XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN - ĐỊNH LUẬT NHÂN XÁC SUẤT Mục tiêu Sau nghiên cứu chủ đề, học viên có khả năng: - Trình bày định nghĩa xác suất có điều kiện - Trình bày cơng thức cộng xác suất công thức nhân xác suất Xác suất có điều kiện Nếu kết cục khơng bao gồm tồn thể kết cục (khi số kết cục bị hạn chế) xác suất gọi xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện kí hiệu P(đặc tính quan tâm|Điều kiện) Bảng Giới tính bệnh nhân khoa Phổi khoa Thận bệnh viện X Khoa Phổi Khoa Thận Tổng số Nam 11 15 Nữ 27 35 Tổng số 38 12 50 Thí dụ: Ở khoa Phổi khoa Thận bệnh viện X có 50 bệnh nhân phân bố đặc điểm bệnh nhân trình bày bảng Chọn người bất kì, xác suất người nam nằm khoa Phổi - P(Nam Khoa Phổi)- có phải xác suất có điều kiện hay khơng? Hãy tính xác suất Chọn người bất kì, Xác suất người nam nằm khoa Phổi - P(Nam Khoa Phổi) – xác suất có điều kiện kết cục khơng có hạn chế (ai chọn) N: Số kết 50; m: số kết thuận lợi cho 11; P (Nam Khoa Phổi) = Thí dụ: Chọn người nam, xác suất người nằm khoa Phổi có phải xác suất có điều kiện hay khơng? Hãy tính xác suất Chọn người nam, xác suất người nằm khoa Phổi xác suất có điều kiện số kết cục bị hạn chế (chỉ có bệnh nhân nam chọn kết cục số 15 bệnh nhân nam) Nc: Số kết 15; m: số kết thuận lợi cho 11; Xác suất người nằm khoa Phổi với điều kiện người nam giới = P (Khoa Phổi|Nam) = Lưu ý: Xác suất có điều kiện kí hiệu P(đặc tính quan tâm|Điều kiện) điều kiện phải cho kết cục thuận lợi (m) kết cục (Nc) Trong thí dụ 11 kết cục thuận lợi vừa đòi hỏi điều kiện nam giới đặc tính nằm khoa phổi 15 kết cục địi hỏi điều kiện nam giới Thể nhận xét công thức: m n( A B ) n( A B ) / N P ( A B ) P( B | A) Nc n( A) n( A) / N P( A) (5) n(AB ) số kết cục thoả điều kiện A đặc tính B n(A) số kết cục thoả điều kiện A Thí dụ: Chọn bệnh nhân khoa Thận, tính xác suất bệnh nhân nữ Đây xác suất có điều kiện P(nữ|khoa Thận) = = = = 0,75 Thí dụ: Theo báo cáo “Số ca nghi nhiễm SARS tích luỹ” Tổ Chức Y tế Thế Giới (http://www.who.int/csr/sars/country/2003_05_17/en/), Số ca bệnh SARS (Hội chứng Hơ hấp cấp tính trầm trọng) từ ngày 1/10/2002 đến ngày 17/5/2003 7761 với 623 trường hợp tử vong Xác suất tử vong người mắc SARS xác suất có điều kiện: ( 623 ca tử vong 7761 ca bệnh mắc SARS) P(tử vong|SARS)= Xác suất có điều kiện (Xác suất tử vong người mắc bệnh cụ thể đó) gọi tỉ suất chết/mắc bệnh (case-fatality rate) Thí dụ: Trong dân số, tỉ lệ người có dấu hiệu lách to 20%, người vừa sốt rét vừa lách to 18%, người bị sốt rét 23% Một người ngẫu nhiên từ dân số đó, người khơng có dấu hiệu lách to Tính khả người bị sốt rét? Bài giải: P(sốt rét|lách không to) = P(sốt rét lách không to) / P(lách không to) = [P(sốt rét) - P(sốt rét lách to)]/ P(lách không to) = (0.23-0.18)/0.8 = 0.05/0.8 =0.0625 Ðịnh luật nhân xác suất Từ phương trình (5) ta xây dựng công thức: P(AB) = P(A) ´ P(B|A) (6) P(AB) = P(BA) =P(B) ´ P(A|B) Công thức gọi định lí nhân xác suất Thí dụ: Nếu xác suất mắc bệnh lao, P(Lao) = 0,001 xác suất chết/mắc bệnh Lao, P(chết|Lao) = 0,1 Xác suất chết bệnh lao: P(Lao Chết) = P(Lao) ´ P(Chết | Lao) = 0,001 ´ 0,1 = 0,0001 Tính độc lập Một khái niệm quan trọng lí thuyết xác suất tính độc lập (independence) Hai biến cố A B gọi độc lập P(B|A) = P(B), suy từ (6) P(AB) = P(A) ´ P(B) (7) Ý nghĩa định nghĩa theo xác suất có điều kiện xác suất B khơng thay đổi dù có hay khơng có điều kiện A Từ phương trình (7) suy tính độc lập có tính chất đối xứng (nếu A độc lập với B B độc lập với A ngược lại) Thí dụ: Giả sử Xác suất bị chấn thương giao thông dân số chung = P(chấn thương giao thông) =0,01 Xác suất bị chấn thương giao thông người hút thuốc = P(chấn thương giao thông | hút thuốc lá) = 0,01 Khi chấn thương giao thơng hút thuốc hai biến cố độc lập Giả sử Xác suất bị chấn thương giao thông dân số chung = P(chấn thương giao thông) =0,01 Xác suất bị chấn thương giao thông người nghiện rượu = P(chấn thương giao thơng | nghiện rượu) = 0,03 Khi chấn thương giao thông nghiện rượu hai biến cố không độc lập Khi biến cố A không độc lập với biến cố B thì: - A => B - B => A - Có yếu tố ảnh hưởng đến A B (yếu tố gọi yếu tố gây nhiễu) Do chứng minh P(B) ≠ P(B|A) ≠ P(B|A c) (A B không độc lập) loại trừ mệnh đề - B => A (bằng cách biện luận thời gian) - Yếu tố gây nhiễu ảnh hưởng đến A B Nghĩa có chứng cớ (evidence) mệnh đề A=>B Đây cách lập luận thường sử dụng nghiên cứu xác định nguyên nhân hay yếu tố nguy Tính loại trừ biến cố Nếu hai biến cố A B không xảy đồng thời người ta gọi biến cố A B loại trừ lẫn Thí dụ bệnh nhân không bị nhiễm sán dải sán dải heo lúc nên việc nhiễm sán dải bò sán dải heo biến cố loại trừ lẫn Trong thửu nghiệm tung xúc xắc, biến cố mặt chẵn biến cố mặt biến cố loại trừ lẫn Cần lưu ý hai biến cố loại trừ lẫn biến cố độc lập mà thực chất biến cố phụ thuộc lẫn Biến cố A xảy phụ thuộc vào việc không xảy biến cố B ngược lại Công thức cộng xác suất tổng quát Thí dụ: Ở khoa Phổi khoa Thận bệnh viện X có 50 bệnh nhân phân bố đặc điểm bệnh nhân trình bày bảng đầu chương Chọn người bất kì, tính xác suất người nam hay nằm khoa Phổi - P(Nam hay Khoa Phổi): P(Nam hay Khoa Phổi)= P(Nam hay Khoa Phổi)= = P(Phổi)+P(Nam)-P(Phổi Nam) Một cách tổng qt, ẰB ≠ Ø có P(ẰB) = P(A) + P(B) – P(AB) (8) Nếu hai biến cố A B loại trừ lẫn tính xác suất xảy A hay B dựa nguyên lí cộng tính: P(ẰB) = P(A) + P(B) Đây cơng thức cộng xác suất tổng quát Sau tổng kết công thức nhân cộng xác suất tuỳ theo mối quan hệ biến số A B Quan hệ biến cố A B Định luật Nhân xác suất P(AB) Định luật Cộng xác suất P(ẰB) Khơng đặc biệt (không độc lập không loại trừ) =P(A)´P(B|A) = P(A) + P(B) – P(AB) Độc lập = P(A)´P(B) = P(A) + P(B) – P(A)´P(B) Loại trừ =0 = P(A) + P(B) Cơng thức xác suất tồn phần định lí Bayes Nếu biến cố B phụ thuộc vào biến