Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1
® -¥
+
-2 2 x
lim
2 2 x
3x(2x 1) lim
(5x 1)(x 2x)
®-¥
3 lim 3 33 2 2 2
x
®±¥
x
®±¥
x
(x 1) (7x 2) lim
(2x 1)
®±¥
x
(2x 3) (4x 7) lim
(3x 4) (5x 1)
®±¥
-7 lim 2 3 2
x
x
®-¥
x
®-¥
-9
x
(x x x 1)( x 1) lim
(x 2)(x 1)
®+¥
2 x
x x 2 3x 1 lim
4x 1 1 x
®±¥
+ +
-Bài 2: Tính các giới hạn sau:
1 lim ( x2 3x 2 x)
-+¥
x lim (2x 1 4x 4x 3)
x lim ( x 4x 3 x 3x 2)
x lim (3x 2 9x 12x 3)
5 lim ( 2 - 3 + 2 + - 2 )
+¥
x lim ( x 1 x 1)
®+ ¥ + - -
7 lim ( 3 3 2 1 2 3 )
2 x
x x 2 3x lim
4x 1 x 1
®¥
+ + + + - +
9 3 2
3 x
x 2x 3 lim
x x 1
®±¥
1 x x
1 x x 1 x x lim
2
2 2
+ -+ + +
¥
®
Bài 3: Tính các giới hạn sau:
1
1 x x 16 x 14 1
x lim
2
®+¥
x lim x x 2x 2 x x x
n
n n
x x x
lim
2
-+¥
®
ø
ö ç
è
-+¥
1 lim
-+
+¥
x
7 lim ( + 3 - - 1)
+¥
¥
x
+¥
®
2
+¥
lim
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
ø
ö ç
è
-+¥
xlim ( 8x 2x 4x 2x 4x 1)
3
3
2 x
lim
®±¥
4
3
2 x
lim
®±¥
Trang 25
3
x
lim
®±¥
6
3
2 x
lim
®±¥
7
3
x
lim
®±¥
8
3
2 x
lim
®±¥
9
3
2 x
lim
(x 2)(x x 2x 4)
®±¥
10
3
2 x
lim
®±¥
Bài 5: Tính các giới hạn sau:
2
2 lim
x
x
-®
x 0
lim
2x
+
®
+
x 0
2x lim
4x x
±
2
3 3 lim
2
-+
x x
x
5
2
3 3 lim 2
2
-+
x x
x 1
x 3x 2 lim
x 5x 4
-®
7
x 0
1 x lim x
x
±
®
x 1
lim
x 1
+
®
+
-9
2 3
x 2
x 4x 1 lim
x 3x 2
±
®
2
x 1
lim
±
®
Bài 6: Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của f(x) tại x o và xét xem hàm số
cĩ giới hạn tại x o khơng :
1
>
ïỵ
2 2
o
x 3x 2 (x 1)
x (x 1) 2
2
ì
ỵ
2
o
1 2x (x 2)
1 x 1
x 0
1 x 1
3
x 0 2
->
ïï +
ïỵ
o
với x x+
Trang 34
2
0
x 3x 4 khi x 1
2x 3 khi x 1
ï
ïî
5
3 2
0
khi x 2
11 khi x 2 3
-¹
ïï
ïî
sin x
khi x 1
khi x 1
p
ï
î
7
3 2
0
1 cosx
khi x 0 sin x
1 khi x 0 6
ïï
ïî
8
2 2
-<
-ï + ï
+ ï
ï ï î
9
2 2 2
3 2
(x 3)
(x 2)
-ï
ï
-î
10
3 3
2 2
4 2
(x 2)
(x 1)
-ï
ï
-ï
-î
Bài 7: Tìm các giá trị của tham số để các hàm số sau liên tục trên R:
1
2
3x 2x 1 khi x 1
f (x)
2x a khi x 1
ï
= í
ïî
Trang 42
3 2
khi x 1
f (x) a khi x 1
-¹
-ïï
-ï ïî
3
1 cos4x
khi x 0 x.sin 2x
x a
khi x 0
x 1
ïï
+
ïî +
4
khi x 0 x
4 x
x 2
<
ïï
5
33x 2 2
khi x 2
x 2
f (x)
1
ax + khi x 2 4
->
-= í
ïî
6
sin(x )
3 khix
3
p
¹ ï
=í
= ï
î
7
2sin x khi x
2
cos x khi x
2
p
-ï
ï
ï
p
ïî
8
2
x khi x 1
f (x) ax b khi 1 x 3
4 x khi x 3
ï
î
2
x 6 2x 9
ï
î
Trang 5
10
3 3
2 2
4 2
(x 2)
(x 1)
-ï
ï
-ï
-î
Bài 8: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình sau, kèm theo các điều kiện chỉ ra:
1 x3 – 2x – 7 = 0 2 x5 + x3 – 1 = 0
3 x5 + 7x4 – 3x2 + x + 2 = 0 4 cosx – x + 1 = 0
5 x3 – 3x2 + 3 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 1;3)
6 2x3 – 6x + 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (– 2;2)
7 x5 – 5x4 + 4x – 1 = 0 có 3 nghiệm trong khoảng (0;5)
8 Cho 3 số a,b,c khác nhau Chứng minh rằng phương trình:
(x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
9 Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong [0;1]
10 Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0;1)
Bài 9: Chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương trình sau, kèm theo các điều kiện chỉ ra:
1 Cho hàm số f(x ) liên tục trên đoạn [a;b] thoả f(x) Î [a;b] " x Î [a;b]
Chứng minh rằng phương trình: f(x) = x có nghiệm x Î [a;b]
2 cosx + m.cos2x = 0 luôn có nghiệm
3 m(x – 1)3(x + 2) + 2x + 3 = 0 luôn có nghiệm
4 a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 luôn có nghiệm
5 (m2 + m + 1)x4 + 2x – 2 = 0 luôn có nghiệm
6 Cho phương trình x4 – x – 3 = 0 Chứng minh rằng: phương trình có nghiệm xo Î (1;2) và xo > 7,12
7
8
9
10
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10