THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI 19 4 NĂM HỌC 2012 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH BÌNH THUẬN NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN – LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Đề này có 01 trang (không kể thời gian phát đề) ĐỀ Bài 1: (4 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = (m + 1)x +2m + 3 có đồ thò là đường thẳng (d); ( với m  R) 1/ Tìm tọa độ điểm C để (d) đi qua C với mọi giá trò của m. 2/ Tìm giá trò của m để (d) cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O. Bài 2: (4 điểm) Cho biểu thức 2 1 2 2 1 2 2 4 4 1 x x x x A x x           1/ Rút gọn A 2/ Tìm các giá trò nguyên của x để A có giá trò nguyên Bài 3: (4 điểm) 1/ Giải hệ phương trình: 17 2 2013 2 5 x y xy x y xy          2/ Tìm tất cả các giá trò của x; y; z sao cho: 3 2 z x z y y x       Bài 4: (6 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố đònh. Qua điểm H cố đònh nằm giữa O và B, kẻ một đường thẳng (d) vuông góc với AB. Gọi M là một điểm nằm trên đường tròn (O), M không trùng với A, B và các giao điểm của (d) với đường tròn (O). Các đường thẳng AM, BM và tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M cắt (d) theo thứ tự tại C; D và E. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O) tại F 1/ Chứng minh rằng: a/ Tứ giác MCFD nội tiếp được trong đường tròn. b/ Điểm E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD. 2/ Khi M di chuyển trên (O): a/ Hỏi tâm I của đường tròn qua 4 điểm A; M; D; H chuyển động trên đường nào? b/ Chứng minh đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố đònh. Bài 5: (2 điểm) Tìm một số gồm ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng ba chữ số của chúng có giá trò nhỏ nhất HẾT (Giám thò coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Phòng thi: Số báo danh: HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (4 điểm) 1/ Tìm tọa độ điểm C để (d) đi qua C với mọi giá trò của m. Giả sữ đường thẳng (d) đi qua điểm cố đònh C (x o ; y o ) với mọi giá trò của m Ta có y o = (m + 1)x o +2m + 3 2 0 2 2 3 ( 2) 3 0 3 0 1 o o o o o o o o o o o x x y mx x m x m x y x y y                            Vậy tọa độ điểm C (-2; 1) 2/ Ta có   2 3 0; 2 3 ; ; 0 1 m A m B m           với m  1 OAB vuông cân tại O khi đó OA = OB 2 3 1 2 3 1 1 1          m m m m Vậy m = 0 hoặc m = -2 thì (d) cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O. Bài 2: (4 điểm) Cho biểu thức 2 1 2 2 1 2 2 4 4 1 x x x x A x x           1/ Rút gọn A: ĐKXĐ: 2 0 2 2 1 0 x x x                                         2 4 2 2 3 . 2 1 2 1 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 x nếu x x x x x x A x x x nếu x x x 2/ Tìm các giá trò nguyên của x để A có giá trò nguyên + Nếu 2 3 x   : A có giá trò nguyên khi     4 ( 2) x x + Nếu  3 x : Đặt 2 m x   > 0. Khi đó 4 2A m m   A có giá trò nguyên khi     4 1;2;4 3;6;18 m m x    Bài 3: (4 điểm) 1/ Giải hệ phương trình: 17 2 2013 2 5 x y xy x y xy          (I) + Nếu xy > 0: (I) 17 2 18 1 1009 9 2013 2018 9 1009 1 2 1 2 9 1 482 5 5 482 9 x y x y y y y x y x x                                            (nhận) + Nếu xy < 0: (I) 17 2 18 1 1004 2013 2008 9 1 2 1 2 1 1049 5 5 18 y x y y y x y x x                                      (loại vì xy < 0) + Nếu xy = 0: (I)  x = y = 0 (nhận) Vậy hệ đã cho có nghiệm   9 9 0; 0 ; ; 482 1009       Cách khác: 17 2 2013 17 2 2013 ( 0) ( 0) 2 5 2 5 18 2018 18 2008 ( 0) ( 0) 2 5 2 5 2 (9 1009 ) 0 2 (9 1004 ) 0 ( 0) 2 5 2 x y xy x y xy nếu xy hoặc nếu xy x y xy x y xy x xy x xy nếu xy hoặc nếu xy x y xy x y xy x y x y nếu xy hoặc x y xy x                                              ( 0) 5 9 18 0 482 1049 ( ) ( ) ( ) 0 9 9 1009 1004 nếu xy y xy x x x nhận hoặc