cố A – P(B) ≠ P(B|A) – xác suất biến cố B phụ thuộc vào xác suất biến cố A Khi xác suất xảy B (A c biến cố đối lập biến cố A đọc không A) P( B) P( A B) P( A C B) P( A) P( B | A) P( A C ) P( B | A C ) (9) Công thức gọi công thức xác suất tồn phần (law of total probability) Áp dụng cơng thức trường hợp ung thư phụ thuộc vào hút thuốc có: Xác suất ung thư = Xác suất hút thuốc ´ xác suất ung thư hút thuốc + Xác suất không hút thuốc ´ xác suất ung thư không hút thuốc Tính xác suất A điều kiện B - P(A|B) thay mẫu số với công thức xác suất toàn phần ta P( A B) P ( A) P ( B | A) P( A | B) P ( B) P ( A) P( B | A) P ( A c ) P( B | A c ) (9) Công thức gọi định lí Bayes Lí giải cơng thức trường hợp hút thuốc tăng nguy ung thư phổi sau Xác suất người hút thuốc biết người bị ung thư phổi với tỉ lệ với xác suất vừa hút thuốc vừa ung thư phổi xác suất bị ung thư phổi Biến số ngẫu nhiên Khi tiến hành phép thử, thường không quan tâm đến chi tiết biến cố mà quan tâm giá trị đại lượng xác định kết cục phép thử Thí dụ, gieo xúc xắc, khơng quan tâm đến xúc xắc mặt mà quan tâm đến tổng số điểm xúc xắc Hay mua vé số, quan tâm đến số tiền mà trúng (hay số tiền bị mất) sau có kết xổ số Đại lượng mà giá trị xác định kết cục phép thử ngẫu nhiên gọi biến số ngẫu nhiên Biến số ngẫu nhiên thường kí hiệu chữ in hoa (như X, Y, ) Biến số ngẫu nhiên X biến cố e kí hiệu X(e) Các thí dụ khác biến số ngẫu nhiên gồm: - - Thí dụ: Một người đặt số gồm chữ số Sau người ta tiến hành quay số để có kết số chữ số Như phép thử có 100 kết số 00,01,02,03, ,99 Nếu kết trùng với số đặt, người đặt 70 đồng Nếu kết không trùng với số đặt, người đặt bị đồng Như có 99 kết cục tương ứng với giá trị -1 kết cục tương ứng với giá trị 70 -1 70 giá trị biến số ngẫu nhiên X “số tiền thu được” Ta tính P(X=-1)=0,99 P(X=70)=0,01 Theo dõi 100 người nghiện chích ma tuý chưa bị nhiễm HIV, số người bị nhiễm HIV sau năm biến số ngẫu nhiên Điều trị cho 15 ca bệnh SARS, số ca tử vong số 15 ca bệnh biến số ngẫu nhiên Một gia đình có đứa con, số trai gia đình biến số ngẫu nhiên Đo chiều cao người, chiều cao người biến số ngẫu nhiên Vọng trị Nếu không quan tâm đến chi tiết, gán cho kết cục giá trị biến số ngẫu nhiên gán cho phép thử giá trị gọi vọng trị Hãy trở lại với ví dụ phép thử quay số (gồm chữ số) đưa phần biến số ngẫu nhiên Phép thử có nhiều kết cục kết cục tương ứng với -1 70 giá trị biến số ngẫu nhiên “số tiền thu được” Giả sử người chơi trị chơi nhiều lần (N lần) người số tiền người thu sau N lần chơi: 70 ´ N ´ 0,01 – ´ N ´ 0,99 = N ´ (0,70 – 0,99) = -0,29 ´ N Như trung bình lần chơi người bị thu (-0,29 ´ N)/N=0,29 đồng Con số gọi vọng trị trò chơi Một cách tổng quát vọng trị phép thử trung bình biến số ngẫu nhiên phép thử lập lại nhiều lần vọng trị biến số ngẫu nhiên X kí hiệu E(X) E(X)=X(e1)P(e1) + X(e2)P(e2) + Bài tập Ðịnh luật nhân cộng xác suất Trong nhóm gồm 502 người