  ABC 600  ADC b) ABCD hình bình hành nên AC , BD cắt trung điểm đường Mà O trung điểm BD nên O trung điểm AC  A, O, C thẳng hàng Bài 2: Cho ΔIDCABC cân A có điểm D cạnh BC Kẻ DM ∥ AC , DN ∥ AB ( Hình 5) A a) Chứng minh AMDN hình bình hành b) ΔIDCBDM tam giác gì? c) So sánh DM  DN với AB Giải a) AMDN có AM ∥ DN , AN ∥ MD nên hình bình hành N M B D C Hình   b) ΔIDCABC cân A  B C     Mà MD ∥ AC  C BDM ( đồng vị)  B BDM  ΔIDCBDM cân M c) ABCD hình bình hành nên DN  AM ΔIDCBDM cân M  MB MD Vậy DM  DN BM  AM  AB   Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có AB  AD Tia phân giác B , D cắt AD, BC M , N ( Hình 6) N B a) ΔIDCABM tam giác gì? b) Chứng minh tứ giác BMDN hình bình hành Giải A M a) ABCD hình bình hành nên BC ∥ AD Hình   AMB MBC ( so le trong)     Mà MBC MBA nên AMB  ABM  ΔIDCABM cân A  D   1B  1 D   NBM   B NDM 2 b) ABCD hình bình hành nên   Mà BN ∥ MD  BMD  MBN 180 ( phía)   Và BND  NDM 180 ( phía)   Suy ta BND BMD Tứ giác BMDN có góc đối nên hình bình C D hành III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M , cạnh CD lấy điểm N cho AM CN a) Chứng minh AMCN hình bình hành ( Hình 1) Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 B C M N A D Hình Website: tailieumontoan.com b) Trên cạnh BC lấy điểm M , N cho BM MN NC Tia NO cắt AD, AB I K Chứng minh AI NC AM ∥ IN Bài 14: Cho ΔIDCABC vuông cân A Trên đoạn thẳng AB lấy điểm E Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho BE CF Vẽ hình bình hành BEFD Gọi I giao điểm EF BC Qua E kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt BI K ( Hình 14) a) Chứng minh tứ giác EKFC hình bình hành A b) Qua I kẻ đường thẳng vng góc với AF cắt BD M Chứng minh AI BM E c) Tìm vị trí E AB để A, I , D thẳng hàng B Bài 15: Cho ΔIDCABC vuông A có AB  AC , đường cao AH trung tuyến AE Gọi D, E hình chiếu E a) b) c) C I K F M Hình 14 D AB, AC ( Hình 15) Chứng minh BDFE hình bình hành Chứng minh DFEH hình thang cân Lấy M cho F trung điểm EM N cho F trung điểm BN A M Chứng minh A, N , M thẳng hàng D B F H E Hình 15 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 C N Website: tailieumontoan.com Bài HÌNH CHỮ NHẬT I LÝ THUYẾT 1) Hình chữ nhật Ví dụ 1: Cho hình sau, hình hình chữ nhật A A B D C D Hình A B B C D C Hình Hình Kết luận:  Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng  Tứ giác có ba góc vng hình chữ nhật  Vì hình chữ nhật hình thang cân, hình bình hành nên có đầy đủ tính chất hai hình  Trong hình chữ nhật, hai đường chéo cắt trung điểm đường Hình ta có AC BD OA OB OC OD A 2) Dấu hiệu nhận biết  Hình bình hành có góc vng hình chữ nhật  Hình bình hành có hai đường chéo hình chữ nhật  Nếu tam giác có đường trung tuyến nửa cạnh tương D ứng tam giác tam giác vng Ví dụ 2: Cho ΔIDCABC vng A có đường cao AH Kẻ HD  AB, HE  AC Tứ giác ADHE hình gì? ( Hình 5) Giải O C Hình A    Tứ giác ADHE có ba góc vng DAE  ADH  AEH 90 Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật D BC Ví dụ 3: Cho ΔIDCABC vng A , M trung điểm Từ M kẻ ME ∥ AC  E  AB  B MF ∥ AB  F  AC  a) Tứ giác BEFM , AEMF hình gì? ( Hình 6) b) Gọi O trung điểm AM Chứng minh OE OF Giải  ME ∥ AC  ME  AB  AC  AB  a) Vì  MF ∥ AB  MF  AC  AB  AC  Và Xét ΔIDCEBM ΔIDCFMC có: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 E B C H Hình A E B F O M Hình C Website: tailieumontoan.com  F  90 E BM CM ( giả thiết)   EBM FMC ( đồng vị)  ΔIDCEBM  ΔIDCFMC ( cạnh huyền – góc nhọn)  BE MF ( hai cạnh tương ứng) Tứ giác BEFM có BE ∥ MF , BE MF nên hình bình hành    Tứ giác AEMF có ba góc vng A  AEM  AFM 90 nên hình chữ nhật b) Vì AEMF hình chữ nhật nên hai đường chéo AM , EF cắt trung điểm O đường nên OE OF II LUYỆN TẬP Bài 1: Cho ΔIDCABC vng A có AH đường cao, đường trung tuyến AM Qua H kẻ HD ∥ AC  D  AB  HP ∥ AB  P  AC  Đoạn DP cắt AH , AM O N a) Chứng minh AH DP ( Hình 7) A b) ΔIDCMAC tam giác gì? c) Chứng minh ΔIDCAPN tam giác vuông P Giải D O N  DH ∥ AC  DH  AB  AC  AB C  1 B  H M a) Vì Hình  HP ∥ AB  HP  AC  AB  AC  2 Và  Từ giác ADHP có ba góc vng nên hình chữ nhật, hai đường chéo AH DP b) ΔIDCABC vng A có AM đường trung tuyến nên AM MB MC  ΔIDCAMC cân M     c) Ta có MAC MCA mà MCA BHD ( đồng vị)   Lại có ADHP hình chữ nhật nên OD OP OA OH  APN ODH ( so le trong)     Vì ODH cân O nên ODH OHD Khi APN OHD    ΔIDCAPN có NAP  APN DHP  OHD 900  ANP 900 hay ΔIDCAPN vuông N Bài 2: Cho ΔIDCABC vng A có AB  AC Gọi M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD MA ( Hình 8) a) Chứng minh ABCD hình chữ nhật A b) Lấy điểm E cho B trung điểm AE Chứng minh BEDC hình bình hành c) EM cắt BD K Chứng minh EK 2 KM Giải B C M K Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 E D Hình a) Tứ giác ABCD có hai đường chéo AD, BC cắt Trung điểm M đường nên hình bình hành  Lại có BAC 90 nên hình chữ nhật b) Vì ABCD hình chữ nhật nên AB ∥ CD, AB CD Website: tailieumontoan.com Mà BE  AB  BE CD BE ∥ CD Tứ giác BEDC hình bình hành c) ΔIDCAED có hai đường trung tuyến EM , DB cắt K nên K trọng tâm Vậy EK 2 KM A Bài 3: Cho ΔIDCABC vng A có AB  AC N trung điểm BC Gọi M , P hình chiếu N AB, AC Lấy E cho P trung điểm NE ( Hình 9) E M P B N a) Chứng minh M , P trung điểm AB, AC Hình b) Tứ giác ANCE hình gì? Giải a) Tứ giác APNM có ba góc vng nên hình chữ nhật  AM NP, AP MN C   Vì AB ∥ NP ( vng góc với AC ) nên B PNC ( đồng vị) Xét ΔIDCMBN ΔIDCPNC có:  P  900 M BN CN ( giả thiết)  PNC  B ( chứng minh trên)  ΔIDCMBN  ΔIDCPNC ( cạnh huyền – góc nhọn)  BM NP, MN PC ( hai cạnh tương ứng) Khi BM  AM ( NP) , AP PC ( MN ) b) Tứ giác ANCE có hai đường chéo AC , NE cắt trung điểm P đường nên hình bình hành III BÀI TẬP TỰ LUYỆN A Bài 1: Cho ΔIDCABC vuông A có AH đường cao Gọi P Q hình chiếu H xuống AB, AC Gọi I trung điểm HB, K trung điểm HC , AH cắt PQ O a) Tứ giác APHQ hình gì? ( Hình 1) b) Chứng minh ΔIDCKQH tam giác cân P B Q O I H C K Hình  c) Chứng minh KQP 90 PI ∥ QK Bài 2: Cho ΔIDCABC vuông A , M trung điểm BC Gọi D, E A chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC Gọi I , K trung điểm MB, MC Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 E D a) Tứ giác DIKE hình gì? ( Hình 2) B I M Hình K C b) ΔIDCABC cần thêm điều kiện để DIKE hình chữ nhật Website: tailieumontoan.com Bài 3: Cho ΔIDCABC vng A có M trung điểm BC Gọi D, E hình chiếu M AB, AC ( Hình 3) a) Chứng minh D, E trung điểm AB, AC b) Chứng minh BDEM hình bình hành c) Lấy N cho M trung điểm NE Hạ EK  BC Chứng minh AK  KN A E D B M N Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 K Hình C Website: tailieumontoan.com Bài 4: Cho ΔIDCABC vuông A Điểm D cạnh BC Hạ DM  AB, DN  AC A M a) Tứ giác AMDN hình gì? ( Hình 4)  b) Gọi AH đường cao ΔIDCABC Tính MHN I B N C D H Hình Bài 5: Cho ΔIDCABC vng A có AB  AC M trung điểm BC Kẻ ME  AB  E  AB  MF  AC  F  AC  Kẻ ( Hình 5) BC EF  E a) Chứng minh b) Gọi AK đường cao ΔIDCABC B Chứng minh KMFE hình thang cân Bài 6: Cho ΔIDCABC vng A có AB  AC , đường cao A F K C M Hình AH Từ H kẻ HM  AB  M  AB  Kẻ HN  AC  N  AC  Gọi I trung điểm HC , lấy K tia AI cho I trung điểm AK a) Chứng minh AC ∥ HK ( Hình 6) b) Chứng minh MNCK hình thang cân c) MN cắt AH O, CO cắt AK D A M Chứng minh AK 3 AD B Bài 7: Cho ΔIDCABD vng A có AB  AD M trung điểm BD Lấy C cho M trung điểm AC ( Hình 7) N O D I H Hình K a) Chứng minh ABCD hình chữ nhật b) Trên tia đối tia DA lấy điểm E cho DA DE Gọi I trung điểm CD Chứng minh IB IE c) Kẻ AH  BD Lấy K cho H trung điểm AK Chứng minh BDCK hình thang cân A B H K M D I E C Hình Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 038.373.2038 C