nhận hoặc loại y y y                                Vậy hệ đã cho có nghiệm   9 9 0; 0 ; ; 482 1009       2/ Tìm tất cả các giá trò của x; y; z sao cho: 3 2 z x z y y x       ĐKXĐ: 0; 0; 0 0 x z y y x z y x                      2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 1 2 1 2 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1; 2; 3 1 0                                                         z x z y y x x z y y x z x x z y z y y x y x x z y y x x z y x y z y x Bài 4: (6 điểm) 1/ Chứng minh rằng: a/ Tứ giác MCFD nội tiếp được trong đường tròn.   90 o AMB AFB  (góc nội tiếp chẵn nữa đường tròn) ABC  có 2 đường cao BM và CH cắt nhau tại D  AD  BC Mà AF  BC Nên A; D; F thẳng hàng Do đó DF  BC Tứ giác MCFD có   180 o DMF DFC  Vậy MCFD nội tiếp b/ Điểm E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD. Ta có   1 2 DME sđ MB  ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)   1 1 2 D sđ MB  (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn do   sđ KB sđ JB  ) Do đó   1 DME D  . Nên EMD cân tại E EM ED    Suy ra   1 1 C M EMC cân tại E EM EC      Vậy E là trung điểm của CD nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFD. 2/ Khi M di chuyển trên (O): 1 1 2 1 K J B I D H E O F N C M A P a/ Hỏi tâm I của đường tròn qua 4 điểm A; M; D; H chuyển động trên đường nào? Tứ giác AMHD nội tiếp nên tâm I là trung điểm của AD Tam giác AHD vuông tại H có HI là đường trung tuyến 1 2 HI AD AI    Vì A và H cố đònh nên khi M di chuyển trên (O) thì I di chuyển trên đường trung trực AH cố đònh và I nằm ở phần bên trong (O). b/ Chứng minh đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố đònh. Gọi N là giao điểm của đường thẳng MF với tia AB OE là đường trung trực của đoạn thẳng MF nên OE vuông góc với MF tại P Tam giác OME vuông tại M có MP là đường cao Ta có OP.OE = OM 2 = R 2 Mặt khác, OHE  ∽ OPN  (g – g) . . OH OE OH ON OP OE OP ON     Do đó OH.ON = R 2 Vì OH không đổi nên N cố đònh Cách khác: Xét OHF  và OFN  , ta có  O là góc chung    1 2 180 o OHF C C   (vì tứ giác ACFH nội tiếp)    180 o OFH OFA AFM   (vì kề bù) Mà       1 2 1 2 C OAF OFA và C AFM sđ MD     . Nên   OHF OFN  Do đó OHF  ∽ OFN  (g – g) 2 OH OF R ON OF ON OH     . Vì OH không đổi nên N cố đònh Bài 5: (2 điểm) Tìm một số gồm ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng ba chữ số của chúng có giá trò nhỏ nhất Gọi số cần tìm là: ( , , ; 0 9; 0 , 9) abc a b c N a b c      Theo đề bài ta có 100 10 ( ) 99 9 99 9 1                    abc a b c a b c a b a b a b c a b c a b c a b c Ta thấy tử số không còn xuất hiện c nên để   abc a b c đạt giá trò nhỏ nhất khi và chỉ khi giá trò c lớn nhất tức là c = 9 Khi đó 99 9 (9 9 81) 90 81 90 81 1 1 10 9 9 9                     abc a b a b a a a b c a b a b a b Ta thấy tử số không còn xuất hiện b nên để   abc a b c đạt giá trò nhỏ nhất khi và chỉ khi giá trò b lớn nhất tức là b = 9 Như vậy 90 81 1701 10 100 18 18 abc a a b c a a          Biểu thức trên đạt GTNN thì 1701 18 a  lớn nhất , khi đó mẫu a+18 nhỏ nhất => a = 1 Vậy các số cần tìm là 199 GIÁO VIÊN GIẢI: PHAN QUỐC BÌNH (Tổ Toán – Lí – Trường THCS Lương Sơn – Bắc Bình – Bình Thuận) . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP T NH B NH THUẬN NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN – LỚP 9 ĐỀ CH NH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Đề này. minh đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố đ nh. Bài 5: (2 điểm) Tìm một số gồm ba chữ số sao cho tỉ số giữa số đó với tổng ba chữ số của chúng có giá trò nh nh t HẾT (Giám thò coi thi. đạt giá trò nh nh t khi và chỉ khi giá trò b lớn nh t tức là b = 9 Nh vậy 90 81 1701 10 100 18 18 abc a a b c a a          Biểu thức trên đạt GTNN thì 1701 18 a  lớn nh t , khi