có phân phối nhóm máu giới tính sau: Giới tính Nhóm máu Nam Nữ Tổng số O 113 113 226 A 103 103 206 B 25 25 50 AB 10 10 20 Tổng số 251 251 502 1a Nếu người chọn ngẫu nhiên từ nhóm người Tính xác suất người có nhóm máu O? xác suất người có nhóm máu A? Xác suất người có nhóm máu B? Xác suất người có nhóm máu AB? 1b Giới tính nhóm máu có độc lập với không? Chứng minh Xác suất bệnh nhân chọn từ bệnh viện nam 0,6 Xác suất bệnh nhân nam khoa ngoại 0,2 Một bệnh nhân chọn ngẫu nhiên từ bệnh viện người ta biết bệnh nhân nam Tính xác suất bệnh nhân khoa ngoại Trong dân số bệnh viện, xác suất bệnh nhân chọn ngẫu nhiên có bệnh tim 0,35 Xác suất bệnh nhân bệnh tim hút thuốc 0,86 Tính xác suất bệnh nhân chọn ngẫu nhiên người hút thuốc mắc bệnh tim? Một nhà nghiên cứu muốn ước tính tỉ lệ tiêm chủng trẻ em tuổi tỉnh X phương pháp lấy mẫu PPS (probability proportionate to size) gồm bước Bước 1: lên danh sách tất xã tỉnh chọn danh sách 30 xã Bước 2: chọn ngẫu nhiên đứa trẻ tuổi xã chọn để điều tra tình hình tiêm chủng đứa trẻ Giả sử tỉnh có xã A có 100 trẻ tuổi xã B có 40 trẻ tuổi a Nếu bước chọn xã A, tính xác suất đứa trẻ tuổi xã A chọn đưa vào nghiên cứu b Nếu khơng biết xã A có chọn đưa vào nghiên cứu hay khơng, tính xác suất đứa trẻ tuổi xă A chọn đưa vào nghiên cứu c Giả sử xác suất xã B chọn đưa vào nghiên cứu 0,1, tính xác suất đứa trẻ tuổi xã B chọn đưa vào nghiên cứu Bài giải 1a Theo công thức m P( E ) N Với N số biến cố m số biến cố thuận lợi Khi chọn ngẫu nhiên người ta có 502 kết khác (Số biến cố N=502) Trong việc tính xác suất người có nhóm máu O, biến cố thuận lợi biến cố chọn người có nhóm máu O Như có 226 biến cố thuận lợi trường hợp Xác suất người có nhóm máu O = 226/502=0,45 Tương tự Xác suất người có nhóm máu A = 206/502=0,41 Xác suất người có nhóm máu B = 50/502=0,10 Xác suất người có nhóm máu O = 20/502=0,04 1b Biến cố A độc lập với biến cố B (A|B)=P(A) hay chứng minh P(B| A)=P(B) Như Nhóm máu giới tính độc lập với vì: P(máu O | Nam)=113/251= 0,45 = P(máu O) P(máu A | Nam)=103/251= 0,41 = P(máu A) P(máu B | Nam)=25/251= 0,10 = P(máu B) P(máu AB | Nam)=10/251= 0,04 = P(máu AB) Áp dụng công thức P(A|B)=P(A(B)/P(B); với A biến cố bệnh nhân khoa Ngoại B biến cố bệnh nhân bệnh nhân nam ta có: P(ngoại|nam)=P(ngoại(nam)/P(nam)= 0,2/0,6 = 0,33 Áp dụng công thức P(A(B) = P(A).P(B|A) = P(B).P(B|A) ta có P(hút thuốc(bệnh tim)=P(bệnh tim) x P(hút thuốc|bệnh tim) = 0,35 x 0,86 = 0,301 Ta kí hiệu đứa trẻ quan tâm m a Nếu bước chọn xã A, xác suất đứa trẻ m tuổi xã A chọn đưa vào nghiên cứu = P(chọn m| chọn A) = 7/100 = 0,07 b Nếu xã A có chọn đưa vào nghiên cứu hay không, xác suất đứa trẻ m tuổi xã A chọn đưa vào nghiên cứu = P(chọn m chọn A) = P(chọn A) ´ P (chọn m| chọn A) = 0,07 ´ P(chọn A) c Xác suất đứa trẻ m tuổi xã B chọn đưa vào nghiên cứu = P(chọn m chọn B) = P(chọn B) ´ P (chọn m| chọn B) = 0,1 ´ / 40 = 0,0175